应用光学_非球面

一、与法线有关的重要性质
P(x, y)为曲线上的点, PCy为P点法线, C为顶点的曲率中心。 光学上记R=CCy，称为法线像差。由解析几何求得： R=xe2 y arctan 从而： OCy-x=R0-(1-e2)x 2 R0 -(1-e ) x 用补偿法检验非球面时， y P(x, y) 特别是自准光路中，需要设 计折射或反射系统，往往将 非球面法线看作光线，需要 先计算法线与光轴的交点位 臵及角度。
o
a-c a+c
x
c+a
o
c-a
x
将坐标原点移至曲线顶点，即得形式2，这时 椭圆： ●双曲线：
a-c R0 1 e R0 1-e
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,
c-a
R0 1 e R0 1-e
,
ac
;
ca
;
2 2
11 y 2 R0 x-(1-e ) x
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1.3 二次曲面的非球面度
非球面度
指非球面表面和一个比较球面在沿光轴方向的 偏差。一般希望非球面度尽可能小, 因此, 要选择一个最佳 比较球面：一个与非球面在顶点与边缘接触的球面。 y
当非球面度较小时，最大非球面度 发生在y = 0.707带，其数值为：
4096 其中D为镜子的口径，A为镜面的相对 孔径，e2为二次曲面参数。 当相对孔径很大时，应根据非球面
y 2 R0 x - (1 - e ) x
2 2
2

l2
d l
式中e2为面形参数, 是变量, 可用于消 像差。
-f1
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作为望远系统, 显然有： 1) 物体位于无穷远，即l1=，u1=0； 2) 光阑位于主镜上，即x1=y1=0。 定义两个与轮廓尺寸有关的参数和： l2 l2 h2 α f1 R0 / 2 h1 l2 u2 β l2 u2 利用高斯光学公式，还可以导出：
本章结束
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Chapt II 两镜系统的设计检验与加工
两反射镜系统具有重要的实用价值： 反射材料比透射材料容易得到（尤其对大口径）； 镀铝或介质膜的反射层在很宽的波段范围内有很高的反射率; 反射系统没有色差。 因此，两反射镜系统在大口径天文望远镜、红外或紫外光 学系统中有重要的应用。在天文望远镜系统中，由两个二次 曲面反射镜组成的系统占有重要地位：Cassegrain System和 Gregory System是最常用的系统，但因未校正轴外像差，视 场受到限制。Chretien和Ritchey先后对Cassegrain系统进行了 改进，形成R-C系统；MaKcyTOB提出了校正球差及彗差的 Gregory系统，Schwarzchield提出了消球差、彗差场曲的系统， Cuder提出了同时消除球差、彗差及像散的系统。
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2.1 两镜系统的理论基础
为便于对两反射镜系统有个完整的了解，从三级像差理论出 发，选择合理的参数，推导出各种消像差条件，从而使设计 两镜系统有全球应用的理论指导。
2.1.1 基本结构形式
h1 h2
主镜与次镜都是二次曲 面，表达式为：
x R0 R0 -(1-e ) y 1-e
2 2 2 2
对分母有理化后用R0除分子分母，令c=1/R0, K= -e2，即得： 这种形式表示高次非球面 2 cy x 对二次曲面的偏离程度。而 2 2 1 1-K 1c y x=Ay2+By4+Cy6+…适用于平 板型非球面。
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形式 3
y a1 x a2 x
2 2
这种形式与形式２是一致的，即： a1=2R0， a2=e2-1 有些人喜欢用这种形式。
形式 4
以y2表达x，则二次曲线变成一个以y2升幂排列的无穷级数： 例：一个F/3的双曲面，设e2=5，则当y=1时， 2 4 6 8 y y -6mm。如果这个面的通光孔径 2 3 y 5y 2 2 第三项值为4101-e 2 ) x ( (1-e ) (1-e ) 3 5 7 2 R0 8R0 16 R0 128R0 为200mm，即y=100，则第三项对x的贡献为 其中各项系数均由R0和e2决定。这种形式根据y计算x比较方 0.4m，这个大小是不可忽略的。 便，但得到的是近似值。 取多少项取决于所要求的精度、相对孔径和面形参数。
设扁椭球的顶点曲率半径为RE，偏心率平方为E2，则其方 程式应为：
y2 = 2REx -(1-E2)x2
与上式比较，得：
RE R0 (1-e ) 1-e
2 2
,
E
2
e
2
e -1
2
由于0< e2 <1，故E2一定是负值。 写以上方程中，以y2+z2代替y2，即得扁椭球面方程。
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x=x-a, y=b-y，或：x=x+a, y=b-y
代入原方程，并将y与x对换，得：
(x-b)2=2R0(y+a)-(1-e2)(y+a)2
整理得：
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y 2 R0
2
x (1-e ) 1-e
2 2
-
x
2 2
1-e
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扁球面与常规椭球面的关系
椭圆绕短轴旋转形成扁球面， 绕长轴旋转形成常规椭球面，在 子午面内它们可以是同一椭圆。 O 椭圆方程：
y
y
x
y2 =
2R0x
-(1-e2)x2
O
x
绕x轴旋转，得常规椭球面，其参数为R0及e2。 将顶点移到新位臵O，有：
2 4 6
A
1 2 R0
这种形式常用在偏离平面很小的校正板的非球面光学元件，
这种形式的特点：
由于总的偏离量一般不大，故逼近很快； 实际需要的项数和系统的相对孔径有关，D/f =1:3的施密特 校正板，实际用到y4项即可----这只需要用初级像差理论求解 即能满足要求；孔径特别大时，最多用到y6项即可。
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形式 2

y 2 R0 x-(1-e ) x
2 2
2
这是讨论光学问题常用的、最方便的形式之一。 无论是哪种二次曲线，其坐标原点都在曲线顶点； R0是曲线顶点的曲率半径，偏心率e决定了曲线的形状； 包含了扁球面----即绕椭圆的短轴旋转而成的二次曲面----在 非球面光学中经常要用到。 y e2>1 e2=1 形状参数e与曲线的对应关系： e2<0, 扁 圆 1>e2>0 e2=0, 圆 e2=0 e2<0 0<e2<1, 椭 圆 O x e2=1, 抛物线 R0相同 e2>1, 双曲线
2 2 3
a1=2R0为顶点曲率半径
这种形式的特点：

对于二次曲面，取前两项即能严格表达曲面形状； 对于相对孔径很大的非球面，逼近得很快，高次项很少；

缺点：当含x3以上项时，给定y值求x繁杂，需逐次逼近。
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表达形式 2
x Ay By Cy ...
于是，得：
a R0 1- e c 1- e
2
,
a
R0 e
2
, ;
椭 圆：
双曲线：
; c
-1 -1
eR0
2
eR0 e
2
两种曲线关系：
e
c a
,
R0
b
2
a
对于抛物线，p=R0，而：
e y
2
2R0
对于扁椭圆，即e2<1，没有几何学上的焦点，但在非球面光 学中有用。注意在求其法向量时R为负，即其边缘带法线与 光轴交点离顶点的距离小于顶点曲率半径。
说明：设计时，力求做到取最少的项数满足要求。因为均
为的增加项数有时会给加工和检验带来困难，或者做出的实 物与设计的曲线不一致。当然，如果从设计角度必须取多项， 则一定得考虑检验与加工方法。
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二、二次曲面（圆锥曲面）
实际光学系统在很多情况下用到二次曲面即能满足要求，且 其检验相对方便，故从工艺角度考虑，应尽量采用之。 二次曲线方程有四种表达形式： y
R02 αβ 1 β R01
式中：表示副镜离第一焦点的距离, 也决定了副镜的遮光比， 表示副镜的放大倍数。主镜的焦距乘以即为系统的焦距， 或主镜的F数乘以的绝对值即为系统的F数。
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2.1.2 单色像差表示式
δmax
DA
2
e
2
非 球 面
非球面度
最佳比 较球面
o
x
方程式和比较球面方程式作数值计算求得。
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非球面度的大小反映加工的难度，但是不能只看其绝对值，
还与镜面的直径大小有关。
真正反映加工难度的是非球面度的变化值----称为非球面斜 率，如在镜面径向每10mm内非球面度的差值。
非球面设计
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概
非球面系统的作用
述
简化系统结构、缩短筒长、减小系统重量 提高系统成像质量 使光学系统向红外和紫外波段扩展
透红外及紫外的材料制造困难、品种少； 大尺寸透射材料制造更困难且体积大； 在极紫外(XUV)波段根本没有透射材料，只能用反射 非球面系统消像差。 随着非球面加工、检测设备的研制、开发与使用，非球面加 工成本不断降低，应用越来越多，尤其在航天、科技、光盘 读数头、数码相机、手机相机等众多领域。
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Chapt I 非球面的数学模型与性质
1.1 轴对称非球面的数学表达式
一、非球面的两种表达形式
设x为非球面的旋转对称轴，y表示入射光线在非球面上的 入射高度，则其子午曲线的两种表达形式：
表达形式 1
y a1 x a2 x a3 x ...
ZEMAX程序中偶次非球面“曲率半径”是指R1； 如果10，则实际曲面顶点曲率半径R决定于R1和R2，即：
R R1 R2 R1 R2
如果c和1异号，数值上又是R1>R2，则R将与R1异号。
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பைடு நூலகம்
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1.2 二次非球面的重要光学性质
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三、一般形式的非球面
现在国际上通行的表达形式是：
x cy
2
1 1-K 1c y
2
dy ey
4 6 2
其中c=1/R0为顶点曲率,2K为二次曲线常数, d、e、…为系数. 2 2 y 2 R0 x-(1-e ) x 这种表达式如果只取右边第一项，则为严格的二次曲线，从 形式2中解出x，得：
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O
Cy
x
R
C
R
10
x
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x
2 2
二、椭圆及双曲线的参数

y b
2 2
1
a
椭圆及双曲线的几何焦点与光学上焦点的含义是 y 2 2 px 不同的，几何焦点(c, 0)有常用的重要光学性质。 y y 2=a2-b2 2=a2+b2 c c
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四、ZEMAX中的偶次非球面表达式
x cr
2 2 2
1 1-K 1c r
α1r α2 r α3 r α4 r
2 4 6 8
式中第1项为一般的二次非球面，第2项为二次抛物面方程；
第1项的顶点曲率半径R1=1/c，第2项的R2=1/21；
形式 1
x a
2 2 2

y b
2 2
1
(椭圆及双曲线) ( 抛物线)
o
x
y 2 px
参数a、b为椭圆或双曲线的长半轴和短半轴，p为抛物线的 焦点到的距离，也是抛物线顶点的曲率半径。 这种形式方便从数学上讨论曲线性质及一些衍生数学关系、 求曲线的几何焦点，但从几何光学的角度看是不方便的。