高二数学椭圆试题(有答案)

高二数学椭圆试题(有答案)一：选择题1.已知方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．m＞2或m＜﹣1B．m＞﹣2C．﹣1＜m＜2D．m＞2或﹣2＜m＜﹣1解：椭圆的焦点在x轴上，所以 $a^2>b^2$，即$\frac{b^2}{a^2}<1$。

根据焦点公式可得 $c=\sqrt{a^2-b^2}$，又因为焦点在x 轴上，所以 $c=a$。

所以 $a=b$，代入椭圆方程可得$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$。

解得 $m^2-2m>0$，即 $m2$。

所以 m 的取值范围为 $m>2$ 或 $-2<m<-1$，故选D。

2.已知椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m-2}=1$，长轴在y 轴上、若焦距为4，则m等于（）A．4B．5C．7D．8解：因为椭圆的长轴在y轴上，所以 $a^2=4$。

又因为焦距为4，所以 $c=2$。

根据焦点公式可得 $b^2=a^2(c^2-a^2)=12$。

代入椭圆方程可得 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，解得 $m=8$，故选D。

3.椭圆 $(1-m)x^2-my^2=1$ 的长轴长是（）A．$\sqrt{2}$B．$\sqrt{3}$C．$\sqrt{5}$D．$\sqrt{6}$解：将椭圆的方程化为标准形式 $\frac{x^2}{\frac{1}{1-m}}+\frac{y^2}{\frac{1}{m}}=1$。

因为长轴长为 $2a$，所以 $2a=2$，解得长轴长为$\sqrt{2}$，故选A。

4.已知点 $F_1$、$F_2$ 分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$k＞﹣1$）的左、右焦点，弦AB过点 $F_1$，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为（）A．$\frac{1}{2}$B．$\frac{\sqrt{2}}{2}$C．$\frac{\sqrt{3}}{2}$D．$\frac{\sqrt{5}}{2}$解：因为弦AB过点 $F_1$，所以 $AB=2a$。

又因为△ABF2的周长为8，所以 $AB+BF_2+AF_2=8$。

根据焦点公式可得 $BF_2=AF_2=\sqrt{a^2-b^2}$。

代入上式可得 $2a+2\sqrt{a^2-b^2}=8$，解得 $a=2$。

根据离心率公式可得 $e=\frac{c}{a}$，又因为$c=\sqrt{a^2-b^2}$，代入可得$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故选B。

5.已知△ABC的周长为20，且顶点B（2，﹣4），C（2，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．$\frac{(x-6)^2}{36}+\frac{y^2}{21}=1$B．$\frac{(x-6)^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$ （$x\neq2$）C．$\frac{x^2}{6}+\frac{(y-4)^2}{9}=1$ （$y\neq-4$）D．$\frac{x^2}{6}+\frac{(y+4)^2}{9}=1$ （$y\neq4$）解：因为顶点B（2，﹣4），C（2，4），所以$BC=8$。

又因为△ABC的周长为20，所以 $AB+AC=20-BC=12$。

根据焦点公式可得 $2a=12$，所以 $a=6$。

又因为顶点B、C在y轴上，所以椭圆的中心为 $(6,0)$。

根据焦点公式可得 $c=4$，代入椭圆方程可得 $\frac{(x-6)^2}{36}+\frac{y^2}{21}=1$，故选A。

6.方程 $|x-2|+|y|+|x+2|=10$，化简的结果是（）A．$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{21}=1$B．$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{20}=1$C．$\frac{x^2}{21}+\frac{y^2}{25}=1$D．$\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{25}=1$解：将 $|x-2|+|x+2|=|x^2-4|$ 代入原式可得 $|x^2-4|+|y|=10-|x^2-4|$。

因为 $|x^2-4|\geq0$，所以 $10-|x^2-4|\leq10$。

所以 $|y|\leq10$，即 $-10\leq y\leq10$。

当 $-2\leq x\leq2$ 时，$|x^2-4|=4-x^2$，代入原式可得 $|4-x^2|+|y|=6-x^2$。

当$x>2$ 时，$|x^2-4|=x^2-4$，代入原式可得$x^2+y=6$。

当$x<-2$ 时，$|x^2-4|=x^2-4$，代入原式可得$x^2-y=6$。

所以点P的轨迹为椭圆，中心为 $(0,0)$，$a=5$，$b=\sqrt{21}$，故选A。

7.设θ是三角形的一个内角，且$\sin\theta+\cos\theta=1$，则方程 $x^2\sin\theta-y^2\cos\theta=1$ 表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在x轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在y轴上的椭圆解：因为 $\sin\theta+\cos\theta=1$，所以$\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=1$，即$\sin2\theta=0$。

所以 $\theta=k\pi$ 或 $\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi$，其中$k\in Z$。

当 $\theta=k\pi$ 时，$x^2\sin\theta-y^2\cos\theta=0$，表示两条直线。

当 $\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi$ 时，$x^2\sin\theta-y^2\cos\theta=x^2-y^2=1$，表示焦点在x轴上的双曲线。

所以选A。

1.由于|sinθ|＞|cosθ|，所以θ∈（π/4，3π/4），从而cosθ＜sinθ，因此x^2sinθ﹣y^2cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆。

因此选D。

2.设点P在x轴上方，坐标为（x，0），则有PF2=PF1=2a/√2，F1F2=a，由勾股定理可得PF1=PF2=a/√2，因此椭圆的离心率e=√(1﹣b^2/a^2)=√(1/2)，故选D。

3.依题意，设P（﹣c，y）（y＞0），则有y^2/a^2+（c﹣1）^2/b^2=1，又A（a，0），B（0，b），AB∥OP，因此k=AB/OP=b/c，即b=kc。

设该椭圆的离心率为e，则e^2=1﹣b^2/a^2=1﹣k^2c^2/a^2，代入b=kc，化简得e^2=1﹣k^2/(1﹣k^2)，因此椭圆的离心率e=√(1﹣1/(1+k^2))，故选C。

4.由题意得(x﹣1)^2/4+y^2/9=1，设点P（x，y），则有PF^2=（x﹣1）^2+y^2，又FO=1，因此OF^2=（x﹣2）^2+y^2，根据勾股定理得PF^2﹣OF^2=3，即（x﹣1）^2+y^2﹣（x﹣2）^2﹣y^2=3，化简得x=2，代入原方程可得y=3或y=﹣3，因此最大值为6，故选C。

5.设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则有a^2﹣b^2=1，又F（0，c），P（x，y），因此有y^2/a^2+x^2/b^2﹣1=1，即x^2/b^2﹣y^2/a^2=﹣1，又根据题意有PF=2b，因此有y^2/a^2+（x﹣c）^2=b^2，代入x^2/b^2﹣y^2/a^2=﹣1，化简得c^2=a^2﹣b^2，因此a^2﹣c^2=b^2﹣1，代入e^2=1﹣b^2/a^2，化简得e^2=c^2/a^2，即e^2=1﹣b^2/(a^2﹣b^2)，因此椭圆的离心率e=√(1/2)，故选D。

6.设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则有a^2﹣b^2=4，又F（﹣1，0），P（x，y），因此有(x﹣﹣1)^2+y^2/a^2=1，即y^2/a^2﹣2x/a+y^2/a^2=x^2﹣2x﹣3，化简得y^2/a^2﹣2x/a+y^2/a^2﹣x^2﹣3=0，根据题意有PF=2，即（x﹣﹣1)^2+y^2=4b^2，代入上式化简得x^2﹣4x﹣3=0，解得x=2﹣√7或x=2+√7，因此最大值为2+√7，故选D。

7.设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则有a^2﹣b^2=1，又F（1，0），P（x，y），因此有(x﹣1)^2+y^2/b^2=1，即y^2/b^2=1﹣（x﹣1）^2，又根据题意有PF=2，因此有(x﹣1)^2+y^2=4b^2，代入上式化简得y^2/b^2=4﹣（x﹣1）^2/b^2，化简得x^2/a^2+y^2/b^2=5/4，因此椭圆的离心率e=√(1﹣b^2/a^2)=√(3/4)，故选B。

12.设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则有a^2﹣b^2=c^2，又F（c，0），AB的方程为bx+ay﹣ab=0，因此点F到直线AB的距离d=|bc/a|/√(a^2+b^2)，代入d=√(a^2﹣c^2)，化简得c^2=a^2﹣b^2/2，代入e^2=1﹣b^2/a^2，化简得e^2=1/2﹣1/(2a^2)，因此椭圆的离心率e=√(1/2﹣1/(2a^2))，故选B。

13.已知椭圆$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(a>b>0)$的左、右焦点为$F_1$，$F_2$，$P$为椭圆上的一点，且$|PF_1||PF_2|$，则椭圆的离心率的取值范围为$[0,\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}]$。

其中$c=\sqrt{a^2-b^2}$。

解：由题意知$|PF_1|\cdot|PF_2|$的最大值为$a^2$，所以$2c^2\leq a^2\leq 3c^2$。

又因为$e=\frac{c}{a}$，所以$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$，所以$0\leq e<\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$。

故选A。

14.在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(a>b>0)$中，$F_1$，$F_2$分别是其左右焦点，若$|PF_1|=2|PF_2|$，则该椭圆离心率的取值范围是$(0,\frac{1}{3}]$。

解：根据椭圆定义$|PF_1|+|PF_2|=2a$，将设$|PF_1|=2|PF_2|$代入得$b^2=4a^2-5c^2$。

根据椭圆的几何性质，$|PF_2|\geq a-c$，故$b^2=(a-c)^2+(a+c)^2-2(a-c)(a+c)\cos\theta\geq 4a^2-4ac$。