湖北省四校(宜昌一中 荆州中学 龙泉中学 襄阳四中)高

湖北省四校（宜昌一中 荆州中学 龙泉中学 襄阳四中）2013-2014学年高一数学下学期期中联考试题新人教A 版本试卷共4页，共21题。

满分150分。

考试用时120分钟。

★ 祝考试顺利 ★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U=R ，A=}02|{2≤-x x x ，B=},cos |{R x x y y ∈=， 则图中阴影部分表示的区间是（ ） A.[0,1]B.[-1,2]C.),2()1,(+∞⋃--∞D.),2[]1,(+∞⋃--∞2.三角形ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,已知下列条件： ①b=3,c=4,ο30=B ; ②a=5,b=8,ο30=A ;③c=6,b=33,ο60=B ; ④c=9,b=12,ο60=C其中满足上述条件的三角形有两解的是： （ ） A.①② B.①④ C.①②③ D.③④3.三角形ABC 中A ，B ，C 的对边分别为,,,,a b c a b c >>且,222c b a +<,则A 的取值范围为 ( )A.),2(ππB.)3,4(ππC.（2,3ππ）D.)4,0(π4.若n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，且1038=-S S ,则=11S ( )A.12B.18C.22D.445. 三角形ABC 中，若⋅=⋅=⋅,则三角形ABC 的形状是（ ）A.等边三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形6．三角形ABC 中A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，则B 等于（ ）A.30°B.60°C.90°D.120°7.已知等比数列}{n a 中41,252==a a ，则1433221+⋅++⋅+⋅+⋅n n a a a a a a a a Λ等于（ ）A.)41(16n-- B.)21(16n-C.)41(332n -- D.)21(332n -- 8．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为30o，沿倾斜角为15o的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为60o，求山高h=（ ）A.2a B.2aC.32a D.a9.设)30cos(cos )(x x x f -=ο，则)59()2()1(οοοΛf f f +++的值是（ ） A.2359 B.0C.59D.259 10.设R x ∈,记不超过x 的最大整数为[x ]，令{x }=x -[]x ,则{215+}， [215+],215+（ ）A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分11.三角形ABC 面积为3，BC=2，C=ο60，则边AB 长度等于______.12.已知)3,3(+-=m m ，)4,12(+-+=m m ，且51≤≤m ，则⋅的最大值等于_____. 13.一个牧羊人赶着一群羊通过6个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还1只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊，则原来牧羊人到底赶着________只羊.14.已知函数()2f x x x m =--有3个零点分别为123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围是__________.15.等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知32014sin )2(2013)2(232π=-+-a a ， 62015cos )2(2013)2(201332013π=-+-a a ，则2014S =_______.三、解答题:本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分12分)已知(sin ,cos )a x x =-r ，(cos )b x x =r ，函数()f x a b =⋅r r ．（1）求()f x 的最小正周期；（2）当02x π≤≤时，求函数()f x 的值域．17. (本小题满分12分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,满足c =,cos (2)cos 0c B b a C +-=. （1）求角C 的大小; （2）求△ABC 面积的最大值.18．(本小题满分12分)等差数列{}n a 中，11,a =425S a =；（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211,1n n b a +=-求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．(本小题满分12分)如图，甲船以每小时152海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行40分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的南偏西45°方向的2B 处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？20．(本小题满分13分)已知函数()()y f x x R =∈满足1(2)21x x f +=+，定义数列{}n a ，11a =，1()1(*)n n a f a n N +=-∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，且*11()n n S S n N +-=∈．（1） 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）令()*nn nb c n N a =∈，求{}n c 的前n 项和n T ； （3）数列{}n a 中是否存在三项()*,,,,,m n k a a a m n k m n k N<<∈使,,mn k aa a 成等差数列，若存在，求出,,m n k 的值，若不存在，请说明理由。

21. (本小题满分14分)已知函数231()1ax x f x x ++=+且此函数在其定义域上有且只有一个零点.（1）求实数a 的取值集合.（2）当*a N ∈时，设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()n S n f n =⋅，求{}n a 的通项公式.（3）在（2）的条件下，若数列{}n a 是有固定n 项的有穷数列，现从中抽去某一项（不包括首项、末项）后，余下的项的平均值为31，求这个数列的项数，并指出抽去的是第几项.2013～2014学年度下学期荆州中学、龙泉中学、宜昌一中、襄阳四中期中联考高一数学试题答案一、 选择题1-5：CACCA 6-10：BCAAB二、 填空题11、2 12、14 13、2 14、(4,3 15、4028 三、解答题16.解析：（1）∵2()sin cos f x x x x =-+…………1分1sin 221)2x x =-++ ……………3分 sin(2)3x π=-． …………………5分∴函数f (x )的最小正周期为π． ……………6分 （2）∵02x π≤≤，∴22333x πππ-≤-≤， ……………………………8分∴sin(2)13x π≤-≤， ……………………………11分 即f (x )的值域为[2-． ……………………12分17．解：（1）∵ cos 2cos cos 0c B a C b C ++= 由正弦定理得：∴ sin cos sin cos 2sin cos 0C B B C A C +-= ………………………………2分 ∴ sin 2sin cos 0A A C -= ∵ sin 0A ≠∴ 1cos 2C = ………………………………………………… 4分 ∴ 3C π=…………………………………………………………………… 6分（2）由正弦定理得sin sin sin sin 3a b c A B C === 4sin ,4sin ,a A b B ==又23A B π+=，23B A π=-，…………………………… 8分 ∴△ABC面积12sin sin sin()23S ab C A B A A π===-，化简得：)6S A π=-+………………………………………………… 10分当3A π=时，S有最大值，max S =。

………………………………………… 12分（另解：用基本不等式）18.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 则由425S a =得，11465a da d+=+，解得1d = …………………………………………… 2分 n a n ∴= …………………………………………………………………………………… 4分（2）22111111112(2)22n n b a n n n n n n +⎛⎫====- ⎪-+++⎝⎭……………………… 6分1231n n n T T T T T T -=+++++L L11111111111232435112n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭L 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭…………………………………………………… 11分 2354(1)(2)n n nT n n +∴=++ …………………………………………………………… 12分19.解：由已知得1120,A B=12A A =2210,A B = 12245o A A B ∠=，在△122A A B 中，由余弦定理得：22212102101002A B =+-⋅⋅=，1210A B =，……………………… 4分 又2212,A B A B =得21245o A A B ∠=，211180754560B A B ∠=--=o o o o，…………… 6分又在△112A B B 中，由余弦定理得：2121400100220103002B B =+-⋅⋅⋅=，∴12B B =…………………………………………………………………………… 10分则乙船的速度60v ==答：乙船每小时航行海里。

…………………………………………………… 12分20.解：（1）由题意知：()21f x x =+，12,n n a a +=又11,a ={}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，故12n n a -=，……………………………… 2分由11b =*1()n N =∈可得：,n =2,n S n =121(2)n n n b S S n n -=-=-≥当1n =时，11b =满足上式，21,n b n ∴=-…………………………………………………………………………… 4分（2）1212n n n c --=，………………………………………………………………………… 5分 123n n T c c c c =++++L2313572112222n n n T --=+++++L ……①两边同乘公比12得，2341135721222222n nn T -=+++++L ……② ①-②得234112222221112222222n n nn T --⎛⎫-=++++++- ⎪⎝⎭L ……………………… 7分 化简得：12362n n n T -+=-……………………………………………………………… 9分 （3）假设存在()*,,,,,m n k a a a m n k m n k N<<∈使,,mn k aa a 成等差数列，则2n m k a a a =+，1112222n m k ---⋅=+，……………………………………………10分 两边同除12m -，得1212n m k m +--=+，12n m +-∴为偶数，而12k m -+为奇数，……………………………………………… 12分 因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．∴假设不成立，故不存在任三项能构成等差数列．……………………………13分 21.解：(1) 函数的定义域是{|1}x R x ∈≠- 因为函数在其定义域上有且只有一个零点，故当0a =时，函数只有一个零点13x =-， ………………………………………1分当0a ≠时，由231010ax x x ⎧++=⎨+≠⎩只有一个解，可以分为两种情况：（1）一元二次方程2310ax x ++=有两相等且不等于1-的解，即由940a ∆=-= 得94a =，此时零点为23x =- ………………………………………………………2分 （2）一元二次方程2310ax x ++=有一解是1x =-，此时2a = ……………4分 综上所得：实数a 的取值集合为9{,0,2}4. ………………………………………………5分 (2) 因为*a N ∈，所以2a =，()21f x x =+即2()2n S n f n n n =⋅=+，所以13a = ……………………………………7分当2n ≥时，141n n n a S S n -=-=-，1a 满足故{}n a 的通项公式为41n a n =-. ……………………………………………………9分 (3) 设抽去的是第k 项，依题意1k n <<，由31(1)n k S a n -=-可得22(2)31(1)23031k a n n n n n =+--=-+ ………………11分由于1114116k k n a a n n a a n >⇒<>⎧⎨<⇒<<⎩或解得1416n <<，因为n N *∈，故15n = ………13分由于22153015313141k a k =⨯-⨯+==-，故8k =所以此数列共有15项，抽去的是第8项. ………………………………………………14分。