§1.3全称量词与存在量词(新考案)

§1.3 全称量词与存在量词

1.(2020届河南顶级名校联考)命题“存在实数x0,使ln x0<𝑥02-1”的否定是( ).

A.对任意的实数x,都有ln x

B.对任意的实数x,都有ln x≥x2-1

C.不存在实数x0,使ln x0≥𝑥02-1

D.存在实数x0,使ln x0≥𝑥02-1

【解析】特称命题的否定是全称命题,将特称量词改变后还要对结论进行否定.

【答案】B

2.(2020届银川月考)下列命题中的真命题是( ).

A.∃x0∈R,e𝑥0≤0

B.∀x∈R,2x>x2

C.“a+b=0”的充要条件是“𝑎𝑏=-1”

D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件

【解析】因为y=ex>0(x∈R)恒成立,所以A不正确;

因为当x=-5时,2-5<(-5)2,所以“∀x∈R,2x>x2”不成立,所以B不正确;

当a=b=0时,a+b=0,但是𝑎𝑏没有意义,所以C不正确;

“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件,显然正确.故选D.

【答案】D

3.(2020届江西省名校联考)已知命题p:∀x∈(1,+∞),x2019>x2018,则􀱑p为( ).

A.∃x0∈(1,+∞),使得𝑥02019≤𝑥02018

B.∃x0∈(-∞,1],使得𝑥02019>𝑥02018

C.∃x0∈(1,+∞),使得𝑥02019>𝑥02018

D.∃x0∈(-∞,1],使得𝑥02019≤𝑥02018

【解析】全称命题的否定是特称命题,先改变量词,再否定结论.命题p:∀x∈(1,+∞),x2019>x2018,则􀱑p:∃x0∈(1,+∞),使得𝑥02019≤𝑥02018.

【答案】A

4.(2020届河南模拟)已知命题p:∀x∈R,2x+12𝑥≥2,命题q:∃x0∈(0,+∞),2𝑥0=12,则下列说法正确的是( ).

A.p为真命题,q为真命题

B.p为假命题,q为假命题

C.p为真命题,q为假命题

D.p为假命题,q为真命题

【解析】因为2x>0,所以2x+12𝑥≥2√2𝑥·12𝑥=2,当且仅当2x=12𝑥,即x=0时等号成立,所以p为真命题.

当x∈(0,+∞)时,2x>1恒成立,故q为假命题.

【答案】C

5.(本题为多项选择题)下列命题中,是真命题的是( ).

A.∃x0∈(0,+∞),(12)𝑥0<(13)𝑥0

B.∃x0∈(0,1),log12x0>log13x0

C.∀x∈(0,+∞),(12)𝑥>log12x

D.∀x∈(0,13),(12)𝑥

【解析】当x>0时,y=12𝑥的图象总在y=13𝑥的图象的上方,因此A错误;

当0

当x=12时,√12<1=log1212,因此C错误;

当01>(12)𝑥,因此D正确.

故选BD.

【答案】BD

6.(2020届成都模拟)下列命题中的假命题是( ).

A.∃φ∈R,使函数f(x)=sin(2x+φ)是偶函数

B.∃α,β∈R,使得cos(α+β)=cos α+cos β

C.∃m∈R,使f(x)=(m-1)·𝑥𝑚2-4m+3是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减

D.对任意的正实数a,b,lg(a+b)≠lg a+lg b

【解析】当φ=π2时,函数f(x)=sin(2x+φ)=cos 2x为偶函数,故选项A中的命题为真命题;

当α=3π4,β=π2时,cos(α+β)=-√22,cos α+cos β=-√22,故选项B中的命题为真命题;

当m=2时,f(x)=(m-1)·𝑥𝑚2-4m+3=x-1是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,故选项C中的命题为真命题;

当a=b=2时,lg(a+b)=lg a+lg b=lg 4,故选项D中的命题是假命题.故选D.

【答案】D

7.已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c.若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列命题为假命题的是( ).

A.∃x∈R,f(x)≤f(x0)

B.∃x∈R,f(x)≥f(x0)

C.∀x∈R,f(x)≤f(x0)

D.∀x∈R,f(x)≥f(x0)

【解析】由题意知,x=-𝑏2𝑎为函数f(x)图象的对称轴方程,又x0=-𝑏2𝑎,所以f(x0)为函数f(x)的最小值,即对所有的实数x,都有f(x)≥f(x0),因此∀x∈R,f(x)≤f(x0)是错误的.

【答案】C

8.(2020届北京朝阳区模拟)已知函数f(x)=a2x-2a+1.若命题“∀x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,则实数a的取值范围是 .

【解析】因为命题“∀x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,

所以原命题的否定“存在实数x0∈(0,1),使f(x0)=0”是真命题,所以f(1)f(0)<0,即(a2-2a+1)(-2a+1)<0,

所以(a-1)2(2a-1)>0,解得a>12且a≠1.

所以实数a的取值范围是(12,1)∪(1,+∞).

【答案】(12,1)∪(1,+∞)

9.(2020届山东潍坊质检)已知命题p:∀x>0,2ax-ln x≥0.若命题p的否定是真命题,则实数a的取值范围是.

【解析】命题p的否定“∃x0>0,2ax0-ln x0<0”是真命题,故不等式2ax-ln x<0有解.而不等式2ax-ln x<0可化为2a

【答案】(-∞,12e)

10.(2020届福建三明模拟)已知a>0,设p:函数y=ax在R上单调递增;q:不等式ax2-ax+1>0对∀x∈R恒成立.若p为真命题,则a的取值范围为 ;若p,q中恰有一个为真命题,则a的取值范围为 .

【解析】若函数y=ax在R上单调递增,则p:a>1.

若不等式ax2-ax+1>0对∀x∈R恒成立,则a>0且a2-4a<0,解得0

∵p,q中恰有一个为真命题,

∴当p真q假时,{𝑎>1,𝑎≥4,得a≥4;

当p假q真时,{0<𝑎≤1,0<𝑎<4,得0

故a的取值范围为(0,1]∪[4,+∞).

【答案】(1,+∞) (0,1]∪[4,+∞)

11.(2020届甘肃兰州模拟)已知命题p:函数f(x)=|cos x|的最小正周期为2π;命题q:函数y=x3+sin x的图象关于原点中心对称,则下列说法正确的是( ).

A.p,q均为真命题 B.p为假命题,q为真命题

C.p,q均为假命题 D.p为真命题,q为假命题

【解析】命题p:函数f(x)=|cos x|的最小正周期为π,故命题p是假命题;命题q:函数y=x3+sin x的图象关于原点中心对称,故命题q是真命题.故选B.

【答案】B

12.若“∃x0∈[12,2],使得2𝑥02-λx0+1<0成立”是假命题,则实数λ的取值范围是( ).

A.(-∞,2√2] B.(2√2,3]

C.[2√2,92] D.{3}

【解析】因为“∃x0∈[12,2],使得2𝑥02-λx0+1<0成立”是假命题,所以“∀x∈[12,2],使得2x2-λx+1≥0恒成立”是真命题,即“∀x∈[12,2],使得λ≤2x+1𝑥恒成立”是真命题.令f(x)=2x+1𝑥,则f'(x)=2-1𝑥2,当x∈[12,√22)时,f'(x)<0,当x∈(√22,2]时,f'(x)>0,所以f(x)≥f(√22)=2√2,则λ≤2√2.

【答案】A

13.若f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),∀x1∈[-1,2],∃x0∈[-1,2],使g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是 .

【解析】由于函数g(x)在区间[-1,2]内是任意取值的,且必存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),因此问题等价于当x∈[-1,2]时,函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集.函数f(x)在[-1,2]上的值域是[-1,3],函数g(x)在[-1,2]上的值域是[2-a,2+2a],则有2-a≥-1且2+2a≤3,即a≤12.又a>0,故实数a的取值范围是(0,12].

【答案】(0,12]

14.(2018江西六校联考)设非空集合S,T满足S⊆T,若S满足下面的条件:(1)对于∀a,b∈S,都有a-b∈S且ab∈S;(2)对于∀r∈S,n∈T,都有nr∈S,则称S是T的一个理想,记作S◁T.现给出下列集合对:①S={0},T=R;②S={偶数},T=Z;③S=R,T=C(C为复数集).其中满足S◁T的集合对的序号是 .

【解析】①0-0=0,0×0=0;0×n=0,符合题意.

②偶数-偶数=偶数,偶数×偶数=偶数;偶数×整数=偶数,符合题意.

③实数-实数=实数,实数×实数=实数;实数×复数=实数不一定成立,如2×i=2i,不合题意.

【答案】①②