人教版高中数学必修一《集合的基本运算》同步练习(含答案)

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新编高一数学必修一课后练习：1.1.3 集合的基本运算含答案

新编人教版精品教学资料1.1.3 集合的基本运算班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后作业【基础过关】1．若，，，，则满足上述条件的集合的个数为A.5B.6C.7D.82．已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5}, B={1,3,6},那么集合{2,7,8}是A.A∪B B.A∩B C.(∁U A)∩(∁U B) D.(∁U A)∪(∁U B) 3．若集合P={x∈N|-1<x<3},Q={x|x=2a,a∈P},则P∩Q=A.⌀B.{x|-2<x<6}C.{x|-1<x<3}D.{0,2}4．设全集U=R,集合M={x|x>1或x<-1},N={x|0<x<2},则N∩(∁U M)=A.{x|-2≤x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|x<1} 5．某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.6．集合A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x-y=2},则A∩B=.7．设集合A={x|0<x-m<3},B={x|x≤0,或x≥3},分别求满足下列条件的实数m.(1)A∩B=⌀;(2)A∪B=B.8．已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}.(1)求A∪B,(∁R A)∩B;(2)若A∩C≠⌀,求a的取值范围.【能力提升】已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-x+2m=0}.(1)若A∪B=A,求a的值;(2)若A∩C=C,求m的取值范围.1.1.3 集合的基本运算课后作业·详细答案【基础过关】1．D2．C【解析】借助Venn图易得{2,7,8}=∁U(A∪B),即为(∁U A)∩(∁U B).3．D【解析】由已知得P={0,1,2},Q={0,2,4},所以P∩Q={0,2}. 4．B【解析】∁U M={x|-1≤x≤1},结合数轴可得N∩(∁U M)={x|0<x≤1}. 5．12【解析】设两项运动都喜爱的人数为x,依据题意画出Venn图,得到方程15-x+x+10-x+8=30,解得x=3,∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12.6．{(1,-1)}【解析】A∩B={(x,y)|}={(1,-1)}.7．因为A={x|0<x-m<3},所以A={x|m<x<m+3}.(1)当A∩B=⌀时,需,故m=0.即满足A∩B=⌀时,m的值为0.(2)当A∪B=B时,A⊆B,需m≥3,或m+3≤0,得m≥3,或m≤-3.即满足A∪B=B时,m的取值范围为{m|m≥3,或m≤-3}.8．(1)因为A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},所以A∪B={x|2≤x<10}.因为A={x|2≤x<7},所以∁R A={x|x<2,或x≥7},则(∁R A)∩B={x|7≤x<10}.(2)因为A={x|2≤x<7},C={x|x<a},且A∩C≠⌀,所以a>2.【能力提升】A={1,2}.(1)因为A∪B=A,所以B⊆A,故集合B中至多有两个元素1,2.而方程x2-ax+a-1=0的两根分别为1,a-1,注意到集合中元素的互异性,有①当a-1=2,即a=3时,B={1,2},满足题意;②当a-1=1,即a=2时,B={1},满足题意.综上可知,a=2或a=3.(2)因为A∩C=C,所以C⊆A.①当C=⌀时,方程x2-x+2m=0无实数解,因此其根的判别式Δ=1-8m<0,即m>.②当C={1}(或C={2})时,方程x2-x+2m=0有两个相同的实数解x=1(或x=2),因此其根的判别式Δ=1-8m=0,解得m=,代入方程x2-x+2m=0,解得x=,显然m=不符合要求.③当C={1,2}时,方程x2-x+2m=0有两个不相等的实数解x1=1,x2=2,因此x1+x2=1+2≠1,x1x2=2=2m,显然不符合要求.综上,m>.。

【人教A版高一数学试题】必修一1.1.3《集合的基本运算》及答案解析

集合的基本运算1.设集合A ＝{x|2≤x ＜4}，B ＝{x|3x －7≥8－2x}，则A ∪B 等于( )A ．{x|x ≥3}B ．{x|x ≥2}C ．{x|2≤x ＜3}D ．{x|x ≥4}2．已知集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{0,3,6,9,12}，则A ∩B ＝( )A ．{3,5}B ．{3,6}C ．{3,7}D ．{3,9}3．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________．4．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，若A ∩B ＝{9}，求a 的值．一、选择题(每小题5分，共20分)1．集合A ＝{0,2，a}，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 2．设S ＝{x|2x ＋1>0}，T ＝{x|3x －5<0}，则S ∩T ＝( ) A ．Ø B ．{x|x<－12} C ．{x|x>53} D ．{x|－12<x<53}3．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝()A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}C．{x|0<x≤2} D．{x|－1≤x≤2}4．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．6．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是________．三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.8．已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝Ø，求a 的取值范围．9．(10分)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？集合的基本运算（答案解析）1．设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于() A．{x|x≥3}B．{x|x≥2}C．{x|2≤x＜3} D．{x|x≥4}【解析】B＝{x|x≥3}．画数轴(如下图所示)可知选B.【答案】 B2．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝()A．{3,5} B．{3,6}C．{3,7} D．{3,9}【解析】A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，A和B中有相同的元素3,9，∴A∩B＝{3,9}．故选D.【答案】 D3．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________．【解析】设两项都参加的有x人，则只参加甲项的有(30-x)人，只参加乙项的有(25-x)人．(30-x)+x+(25-x)=50，∴x=5.∴只参加甲项的有25人，只参加乙项的有20人，∴仅参加一项的有45人．【答案】454．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，若A ∩B ＝{9}，求a 的值．【解析】 ∵A ∩B ＝{9}，∴9∈A ，∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝±3. 当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}．此时A ∩B ＝{－4,9}≠{9}．故a ＝5舍去．当a ＝3时，B ＝{－2，－2,9}，不符合要求，舍去．经检验可知a ＝－3符合题意．一、选择题(每小题5分，共20分)1．集合A ＝{0,2，a}，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4【解析】 ∵A ∪B ＝{0,1,2，a ，a 2}，又A ∪B ＝{0,1,2,4,16}， ∴{a ，a 2}＝{4,16}，∴a ＝4，故选D. 【答案】 D2．设S ＝{x|2x ＋1>0}，T ＝{x|3x －5<0}，则S ∩T ＝( ) A ．Ø B ．{x|x<－12} C ．{x|x>53} D ．{x|－12<x<53}【解析】 S ＝{x|2x ＋1>0}＝{x|x>－12}，T ＝{x|3x －5<0}＝{x|x<53}，则S ∩T ＝{x|－12<x<53}．故选D.【答案】 D3．已知集合A ＝{x|x>0}，B ＝{x|－1≤x ≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．{x|x ≥－1} B ．{x|x ≤2}C．{x|0<x≤2} D．{x|－1≤x≤2}【解析】集合A、B用数轴表示如图，A∪B＝{x|x≥－1}．故选A.【答案】 A4．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4【解析】集合M必须含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}．故选B.【答案】 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．【解析】A＝(－∞，1]，B＝[a，＋∞)，要使A∪B＝R，只需a≤1.【答案】a≤16．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是________．【解析】由于{1,3}∪A＝{1,3,5}，则A⊆{1,3,5}，且A中至少有一个元素为5，从而A中其余元素可以是集合{1,3}的子集的元素，而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A的个数是4.它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．【答案】 4三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.【解析】由A∪B＝{1,2,3,5}，B＝{1,2，x2－1}得x2－1＝3或x2－1＝5.若x2－1＝3则x＝±2；若x2－1＝5，则x＝±6；综上，x＝±2或±6.当x＝±2时，B＝{1,2,3}，此时A∩B＝{1,3}；当x＝±6时，B＝{1,2,5}，此时A∩B＝{1,5}．8．已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝Ø，求a 的取值范围．【解析】由A∩B＝Ø，(1)若A＝Ø，有2a>a＋3，∴a>3.(2)若A≠Ø，如图：∴，解得-≤a≤2.综上所述，a的取值范围是{a|-≤a≤2或a>3}．9．(10分)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？【解析】设单独参加数学的同学为x人，参加数学化学的为y人，单独参加化学的为z人．依题意⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋6＝26，y ＋4＋z ＝13，x ＋y ＋z ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝8，z ＝1.∴同时参加数学化学的同学有8人，答：同时参加数学和化学小组的有8人．。

高中数学必修一全册同步练习含参考答案

高中数学必修一同步练习1.1.1 集合的含义与表示课后作业· 练习案【基础过关】1．若集合中只含一个元素1，则下列格式正确的是A.1=B.0C.1D.12．集合的另一种表示形式是A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5} 3．下列说法正确的有①集合，用列举法表示为{1,0,l}；②实数集可以表示为或;③方程组的解集为.A.3个B.2个C.1个D.0个4．直角坐标系中，坐标轴上点的集合可表示为A.B.C.D.5．若集合含有两个元素1，2，集合含有两个元素1，，且，相等，则____. 6．已知集合，，且，则为 . 7．设方程的根组成的集合为，若只含有一个元素，求的值. 8．用适当的方法表示下列集合：(1)所有被3整除的整数；(2)满足方程的所有x的值构成的集合B.【能力提升】集合，，，设，则与集合有什么关系？详细答案【基础过关】1．D【解析】元素与集合之间只存在“∈”与“∉”的关系，故1∈A正确.2．B【解析】由x－2＜3得x＜5，又，所以x＝1，2，3，4，即集合的另一种表示形式是{1，2，3，4}.3．D【解析】对于①，由于x∈N，而－1∉N，故①错误；对于②，由于“{ }”本身就具有“全部”、“所有”的意思，而且实数集不能表示为{R}，故②错误；对于③，方程组的解集是点集而非数集，故③错误.4．C【解析】坐标轴上的点分为x轴、y轴上的点，在x轴上的点纵坐标为0，在y轴上的点横坐标为0.5．【解析】由于P，Q相等，故，从而.6．(2，5)【解析】∵a∈A且a∈B，∴a是方程组的解，解方程组，得∴a为(2，5).7．A中只含有一个元素，即方程(a∈R)有且只有一个实根或两个相等的实根.(1)当a＝0时，方程的根为；(2)当a≠0时，有△＝4－4a＝0，即a＝1，此时方程的根为.∴a的值为0或1.【备注】误区警示：初学者易自然认为(a∈R)是一元二次方程，而漏掉对a 的讨论，导致漏解.举一反三：若把“若A只含有一个元素”改为“若A含有两个元素”，则结论又如何？由题意知，a≠0，且△＝4－4a＞0，解得a＜1.所以a＜1且a≠0.8．(1){x|x＝3n，n∈Z}；(2)B＝{x｜x＝|x|，x∈R}.【能力提升】∵a∈P，b∈M，c＝a＋b，设，，，，∴，又∴c∈M.1.1.2集合间的基本关系班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．设，，若，则的取值范围是A. B. C. D.2．设集合，，则A.M =NB.M⊆NC.M ND.N3．已知集合，，若，求实数的值.4．满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合的个数是A.8B.7C.6D.55．设集合和，那么与的关系为 .6．含有三个实数的集合,既可表示成,又可表示成，则.7．设集合，，求A∩B.8．已知M={x | x2-2x-3=0},N={x | x2+ax+1=0,a∈R},且N M,求a的取值范围.【能力提升】已知，，是否存在实数，使得对于任意实数，都有?若存在,求出对应的的值；若不存在，说明理由.答案【基础过关】1．D【解析】∵，∴a≥22．D【解析】本题考查集合间的基本关系.,；而；即N.选D.3．由A＝B，可得，解得x＝1.4．C【解析】本题考查子集.由题意得M={1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,6},{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,6},{1,2,3,6,5}共6个.选C. 5．M＝P【解析】∵xy＞0，∴x，y同号，又x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.6．-1【解析】本题考查相等集合.由题意得,所以,即；此时，所以，，且，解得.所以.7．，解得；所以.【解析】本题考查集合的基本运算.8．解：M={x | x 2-2x -3=0}={3,-1};∵N M,当N=∅时，N M 成立,N={x | x 2+ax+1=0},∴a 2-4＜0, ∴-2＜a ＜2;当N≠∅时，∵N M, ∴3∈N 或 -1∈N;当3∈N 时，32-3a+1=0即a= -310,N={3,31},不满足N M;当-1∈N 时，(-1)2-a+1=0即a=2,N={-1},满足N M;∴a 的取值范围是-2<a ≤2.【解析】本题考查集合间的基本关系. 【能力提升】不存在.要使对任意的实数b 都有，则1，2是A 中的元素，又∵A ＝{a －4，a ＋4}，∴或这两个方程组均无解，故这样的实数a 不存在.1.1.3 集合的基本运算班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后作业【基础过关】1．若，，，，则满足上述条件的集合的个数为A.5B.6C.7D.82．已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5}, B={1,3,6},那么集合{2,7,8}是A.A∪BB.A∩BC.(∁U A)∩(∁U B)D.(∁U A)∪(∁U B)3．若集合P={x∈N|-1<x<3},Q={x|x=2a,a∈P},则P∩Q=A.⌀B.{x|-2<x<6}C.{x|-1<x<3}D.{0,2}4．设全集U=R,集合M={x|x>1或x<-1},N={x|0<x<2},则N∩(∁U M)=A.{x|-2≤x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|x<1}5．某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.6．集合A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x-y=2},则A∩B= .7．设集合A={x|0<x-m<3},B={x|x≤0,或x≥3},分别求满足下列条件的实数m.(1)A∩B=⌀;(2)A∪B=B.8．已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}.(1)求A∪B,(∁R A)∩B;(2)若A∩C≠⌀,求a的取值范围.【能力提升】已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-x+2m=0}.(1)若A∪B=A,求a的值;(2)若A∩C=C,求m的取值范围.详细答案【基础过关】1．D2．C【解析】借助Venn图易得{2,7,8}=∁U(A∪B),即为(∁U A)∩(∁U B).3．D【解析】由已知得P={0,1,2},Q={0,2,4},所以P∩Q={0,2}.4．B【解析】∁U M={x|-1≤x≤1},结合数轴可得N∩(∁U M)={x|0<x≤1}.5．12【解析】设两项运动都喜爱的人数为x,依据题意画出Venn图,得到方程15-x+x+10-x+8=30,解得x=3,∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12.6．{(1,-1)}【解析】A∩B={(x,y)|}={(1,-1)}.7．因为A={x|0<x-m<3},所以A={x|m<x<m+3}.(1)当A∩B=⌀时,需,故m=0.即满足A∩B=⌀时,m的值为0.(2)当A∪B=B时,A⊆B,需m≥3,或m+3≤0,得m≥3,或m≤-3.即满足A∪B=B时,m的取值范围为{m|m≥3,或m≤-3}.8．(1)因为A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},所以A∪B={x|2≤x<10}.因为A={x|2≤x<7},所以∁R A={x|x<2,或x≥7},则(∁R A)∩B={x|7≤x<10}.(2)因为A={x|2≤x<7},C={x|x<a},且A∩C≠⌀,所以a>2.【能力提升】A={1,2}.(1)因为A∪B=A,所以B⊆A,故集合B中至多有两个元素1,2.而方程x2-ax+a-1=0的两根分别为1,a-1,注意到集合中元素的互异性,有①当a-1=2,即a=3时,B={1,2},满足题意;②当a-1=1,即a=2时,B={1},满足题意.综上可知,a=2或a=3.(2)因为A∩C=C,所以C⊆A.①当C=⌀时,方程x2-x+2m=0无实数解,因此其根的判别式Δ=1-8m<0,即m>.②当C={1}(或C={2})时,方程x2-x+2m=0有两个相同的实数解x=1(或x=2),因此其根的判别式Δ=1-8m=0,解得m=,代入方程x2-x+2m=0,解得x=,显然m=不符合要求.③当C={1,2}时,方程x2-x+2m=0有两个不相等的实数解x1=1,x2=2,因此x1+x2=1+2≠1,x1x2=2=2m,显然不符合要求.综上,m>.1.2.1 函数的概念班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．下列函数中,值域为(0,+∞)的是( )A.y=B.y=C.y=D.y=x2+12．下列式子中不能表示函数的是A. B. C. D.3．函数y=+的定义域是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.{-1,1}4．若满足，且，，则等于A. B. C. D.5．若为一确定区间，则的取值范围是 .6．函数的图象是曲线，其中点，，的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则的值等于 .7．求下列函数的定义域.(1)；(2).8．已知.(1)求，的值；(2)求的值. 【能力提升】已知函数f(x)对任意实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0),f(1)的值;(2)若f(2)=p,f(3)=q(p,q为常数),求f(36)的值.答案【基础过关】1．B【解析】y=的值域为[0,+∞),y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),y=x2+1的值域为[1,+∞).故选B.2．A【解析】一个x对应的y值不唯一.3．D【解析】要使函数式有意义,需满足,解得x=±1,故选D.4．B【解析】f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3f(2)＋2f(3)＝3p＋2q.5．【解析】由题意3a－1＞a，则.【备注】误区警示：本题易忽略区间概念而得出，则的错误.6．2【解析】由图可知f(3)＝1，∴f[f(3)]＝f(1)＝2.【备注】误区警示：本题在求解过程中会因不理解f[f(3)]的含义而出错.7．(1)由已知得∴函数的定义域为.(2)由已知得：∵|x＋2|－1≠0，∴|x＋2|≠1，得x≠－3，x≠－1.∴函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，－1)∪(―1，＋∞).8．(1)，.(2)∵，∴＝＝1＋1＋1＋＋1(共2012个1相加)＝2012.【能力提升】(1)令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0;令a=1,b=0,得f(0)=f(1)+f(0),解得f(1)=0.(2)方法一令a=b=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2p,令a=b=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2q,令a=4,b=9,得f(36)=f(4)+f(9)=2p+2q.方法二因为36=22×32,所以f(36)=f(22×32)=f(22)+f(32)=f(2×2)+f(3×3)=f(2)+f(2)+f(3)+f(3)=2f(2)+2f(3)=2p+2q .【解析】题设只有一个函数方程,因此考虑特殊值0,1,通过解方程获解.1.2.2函数的表示法班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．已知是反比例函数，当时，，则的函数关系式为A. B. C. D.2．已知函数若,则的取值范围是A. B.C. D.3．已知函数f(x)=,则函数f(x)的图象是( )A. B. C. D.4．已知则A.2B.-2C.D.5．已知函数，且，则 .6．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则f[f(5)]= .7．已知，为常数，且，，，方程有两个相等的实数根.求函数的解析式.8．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，试求函数的解析式.【能力提升】下图是一个电子元件在处理数据时的流程图:(1)试确定y与x的函数关系式;(2)求f(-3), f(1)的值;(3)若f(x)=16,求x的值.答案【基础过关】1．C【解析】根据题意可设(k≠0)，∵当x＝2时，y＝1，∴，∴k＝2.2．D【解析】若x∈[－1，1]，则有f(x)＝2∉[-1，1]，∴f(2)＝2；若x∉[－1，1]，则f(x)＝x∉[－1，1]，∴f[f(x)]＝x，此时若f[f(x)]＝2，则有x＝2.【备注】误区警示：本题易将x∉[－1，1]的情况漏掉而错选B.3．A【解析】当x=-1时,y=0,即图象过点(-1,0),D错;当x=0时,y=1,即图象过点(0,1),C错;当x=1时,y=2,即图象过点(1,2),B错.故选A.4．C【解析】∵，∴.【备注】无5．【解析】，∴，∴，解得.6．-【解析】由已知条件f(x+2)=可得f(x+4)==f(x),所以f(5)=f(1)=-5,所以f[f(5)]=f(-5)=f(-1)===-.7．∵，且方程f(x)＝x有两个相等的实数根，∴，∴b＝1，又∵f(2)＝0，∴4a＋2＝0，∴，∴.8．OB所在的直线方程为.当t∈(0，1]时，由x＝t，求得，所以；当t∈(1，2]时，；当t∈(2，＋∞)时，，所以【能力提升】(1)由题意知y=.(2)f(-3)=(-3)2+2=11, f(1)=(1+2)2=9.(3)若x≥1,则(x+2)2=16,解得x=2或x=-6(舍去);若x<1,则x2+2=16,解得x=(舍去)或x=-.综上可得,x=2或x=-.1.3.1单调性与最大（小）值班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．若函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在区间上A.必是增函数B.必是减函数C.先增后减D.无法确定单调性2．下列函数在(0，1)上是增函数的是A. B. C. D.3．函数,在上是A.减函数B.增函数C.先减后增D.无单调性4．下面说法错误的是A.函数的单调区间一定是函数的定义域B.函数的多个单调增区间的并集不一定是其单调增区间C.具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象5．已知函数在区间上为减函数,则的取值范围是_____________.6．设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是.7．.已知函数,若.(l)求的值.(2)利用单调性定义证明函数在区间的单调性.8．首届世界低碳经济大会在南昌召开，大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【能力提升】函数f(x)的图象如图所示.(1)说出f(x)的单调区间,以及在每一个单调区间上它是增函数还是减函数;(2)依据图象说明函数的最值情况.答案【基础过关】1．D【解析】因为(a，b)，(c，d)不是两个连续的区间，所以无法确定其单调性.2．B【解析】选项A中y＝1－2x为减函数，C中y＝5为常数函数，D中的定义域为[1，＋∞).3．B【解析】解答本题可先画出函数图象，由图象分析.函数f(x)的图象如图所示，由图结合单调性的定义可知，此函数在R上是增函数.4．A【解析】单调区间是定义域的子集，不一定是定义域，当多个单调区间并起来时，由单调性定义知，不再是单调区间.具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，是函数奇偶性判定的要求.奇函数的图象关于原点对称，反之，关于原点对称的图象一定是奇函数的图象.5．(－∞,1]6．(-2,0)∪(2,5]【解析】由图可知在区间(2,5]上f(x)<0,因为奇函数的图象关于原点对称,所以在(-2,0)上也有f(x)<0.7．(1)由2f(2)＝f(3)＋5,得,解得a＝2.(2)由(1)知.任取x1,x2∈(1,＋∞)且x1＜x2,,因为1＜x1＜x2,所以x1－1＞0,x2－1＞0,x2－x1＞0.所以f(x1)－f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2).所以f(x)在(1,＋∞)上是减函数.8．(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为令，可以证明t(x)在(0，400)为减函数，在[400，＋∞)上是增函数，故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.(2)设该单位每月获利为S，则.因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损.【能力提升】(1)由题图可知:函数f(x)的单调增区间为[0,];单调减区间为(-∞,0)和(,+∞).(2)观察图象可知,函数没有最大值和最小值.1.3.2奇偶性班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．设在[-2，-1]上为减函数，最小值为3，且为偶函数，则在[1，2]上A.为减函数，最大值为3B.为减函数，最小值为-3C.为增函数，最大值为-3D.为增函数，最小值为32．已知函数是偶函数，其图象与轴有四个交点，则方程的所有实根之和是A.4B.2C.1D.03．函数是奇函数，图象上有一点为，则图象必过点A. B.C. D.4．设，其中为常数，若，则的值为A.-7B.7C.17D.-175．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，.6．若函数为区间[-1，1]上的奇函数，则；.7．作出函数的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间.8．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，该函数的值域为，求函数的解析式.【能力提升】已知函数f(x)=-x2+x,是否存在实数m,n(m<n),使得当x∈[m,n]时,函数的值域恰为[2m,2n]?若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.答案【基础过关】1．D2．D3．C【解析】奇函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，故有f(－a)＝－f(a).因为函数f(x)是奇函数，故点(a，f(a))关于原点的对称点(－a，－f(a))也在y＝f(x)上，故选C.4．D【解析】∵，∴27a＋3b＝－12，∴f(3)＝27a＋3b－5＝－17.5．－x2－|x|＋16．0 07．当x－2≥0，即x≥2时，；当x－2＜0，即x＜2时，＝.所以这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(如图)，其中，[2，＋∞)是函数的单调增区间；是函数的单调减区间.8．由f(x)为偶函数可知f(x)＝f(－x)，即，可得恒成立，所以a＝c＝0，故.当b＝0时，由题意知不合题意；当b＞0，x∈[1，2]时f(x)单调递增，又f(x)值域为[－2，1]，所以当b＜0时，同理可得所以或.【能力提升】假设存在实数m,n,使得当x∈[m,n]时,y∈[2m,2n],则在[m,n]上函数的最大值为2n.而f(x)=-x2+x=-(x-1)2+在x∈R上的最大值为,∴2n≤,∴n≤.而f(x)在(-∞,1)上是增函数,∴f(x)在[m,n]上是增函数,∴,即.结合m<n≤,解得m=-2,n=0.∴存在实数m=-2,n=0,使得当x∈[-2,0]时,f(x)的值域为[-4,0].2.1.1指数与指数幂的运算班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．化简的结果为A. B. C.- D.2．计算的结果是A. B. C. D.3．设，则有A. B.C. D.4．下列说法中正确的个数是( )(1)49的四次方根为7; (2)=a(a≥0);(3)()5=a5; (4)=(-3.A.1B.2C.3D.45．若10m=2,10n=4,则= . 6．已知x=(2 01-2 01),n∈N*,则(x+)n的值为. 7．化简下列各式:(1)(·)÷;(2)()·(-3)÷().8．求下列各式的值:(1)2; (2)(; (3)+(-π0.【能力提升】已知+=3,求下列各式的值:(1)x+x-1;(2).答案【基础过关】1．A【解析】要使式子有意义，需，故x＜0，所以原式.2．A【解析】本题考查指数运算.注意先算中括号内的部分。

人教B版高中数学必修第一册同步练习集合的基本运算

1.1.3 集合的基本运算最新课程标准：(1)理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集．(2)在具体情境中,了解全集的含义．(3)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集．(4)能使用Venn 图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用．第1课时交集与并集知识点一交集自然语言一般地,给定两个集合A、B,由既属于集合A又属于集合B的所有元素(即A和B 的公共元素)组成的集合,称为A与B的交集符号语言A∩B＝{x|x∈A且x∈B}(读作“A交B”)图形语言知识点二并集自然语言一般地,给定两个集合A、B,由这两个集合的所有元素组成的集合,称为集合A与B的并集符号语言A∪B＝{x|x∈A,或x∈B}(读作“A并B”)图形语言状元随笔 1.两个集合的并集、交集还是一个集合．2．对于A∪B,不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合,因为A与B可能有公共元素,每一个公共元素只能算一个元素．3．A∩B是由A与B的所有公共元素组成,而非部分元素组成．[基础自测]1．已知集合A＝{0,2},B＝{－2,－1,0,1,2},则A∩B＝( )A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2,－1,0,1,2}解析：本题主要考查集合的基本运算．∵A＝{0,2},B＝{－2,－1,0,1,2},∴A∩B＝{0,2},故选A.答案：A2．已知集合M＝{－1,0,1},N＝{0,1,2},则M∪N＝( )A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2} D．{0,1}解析：M∪N表示属于M或属于N的元素组成的集合,故M∪N＝{－1,0,1,2}．答案：B3．设集合A＝{1,2},则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是( )A．1 B．3C．4 D．8解析：因为A＝{1,2},A∪B＝{1,2,3}．所以B＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3},故选C. 答案：C4．设集合A＝{x|2≤x<5},B＝{x|3x－7≥8－2x},则A∩B＝________.解析：∵A＝{x|2≤x<5},B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3},∴A∩B＝{x|3≤x<5}．答案：{x|3≤x<5}题型一交集的运算[经典例题]例1 (1)已知集合A＝{1,3,5,7},B＝{2,3,4,5},则A∩B＝( )A．{3} B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}(2)已知集合A＝{x|x－1≥0},B＝{0,1,2},则A∩B＝( )A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}【解析】(1)本题主要考查集合的运算．由题意得A∩B＝{3,5},故选C.找出A、B的公共元素求A∩B.(2)本题考查集合的运算．∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1},B＝{0,1,2},∴A∩B＝{1,2},故选C.先求A,再求A∩B.【答案】(1)C (2)C方法归纳求交集的基本思路首先要识别所给集合,其次要化简集合,使集合中的元素明朗化,最后再依据交集的定义写出结果,有时要借助于Venn图或数轴写出交集．借助于数轴时要注意数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集．跟踪训练1 (1)已知集合A＝{x||x|<2},B＝{－2,0,1,2},则A∩B＝( )A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{－2,0,1,2} D．{－1,0,1,2}(2)若集合A＝{x|－5≤x≤5},B＝{x|x≤－2或x>3},则A∩B＝________.解析：(1)本题主要考查集合的运算．化简A＝{x|－2<x<2},∴A∩B＝{0,1},故选A.先求A再求A∩B.(2)在数轴上表示出集合A与B,如下图．由交集的定义可得A∩B＝{x|－5≤x≤－2或3<x≤5}．利用数轴求A∩B.答案：(1)A (2){x|－5≤x≤－2或3<x≤5}题型二并集的运算[教材P17例3]例2 已知区间A＝(－3,1),B＝[－2,3],求A∩B,A∪B.【解析】在数轴上表示出A和B,如图所示．由图可知A∩B＝[－2,1),A∪B＝(－3,3]．状元随笔(1)由并集定义A∪B是由A、B中所有元素组成的．(2)利用数轴求并集更直观.教材反思(1)在求两个集合的并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次．(2)此类题目首先应看清集合中元素的范围,简化集合,若是用列举法表示的数集,可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集,可借助数轴分析写出结果,此时要注意当端点不在集合中时,应用“空心点”表示．跟踪训练 2 (1)已知集合A＝{1,3,4,7},B＝{x|x＝2k＋1,k∈A},则集合A∪B中元素的个数为________．(2)已知集合P＝{x|－1<x<1},Q＝{x|0<x<2},那么P∪Q＝( )A．{x|－1<x<2} B．{x|0<x<1}C．{x|－1<x<0} D．{x|1<x<2}解析：(1)∵A＝{1,3,4,7},B＝{x|x＝2k＋1,k∈A},∴B＝{3,7,9,15},∴A∪B＝{1,3,4,7,9,15}．∴集合A∪B中元素的个数为6.(2)因为P＝{x|－1<x<1},Q＝{x|0<x<2},画数轴如图,所以P∪Q＝{x|－1<x<2}．答案：(1)6 (2)A状元随笔(1)找出集合A,B中出现的所有元素,写出A∪B,求元素个数．(2)画数轴,根据条件确定P∪Q.题型三交集、并集性质的运用[经典例题]例3 已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0},B＝{x|x2－5x＋8＝2},C＝{x|x2＋2x－8＝0},若∅(A∩B),且A∩C＝∅,求a的值．【解析】A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0},B＝{2,3},C＝{－4,2}．因为∅(A∩B),且A∩C＝∅,那么3∈A,故9－3a＋a2－19＝0.即a2－3a－10＝0.所以a＝－2或a＝5.当a＝－2时A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3,－5},符合题意．当a＝5时A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3},不符合A∩C＝∅.综上知,a＝－2.状元随笔审结论 (明解题方向)审条件 (挖解题信息)求a 的值,需建立关于a 的方程 (1)集合A,B,C 是由相应方程的解构成的,先要解方程求B,C.(2)由∅(A∩B),知A∩B≠∅,结合A∩C＝∅,可确定集合A 中的元素,建立关于a 的方程．建关系——找解题突破口∅(A∩B),A∩C＝∅→确定集合A 中的元素→建立关于a 的方程→检验集合中元素的互异性. 方法归纳(1)连续数集求交、并集借助数轴采用数形结合法．(2)利用A∩B＝A ⇔A ⊆B,A∪B＝A ⇔B ⊆A 可实现交、并运算与集合间关系的转化．注意事项：(1)借助数轴求交、并集时注意端点的实虚． (2)关注Venn 图在解决复杂集合关系中的作用．跟踪训练3 已知集合A ＝{x|x<－1或x>4},B ＝{x|2a≤x≤a＋3},若A∩B＝B,求实数a 的取值范围．解析：①当B ＝∅时,只需2a>a ＋3,即a>3； ②当B≠∅时,根据题意作出如图所示的数轴,可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a，2a>4，解得a<－4或2<a≤3.综上可得,实数a 的取值范围为(－∞,－4)∪(2,＋∞)．由A∩B＝B 得B ⊆A,B 分2类,B ＝∅,B≠∅,再利用数轴求．课时作业 3一、选择题1．已知集合M ＝{x|－3<x<1},N ＝{－3,－2,－1,0,1},则M∩N＝( ) A ．{－2,－1,0,1} B ．{－3,－2,－1,0}C．{－2,－1,0} D．{－3,－2,－1}解析：运用集合的运算求解．M∩N＝{－2,－1,0},故选C.答案：C2．已知集合A＝{x|x≥－3},B＝{x|－5≤x≤2},则A∪B＝( )A．{x|x≥－5} B．{x|x≤2}C．{x|－3<x≤2} D．{x|－5≤x≤2}解析：结合数轴(图略)得A∪B＝{x|x≥－5}．答案：A3．设集合A＝{1,2,3,4},B＝{－1,0,2,3},C＝{x∈R|－1≤x<2},则(A∪B)∩C＝( )A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}解析：本题主要考查集合的运算．由题意得A∪B＝{1,2,3,4,－1,0},∴(A∪B)∩C＝{1,2,3,4,－1,0}∩{x∈R|－1≤x<2}＝{－1,0,1}．故选C.答案：C4．设集合A＝{x|－1≤x<2},B＝{x|x<a},若A∩B≠∅,则a的取值范围是( )A．a<2 B．a>－2C．a>－1 D．－1<a≤2解析：在数轴上表示出集合A,B即可得a的取值范围为a>－1.答案：C二、填空题5．定义A－B＝{x|x∈A,且x∉B},若M＝{1,2,3,4,5},N＝{2,3,6},则N－M＝________.解析：关键是理解A－B运算的法则,N－M＝{x|x∈N,且x∉M},所以N－M＝{6}．答案：{6}6．设集合A＝{1,2,a},B＝{1,a2},若A∩B＝B,则实数a允许取的值有________个．解析：由题意A∩B＝B知B⊆A,所以a2＝2,a＝±2, 或a2＝a,a＝0或a＝1(舍去),所以a＝±2,0,共3个．答案：37．已知集合A＝{x|x≤1},B＝{x|x≥a},且A∪B＝R,则实数a的取值范围为________．解析：由A∪B＝R,得A与B的所有元素应覆盖整个数轴．如图所示：所以a 必须在1的左侧,或与1重合,故a≤1. 答案：(－∞,1] 三、解答题8．设A ＝{x|－1<x<2},B ＝{x|1<x<3},求A∪B ,A∩B. 解析：如图所示：A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}． A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|1<x<3}＝{x|1<x<2}．9．已知A ＝{x|a<x≤a＋8},B ＝{x|x<－1,或x>5}．若A∪B＝R,求a 的取值范围．解析：在数轴上标出集合A,B,如图．要使A∪B＝R,则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8≥5，a<－1，解得－3≤a<－1.综上可知,a 的取值范围为－3≤a<－1. [尖子生题库]10．集合A ＝{x|－1≤x<3},B ＝{x|2x －4≥x－2}． (1)求A∩B；(2)若集合C ＝{x|2x ＋a>0},满足B∪C＝C,求实数a 的取值范围．解析：(1)∵B＝{x|x≥2}, ∴A∩B＝{x|2≤x<3}．(2)C ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x>－a2, B∪C＝C ⇒B ⊆C, ∴－a2<2,∴a>－4.即a 的取值范围为a>－4.。

2019-2020学年高中数学人教B版(2019)必修第一册同步学典：(3)集合的基本运算 Word版含答案

2019-2020学年人教B 版（2019）高中数学必修第一册同步学典（3）集合的基本运算1、已知集合222{|190},{|560}A x x ax a B x x x =-+-==-+=,2{|280}C x x x =+-=，关于下列命题正确的是:( )A.{2}B C ⋂=B.若则3a =-或5C. 若{2}A C ⋂=则3a =-或5D.{2,3,4}B C ⋂=2、已知集合2{3,1,0,1,3},{30}A B x x x =--=+=，则A B ⋂=（）A ．{3,0,3}-B ．{3,0}-C ．{0,3}D ．{3,1,0,1,3}--3、已知集合2{42},{60}M x x N x x x =-<<=--<,则M N ⋂=( ) A.{43}x x -<< B.{42}x x -<<- C.{22}x x -<< D. {23}x x <<4、设集合{}{}22|20,R ,|20,R M x x x x N x x x x =+=∈=-=∈，则M N ⋃=( )A.{}0B.{}0,2C.{}2,0-D.{}2,0,2-5、设全集{}{}1,2,3,4,5,2,4U U M N M N =⋃=⋂=ð,则N =( )A.{}1,2,3B.{}1,3,5C.{}1,4,5D.{}2,3,46、已知全集{}{}{}21,2,23,1,,3U U a a A a A =-+==ð,则实数a 等于( )A.0或2B.0C.1或2D.27、已知集合2{|230}A x x x =--<，集合1{|21}x B x +=>，则B A =ð( )A. [3,)+∞B. (3,)+∞C. (,1][3,)-∞-+∞D. (,1)(3,)-∞-+∞8、已知全集{}N 9U x x +=∈<,(){}1,6U A B ⋂=ð,(){}2,3U A B ⋂=ð,(){}5,7,8U A B ⋃=ð则 B =( )A.{}2,3,4B.{}1,4,6C.4,5,{7,8}D.{}1,2,3,69、已知全集1,2,3,4,57{},6,U =，集合{3,4,5},{1,3,6}A B ==，则()U A B ⋂=ð（）A ．{4,5}B ．{2,4,5,7}C ．{1,6}D ．{3}10、已知集合{}2|10A x x =+=，若R A ⋂=∅，则实数m 的取值范围为( )A.{}|04m m ≤≤B.{}|4m m <C.{}|04m m <<D.{}|04m m ≤< 11、已知集合{1,2},{2,3,4},{(,)|,},{(,)|,}A B M x y x A y B N x y x x A y B ===∈∈=-∈∈，则M N = .12、已知全集U ,集合{}1,3,5,7,9A =,{}2,4,6,8U A =ð,{}1,4,6,8,9U B =ð,则集合B =___________.13、下列四个推理:①()a A B a A ∈⋃⇒∈;②a ()()a A B a A B ∈⋂⇒∈⋃;③A B A B B ⊆⇒⋃=;④A B A A B B ⋃=⇒⋂=.其中正确的为 .14、设{}R,0U M x x ==<，{}11N x x =-≤≤，则U M N ð是___________.15、设全集R I =,已知集合{}{}22|(3)0,|60M x x N x x x =+≤=+-=.(1)求()I M N ⋂ð;(2)记集合()I A M N =⋂ð,已知集合{}|15,R B x a x a a =-≤≤-∈,若A B A ⋃=,求实数a 的取值范围.答案以及解析1答案及解析：答案：A,C解析：2答案及解析：答案：B解析：3答案及解析：答案：C解析： ∵{23}N x x =-<<,{42}M x x =-<<, ∴{22}M N x x ⋂=-<<,故选C.4答案及解析：答案：D解析：{}{}{}{}22|20,R 0,2,|20,R 0,2M x x x x N x x x x =+=∈=-=-=∈=，故{}2,0,2M N ⋃=-，故选D.5答案及解析：答案：B解析：如下图,可知{}1,3,5N =.∵全集{1,2,3,4,5},{2,4}U U M N M N =⋃=⋂=ð,∴集合,M N 对应的韦恩图为所以{}1,3,5N =故选B.6答案及解析：答案：D解析：由题意,知22233a a a =⎧⎨-+=⎩得2a =.7答案及解析：答案：A解析：8答案及解析：答案：B解析：9答案及解析：答案：A解析：10答案及解析：答案：D解析：∵R A ⋂=∅，∴A =∅,关于x 的方程210x +=无实根，即40m ∆=-<.又0m ≥，∴04m ≤<，故选D.11答案及解析：答案：{(1,2),(1,3),(2,2)}解析：由题，可知{(1,2),(1,3),(1,4),(2,2,),(2,3),(2,4)}M =，{(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2)}N =，所以{(1,2),(1,3),(2,2)}M N =12答案及解析：答案：{}2,3,5,7解析：因为U A A U⋃=ð,所以{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =,因为{}1,4,6,8,9U B =ð,所以{}2,3,5,7B =.13答案及解析：答案：②③④解析：①错误，因为由()a A B ∈⋃可推出a A ∈或a B ∈但不一定能推出a A ∈.14答案及解析：答案：[0,1]解析：15答案及解析：答案：(1)因为{}{}2|(3)03M x x =+≤=-,所以{}|R 3I M x x x =∈≠-且ð.又{}{}2|603,2N x x x =+-==-,所以{}()2I M N ⋂=ð.(2)由(1)，知{}()2I A M N =⋂=ð.因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以B =∅或{}2B =.当B =∅时,15a a ->-,得3a >;当{}2B =时,1252a a -=⎧⎨-=⎩,解得3a =. 综上,实数a 的取值范围为{}|3a a ≥.解析：。

人教版高中数学必修1学案《集合的基本运算》(含答案)

1.1.3集合的基本运算(二)自主学习1．理解在给定集合中一个集合的补集的含义，会求给定子集的补集．2．能运用Venn图及补集知识解决有关问题．1．一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.2．对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x A}．3．补集与全集的性质(1)∁U U＝∅；(2)∁U∅＝U；(3)∁U(∁U A)＝A；(4)A∪∁U A＝U；(5)A∩∁U A＝∅.4．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁U B)＝{2,4}；(∁U A)∩(∁B)＝{6}．U对点讲练补集定义的应用【例1】已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁U A＝{2,4,6,8}，∁U B＝{1,4,6,8,9}，求集合B.解如图所示，借助Venn图，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∵∁U B＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}．规律方法根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助Venn图；当集合中元素无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．变式迁移1 设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x>4或x<3}，求a，b的值．解∵A＝{x|a≤x≤b}，∴∁U A＝{x|x>b或x<a}．又∁U A＝{x|x>4或x<3}，∴a＝3，b＝4.交、并、补的综合运算【例2】已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁U A，A∩B，∁U(A∩B)，(∁U A)∩B.解把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可知∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁U A)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．规律方法求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．变式迁移2 已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}．求∁U A，∁U B，(∁U A)∩(∁U B)，(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∩B)，∁U(A∪B)，并指出其中相等的集合．解∁U A＝{x|－1≤x≤3}，∁U B＝{x|－5≤x<－1或1≤x≤3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{x|1≤x≤3}，(∁U A)∪(∁U B)＝{x|－5≤x≤3}，∁U(A∩B)＝{x|－5≤x≤3}，∁U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}，相等的集合：(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)．利用集合间的关系求参数【例3】 (1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0，x ∈U }，求∁U A ； (2)设U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{b,2}，∁U A ＝{5}，求实数a 和b 的值． (1)解设x 1、x 2为方程x 2－5x ＋q ＝0的两根，则x 1＋x 2＝5，∴x 1≠x 2(否则x 1＝x 2＝52∉U ，这与A ⊆U 矛盾)．而由A ⊆U 知x 1、x 2∈U ，又1＋4＝2＋3＝5，∴q ＝4或q ＝6. ∴∁U A ＝{2,3,5}或∁U A ＝{1,4,5}． (2)分析由题目可获得以下主要信息： ①全集U 中有元素2，A 中有元素2. ②∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A . ③3∈U 但3∉(∁U A )，∴3∈A .解答本题可根据∁U A ＝{5}，得出⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝53＝b解出a 、b 即可．解由题意，利用Venn 图，可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3 ①a 2＋2a －3＝5 ② 将②式变形为a 2＋2a －8＝0，解得a ＝－4或a ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝3为所求．规律方法符号∁U A 存在的前提是A ⊆U ，这也是解有关补集问题的一个隐含条件，充分利用题目中的隐含条件也是我们解题的一个突破口，若x ∈U ，则x ∈A 和x ∈∁U A 二者必居其一，不仅如此，结合Venn 图及全集与补集的概念，不难得到如下性质：A ∪(∁U A )＝U ，A ∩(∁U A )＝∅，∁U (∁U A )＝A .变式迁移3 已知U ＝R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(∁U A )∩B ＝{2}，(∁U B )∩A ＝{4}，求A ∪B . 解 ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B 且2∉A . ∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A 且4∉B .分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧42＋4p ＋12＝022－5×2＋q ＝0，∴p ＝－7，q ＝6，∴A ＝{3,4}，B ＝{2,3}， ∴A ∪B ＝{2,3,4}．1．补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合在不同的全集中补集是不同的，不同的集合在同一个全集中的补集也不同．另外全集是一个相对概念．2．符号∁U A 存在的前提是A ⊆U ，这也是解有关补集问题的一个隐含条件，充分利用题目中的隐含条件也是我们解题的一个突破口． 3．补集的几个性质： ∁U U ＝∅，∁U ∅＝U ，∁U (∁U A )＝A .课时作业一、选择题 1．已知集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{0,3,6,9,12}，则A ∩∁N B 等于( ) A ．{1,5,7} B ．{3,5,7} C ．{1,3,9} D ．{1,2,3} 答案 A解析 ∵A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{0,3,6,9,12}， ∴∁N B ＝{1,2,4,5,7,8，…}． ∴A ∩∁N B ＝{1,5,7}．2．已知U 为全集，集合M 、N 是U 的子集，若M ∩N ＝N ，则( )A ．(∁U M )⊇(∁U N )B ．M ⊆(∁U N )C ．(∁U M )⊆(∁U N )D ．M ⊇(∁U N ) 答案 C解析利用Venn ，如图所示：可知(∁U M )⊆(∁U N )．3．已知U ＝{x |－1≤x ≤3}，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x 2－2x －3＝0}，C ＝{x |－1≤x <3}，则下列关系正确的是( )A ．∁U A ＝B B ．∁U B ＝C C ．∁U A ⊇CD ．A ⊇C 答案 A解析 B ＝{－1,3}，∁U A ＝{－1,3}．4．图中阴影部分可用集合M 、P 表示为( )A ．(M ∩P )∪(M ∪P )B ．[(∁U M )∩P ]∪[M ∩(∁U P )]C ．M ∩∁U (M ∩P )D ．P ∪∁U (M ∩P ) 答案 B5．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤2 B ．a <1 C ．a ≥2 D ．a >2 答案 C解析 ∵B ＝{x |1<x <2}， ∴∁R B ＝{x |x ≥2或x ≤1}．如图，若要A ∪(∁R B )＝R ，必有a ≥2. 二、填空题6．若A ＝{x ∈Z |0<x <10}，B ＝{1,3,4}，C ＝{3,5,6,7}，则∁A B ＝______，∁A C ＝______. 答案 {2,5,6,7,8,9} {1,2,4,8,9}解析 ∵A ＝{1,2,3，…，9}，B ＝{1,3,4}，C ＝{3,5,6,7}， ∴∁A B ＝{2,5,6,7,8,9}，∁A C ＝{1,2,4,8,9}．7．若全集I ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|y －3x －2＝1，N ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则(∁I M )∩(∁I N )＝________. 答案 {(2,3)}解析集合M ，N 都是点集，集合M 中的关系式可变为y ＝x ＋1(x ≠2)，它的几何意义是直线y ＝x ＋1上去掉点(2,3)后所有点的集合；集合N 表示直线y ＝x ＋1外所有点的集合．可知∁I M ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}∪{(2,3)}，表示直线y ＝x ＋1外所有点及直线上点(2,3)的集合；∁I N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}，表示直线y ＝x ＋1上所有点的集合．从而可得(∁I M )∩(∁I N )只有一个元素(2,3)．8．设全集U ＝{x ||x |<4且x ∈Z }，S ＝{－2,1,3}，若∁U P ⊆S ，则这样的集合P 共有________个．答案 8解析 ∵集合P 与∁U P 个数相同，又∁U P ⊆S ，而S 的子集个数为8，∴∁U P 个数也为8， ∴P 的个数也为8.三、解答题9．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |4x ＋p <0}，且B ⊆∁U A ，求实数p 的取值范围．解 ∁U A ＝{x |x <－1或x >2}， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－p 4.∵B ⊆∁U A ，∴－p4≤－1∴p ≥4，即p 的取值范围是{p |p ≥4}．10．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <1，或x >2}，集合B ＝{x |x <－3，或x ≥1}，求∁R A ，∁R B ，A ∩B ，A ∪B . 解借助于数轴，如图可知∁R A ＝{x |1≤x ≤2}；∁R B ＝{x |－3≤x <1}； A ∩B ＝{x |x <－3，或x >2}；A ∪B ＝R . 【探究驿站】11．(1)若实数集R 为全集，集合P ＝{x |f (x )＝0}，Q ＝{x |g (x )＝0}，H ＝{x |h (x )＝0}，则方程f 2(x )＋g 2(x )h (x )＝0的解集是( )A ．P ∩Q ∩(∁R H )B ．P ∩QC ．P ∩Q ∩HD ．P ∩Q ∪H(2)50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既不会讲英语也不会讲日语的有8人，则既会讲英语又会讲日语的人数为( ) A ．20 B ．14 C ．12 D ．10 答案 (1)A (2)B解析 (1)由f 2(x )＋g 2(x )＝0知，f (x )＝0与g (x )＝0同时成立，且h (x )≠0. (2)如图所示，至少会讲英语、日语中一种语言的学生有50－8＝42(人)，不妨设A ＝{会讲英语的学生}，B ＝{会讲日语的学生}，则有card(A )＝36，card(B )＝20，card(A ∪B )＝42，故既会讲英语又会讲日语的学生人数为card(A ∩B )＝36＋20－42＝14.。

【人教版】必修一数学：04-集合的基本关系及运算：知识讲解和巩固练习_集合基本关系运算(提高版,含答案)

集合的基本关系及运算【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．【要点梳理】要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A B(B A)⊆⊇或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释：（1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈．（2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）．真子集：若集合A B ⊆，存在元素x ∈B 且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆．要点二、集合的运算 1.并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}Venn 图表示：要点诠释：（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”；“,x B x A ∈∉但”；“,x A x B ∈∈且”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A ∩B ，读作：“A 交B ”，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}；交集的Venn 图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =∅．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合. 3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set)，简称为集合A 的补集，记作：U U A A={x|x U x A}∈∉；即且；痧补集的Venn 图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集U A ð是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念，一个确定的集合A ，对于不同的集合U ，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．（3）U A ð表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U ”也必须换成相应的集合（即R A ð）．4.集合基本运算的一些结论A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，，A AB B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅，痧若A ∩B=A ，则A B ⊆，反之也成立若A ∪B=B ，则A B ⊆，反之也成立若x ∈(A ∩B)，则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A ∪B)，则x ∈A ，或x ∈B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】类型一、集合间的关系例1. 集合{}|2,A a a k k N ==∈，集合21|1(1)(1),8n B b b n n N ⎧⎫⎡⎤==--⋅-∈⎨⎬⎣⎦⎩⎭，那么,A B 间的关系是（）.A.A B B.B A C. A =B D.以上都不对【答案】B【解析】先用列举法表示集合A 、B ，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合A 是非负偶数集，即{}0,2,4,6,8,A =⋅⋅⋅.集合B 中的元素211(1)(1)8n b n ⎡⎤=--⋅-⎣⎦0()1(1)(1)()4n n n n ⎧⎪=⎨+-⎪⎩为非负偶数时，为正奇数时.而1(1)(1)4n n +-（n 为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即1,3,5,7,n =⋅⋅⋅.由1(1)(1)4n n +-依次得0,2,6,12，⋅⋅⋅，即{}0261220B =⋅⋅⋅，，，，，. 综上知，B A ，应选B .【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn 图，或数形集合表示）.举一反三：【变式1】若集合{}{}|21,,|41,A x x k k z B x x l l z ==-∈==±∈，则（）. A.A B B.B A C. A =B D.A B Z =【答案】C例2. 写出集合{a ，b ，c}的所有不同的子集.【解析】不含任何元素子集为∅，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a ，b}，{a ，c}，{b ，c}，含有3个元素的子集为{a ，b ，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d ，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d 放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n 个元素的集合共有2n个不同的子集.【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a 起，a 与每个元素搭配有{a ，b}，{a ，c}，然后不看a ，再看b 可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：∅和它本身.举一反三：【变式1】已知{},a b A ⊆{},,,,a b c d e ，则这样的集合A 有个.【答案】7个【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5M ⊆；②a M ∈，则6a M -∈的非空集合M 有（） A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个【答案】C【解析】3a =时，63a -=；1a =时，65a -=；2a =时，64a -=；4a =时，62a -=；5a =时，61a -=；∴非空集合M 可能是：{}{}{}{}{}{}3,1,5,2,4,1,3,5,2,3,4,1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共7个.故选C.例3．集合A={x|y=x 2+1}，B={y|y=x 2+1}，C={(x,y)|y=x 2+1}，D={y=x 2+1}是否表示同一集合？【答案】以上四个集合都不相同【解析】集合A={x|y=x 2+1}的代表元素为x ，故集合A 表示的是函数y=x 2+1中自变量x 的取值范围，即函数的定义域A=(,)-∞+∞；集合B={y|y=x 2+1}的代表元素为y ，故集合B 表示的是函数y=x 2+1中函数值y 的取值范围，即函数的值域B=[1,)+∞；集合C={(x,y)|y=x 2+1}的代表元素为点（x ，y ），故集合C 表示的是抛物线y=x 2+1上的所有点组成的集合；集合D={y=x 2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x 2+1．【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件．举一反三：【变式1】设集合{(,)|34}M x y y x ==+，{(,)|32}N x y y x ==--，则M N =（）A. {1,1}-B. {1,1}x y =-=C.(1,1)-D. {(1,1)}- 【答案】D【解析】排除法：集合M 、N 都是点集，因此MN 只能是点集，而选项A 表示二元数集合，选项B表示二元等式集合，选项C 表示区间(1,1)-（无穷数集合）或单独的一个点的坐标（不是集合），因此可以判断选D ．【变式2】设集合{|21,}M x y x x Z ==+∈，{|21,}N y y x x Z ==+∈，则M 与N 的关系是（） A. N M Ü B. M N Ü C. N M = D. N M =∅【答案】A【解析】集合M 表示函数21,y x x Z =+∈的定义域，有{}M =整数；集合N 表示函数21,y x x Z =+∈的值域，有{}N =奇数，故选A.【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例2】【变式3】设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M ∩N=∅【答案】B【解析】当a ∈N +时，元素x=a 2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当b ∈N +时，元素x=b 2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N 中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M 中元素都在N 中，但N 中至少有一个元素x=1不在M 中，即M N ，故选B.【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例3】例4．已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ，则+++2()(x y x )()1001002y x y +++ = ．A ．－200B ．200C ．－100D ．0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．【答案】D【解析】由M=N ，知M ，N 所含元素相同.由O ∈{0，|x|，y}可知O ∈若x=0，则xy=0，即x 与xy 是相同元素，破坏了M 中元素互异性，所以x ≠0.若x ·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N 中元素0，y 是相同元素，破坏了N 中元素的互异性，故xy ≠00，则x=y ，M ，N 可写为M={x ，x 2，0}，N={0，|x|，x}由M=N 可知必有x 2=|x|，即|x|2=|x| ∴|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立若|x|=1即x=±1当x=1时，M 中元素|x|与x 相同，破坏了M 中元素互异性，故 x ≠1 当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1∴+++2()(x y x )()1001002y x y +++ =-2+2-2+2+…+2=0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．举一反三：【变式1】设a ，b ∈R ，集合b{1,a+b,a}={0,,b}a，则b-a=( ) 【答案】2【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：b1{0,,b},0{1,a+b,a}a 0a b=0a∈∈≠∴+，又，∴当b=1时，a=-1，b{0,b}={0,-1,1}a∴，当b=1a时，∴b=a 且a+b=0，∴a=b=0(舍) ∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2. 类型二、集合的运算例 5. 设集合{}{}|3,,|31,A x x k k Z B y y k k Z ==∈==+∈，{}|32,C z z k k Z ==+∈，{}|61,D w w k k Z ==+∈，求,,,A B A C B C B D .【答案】AB AC B C ===∅,BD D =【解析】先将集合A 、B 、C 、D 转化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可.集合{}|3,A x x k k Z ==∈表示3的倍数所组成的集合；集合{}|31,B x x k k Z ==+∈表示除以3余1的整数所组成的集合；集合{}|32,C x x k k Z ==+∈表示除以3余2的整数所组成的集合；集合{}|61,D x x k k Z ==+∈表示除以6余1的整数所组成的集合；A B A C B C ∴===∅,B D D =.【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来.举一反三：【变式1】已知集合M={y|y=x 2-4x+3，x ∈R }，N={y|y=-x 2-2x+8，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A. ∅ B. R C. {-1，9} D. [-1，9] 【答案】D【解析】集合M 、N 均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M={y|y ≥-1}，N={y|y ≤9}，所以M ∩N={y|-1≤y ≤9}，选D.例6. 设集合M={3，a}，N={x|x 2-2x<0，x ∈Z}，M ∩N={1}，则M ∪N 为( ) A. {1，3，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} D. {1，3} 【思路点拨】先把集合N 化简，然后再利用集合中元素的互异性解题．【答案】D【解析】由N={x|x 2-2x<0，x ∈Z}可得：N={x|0<x<2，x ∈Z}={1}，又由M ∩N={1}，可知1∈M ，即a=1，故选D.举一反三：【变式1】（1）已知：M={x|x ≥2}，P={x|x 2-x-2=0}，求M ∪P 和M ∩P ；（2）已知：A={y|y=3x 2}， B={y|y=-x 2+4}，求：A ∩B ，A ∪B ；（3）已知集合A={-3， a 2 ，1+a}， B={a-3， a 2+1， 2a-1}，其中a ∈R ，若A ∩B={-3}，求A ∪B. 【答案】（1）{x|x ≥2或x=-1}，{2}；（2）{y|0≤y ≤4}，R ；（3）{-4，-3，0，1，2}. 【解析】（1）P={2，-1}，M ∪P={x|x ≥2或x=-1}，M ∩P={2}.（2）∵A={y|y ≥0}， B={y|y ≤4}， A ∩B={y|0≤y ≤4}， A ∪B=R . （3）∵A ∩B={-3}，-3∈B ，则有：①a-3=-3⇒a=0， A={-3，0，1}， B={-3，1，-1}⇒A ∩B={-3，1}，与已知不符，∴a ≠0；②2a-1=-3⇒a=-1， ∴ A={-3，1，0}， B={-4，2，-3}，符合题设条件，∴A ∪B={-4，-3，0，1，2}.【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性.其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a 的一个值时，又要检验是否符合题设条件.【高清课堂：集合的运算 377474 例5】【变式2】设集合A={2，a 2-2a ，6}，B={2，2a 2，3a-6}，若A ∩B={2，3}，求A ∪B. 【答案】｛2，3，6，18｝【解析】由A ∩B={2，3}，知元素2，3是A ，B 两个集合中所有的公共元素，所以3∈｛2，a 2-2a ，6｝，则必有a 2-2a=3，解方程a 2-2a-3=0得a=3或a=-1当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}∴A ∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}这既不满足条件A ∩B={2，3}，也不满足B 中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去. 综上A ∪B=｛2，3，6，18｝例7.已知全集{}{}21,2,3,4,5,|40U A x x px ==++=，求C u A.【思路点拨】C u A 隐含了A U ⊆，对于A U ⊆，注意不要忘记A =∅的情形.【答案】当44p -<<时，C u A={}1,2,3,4,5；当4p =-时，C u A={}1,3,4,5；当5p =-时，C u A={}2,3,5. 【解析】当A =∅时，方程240x px ++=无实数解. 此时2160,44p p ∆=-<-<<.C u A=U当A ≠∅时，二次方程240x px ++=的两个根12,x x ，必须属于U . 因为124x x =，所以只可能有下述情形：当122x x ==时，4p =-，此时{}2,A = C u A={}1,3,4,5；当121,4x x ==时，5p =-，此时{}1,4,A = C u A={}2,3,5. 综上所述，当44p -<<时，C u A={}1,2,3,4,5；当4p =-时，C u A={}1,3,4,5；当5p =-时，C u A={}2,3,5.【总结升华】求集合A 的补集，只需在全集中剔除集合A 的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合A 的元素不确定，因此必须分类讨论才行.举一反三：【变式1】设全集U={x ∈N +|x ≤8}，若A ∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A ，B.【答案】{1，3，5，8}，{2，3，5，6}. 【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}由A ∩(C u B)={1，8}知，在A 中且不在B 中的元素有1，8；由(C u A)∩B={2，6}，知不在A 中且在B 中的元素有2，6；由(C u A)∩(C u B)={4，7}，知不在A 中且不在B 中的元素有4，7，则元素3，5必在A ∩B 中.由集合的图示可得A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}. 类型三、集合运算综合应用例8．已知全集A={x|-2≤x ≤4}， B={x|x>a}. （1）若A ∩B ≠∅，求实数 a 的取值范围；（2）若A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；（3）若A ∩B ≠∅且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围．【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点. 【答案】（1）a<4；（2）a ≥-2；（3）-2≤a<4．【解析】(1)∵A={x|-2≤x ≤4}， B={x|x>a}，又A ∩B ≠∅，如图，a<4； (2)画数轴同理可得：a ≥-2；(3)画数轴同理可得：如图，-2≤a<4. 【总结升华】此问题从题面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题.思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题.举一反三：【变式1】已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（） A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞） C ．[-1，1] D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）【答案】C【解析】P =｛x ︱11x -≤≤｝又 P M P =， ∴M P ⊆，∴ 11a -≤≤ 故选C ．例9. 设集合{}{}222|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈.（1）若A B B =，求a 的值；（2）若A B B =，求a 的值. 【思路点拨】明确A B B =、A B B =的含义，根据问题的需要，将其转化为等价的关系式B A ⊆和A B ⊆，是解决本题的关键.同时，在包含关系式B A ⊆中，不要漏掉B =∅的情况.【答案】（1）1a =或1a ≤-；（1）2．【解析】首先化简集合A ，得{}4,0A =-.（1）由AB B =，则有B A ⊆，可知集合B 为∅，或为{}0、{}4-，或为{}0,4-.①若B =∅时，224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得1a <-. ②若0B ∈,代入得21011a a a -=⇒==-或.当1a =时，{}{}2|400,4,B x x x A =+==-=符合题意；当1a =-时，{}{}2|00,B x x A ===⊆也符合题意. ③若4B -∈，代入得2870a a -+=，解得7a =或1a =. 当1a =时，已讨论，符合题意；当7a =时，{}{}2|1648012,4B x x x =++==--，不符合题意. 由①②③，得1a =或1a ≤-. （2）,AB B A B =∴⊆.又{}4,0A =-，而B 至多只有两个根，因此应有A B =，由（1）知1a =. 【总结升华】两个等价转化：,A B B A B A B B B A =⇔⊆=⇔⊆非常重要，注意应用.另外，在解决有条件A B ⊆的集合问题时，不要忽视A ≠∅的情况.举一反三：【变式1】已知集合{}{}222,|120A B x x ax a =-=++-=，若A B B =,求实数a 的取值范围.【答案】4,a ≥或4a <- 【解析】A B B =,B A ∴⊆.①当B =∅时，此时方程22120x ax a ++-=无解，由0∆<，解得4,a >或4a <-. ②当B ≠∅时，此时方程22120x ax a ++-=有且仅有一个实数解-2，0∴∆=，且22(2)2120a a --+-=，解得4a =.综上，实数a 的取值范围是4,a ≥或4a <-.【变式2】设全集U R =，集合{}{}|12,|40A x x B x x p =-≤≤=+<，若B C u A ，求实数p 的取值范围.【答案】4p ≥【解析】 C u A={}|1,2x x x <->或，|4p B x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭.B C u A ，∴14p-≤-，即4p ≥.∴实数p 的取值范围是4p ≥. 【巩固练习】1．1. 设A={(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}，B={-1, 2}，则必有（） A 、B A Ü B 、A B Ü C 、A=B D 、A ∩B=∅ 2. 集合M={y| y=x 2-1, x ∈R}， N={x| y=23x -}，则M ∩N 等于（）A 、{(-2, 1), (2, 1)}B 、{|0x x ≤≤C 、{|1x x -≤≤D 、∅3．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是（）4．已知集合,A B 满足AB A =,那么下列各式中一定成立的是（）A ． AB B ． B AC ． AB B = D ． A B A =5．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或06．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．MN C ．N M D ．M N =∅7．设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或，则___________,__________==b a .8．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人.9．若{}{}21,4,,1,A x B x==且AB B =，则x = .10．若{}|1,I x x x Z =≥-∈，则N C I = . 11．设全集{}(,),U x y x y R =∈，集合2(,)12y M x y x ⎧+⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)4N x y y x =≠-，那么()()U U C M C N 等于________________.12．设集合{}1,2,3,4,5,6M =，12,,,k S S S ⋅⋅⋅都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{},i i i S a b =，{},j j j S a b =（{},,1,2,3,,i j i j k ≠∈⋅⋅⋅），都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（{}min ,x y 表示两个数,x y 中的较小者）则k 的最大值是 .13．设222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中x R ∈，如果A B B =，求实数a 的取值范围.14．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若()U C A B =∅，求m 的值.15．设1234,,,a a a a N +∈，集合{}{}222212341234,,,,,,,A a a a a B a a a a ==.满足以下两个条件：（1）{}1414,,10;AB a a a a =+=（2）集合AB 中的所有元素的和为124，其中1234a a a a <<<.求1234,,,a a a a 的值.【答案与解析】1.【答案】D【解析】.学生易错选C 。

人教A版高中数学必修1第一章1.1.3《集合的基本运算》同步测试(一)

《集合的基本运算》同步测试题（一）一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{}1,2,3A =，{}3,4,5B =，则A B =（）A ．{}3B ．{}2,5C ．{}2,3,4D ．{}1,2,4,52．已知集合{}2|20A x x x =-->，{}3,2,1,0,1,2,3B =---，则AB =（）A ．{}3,2--B ．{}3,2,3--C ．1,0,1,2D ．{}3,2,2,3--3．已知集合{}1,3,5,7A =，{}21,B y y x x A ==+∈，则A B =（）A ．{}1,3,5,7,9,11,15B ．{}1,3,5,7C ．{}3,5,9D ．{}3,74．已知集合{}|13,|A x xB x y ⎧=<<==⎨⎩，则A B =（） A ．{|12}x x <≤ B ．{|23}x x <<C ．{|23}x x ≤<D ．{|1}x x >5．己知集合{}223A x x x =-≥，{}04B x x =<<，则A B =（）A ．()1,4-B ．(]0,3C ．[)3,4 D ．()3,46．已知集合{}2|430A x x x =-+>，{}|230B x x =->，则集合()R C A B =（） A ．33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦7．设集合(){}211A x x =-≤，(){}20B x x x =+≤，则A B =（）A ．[]1,1-B ．[]0,2C ．[]22-,D ．[]2,1-8．已知集合{}2,,0A a a =，{}1,2B =，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．±19．集合{}2210M x x x =--<，{}20N x x a =+，U =R ，若U M C N φ⋂=，则a 的取值范围是( )A ．1a >B ．1a ≥C ．1a <D ．1a ≤10．设集合{}2,5,6A =，{}250B x x x m =-+=，若{}2A B ⋂=，则B =（）A ．{}2,3B ．{}2C ．{}3D ．{}1,6-11．已知全集,{|1},{|2}U R M x x P x x ==≤=，则()UM P ⋃=( )A ．{|12}x x <<B ．{|1}x xC ．{|2}x x ≤D ．{|1x x 或2}x12．已知集合{A x y ==，{}B x x a =≥，若AB A =，则实数a 的取值范围是( ) A ．(],3-∞- B ．(),3-∞- C ．(],0-∞ D ．[)3,+∞ 二．填空题13．若集合{}12A x Z x =∈-<<，{}220B x x x =-=，则AB =______.14．已知集合{|21}A x x =-<≤，集合{|1≥B x x =或2}x <-，求AB =___15．已知全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}1,0,1A =-，{}1,1,2B =-，则()()UU A B ⋂=______16．设集合{}1,0,3A =-，{}3,21B a a =++，{}3A B ⋂=，则实数a 的值为___ 三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．设全集为R ，{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<. (1)求A B ；(2)求()RA B ⋃.18．已知全集U =R ，{}2|120A x x px =++=，{}2|50B x x x q =-+=，(){2}UA B =，求p q +．19．设全集{}25,3,4U a a =+-，U 的子集{|2|,5}A a =+．如果{3}UA =，求实数a 的值．20．已知全集U =R ，集合{}|21M x x =-<≤，{}2|230N x x x =-->.（1）求M N ⋂；（2）求()U M C N .21．已知集合{}23A x x =-<<，集合{}1B x x =>，集合{}C x x a =< （1）求,AB A B ；（2）设全集为R ，若R A C C ⊆，求实数a 的取值范围22．设集合{0,4}A =-，{}22|2(1)10B x x a x a =+++-=，若A B A ⋃=，求实数a 的值．参考答案一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二．填空题 13．{}0,1,214．(,2)(2,)-∞-⋃-+∞ 15．{}2,3- 16．0或1三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.【解析】（1）由题意{|37}AB x x =≤<；（2）由题意{|210}A B x x ⋃=<<， ∴(){|2RA B x x ⋃=≤或10}x ≥．18.【解析】∵(){2}UA B =，∴2B ∈，2A ∉．∴22520q -⨯+=得到6q =，此时{2,3}B =． ∵(){2}UA B =，{2,3}B =，∴3A ∈．∴233120p +⨯+=．∴7p =-．∴1p q +=-． 19.【解析】由题意{3}UA =，{}25,3,4U a a =+-，{|2|,5}A a =+则2332a a a +-=⇒=或3a =-，当2a =时，{4,5}A =满足A 是U 的子集；当3a =-时，{1,5}A =不满足A 是U 的子集，所以舍去. 综上，2a =20.【解析】（1）由题知{}2|230N x x x =-->={|1x x <-或3}x >，{}|21MN x x ∴=-<<-；（2）由（1）知{}|13U C N x x =-≤≤则(){}|23U M C N x x =-<≤.21.【解析】（1）{|13}A B x x ⋂=<<，{|2}A B x x =>-∪ （2）{|}=≥R C x x a ，因为,RA C ⊆2a ≤-22.【解析】∵A B A ⋃=，∴B A ⊆．当B =∅时，∆<0，即1a <-；当{0}B =时，2002(1)01a a ∆=⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩，，即1a =-；当{4}B =-时，20442(1),(4)(4)1a a a ∆=⎧⎪--=-+⇒⎨⎪-⨯-=-⎩无解；当{0,4}B =-时，2042(1)01a a ∆>⎧⎪-=-+⎨⎪=-⎩，1a ⇒=．综上，1a =或1a -。

人教A版高中数学必修一集合集合间的基本关系同步练习

1.1.3 集合的基本运算5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.填空题（U为全集）：A∩A=_________，A∩∅=_________，A∩B_________B∩A，A∩B_________A，A∪B_________A，A∪∅=_________，A∪B_________B∪A，A∪A_________A，A∩（A）=_________，（A）=_________，A∩B_________ A∪B.思路解析：集合中最基本的运算性质.答案：A ∅= ⊆⊇ A = = ∅ A ⊆2.在相应的图中，对所要求的集合部分打上阴影：（1）（A∪B）∩［（A∩B）］；（2）（B∪C）∪（A）；（3）B∩［（A∪C）］.思路解析：本题考查用韦恩图表示集合.解：3.设全集U={a，b，c，d，e}，集合M={a，c，d}，N={b，d，e}，那么（M）∩（N）是( )A.∅B.{d}C.{a，c}D.{b，e}思路解析：M={b，e}，N={a，c}.答案：A4.某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：（1）只乘电车的人数；（2）不乘电车的人数；（3）乘车的人数；（4）不乘车的人数；（5）只乘一种车的人数.思路解析：本题考查集合的运算，解题的关键是把文字语言转化为集合语言，借助于Venn 图的直观性把它表示出来，再求解.解：设只乘电车的人数为x，不乘电车的人数为y，乘车的人数为z，不乘车的人数为u，只乘一种车的人数为v，如下图所示，可得x=84-18=66(人)，y=120-84=36(人)，z=84+32-18=98(人)，u=120-98=22(人)，v=（84-18）+（32-18）=80(人).10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z且|x|≤5}，则A∪B的元素个数是( )A.11B.10C.16D.15思路解析：可用列举法找出A、B的元素，再求并集.答案：C2.已知集合M={（x，y）|x+y=2}，N={（x，y）|x-y=4}，那么集合M∩N为( )A.x=3，y=-1B.（3，-1）C.{3，-1}D.{（3，-1）}思路解析：首先搞清M、N中元素是点，M∩N首先是集合，并且其中元素也是点，即可选D.答案：D3.已知U为全集，集合M、N为U的子集，若M∪N=N，则( )A.M⊇NB.M⊆NC.M⊆ND.M⊇N思路解析：由M∪N=N可知M⊆N，且都是U的子集，再由补集的定义可知.答案：A4.设集合A={-3，0，1}，B={t2-t+1}.若A∪B=A，则t=_________.思路解析：由A∪B=A知B⊆A，∴t2-t+1=-3①或t2-t+1=0②或t2-t+1=1③.①无解；②无解；③t=0或t=1.答案：0或15.某班有50名学生，有36名同学参加学校组织的数学竞赛，有23名同学参加物理竞赛，有3名学生两科竞赛均未参加，问该班有多少同学同时参加了数学、物理两科竞赛?思路解析：利用V enn图更直观、清楚地看到各量之间的关系.如图.解：全集为U，其中含着50名学生，设集合A表示参加数学竞赛的学生，B表示参加物理竞赛的学生.则U中元素个数为50，A中元素个数为36，B中元素个数为23，全集中A、B之外的学生有3名，设数学、物理均参加的学生为x名，则有（36-x）+（23-x）+x+3=50，解得x=12. 答：本班有12名学生同时参加了数学、物理两科竞赛.6.已知集合A={x|x2+4x=0}，集合B={x|x2+2（a+1）x+a2-1=0}，其中x∈R.（1）若A∩B=B，求实数a的取值范围；（2）若A∪B=B，求实数a的值.思路解析：本题体现了分类讨论思想，要注意空集这一特殊集合.解：（1）易知A={0，-4}，又A∩B=B，即A⊇B.∴B=∅或{0}或{-4}或{0，-4}.当B=∅时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0无实数解，∴Δ=4（a+1）2-4（a2-1）＜0.解得a＜-1.当B={0}或{-4}时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0有两个相等实数根，∴Δ=4（a+1）2-4（a2-1）=0,得a=-1，此时B={0}，满足题意.当B={-4，0}时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0有两个不相等实数根-4，0，则-2（a+1）=-4+0且a2-1=0，解得a=1，此时B={x|x2+4x=0}={-4，0}，满足题意.综合以上可知a ≤-1或a=1.（2）由已知得A={0，-4}.又A ∪B=B ，即A ⊆B.又∵B 为二次方程解集，其中最多有2个元素，∴B={0，-4}，即方程x 2+2（a+1）x+a 2-1=0有两根为0和-4.由韦达定理知⎩⎨⎧-=-⨯+-=-,1)4(0),1(2402a a 解得⎩⎨⎧±==.1,1a a ∴a=1. 因此，若A ∪B=B ，则a=1.7.某高中2005年春季运动会开始了.设A={x|x 是参加100米跑的同学}，B={x|x 是参加200米跑的同学}，C={x|x 是参加400米跑的同学}，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）A ∪B ；（2）A ∩C.思路解析：本题考查集合的交集运算、并集运算.解：用集合语言表示“学校规定，每位参赛同学最多只能参加两项比赛”，即为（A ∩B ）∩C=∅.（1）A ∪B={x|x 是参加100米跑或参加200米跑的同学}.（2）A ∩C={x|x 是既参加100米跑又参加400米跑的同学}.8.已知集合A={x|x 2-4ax+2a+6=0}，B={x|x ＜0}，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围.思路解析一：由A ∩B ≠∅可知，方程x 2-4ax+2a+6=0至少有一个负实根，即有两负根、一负根一零根、一负根一正根三种情况.解法一：∵A ∩B ≠∅，B={x|x ＜0}，∴方程x 2-4ax+2a+6=0至少有一负根.（1）当方程x 2-4ax+2a+6=0有两个负根时，⎪⎩⎪⎨⎧>+=∙<=+≥+⨯-=∆,0)3(2,04,0)3(241621212a x x a x x a a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-><-≤≥.3,0,123a a a a 或解得-3＜a ≤-1.（2）当方程x 2-4ax+2a+6=0有一负根一零根时，⎪⎩⎪⎨⎧=+=∙<=+>+⨯-=∆,0)3(2,04,0)3(241621212a x x a x x a a解得a=-3.（3）当方程x 2-4ax+2a+6=0有一负根一正根时，⎩⎨⎧<+=∙>+⨯-=∆,0)3(2,0)3(2416212a x x a a 解得a ＜-3.综上所述，所求实数a 的取值范围为a ≤-1.思路解析二：如果从反面考虑，先求出方程x 2-4ax+2a+6=0有实根时a 的取值范围（可看成全集），然后考虑方程x 2-4ax+2a+6=0的两根均为非负实数时a 的取值范围，则最后可利用补集求解.解法二：设全集U={a|Δ=（-4a ）2-4（2a+6）≥0}={a|（a+1）（a-23）≥0}={a|a ≤-1或a ≥23}.若方程x 2-4ax+2a+6=0的两根x 1、x 2均为非负数，则⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥∙∈.0,0,2121x x x x U a 解得a ≥23.在全集U 中，集合{a|a ≥23}的补集为{a|a ≤-1}.∴所求实数a 的取值范围是a ≤-1. 快乐时光腹部的疤痕5岁的女儿不明白妈妈的肚皮为什么有一个疤痕，妈妈向女儿解释说：“这是医生割了一刀，把你取出的地方.”女儿认真想了一会儿，很认真地问妈妈：“那你为什么要吃掉我？”30分钟训练 (巩固类训练，可用于课后)1.设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A ∩（B ）等于( )A.{2}B.{2，3}C.{3}D.{1，3}思路解析：先求B={1，3，4}，再与A 取交集. 答案：D2.设U 是全集，集合P 、Q 满足P Q U ，则下面结论错误的是( ) A.Q ∪P=PB.P ∪Q=UC.P ∩Q=∅D.P ∩Q=Q 思路解析：利用文氏图分析.答案：C3.已知全集I ，集合A 、B 满足A ∩B=B ，A ∪B=A ，则必定有( )A.B ⊂AB.B ⊃AC.A=BD.A ∩B=∅思路解析：理解A ∩B=B ，A ∪B=A 的含义，从而A 、C 选项均有可能.但必定有选项D. 答案：D4.设S 、T 是非空集合，且S T ，T S ，设Z=S ∩T ，则S ∪Z 等于( )A.SB.TC. ∅D.Z思路解析：理解符号、∩、∪的意义.答案：A5.设集合A={y|y=x 2+1，x ∈R }，B={y|y=x+1，x ∈R }，则A ∩B 等于( )A.{（0，1），（1，2）}B.{（0，1）}C.{（1，2）}D.{y|y ≥1}思路解析：A ∩B 是一个集合，其中的元素还是y ，排除A 、B 、C 三项.答案：D6.右图中反映的是①四边形、②梯形、③平行四边形、④菱形、⑤正方形这五种几何图形之间的关系，五个图形与A、B、C、D、E代表的图形集合相对应，正确的是( )A.①—B，②—A，③—C，④—D，⑤—EB.①—A，②—B，③—C，④—D，⑤—EC.①—C，②—A，③—B，④—D，⑤—ED.①—D，②—B，③—C，④—E，⑤—A思路解析：由平面几何知识，在①②③④⑤五个图形中，①是最大、最基本的图形，包含②③④⑤.∴①—A.B与C是并列的，即无交集，且③包含了④⑤.∴②—B，③—C.正方形是特殊的菱形，∴④—D，⑤—E.∴选B.答案：B7.如右图，有四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ.下面给出了四个用集合A、B的交集、并集、补集表示的集合，请你将对应的集合与区域连结起来.B∩（A）ⅠA∩B ⅡA∩（B）Ⅲ（A∪B）Ⅳ思路解析：考查用韦恩图来表示集合的运算.答案：8.如右图所示，全集为I，非空集合P、Q满足P Q I，若含P、I、Q的一个集合运算表达式使运算结果为∅，则这个运算表达式可以是_________.（只需写一个表达式）思路解析：用Venn图表示含I、P、Q的运算表达式结果为∅，只需无公共部分的两区域表示的集合取交集即可.由Venn图，知P∩（Q）或（Q）∩（Q∩P）或（Q）∩（Q∪P），（Q）∩（P），（P）∩P均可.答案：P∩（Q）9.已知A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，是否存在a，使A、B满足下列三个条件：①A≠B；②A∪B=B；③∅（A∩B）？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 思路解析：存在性探索问题的一般解法是先假设存在，再由此推算，若出现矛盾，则说明假设错误，即不存在，否则存在.解：假设存在a使得满足条件，由已知得B={2，3}，∵A∪B=B，∴A⊆B.又∵∅（A∩B），∴A≠∅，即A={2}或{3}.当A={2}时，代入得a2-2a-15=0，即a=-3或a=5.经检验，a=-3时，A={2，-5}≠{2}矛盾，a=5时，A={2，3}≠{2}矛盾；当A={3}时，代入得a2-3a-10=0，即a=5或a=-2，经检验，a=-2时，A={3，-5}≠{3}矛盾；a=5时，A={2，3}≠{3}，矛盾.综上所述，不存在实数a，使得满足条件.10.某班举行数、理、化三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数.思路解析：考查交集的运算.用集合的运算解决实际问题.根据题意，借助韦恩图求解.解：设参加数学、物理、化学竞赛的人构成的集合分别为A、B、C，则n A=27，n B=25，n C=27，n A∩B=10，n B∩C=7，n A∩C=11，n A∩B∩C=4，如图所示.∴全班人数为各数之和：10+12+13+7+3+6+4=55.答：全班共有55人.11.集合A={x|-2＜x＜-1或x＞1}，B={x|a≤x≤b}，若A∪B={x|x＞-2}，A∩B={x|1＜x≤3}.求a、b的值.思路解析：先在数轴上画出A的范围及B的范围.解：若使A∪B={x|x＞-2}，则应有-2＜a≤-1，b≥1.若使A∩B={x|1＜x≤3＝，则-1≤a≤1，b=3.所以a=-1，b=3.12.已知A={2，4，a3-2a2-a+7}，B={-4，a+3，a2-2a+2，a3+a2+3a+7}，且A∩B={2，5}. （1）求实数a的值；（2）求A∪B.思路解析：利用A∩B={2，5}确定集合元素的取值是本题的关键.解：(1)由题意知a3-2a2-a+7=5，解之，得a=-1，1，2.当a=-1，1时，A={2，4，5}，B={-4，2，4，5}或{-4，1，4，12}，这与已知A∩B={2，5}矛盾；当a=2时，符合题意，故a=2.(2)此时A∪B={2，4，5}∪{-4，2，5，25}={-4，2，4，5，25}.。

人教A版高中数学必修一练习集合的基本运算(2)

1.1.3.1一、选择题1．已知集合M ＝{直线}，N ＝{圆}，则M ∩N 的元素个数为( )个．( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定 [答案] A[解析] 集合M ∩N 中的元素表明既是直线又是圆的元素，这样的元素是不存在的，从而M ∩N ＝∅，故选A.[点评] 集合M 与N 都是图形集，不是点集，M 中的元素为直线，N 中的元素为圆．易将M ∩N 错误理解为直线与圆的交点个数的集合，得出M ∩N ＝{0,1,2}，从而易错选C.2．(2010·江西理，2)若集合A ＝{x | |x|≤1，x ∈R }，B ＝{y|y ＝x2，x ∈R}，则A∩B ＝( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅[答案] C[解析] 集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ≥0}，故A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}．选C.3．(09·山东文)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4 [答案] D[解析] ∵A ＝{0,2，a}，B ＝{1，a2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a2＝16a ＝4，∴a ＝4.故选D. 4．(2010·福建文，1)若集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x >2}，则A ∩B 等于( )A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |x ≥1}C ．{x |2≤x <3}D ．{x |x >2}[答案] A[解析]∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}．5．设集合A ＝{x |－1≤x ＜2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ＞－2C ．a ＞－1D ．－1＜a ≤2 [答案] C[解析] 由A ∩B ≠∅知a ＞－1，故选C.6．(08·山东文)满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] ∵M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}，∴a 1∈M ，a 2∈M ，a 3∉M .又∵M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，∴M ＝{a 1，a 2}或{a 1，a 2，a 4}．7．(09·全国Ⅱ理)设集合A ＝{x |x >3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －1x －4<0，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．(3,4)C ．(－2,1)D ．(4，＋∞) [答案] B[解析] ∵A ＝{x |x >3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －1x －4<0＝{x |(x －1)(x －4)<0}＝{x |1<x <4}， ∴A ∩B ＝{x |3<x <4}．8．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,1,2}，Q ＝{－1,1,6}，则P ＋Q 中所有元素的和是( )A ．9B ．8C ．27D ．26[答案] D[解析] 由P ＋Q 的定义知：a ＝0时，b 可取－1,1,6，故x ＝－1,1,6；同理可得x 可取的其它值为：0,2,7,3,8，故P ＋Q ＝{－1,0,1,2,3,6,7,8}，其所有元素之和为26.9．已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈N *}，B ＝{x |x ＝k ＋3，k ∈N }，则A ∩B 等于( )A ．BB ．AC ．ND ．R [答案] B[解析] A ＝{3,5,7,9…}，B ＝{3,4,5,6…}，易知A B ，∴A ∩B ＝A .10．当x ∈A 时，若x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，由A 的所有孤立元素组成的集合称为A 的“孤星集”，若集合M ＝{0,1,3}的孤星集为M ′，集合N ＝{0,3,4}的孤星集为N ′，则M ′∪N ′＝( )A ．{0,1,3,4}B ．{1,4}C ．{1,3}D ．{0,3} [答案] D[解析] 由条件及孤星集的定义知，M ′＝{3}，N ′＝{0}，则M ′∪N ′＝{0,3}．二、填空题11．若集合A ＝{2,4，x }，B ＝{2，x 2}，且A ∪B ＝{2,4，x }，则x ＝________.[答案] 0,1或－2[解析] 由已知得B ⊆A ，∴x 2＝4或x 2＝x ，∴x ＝0,1，±2，由元素的互异性知x ≠2，∴x ＝0,1或－2.12．已知A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }，B ＝{x |(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋1}，当A ＝{2}时，集合B ＝________.[答案] {3＋2，3－2}[解析] ∵A ＝{2}，∴方程x 2＋px ＋q ＝x 有两相等实根2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋2p ＋q ＝2(p －1)2－4q ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3q ＝4， ∴方程(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋1可化为：x 2－6x ＋7＝0，∴x ＝3±2，∴B ＝{3＋2，3－2}．13．(胶州三中2009～2010高一期末)设A ＝{x |x 2－px ＋15＝0}，B ＝{x |x 2＋qx ＋r ＝0}且A ∪B ＝{2,3,5}，A ∩B ＝{3}，则p ＝______；q ＝______；r ＝______.[答案] 8 －5 6[分析] 抓住集合中元素的特征性质，A 、B 都是一元二次方程的解集．从A ∩B 入手知3是两个方程的公共根，可确定A 中方程的系数p 进而得A ，也就弄清了B 中的元素获解．[解析] ∵A ∩B ＝{3}，∴3∈A,3∈B∴⎩⎪⎨⎪⎧9－3p ＋15＝0 (1)9＋3q ＋r ＝0 (2)，由(1)得p ＝8 ， ∴A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}又A ∪B ＝{2,3,5}，∴2∈B ，∴4＋2q ＋r ＝0 (3)由(2)(3)得q ＝－5，r ＝6.经检验符合题意．三、解答题14．已知A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}(1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．(2)若A ∪B ＝B ，a 的取值范围又如何？[解析] (1)－1≤a ≤2(2)∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ，∴a ＋3<－1，或a >5，∴a ＞5或a ＜－415．设集合M ＝{1,2，m 2－3m －1}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，求m .[解析] ∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M ，∴m 2－3m －1＝3，∴m ＝－1或4.16．已知A ＝{1，x ，－1}，B ＝{－1,1－x }．(1)若A ∩B ＝{1，－1}，求x .(2)若A ∪B ＝{1，－1，12}，求A ∩B . (3)若B ⊆A ，求A ∪B .[解析] (1)由条件知1∈B ，∴1－x ＝1，∴x ＝0.(2)由条件知x ＝12， ∴A ＝{1，12，－1}，B ＝{－1，12}， ∴A ∩B ＝{－1，12}． (3)∵B ⊆A ，∴1－x ＝1或1－x ＝x ，∴x ＝0或12，当x ＝0时，A ∪B ＝{1,0，－1}，当x ＝12时，A ∪B ＝{1，12，－1}． 17．某班参加数学课外活动小组的有22人，参加物理课外活动小组的有18人，参加化学课外活动小组的有16人，至少参加一科课外活动小组的有36人，则三科课外活动小组都参加的同学至多有多少人？[解析] 设参加数学、物理、化学课外活动小组的同学分别组成集合A 、B 、C .由下图可知，要使A ∩B ∩C 的元素个数最多，因此区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中元素应尽可能地少，由于在22＋18＋16＝56中A ∩B ∩C 中元素个数重复计算了三次(只应计数一次)．故A ∩B ∩C 的元素个数最多可为12(56－36)＝10.故三科课外活动小组都参加的同学至多有10人．18．已知集合A ＝{x |3x －7>0}，B ＝{x |x 是不大于8的自然数}，C ＝{x |x ≤a ，a 为常数}，D ＝{x |x ≥a ，a 为常数}．(1)求A ∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值集合；(3)若A ∩C ＝{x |73<x ≤3}，求a 的取值集合； (4)若A ∩D ＝{x |x ≥－2}，求a 的取值集合；(5)若B ∩C ＝∅，求a 的取值集合；(6)若B ∩D 中含有元素2，求a 的取值集合．[解析] A ＝{x |x >73}，B ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}． (1)A ∩B ＝{3,4,5,6,7,8}．(2)∵A ∩C ≠∅，∴a >73， ∴a 的取值集合为⎝⎛⎭⎫73，＋∞. (3)由条件知，A ∩C 不是空集，∴A ∩C ＝{x |73<x ≤a }，又A ∩C ＝{x |73<x ≤3}， ∴a ＝3，∴a 的取值集合为{3}．(4)∵A ∩D ＝{x |x ≥－2}≠A ，∴A ∩D ＝D ，∴a ＝－2，即a 的取值集合为{－2}．(5)∵B ∩C ＝∅，∴a <0，∴a 的取值集合为{a |a <0}．(6)∵2∈B ∩D ，∴2∈D ，∴a ≤2，∴a 的取值集合为{a |a ≤2}．。

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1.1.3 集合的基本运算
建议用时实际用时满分实际得分
45分钟 100分
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共
36分)

1．下列表述中错误的是（）
A．若,ABABAI则
B．若ABBABU，则
C．()ABIÜAÜ()ABU
D．∁U(A∩B)= (∁UA)∪(∁UB)
2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，则(∁UA)∩B＝( )
A.{0} B.{2}
C. {0,1} D.{－1,1}
3．若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩(∁UN)＝( )
A. {x|x<0} B.{x|－2≤x<0}
C.{x|x>3} D.{x|－2≤x<3}
4．若集合M＝{x∈R|－3A．{－1} B.{0}
C. {－1,0} D. {－1,0,1}
5．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元
素个数为( )
A.m B.m＋n
C.m－n D.n－m
6．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)
＝（）
A. {2,4} B. {2,4,8}
C. {3,8} D. {1,3,5,7}
二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共
18分）

7.某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱
好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的有
人
.
8．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.
9．已知集合}023|{2xaxxA至多有一个元素，则a的取值范围是；若至少有
一个元素，则a的取值范围是 .
三、解答题（本大题共3小题，共46分）

10.（14分）
集合22|190Axxaxa，
2|560Bxxx，
2
|280Cxxx，

满足ABI，,ACI求实数a的值.
11．（15分）已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若A＝，求实数a的取值范围；
(2)若A是单元素集，求a的值及集合A.

12．（17分）设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；

(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围
一、选择题
1.C 解析：当AB时，ABAABIU.
2.A 解析：∁UA＝{0,1}，故(∁UA)∩B＝{0}．
3.B 解析：根据已知得M∩(∁UN)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．
4. C 解析：因为集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．
5.C 解析：∵U＝A∪B中有m个元素， (ðUA)∪(ðUB)＝ðU(A∩B)中有n个元素，
∴A∩B中有m－n个元素．
6.B 解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，
则ðU(A∪B)＝{2,4,8}．
二、填空题
7.26 解析：全班分4类人：设既爱好体育又爱好音乐的有x人；仅爱好体育
的有（43x）人；仅爱好音乐的有（34x）人；既不爱好体育又不爱好音乐的
有4人 ,∴43x34xx4=55，∴x=26.

8.2 解析：由得 x＝0，y＝2.点(0,2)在y＝3x＋b上，∴b＝2.

9.
9|,08aaa或，9
|8aa




解析：当A中仅有一个元素时，0a，或980a；
当A中有0个元素时，980a；
当A中有两个元素时，980a.
三、解答题
10. 解：2,3B，4,2C，而ABI，则2,3至少有一个元素在A中.

又ACI，∴2A，3A，即293190aa，得52aa或，
而5aAB时，，与ACI矛盾，
∴2a.
11.解：(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解．

若a＝0，方程有一解x＝23，不合题意．

若a≠0，要使方程ax2－3x＋2＝0无解，则Δ＝9－8a<0，则a>98.
综上可知，若A＝，则a的取值范围应为a>98.
(2)当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一根x＝23，A＝{23}符合题意．
当a≠0时，＝9－8a＝0，即a＝98时，方程有两个相等的实数根＝43，则A＝{43}．
综上可知，当a＝0时，A＝{23}；当a＝98时，A＝{43}．
12.解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}．
(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0，解得a＝－1或a＝－3.
当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；
当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件.
综上，a的值为－1或－3.
(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴BA.
①当Δ<0，即a<－3时，B＝满足条件；
②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}满足条件；
③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得

解得 a＝－52，a2＝7，矛盾.
综上，a的取值范围是a≤－3.