母体为指数分布的参数估计和检验
第8章 参数估计
f
x,
x 1 0
求参数 的极大似然估计.
0 x 1,
其它
解 设 X1, X 2 ,L , X n为来自总体的样本, 则似然函数为
L n x1x2L xn 1 ,
取对数后有:
nபைடு நூலகம்
ln L nln 1ln xi, i1
上式对 求导, 并令其为零, 则有
解之得
dln L
d
n
n i1
h X1, X2,L , Xn , 通过样本观测值 x1, x2,L , xn 所对应的估计值
h x1, x2,L , xn
作为总体参数的估) 计值. 记作
h x1, x2,L , xn .
点估计的意义: 在数轴上表示一个点.
区间估计的含义是: 依据样本来估计未知参数的某一 范围.
区间估计的具体实现: 由样本构造两个统计量:
h1 X1, X2,L , Xn , h2 X1, X2,L , Xn ,
再由观测值 x1, x2 ,L , xn 得到具体的区间
h1 x1, x2,L , xn , h2 x1, x2,L , xn ,
以此区间作为未知参数的区间估计.
二、两种常用点估计
下面讨论两种常用的点估计方法: 矩估计和极大似然 估计.
例5 设 X1, X 2 ,L X n 是取自于总体的一个样本, 其中
X : R0, , 因
1
E
X
2
,
因此 21 的矩估计为2 X .
例6 设 X1, X 2 ,L X n 是取自于总体的一个样本, X 的
密度函数为
f
x
1
x
,
0,
求 的矩估计. 这里 1.
家电可靠性讲座第七讲试验数据处理—参数估计(连载)
（ 辑 韩彬 ） 编
２０年 期 家电 Ｉ２ 第８ Ｄ 科技 ．７． ７
维普资讯
酉
／ Ｌ ｕ Ｃｕｓ ｔ ｏｒ ｅ
ｈｐ／ ｗ ． ｅ．ｒｃ ｔ： ｗ ｗｓ ａｏ ． ｔ／ ｔ ｃ ｎ ｈ ｎ
参数估计 。 统计量 Ｔ 完全由样本决定的量叫做统计量， ： 也就是 由统计 试验数据完全决定的量。 统计量是统计分析的基础 ， 是可靠性数 据处理的前提；一些主要分布的参数都 由统计学家构造出良好 性能的统计量， 我们在实际工作可以根据需要选用。
１ ． ５
的匹配长度。
３９ ０５ ｆ ７．６ ８
２０ ３ １．８ ３
５０ ４５ ９．４ １
②用步进法确定的毛细管长度 ， 准确程度较高， Ｅ 与Ｅ Ｒ最
６ ．ｏ ０ Ｏ ８ ｏｏ ９ ０．ｏ １ ０ Ｏ １ ｏ ｏ １ ０ ｏｏ ｏｏｏ ７ ０．０ ｏ ．ｏ ０ ｏ Ｏ ０．０ ２ ｏ．ｏ ４ ０．
计算 ， 结果 由右表所示 。
４ 结 论
２ 时 阳 ， 兴 旺 。《 冷 器 具 中 制 冷 剂 充 注 量 的计 算 》 郑 州 轻 工 朱 制 。
业 学 院 学 报 ，９ ９１： １— ０ １９ （）Ｐ ７ ２
３ 张 祉 枋 ，制 冷 原 理 与 设 备 》 北 京 ： 械 工 业 出 版 社 ，９ ７ 《 。 机 １８ ：
Ｋ 一 ２ Ｗ 实测的基准毛细管取不同长度时的 Ｅ Ｒ值 ，图中存 Ｆ３Ｇ Ｅ 在一个能效比最大的最佳长度 ， 毛细管长度偏短时 Ｅ Ｒ有所降 Ｅ 低， 偏长时 Ｅ Ｒ降低的更快 ， Ｅ 最佳长度既是毛细管与制冷系统
６ 陈芝 久 ，制 冷 系 统 热 动 力 学 》 北 京 ： 械 工 业 出 版 社 ，９ ８： 《 。 机 １９
双参数指数分布检验问题中样本容量的确定
双参数指数分布检验问题中样本容量的确定黄圣杰【期刊名称】《《广西民族大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(025)003【总页数】4页(P62-64,68)【关键词】门限参数; 尺度参数; 两类错误; 假设检验【作者】黄圣杰【作者单位】广西师范大学数学与统计学院广西桂林 541004【正文语种】中文【中图分类】O212.10 引言双参数指数分布广泛应用于农业、医学、保险等领域.例如,在可靠性领域,其可作为寿命函数;在保险领域,其可作为损失函数,用于健康寿命,灾情防范,车辆赔付等险种.在假设检验中,大多学者较为关注的是第一类错误,然而在金融保险等方面,第二类错误所带来的损失往往会明显高于第一类.因此,在样本容量不确定情况下,如何有效地同时控制双参数假设检验中犯两类错误的概率相当重要.虽然,随着样本量的增加,两类错误都将减小.然而,样本容量又直接影响着检验结果的精确度以及实际抽样的成本和效率,因此盲目地通过增加样本量来控制两类错误,将大大提高检验成本.文献[1]探究了正态分布下两类错误和样本容量之间的数量关系;文献[2]基于上述结论探究了正态分布下均值和方差在假设检验中样本量的确定.文献[3]探究了双参数分布中门限参数和尺度参数的分布性质;文章基于上述研究以及国内外相关研究现状,在双参数的假设检验中,构造合理统计量,证明其分布性质,确定了样本容量和两类错误之间的数量关系,并对其进行数值模拟,论证结论.1 模型估计1.1 模型介绍双参数指数分布的分布函数为：记为Exp(μ,θ),其中μ,θ分别称为门限参数和尺度参数,且有μ≥0,θ＞0.1.2 性质与极大似然估计定理1 设想X 1,X 2,…,X n是来自总体Exp(μ,θ)的简单随机样本,X(1),X(2),…,X(n)为该样本的次序统计量,则有证明：根据次序统计量的性质可知：X(1)的概率密度函数为又Ga(α,λ)的概率密度函数为显然利用Gamma分布的可加性,则有,即样本似然函数为：可以得到(μ,θ)的MLE为：结合定理1,根据Gamma函数和χ2函数之间的关系可以得到以下结论：2 两类错误在假设检验中,观察值是否落在拒绝域内将直接影响着原假设H 0或备择假设H 1的成立.然而,在H 0成立的条件下,由于样本的随机性,观测值也可能会落在拒绝域内,从而做出H 0不成立的误判,即所谓的犯“第一类错误”,记发生概率为α;同理,在备择假设H 1成立的条件下,观测值亦有可能未落在拒绝域内,导致犯“第二类错误”,记发生概率为β.当选择统计量的统计量服从卡方分布时,可以用图1来解释两类错误的原理：图1 两类错误原理Fig.1 Theory of two types of errors3 门限参数检验情形样本容量的确定设X 1,X 2,…,X n是来自总体E xp(μ,θ)的简单随机样本 ,针对如下检验：根据1中结论,选用作为检验统计量,存在临界值c 1,则拒绝域为W 1={T 1＞c 1},在原假设成立时,有然而,在H 1成立的条件下,并不服从卡方分布不妨设总体门限参.数真值为μ真,则有(2)成立.因此为方便起见,记△=|μ真-μ0|,则样本容量为：注：事实上,μ真是一个未知数(若已知,那么假设检验也就没有意义了),但我们可以将其看作一个“理想的值”,而△则正反映了“理想值”与“现实值”的偏差.因此在最大偏差的条件下,我们不妨将其作为△的取值.事实上,当△＞|μ0-μ真|的时候,第二类错误也就显得没有意义了.4 尺度参数的检验设X 1,X 2,…,X n是来自总体Exp(μ,θ)的简单随机样本 ,针对如下检验：类比于第3部分中门限参数的检验,选用作为检验统计量,存在临界值c2,拒绝域为W2={T 2＞c 2}且有1-α=1-P{T 2＞c 2|H 0为真}=为真}由第1部分的结论可知同样地,H 1成立时并不服从卡方分布.不妨设真值为θ真,则有成立.因此,当n充分大时,根据中心极限定理可知,故原式等价于解得5 数值模拟构建密度函数,利用软件R生成10000个服从总体分布为Exp(2,4)的随机数列.计算在最大偏差值为10% 情况下,α为0.08,β为0.05;α为0.05,β为0.05;以及在最大偏差值为6%情况下,α为0.05,β为0.02时检验所需的样本容量.其结果如表1所示：表1 10%,6%偏差时检验所需样本容量Tab.1 The Determination of Sample Size with deviation in 10%and 6%待检验值最大偏差α β 所需样本容量位置参数μ 10% 0.08 0.05 98 10% 0.05 0.05 118 6% 0.05 0.02 198尺度参数θ 10%0.08 0.05 1029 10% 0.05 0.05 1192 6% 0.05 0.02 40436 结论在总体服从双参数指数分布的假设检验中,本文构造了合适的统计量,并证明其服从卡方分布.利用卡方分布的性质以及两类错误的定义,计算得到了在同时控制两类错误下时所需的样本容量.从某种意义上讲,在寻找到合适的统计量后,该方法同样适用其他分布以及多总体下分布的假设检验的样本容量确定.然而,在实际应用中,除了考虑理论上的精度指标之外,还应结合劳动成本,科学性,实践性等情况,从多方面协调出发,得到最优样本容量.[参考文献]【相关文献】[1]欧启钩.浅谈假设检验中犯两类错误的概率及样本容量之间的关系[J].三明高等专科学报,1999,16(3)：1-5.[2]励晶晶,郭文.两类错误条件下的样本容量选择[J].统计与决策,2010(15)：14-18.[3]林红梅.双参数指数分布参数的统计推断[D].山西：山西师范大学数学与计算机科学学院,2012.[4]茆诗松,王静龙,浦晓龙.高度数理统计[M].北京：高等教育出版社,2006.[5]A Chaturvedi.V Sharma.A note on the estimation of P(Y＞X)in two-parameter exponential distributions[J].Statistics,44,No.1(2010)：73-75.。
指数分布和均匀分布变换-概述说明以及解释
指数分布和均匀分布变换-概述说明以及解释1.引言1.1 概述指数分布和均匀分布是概率论中两个重要的概率分布模型。
它们在统计学研究和实际应用中具有广泛的应用和重要的意义。
指数分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数具有以下形式：f(x) = λe^(-λx)，其中λ为正常数，表示单位时间内事件发生的平均次数。
指数分布在描述随机事件的时间间隔、寿命和可靠性等方面具有重要作用。
在实际中，许多自然现象和实验现象可以近似地服从指数分布，例如辐射衰减、进化过程和信号传输时间等。
均匀分布是一种简单的连续型概率分布，其概率密度函数在一个区间内的取值是常数，其余区间的取值为零。
均匀分布常用于表示在某个范围内的随机变量的可能取值的概率均等的情况，例如抛掷硬币、掷骰子和随机选取物品等。
均匀分布具有平均分布的特点，无论在何处抽取样本，概率均等。
本文将对指数分布和均匀分布的基本概念和特征进行介绍和分析。
首先，将详细介绍指数分布的概念和特征，包括概率密度函数、期望值、方差等。
然后，对均匀分布的基本概念和特征进行讨论，包括概率密度函数、期望值、方差等。
接下来，将重点探讨指数分布和均匀分布之间的关系，以及它们之间的变换方法及其应用。
通过对指数分布和均匀分布的比较与分析，我们可以更好地理解和应用这两种概率分布模型。
对于统计学的学习和实际问题的研究，了解指数分布和均匀分布的特点和应用是非常重要的。
在实际应用中，我们可以根据问题的性质和要求，选择适合的分布模型进行建模和分析，从而得到更准确和可靠的结果。
这对于优化工程设计、风险评估和决策分析等方面具有重要的作用。
在接下来的章节中，我们将详细介绍指数分布和均匀分布的基本概念和特征，探讨它们之间的关系，并讨论其变换方法及其在实际应用中的应用。
通过深入研究和理解这些内容，我们将对概率分布模型有更全面和深入的了解，并能够更好地运用它们解决实际问题。
1.2 文章结构本文将围绕指数分布和均匀分布的变换展开讨论，并探讨它们在实际应用中的意义和作用。
数理统计——参数估计
ˆ θ j = θ j (a1,⋯, ak ),
其中
1 n xj aj = ∑ i n i=1
j = 1,⋯, k ,
第2章 参数估计
第22页 22页
例2.1.5 设总体服从指数分布，由于EX=1/λ， 即λ =1/ EX，故λ 的矩法估计为 另外，由于Var(X)=1/λ ，其反函数为 λ = 1/ Var( X ) 因此，从替换原理来看，λ的矩法估计也可取为 s 为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的， 这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采 用低阶矩给出未知参数的估计。
第2章 参数估计
2
第10页 10页
将 lnL(µ,σ ) 分别关于两个分量求偏导并令 其为0, 即得到似然方程组
∂ ln L(µ,σ 2 ) 1 n = 2 ∑ ( xi − µ ) = 0 ∂µ σ i =1 ∂ln L(µ,σ 2 ) 1 n n 2 = 4 ∑(xi − µ) − 2 = 0 2 ∂σ 2σ i=1 2σ
第2章 参数估计
第1页
第2章 参数估计
2.1 2.2 2.3 2.4 参数估计的几种方法 估计的评价标准 最小方差无偏估计 区间估计
第2章 参数估计
第2页
• 一般常用θ 表示参数，参数θ 所有可能取值
组成的集合称为参数空间，常用Θ表示。参 数估计问题就是根据样本对上述各种未知参 数作出估计。
• 参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。
第2章 参数估计
第17页 17页
矩估计法
它是基于一种简单的“替换” 它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 是英国统计学家 皮尔逊最早提出的 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
指数概率分布
指数概率分布一、概述指数概率分布是一种连续型概率分布，常用于描述等待时间或寿命的分布情况。
其特点是随着时间的推移，事件发生的概率逐渐降低。
二、定义指数概率分布是一个参数为λ（lambda）的连续型概率分布，其概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)，其中x≥0。
三、性质1. 指数概率分布的期望值为1/λ，方差为1/λ^2。
2. 指数概率分布具有无记忆性，即事件在已经发生了一段时间后再次发生的概率与该事件发生后经过的时间长度无关。
3. 指数概率分布在图像上呈现出单峰且右偏的形态。
四、应用指数概率分布常被用于描述等待时间或寿命的分布情况。
例如，在服务行业中，客户等待服务所需的时间就可以被看作是一个指数分布。
又如，在可靠性工程中，设备失效所需时间也可以被建模成一个指数分布。
五、参数估计对于给定样本数据集，我们可以通过最大似然估计法来估计其参数λ。
最大似然估计法的基本思想是找到一个参数值，使得该参数下样本数据出现的概率最大。
对于指数概率分布，其最大似然估计值为λ=1/平均值。
六、实例分析假设某公司客服中心平均每小时接到10个电话，且电话呼叫时间服从指数分布。
现在有一位客户等待了5分钟还未接通客服，请问他接通客服的概率是多少？解：由于电话呼叫时间服从指数分布，因此其参数λ=1/10（即平均每小时接到10个电话）。
将5分钟转化为小时，则有x=5/60=0.0833。
根据指数概率分布的概率密度函数f(x)=λe^(-λx)，可得该客户在5分钟内接通客服的概率为P(X≤0.0833)=1-e^(-1/10*0.0833)≈0.41。
七、总结指数概率分布是一种重要的连续型概率分布，在描述等待时间或寿命的分布情况时具有广泛应用。
其特点是随着时间推移，事件发生的概率逐渐降低，并具有无记忆性。
在实际应用中，我们可以通过最大似然估计法来估计其参数值，进而进行各种概率计算。
考研数学一(参数估计和假设检验)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学一（参数估计和假设检验）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设为未知参数θ的无偏一致估计，且是θ2的( )A．无偏一致估计。
B．无偏非一致估计。
C．非无偏一致估计。
D．非无偏非一致估计。
正确答案：C解析：根据无偏估计和一致估计的概念可得的非无偏一致估计，故选C。
知识模块：参数估计2．设是取自总体X中的简单随机样本X1，X2，…，Xn的样本均值，则是μ的矩估计，如果( )A．X～N(μ，σ2)。
B．X服从参数为μ的指数分布。
C．P{X=m}=μ(1—μ)m—1，m=1，2，…。
D．X服从[0，μ]上均匀分布。
正确答案：A解析：若X～N(μ，σ2)，则E(X)=μ，μ的矩估计为，故选A。
对于选项B，X服从参数为μ的指数分布，则E(X)=，μ的矩估计，对于选项C，X服从参数为μ的几何分布，E(X)=，μ的矩估计，对于选项D，E(X)=，μ的矩估计。
知识模块：参数估计3．总体均值μ置信度为95％的置信区间为，其含义是( )A．总体均值μ的真值以95％的概率落入区间。
B．样本均值以95％的概率落入区间。
C．区间含总体均值μ的真值的概率为95％。
D．区间含样本均值的概率为95％。
正确答案：C解析：根据置信区间的概念，故选C。
均值μ是一个客观存在的数，说“μ以95％的概率落入区间”是不妥的，所以不选A，而B、D两项均与μ无关，无法由它确定μ的置信区间。
知识模块：参数估计4．下列关于总体X的统计假设H0属于简单假设的是( )A．X服从正态分布，H0：E(X)=0。
B．X服从指数分布，H0：E(X)≥1。
C．X服从二项分布，H0：D(X)=5。
D．X服从泊松分布，H0：D(X)=3。
正确答案：D解析：A、B、C三项的假设都不能完全确定总体的分布，所以是复合假设，而D选项的假设可以完全确定总体分布，因而是简单假设，故选D。
指数分布参数的E-Bayes方法
指数分布参数的E-Bayes方法李亿民【摘要】基于指数分布定时截尾寿命试验,给出了失效率λ的E-Bayes估计.研究了在超参数取不同密度函数时λ的E-Bayes估计之间的关系和收敛速度以及估计量关于超参数的稳健性,并通过实例,给出了不同超参数下失效率λ和可靠度R(t)的计算结果.【期刊名称】《山东理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(029)002【总页数】4页(P40-43)【关键词】指数分布;先验分布;超参数;失效率;E-Bayes估计【作者】李亿民【作者单位】山东理工大学理学院,山东淄博255049【正文语种】中文【中图分类】O213.2对于指数分布的定数截尾寿命试验，已经有了比较成熟的处理方法[1].对于定时截尾寿命试验，在规定的试验时间较短时，特别是对于高可靠产品，失效个数往往比较少，甚至出现无失效的情形 [2-6]．为了充分利用产品的失效信息和分布的先验信息，对指数分布定时截尾寿命试验，我们试图给出参数λ和R(t)的E-Bayes(expected Bayesian)估计[5]．设产品寿命T服从参数为λ的指数分布，即其中λ>0为产品的失效率．现安排K组寿命试验，每组产品个数为ni，截尾时间为τi，该组产品失效数为ri，于是获得了失效数据{(ni,ri,τi),i=1,2,…，K}，令,.在无失效的情况， r=0,.定义1 设为参数λ的一个Bayes估计，参数a的概率密度函数为π(a)，a∈I,若积分绝对收敛，则称其为参数λ的一个E-Bayes估计 (expected Bayesian estimation),记作，即a.从定义1知，EB就是B(a)关于超参数a的数学期望，即).对参数λ>0，选择其先验密度函数为 [5]其中 a>0为超参数．定理1 设产品寿命T服从指数分布(1)，失效数据为{(ni,ri,τi),i=1,2,…，K}，若λ的先验密度函数取式(2)，则在平方损失下，λ的Bayes估计为证明对指数分布，在第i组定时截尾寿命试验中，其失效数ζi服从参数为(ni-ri)τiλ的Poisson分布，于是样本的似然函数为由Bayes定理，得参数λ的后验密度即参数λ的后验密度为伽马分布Ga(r+1,S+a)[1]，于是，在平方意义下，其Bayes估计就是其数学期望，即.由于知道a>0，我们假定它有上界 c，即 a服从 (0,c)上的分布，为此，假定其密度函数分布为其中j≥0，当j=0时，即为(0,c)上的均匀分布；两种密度函数从图形上差别较大，式(3)为严格递减函数，式(4)为严格递增函数．定理2 记式(3)和式(4)所对应的参数λ的E-Bayes分别为和，则(ⅰ)(j)为关于j的严格单调递减函数，(j)为关于j的严格单调递增；(ⅱ)对任意m>0，j>0,有证明(ⅰ)这里只证明(j)关于j严格单调递减．事实上，由定义1，得对任意0≤j<m，有令，则a∈(0，a0)时，式(5)的被积函数大于零，在a∈(a0,c)时，式(5)的被积函数小于零，由积分中值定理可知[7]，分别存在ζ∈(0,a0),η∈(a0,c)使得于是(j)是关于j的严格递减函数．同理，(j)是关于j的严格递增函数．(ⅱ)由(j)是关于j的严格递增函数，所以对任意j>0，有关于j单调递减，所以对任意m>0，有，从而对任意m>0,j>0，有).为便于应用，我们给出k=2,0时a的3个先验密度函数定理3 在定理1的条件下，若a的3个先验密度函数为式(6)、式(7)、式(8)，则(ⅰ)参数λ的E-Bayes估计分别为(ⅱ)对任意S>0,c>0，总有(ⅲ)(ⅳ)).证明(ⅰ)由定义1知将函数)进行泰勒展开，则有=至于其他两种情况，可类似证明．(ⅱ)由定理2，知(j)单调递增，所以即同理,于是至于(ⅲ)和(ⅳ)的证明，直接利用(ⅰ)的结果即可．在无失效情况下，niτi，同样适用文中的结果．从失效率λ的3个估计量来看，在S较大时，受c的影响不会很大．(说明：在S较大的情况下，上述估计结果相对于c的选取具有较强的稳健性，详见文献[8]和文献[9])．某型号电子产品的定时截尾试验中，所得到的试验数据见表1．已知该产品寿命服从参数为λ的指数分布．将表1的试验数据代入定理3，得到失效率λ的E-Bayes估计EBi(i=3,4,5) 及不同时间点处可靠度的估计,结果见表2．从表2可以看出，对于同一个 c值，所对应的不同的EBi以及不同时刻所对应的可靠度的估计值EBi(t)(i=3,4,5)的差别都是很小的；对于不同的c值，如从100到4000，范围相当大，但是所得到的EBi和EBi(t)的估计值的差别也是相当小，从而表明寿命估计关于超参数的均匀分布上界c的选取是相当稳健的，也说明超参数选择(0,c)上的无信息先验分布是合适的．【相关文献】[1] 茆诗松，汤银才，王玲玲. 可靠性统计[M]. 北京：高等教育出版社，2008.[2] 茆诗松，程依明，濮晓龙. 概率论与数理统计教程[M]. 2版.北京：高等教育出版社，2011.[3] 茆诗松, 李亿民. 恒加寿命试验中无失效数据的处理[J]. 应用概率统计, 1993,9(2) :216-218.[4] 李建军. 指数分布无失效数据的Bayes点估计[J]. 桂林电子科技大学学报，2007，27(1):68-70.[5] 韩明. 可靠性参数的修正Bayes估计法及其应用[M]. 上海：同济大学出版社，2010.[6] 黄秀平，周经伦.二项分布场合加速退化零失效可靠性验证试验[J]. 系统工程与电子技术, 2012,34(9):1 951-1 956.[7] 华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 4版.北京：高等教育出版社，2010.[8] 熊莲花，赵德勤. 威布尔分布无失效数据失效概率的估计[J]. 大学数学，2010，26(3): 23-27.[9] 马志明，刘瑞元. 指数分布无失效数据情形的参数估计[J]. 青海大学学报：自然科学版，2007，25(2)：82-85.。
指数分布下参数推断方法的比较
则 样 本 Байду номын сангаас 期 望 信 息 量 为
０ 仅 在 ，． Ｌ 时 ， 观 察 到 丁 ， 此 ， 据 由 以 下 数 对 组 成 。 ，≤ 能 因 数
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（ Ｏ １）
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第 ２ ３卷 第 ３期
２ ０ ０ ２年 ９月
锦 州师 范 学 院 学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉ ｚ ｏ ｏ ｍ ａ Ｈ ｇ （ ａｕ ａ ｃｅ ｃ ｉｉｎ ｏ ｒ ａ ｆＪｎ ｈ ｕ Ｎ ｒ ｌ Ｃｏ ｅ ｅ Ｎ ｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅＥｄ ｔ ） Ｓ ｏ
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由 于 Ｐｒ（ 一 Ｏ）一 ｅ ｐ（ Ｌ ０ ． ｘ 一 ／ ）＝ １一 Ｐｒ（ ｉ＝ １ 。 Ｓ ）
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其 中 ： 一 三ｔ， Ｔ ．Ｔ是 ０的 充 分 统 计 量 。 ｆ 是 独 立 标 准 指 数 诸 ／ 变 量 ，１Ｑ 有 单 参 数 伽 玛 分 布 ， 刻 度 参 数 为 。 价 地 ７／ 其 等
２ １ ～ ７／ （ｎ 。 ２ ） （） ４
Ｅｉ一 ） Ｅ１ ≤ ） 』 （ １ （ｆ 厶 ＝： ｔ ｆ 一７ ． ‘ ｚ
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故 Ｅ（ ）＝ Ｅ（ Ｉ 一 Ｏ Ｐ （ Ｏ ＋ Ｅ（ Ｉ 一 １ Ｐ （ ｔ ｆ 。 ）・ ， 占 ＝ ） ｆ ）・ ，
关 键 词 ： 数 分 布 ； 信 区 间 ； 数 估 计 ； 全 样 本 指 置 参 完
数理统计
考点1：子样平均值、方差、顺序中位数、三种分布及其性质1. 设X 1，X 2，…，X n ，是区间（-1，1）上均匀分布的母体的一个子样，试求子样平均数的均值和方差。
（填空）（★P30 题13）22(1,1)11022()(11)112123i x U a b E X EX b a n n n -+-+====-+===由 DX DX=n 2. 设母体X 具有正态分布N(0，1)，从此母体中取一容量为6的子样（X 1，X 2，X 3，X 4，X 5，X 6）。
又设Y=(X 1+X 2+X 3)2+(X 4+X 5+X 6)2。
试决定常数C ，使得CY 服从χ2分布。
（★P30题15） 解：123456221234562(0,1)(0,1)3(0,1)33()3()33(2)i x N X X XN X X X N X X X X X X Y CY χ++⇒++⇒++++=+ 123456由于 则 X +X +X N(0,3) X +X +X N(0,3) 1则当 C=时，33. 设X 1，X 2，…，X n ，X n+1，…，X n+m 是分布为N(0,σ2)的正态母体容量为n+m 的子样，试求下列统计量的概率分布：（填空）（★P30题18）211122211(1);(2)nnii i i n mn m i i i n i n m X m X Y Y n X nX ==++=+=+==∑∑∑∑。
2211222222111122211(1)(0,)(0,)(0,1)(0,1)(1)()()i nini i i n mii i i n nini ii n mn miii n i n X N XX N n N n X X X N m Xm X n Y t m X nXmσσσχχσσσσσ==+=+==++=+=+⇒⇒⇒==∑∑∑∑∑∑∑ 由于 故22222221222122211222211(2)(0,)(0,1)(1)()()/(,)/i nii i i n mi i n nni ii i n mn mi i i n i n X N X X X N n X m X m X nY F n m X n X mσχχσσσχσσσ=+=+==++=+=+⇒⇒==∑∑∑∑∑∑由于4、设X 1，X 2，…，X n 来自N(0，1)的子样，则2121()()m m n x x b x x +++++ 服从什么分布且b 为多少。
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母体为指数分布的参数估计和检验
指数分布是随机变量服从的概率分布之一，常用于描述独立随机事件之间的间隔时间或时间随机过程的事件发生间隔时间。
在实际应用中，需要通过样本数据对指数分布的参数进行估计和检验。
本文将简要介绍指数分布的概念，以及参数估计和检验方法。
一、指数分布的概念
指数分布是一种连续概率分布，其概率密度函数为：
f(x)=λexp(-λx) （x≥0，λ>0）
其中，λ称为指数分布的参数，表示单位时间内随机事件发生的平均次数。
指数分布的累积分布函数为：
F(x)=1-exp(-λx)
指数分布在实际应用中比较常见，例如组织失效时间、物品寿命、客户到达时间等。
二、参数估计
指数分布的参数估计是指根据样本数据，推断总体分布的未知参数λ的值。
常用的方法有最大似然估计和矩估计。
1. 最大似然估计
最大似然估计是常用的参数估计方法之一。
假设有n个样本数据，那么它们的概率密度函数为：
L(λ|x1,x2,…,xn)=∏f(xi)=∏λexp(-λxi)
对其取对数得到：
lnL(λ|x1,x2,…,xn)=nlnλ-λ∑xi
将其关于λ求导得到似然函数的极大值点为：
λ^=n/∑xi
因此，对于给定的样本数据，可以通过最大似然估计得到λ的值。
2. 矩估计
矩估计是指通过样本的矩来估计总体的矩，从而得到总体参数的估计值。
对于指数分布，它的期望和方差分别为1/λ和1/λ^2。
因此，可以通过样本的均值和方差来估计λ的值：
λ^=1/均值
三、参数检验
参数检验是指根据样本数据，检验总体分布的未知参数是否符合某种假设条件。
常用的检验方法包括最大似然估计检验和贝叶斯假设检验。
1. 最大似然估计检验
最大似然估计检验是指在给定样本数据的条件下，用最大似然估计得到总体参数的值，进而根据其是否符合假设条件，进行一定的判断。
对于指数分布，假设其参数为λ0，那么可以计算出样本数据服从参数为λ0的指数分布的概率，进而计算似然比L：L=似然函数(λ^)/似然函数(λ0)
若L>1，则拒绝λ0；若L<1，则接受λ0；若L在某个置信水平
下的临界值之间，则无法判断，需要进一步研究。
2. 贝叶斯假设检验
贝叶斯假设检验是指在给定先验分布下，计算后验分布的过程，并根据其是否包含某个假设值来判断其是否成立。
对于指数分布，
假设其参数为λ0，且先验分布为伽马分布，则可以计算出后验分布，进而计算出贝叶斯因子B：
B=似然函数(λ^)*先验分布(λ^)/似然函数(λ0)*先验分布(λ0)
若B>1，则拒绝λ0；若B<1，则接受λ0；若B在某个置信水平
下的临界值之间，则无法判断，需要进一步研究。
四、总结
指数分布在实际应用中比较常见，需要进行参数估计和检验。
常用的参数估计方法有最大似然估计和矩估计；常用的参数检验方
法有最大似然估计检验和贝叶斯假设检验。
在进行参数估计和检验时，需要注意样本数据的大小、对估计结果的置信水平等因素。