§1.3全称量词与存在量词(新考案)

§1.3全称量词与存在量词

1.(2020届河南顶级名校联考)命题“存在实数x0,使ln x0

A.对任意的实数x,都有ln x

B.对任意的实数x,都有ln x≥x2-1

C.不存在实数x0,使ln x0≥x02-1

D.存在实数x0,使ln x0≥x02-1

【解析】特称命题的否定是全称命题,将特称量词改变后还要对结论进行否定.

【答案】B

2.(2020届银川月考)下列命题中的真命题是().

A.?x0∈R,e x0≤0

B.?x∈R,2x>x2

C.“a+b=0”的充要条件是“a

b

=-1”

D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件

【解析】因为y=e x>0(x∈R)恒成立,所以A不正确;

因为当x=-5时,2-5<(-5)2,所以“?x∈R,2x>x2”不成立,所以B不正确;

当a=b=0时,a+b=0,但是a

b

没有意义,所以C不正确;

“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件,显然正确.故选D.

【答案】D

3.(2020届江西省名校联考)已知命题p:?x∈(1,+∞),x2019>x2018,则 p为().

A.?x0∈(1,+∞),使得x02019≤x02018

B.?x0∈(-∞,1],使得x02019>x02018

C.?x0∈(1,+∞),使得x02019>x02018

D.?x0∈(-∞,1],使得x02019≤x02018

【解析】全称命题的否定是特称命题,先改变量词,再否定结论.命题p:?x∈(1,+∞),x2019>x2018,则 p:?x0∈(1,+∞),使得x02019≤x02018.

【答案】A

4.(2020届河南模拟)已知命题p:?x∈R,2x+1

2x ≥2,命题q:?x0∈(0,+∞),2x0=1

2

,则下列说法正确的是().

A.p为真命题,q为真命题

B.p为假命题,q为假命题

C .p 为真命题,q 为假命题

D .p 为假命题,q 为真命题

【解析】因为2x >0,所以2x +12

x ≥2√2x ·12

x =2,当且仅当2x =12

x ,即x=0时等号成立,所以p 为真命题. 当x ∈(0,+∞)时,2x >1恒成立,故q 为假命题. 【答案】C

5.(本题为多项选择题)下列命题中,是真命题的是(

).

A .?x 0∈(0,+∞),(12)x 0<(13

)x 0 B .?x 0∈(0,1),lo g 12

x 0>lo g 13

x 0

C .?x ∈(0,+∞),(12

)x >lo g 12

x

D .?x ∈(0,13

),(12

)x

x

【解析】当x>0时,y=12x 的图象总在y=13

x 的图象的上方,因此A 错误; 当0

x 的图象总在y=lo g 13

x 的图象的上方,因此B 正确;

当x=12时,√12

<1=lo g 12

12,因此C 错误; 当0

3

时,lo g 13

x>1>(12

)x ,因此D 正确.

故选BD . 【答案】BD

6.(2020届成都模拟)下列命题中的假命题是(

).

A .?φ∈R,使函数f (x )=sin(2x+φ)是偶函数

B .?α,β∈R,使得cos(α+β)=cos α+cos β

C .?m ∈R,使f (x )=(m-1)·x m

2-4m+3

是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减

D .对任意的正实数a ,b ,lg(a+b )≠lg a+lg b

【解析】当φ=π2

时,函数f (x )=sin(2x+φ)=cos 2x 为偶函数,故选项A 中的命题为真命题; 当α=3π4

,β=π2

时,cos(α+β)=-√2

2

,cos α+cos β=-√2

2

,故选项B 中的命题为真命题;

当m=2时,f (x )=(m-1)·x m

2-4m+3

=x -1是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,故选项C 中的命题为真命题;

当a=b=2时,lg(a+b )=lg a+lg b=lg 4,故选项D 中的命题是假命题.故选D . 【答案】D

7.已知a>0,函数f (x )=ax 2+bx+c.若x 0满足关于x 的方程2ax+b=0,则下列命题为假命题的是(

).

A .?x ∈R,f (x )≤f (x 0)

B .?x ∈R,f (x )≥f (x 0)

C .?x ∈R,f (x )≤f (x 0)

D .?x ∈R,f (x )≥f (x 0)

【解析】由题意知,x=-b

2a 为函数f(x)图象的对称轴方程,又x0=-b

2a

,所以f(x0)为函数f(x)的最小值,即对所有的实数x,都有

f(x)≥f(x0),因此?x∈R,f(x)≤f(x0)是错误的.

【答案】C

8.(2020届北京朝阳区模拟)已知函数f(x)=a2x-2a+1.若命题“?x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,则实数a的取值范围是.

【解析】因为命题“?x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,

所以原命题的否定“存在实数x0∈(0,1),使f(x0)=0”是真命题,所以f(1)f(0)<0,即(a2-2a+1)(-2a+1)<0,

所以(a-1)2(2a-1)>0,解得a>1

2

且a≠1.

所以实数a的取值范围是(1

2

,1)∪(1,+∞).

【答案】(1

2

,1)∪(1,+∞)

9.(2020届山东潍坊质检)已知命题p:?x>0,2ax-ln x≥0.若命题p的否定是真命题,则实数a的取值范围是.

【解析】命题p的否定“?x0>0,2ax0-ln x0<0”是真命题,故不等式2ax-ln x<0有解.而不等式2ax-ln x<0可化为2a

x

,令

g(x)=lnx

x ,则g'(x)=1-lnx

x2

,可得g(x)在x=e处取得最大值1

e

,因此要使不等式2a

x

有解,只需2a<1

e

,即a<1

2e

.

【答案】(-∞,1

2e

)

10.(2020届福建三明模拟)已知a>0,设p:函数y=a x在R上单调递增;q:不等式ax2-ax+1>0对?x∈R恒成立.若p为真命题,则a 的取值范围为;若p,q中恰有一个为真命题,则a的取值范围为.

【解析】若函数y=a x在R上单调递增,则p:a>1.

若不等式ax2-ax+1>0对?x∈R恒成立,则a>0且a2-4a<0,解得0

∵p,q中恰有一个为真命题,

∴当p真q假时,{a>1,

a≥4,得a≥4;

当p假q真时,{0

0

故a的取值范围为(0,1]∪[4,+∞).

【答案】(1,+∞)(0,1]∪[4,+∞)

11.(2020届甘肃兰州模拟)已知命题p:函数f(x)=|cos x|的最小正周期为2π;命题q:函数y=x3+sin x的图象关于原点中心对称,则下列说法正确的是().

A.p,q均为真命题

B.p为假命题,q为真命题

C.p,q均为假命题

D.p为真命题,q为假命题

【解析】命题p:函数f(x)=|cos x|的最小正周期为π,故命题p是假命题;命题q:函数y=x3+sin x的图象关于原点中心对称,故命题q是真命题.故选B.

【答案】B

12.若“?x0∈[1

2

,2],使得2x02-λx0+1<0成立”是假命题,则实数λ的取值范围是().

A.(-∞,2√2]

B.(2√2,3]

C.[2√2,92

]

D.{3}

【解析】因为“?x 0∈[12

,2],使得2x 02

-λx 0+1<0成立”是假命题,所以“?x ∈[12

,2],使得2x 2-λx+1≥0恒成立”是真命题,即“?x ∈[12

,2],

使得λ≤2x+1

x 恒成立”是真命题.令f (x )=2x+1x ,则f'(x )=2-1x 2,当x ∈[12,

√2

2

)时,f'(x )<0,当x ∈(√22,2]时,f'(x )>0,所以f (x )≥f (√2

2)=2√2,则

λ≤2√2.

【答案】A

13.若f (x )=x 2-2x ,g (x )=ax+2(a>0),?x 1∈[-1,2],?x 0∈[-1,2],使g (x 1)=f (x 0),则实数a 的取值范围是

.

【解析】由于函数g (x )在区间[-1,2]内是任意取值的,且必存在x 0∈[-1,2],使得g (x 1)=f (x 0),因此问题等价于当x ∈[-1,2]时,函数

g (x )的值域是函数f (x )值域的子集.函数f (x )在[-1,2]上的值域是[-1,3],函数g (x )在[-1,2]上的值域是[2-a ,2+2a ],则有2-a ≥-1且

2+2a ≤3,即a ≤12

.又a>0,故实数a 的取值范围是(0,12

].

【答案】(0,12]

14.(2018江西六校联考)设非空集合S ,T 满足S ?T ,若S 满足下面的条件:(1)对于?a ,b ∈S ,都有a-b ∈S 且ab ∈S ;(2)对于?r ∈S ,n ∈T ,

都有nr ∈S ,则称S 是T 的一个理想,记作S ?T.现给出下列集合对:①S={0},T=R;②S={偶数},T=Z;③S=R,T=C(C 为复数集).其中满足S ?T 的集合对的序号是 .

【解析】①0-0=0,0×0=0;0×n=0,符合题意.

②偶数-偶数=偶数,偶数×偶数=偶数;偶数×整数=偶数,符合题意.

③实数-实数=实数,实数×实数=实数;实数×复数=实数不一定成立,如2×i =2i,不合题意.

【答案】①②