抛物线基础训练题经典含答案
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抛物线练习题一、选择题1. （2014·重庆高考文科·Ｔ8）设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得()22123,PF PF b ab -=- 则该双曲线的离心率为 （）4【解题提示】直接根据双曲线的定义得到关于,a b 的等式，进而求出离心率的值. 【解析】选D.由双曲线的定义知，()22124,PF PF a -=又()22123,PF PF b ab -=-所以2243a b ab =-等号两边同除2a ，化简得2340b b a a ⎛⎫-∙-= ⎪⎝⎭ ，解得4,b a =或1b a =-（舍去）故离心率c e a =====2. （2014·天津高考文科·Ｔ6同2014·天津高考理科·Ｔ5））已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 【解析】选 A.因为双曲线的一个焦点在直线l 上，所以0210,c =+即5,c =又因为渐近线平行于直线,102:+=x y l 故有2,ba=结合222,c a b =+得225,20,a b ==所以双曲线的标准方程为120522=-y x3. （2014·湖北高考理科·Ｔ9）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A.C.3D.2【解题提示】 椭圆、双曲线的定义与性质，余弦定理及用基本不等式求最值 【解析】选A. 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为1a （1a a >），半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得a PF PF 2||||21=+，121||||2PF PF a -=，所以11||a a PF +=，12||a a PF -=，因为123F PF π∠=，由余弦定理得22211114()()2()()cos3c a a a a a a a a π=++--+-，所以212234a a c +=，即2122122221)(2124c a c a c a c a c a +≥+=-，所以212148)11(e e e -≤+，利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为.4.(2014·广东高考理科)若实数k 满足0<k<9,则曲线225x 错误！未找到引用源。
初三抛物线练习题及答案
初三抛物线练习题及答案抛物线是数学中的基本图形之一，也是初中数学中重要的内容之一。
掌握抛物线的性质和解题方法，不仅能提高数学水平，还有助于培养逻辑思维和分析问题的能力。
下面是一些初三抛物线练习题及答案，希望能对同学们的学习有所帮助。
1. 已知抛物线的顶点为(-1, 4)，经过点(2, 1)，求抛物线的解析式。
解析：设抛物线的解析式为y = ax^2 + bx + c。
由已知顶点坐标(-1, 4)，可得：4 = a(-1)^2 + b(-1) + c化简得：a - b + c = 4 （式1）由已知经过点(2, 1)，可得：1 = a(2)^2 + b(2) + c化简得：4a + 2b + c = 1 （式2）解方程组（式1）和（式2），得到a、b、c的值，即可得到抛物线的解析式。
2. 抛物线y = 2x^2 + 3x + 1的对称轴是什么？解析：对称轴是指抛物线上各点关于该轴对称。
对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c，其对称轴的公式为x = -b/2a。
对于给定的抛物线y = 2x^2 + 3x + 1，将其转化为一般形式，即a = 2，b = 3，c = 1。
代入公式x = -b/2a，可得对称轴的方程：x = -3/(2*2)化简得：x = -3/4所以，抛物线y = 2x^2 + 3x + 1的对称轴方程为x = -3/4。
3. 已知抛物线经过点(1, 5)和(-2, 1)，求抛物线的解析式。
解析：设抛物线的解析式为y = ax^2 + bx + c。
由已知点(1, 5)，可得：5 = a(1)^2 + b(1) + c化简得：a + b + c = 5 （式3）由已知点(-2, 1)，可得：1 = a(-2)^2 + b(-2) + c化简得：4a - 2b + c = 1 （式4）解方程组（式3）和（式4），即可得到a、b、c的值，从而得到抛物线的解析式。
4. 已知抛物线过点(3, 4)，顶点坐标为(-1, -2)，求抛物线的解析式。
(2021年整理)抛物线练习题(含答案)
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错误! B。
错误! C。
错误! D.错误!3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（）A.错误! B．－错误! C．8 D．－84．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A．4 B．6 C．8 D．125．设过抛物线的焦点F的弦为AB，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（）A．相交B．相切 C．相离D．以上答案都有可能6．过点F(0，3）且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为（)A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝12y D．x2＝－12y7．抛物线y2＝8x上一点P到x轴距离为12，则点P到抛物线焦点F的距离为( ) A．20 B．8 C．22 D．248．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A．2错误! B.错误! C。
(2021年整理)抛物线练习题(含答案)
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抛物线练习题一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1，1）和直线x＋2y＝3距离相等的点的轨迹是（）A．直线B．抛物线 C．圆 D．双曲线2．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2,则P点坐标为（）A.错误! B。
错误! C。
错误!D。
错误!3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（)A.错误! B．－错误! C．8 D．－84．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( ）A．4 B．6 C．8 D．125．设过抛物线的焦点F的弦为AB，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（）A．相交B．相切 C．相离D．以上答案都有可能6．过点F（0，3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝12y D．x2＝－12y7．抛物线y2＝8x上一点P到x轴距离为12，则点P到抛物线焦点F的距离为( ）A．20 B．8 C．22 D．248．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( ）A．2错误!B。
错误! C.错误!错误! D.错误!错误!9．设抛物线的顶点在原点,其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k，－2）与F点的距离为4，则k的值是（）A．4 B．4或－4 C．－2 D．2或－210．抛物线y＝1mx2（m<0）的焦点坐标是( ）A。
初三抛物线练习题和答案
初三抛物线练习题和答案一、选择题1. 下列哪个点不在抛物线y = 2x² - 4x + 1上？A. (-1, 7)B. (0, 1)C. (1, -1)D. (2, 1)答案：C2. 抛物线y = -3x² + 6x - 9的开口方向是：A. 向上B. 向下答案：B3. 抛物线y = x² + 2x - 3的顶点坐标是：A. (-1, 0)B. (-1, -4)C. (-1, -2)D. (1, 4)答案：C二、填空题1. 抛物线y = 2x² - 4x + 1的对称轴方程是______。
答案：x = 12. 抛物线y = -x² + 4x + 5的焦点坐标为(2, 4)，则抛物线的方程为______。
答案：y = -(x - 2)² + 4三、解答题1. 求抛物线y = -2x² + 8x - 5的顶点坐标和对称轴方程。
解答：首先，我们知道抛物线的顶点坐标可以通过公式计算。
对于一般式的二次函数y = ax² + bx + c，顶点的横坐标为x = -b/2a，带入公式即可得到纵坐标。
在这个例子中，a = -2，b = 8，c = -5。
将这些值代入公式，我们可以计算出顶点的横坐标为x = -8/(-4) = 2。
将x = 2带入原方程，可以计算出顶点的纵坐标为y = -2(2)² + 8(2) - 5 = 7。
因此，抛物线y = -2x² + 8x - 5的顶点坐标为(2, 7)。
对称轴方程为x = 2。
2. 求抛物线y = x² - 4x + 3的焦点坐标。
解答：为了求解焦点坐标，我们需要先将方程转化为顶点形式。
通过配方可以将标准形式转化为顶点形式。
首先，我们可以将方程y = x²- 4x + 3写成完全平方式，即y = (x - 2)² - 1。
通过完全平方式转化后，我们可以得到抛物线的顶点坐标为(2, -1)。
高中数学抛物线经典例题(含解析)
抛物线大题一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线大题参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．【分析】（1）由题意，结合所给信息列出等式，求出p的值，进而可得抛物线C的方程；（2）（i）结合（1）中所得信息得到点P的坐标，设出A，B两点的坐标，利用斜率公式得到4（y1+y2）+y1y2+20＝0，对直线AB的斜率是否存在进行讨论，进而即可求解；（ii）设出A，B两点的坐标，分别讨论直线AB的斜率是否存在，当直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理即可得到|F A|•|FB|的最小值，当直线AB的斜率不存在时，结合抛物线的定义即可得到|F A|•|FB|的最小值，两者比较即可求解．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．【分析】（1）由抛物线的准线方程求出p，可得抛物线C的方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l和抛物线C的方程，消元写出韦达定理，将OP⊥OQ用坐标表示，代入韦达定理化简计算，可得m的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．【分析】（1）由题意，先设出抛物线C的方程，将点P的坐标代入抛物线方程中，求出p的值，进而可得抛物线C的标准方程；（2）设出直线AB的方程和A，B两点的坐标，将直线AB的方程与抛物线方程联立，求出A，B两点的坐标，进而即可求解．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．【分析】（1）由题意，结合题目所给信息建立有关p的等式，进而即可求解；（2）设出A，B两点的坐标，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用向量的坐标运算以及韦达定理再进行求解即可．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．【分析】（1）由题意，先求出的右焦点，根据抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合，可得，进而求出抛物线方程；（2）结合（1）中所得信息得到直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式再进行求解即可．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．【分析】（1）由题意，得到点A的坐标，代入抛物线方程中进行求解即可；（2）先得到直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及抛物线的定义再进行求解即可．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用|PF|＝5，根据抛物线的定义，求出p的值，即可得解；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（s，0），直线l的方程为x＝ty+2（t≠0），将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理，根据k AM＝﹣k MB，求出s的值，即可得解．。
抛物线基础题(含答案)之欧阳数创编
抛物线（A ）一．选择题：1． 准线为x=2的抛物线的标准方程是A.24y x =-B.28y x =-C.24y x =D.28y x = (答：B)2． 焦点是（-5，0）的抛物线的标准方程是A.25y x =B.210y x =-C.220y x =-D.220x y =- (答：C)3． 抛物线F 是焦点，则p 表示A. F 到准线的距离B.F到准线距离的14 B. C. F 到准线距离的18 D. F 到y 轴距离的（答：B ） 4． 动点M （x,y ）到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则点M 的轨迹方程是A.40x +=B.40x -=C.28y x =D.216y x = (答：D)5． 若抛物线2(1)y a x =+的准线方程是x=-3，那么抛物线的焦点坐标是A.（3，0）B.（2，0）C.1，0）D.（-1，0） （答：C ）6． 24x y =点于直线0x y -=对称的抛物线的焦点坐标为 A 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭ B 10,16⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 1,016⎛⎫- ⎪⎝⎭ （答：A ） 7． 动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差等于2，则点P 的轨迹是A 直线B 椭圆C 双曲线D 抛物线 （答：D ）8． 抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(),3P m -到焦点的距离为5，则抛物线的准线方程是A 4y =B 4y =-C 2y =D 2y =- （答：C ）9． 抛物线()20y ax a =<的焦点坐标和准线方程分别为 A 11,044x a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B 11,044x a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ C 110,44y a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D110,44y a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ （答：C ） 10. 在28y x =上有一点P ，它到焦点的距离是20，则P 点的坐标是A ()8,12B ()18,12-C ()18,12或()18,12-D ()12,18或()12,18-（答：C ）11． 物线210y x =的焦点到准线的距离是 A.10 B.5 C.20 D.52 （答：B ）12． 抛物线28x y =-的焦点坐标是A.()4,0-B.()0,4-C.()2,0-D.()0,2- (答：D)二．填空题：1． 2(0)y ax a =≠的焦点坐标是 答：(,0)4a2． 24y x =的焦点坐标是准线方程是 （答：（0，116），116y =- 3． 顶点在原点，焦点为（0，-2）的抛物线的方程为（答：28x y =-）4． 抛物线22(0)y px p =>上一点M 到焦点的距离是()2p a a >，则点M 到准线的距离是点M 的横坐标是 （答：,2pa a -）5． 一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高1.1米，跨度是2.2米，则拱形的抛物线方程是（答：2 1.1x y =-）6． 抛物线22(0)y px p =>点()23-，到其焦点的距离是5，则p=_______（答：4）7． 抛物线()()12,1812,18-24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线的焦点为_______ （答：5）三．解答题：1． 根据下列条件写出抛物线的标准方程（1） 焦点是F （3，0）（答：212y x =）（2） 准线方程是14x =-（答：2y x =）（3） 焦点到准线距离是 2 （答：2x y =±24y x =±）2． 求顶点在原点，对称轴为坐标轴，过点（2，-8）的抛物线方程，并指出焦点和准线。
抛物线同步练习题小题含答案
抛物线基础训练题1. 抛物线y 2=8x 的准线方程是（ A ）。
（A ）x =－2 （B ）x =2 （C ）x =－4 （D ）y =－22. 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，作倾斜角为60°的直线，则直线的方程是（ B ）。
（A ）y =33(x －1) （B ）y =3 (x －1) （C ）y =33(x －2) （D ）y =3 (x －2) 3．已知抛物线的焦点是F (0，4)，则此抛物线的标准方程是( A ) （A ）x 2＝16y （B ）x 2＝8y （C ）y 2＝16x （D ）y 2＝8x4. 若抛物线y =x 2与x =－y 2的图象关于直线l 对称，则l 的方程是（B ）。
（A ）x －y =0 （B ）x ＋y =0 （C ）x =0 （D ）y =05．AB 是过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦，已知A ，B 两点的横坐标分别是x 1和x 2，且x 1＋x 2＝6则|AB |等于（ B ） （A ）10 （B ）8 （C ）7 （D ）66．经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（C ）（A ）y 2＝4x （B ）x 2＝21y (C ) y 2＝4x 或x 2＝21y (D ) y 2＝4x 或x 2＝4y 7. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)两点，如果AB 与x 轴成45°角，那么|AB |等于（ B ）。
（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）48．抛物线的焦点在y 轴上，准线与椭圆4x 2＋3y 2＝1的左准线重合，并且经过椭圆的右焦点，那么它的对称轴方程是C（A ）y ＝24 （B ）y ＝26 或 y ＝－26 （C ）y ＝26 （D ）y ＝22或y ＝－229. 顶点在原点，焦点是F (6, 0)的抛物线的方程是2y 24x =。
10．抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 是抛物线上一点，已知|AF |＝4＋22，则AF 所在直线方程是21211-122y x y x ++=+=+或。
抛物线测试题含答案
抛物线测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．抛物线22x y =的焦点坐标是 （ ） A ．)0,1( B ．)0,41(C ．)81,0( D ． )41,0(2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为 （ ） A ．y x 82= B ．y x 42= C ．y x 42-= D ．y x 82-=3．抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于 （ ）A ．15B ．152C ．215D ．154．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 （ ）A.y x 292-=或x y 342= B.x y 292-=或y x 342= C.y x 342= D.x y 292-=5．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．26．抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y x B y x A ),(33y x C 三点，F 是它的焦点，若CF BF AF ,, 成等差数列，则 （ ） A ．321,,x x x 成等差数列 B ．231,,x x x 成等差数列C ．321,,y y y 成等差数列D ．231,,y y y 成等差数列7．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则PB PA + 取得最小值时点P 的坐标是 （ ）A ．（0，0）B ．（1，1）C ．（2，2）D ．)1,21(8．已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的两端点为),(),,(2211y x B y x A , 则关系式2121x x y y 的值一定等于 （ ）A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p9．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是q p ,，则qp 11+= （ ）A ．a 2B ．a21C ．a 4D ．a410．若AB 为抛物线y 2=2p x (p>0)的动弦，且|AB|=a (a >2p)，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是 （ ）A ．2aB ．2pC ．2pa + D ．2pa - 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________． 12、直线x y --=10截抛物线y x 28=，所截得的弦中点的坐标是 13、抛物线y px p 220=>()上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点与准线的距离为14、设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=15、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在y 轴上； （2）焦点在x 轴上； （3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5； （5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．其中适合抛物线y 2=10x 的条件是(要求填写合适条件的序号） ______． 三、解答题16．（12分）已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线px y 22=上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求线段BC 中点M 的坐标； （3）求BC 所在直线的方程.17．（12分）已知抛物线12-=ax y 上恒有关于直线0=+y x 对称的相异两点，求a 的取值范围.18．（12分）抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线L 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，试求动点R 的轨迹方程.19、（12分）已知抛物线C 的方程C ：)0(22>=p px y 过点A （1，-2）. （I ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（II ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.20．（13分）已知抛物线y 2=4ax (0＜a ＜1＝的焦点为F ，以A(a +4,0)为圆心，｜AF ｜为半径在x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点． （1）求｜MF ｜+｜NF ｜的值；（2）是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.21．（14分）如图, 直线y=21x 与抛物线y=81x 2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点.（1）求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含A 、B ）的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.参考答案题号 12345678 9 10 答案 C D A B B A CBCD11．)42,81(±12． 13． 15． （2），（5） 三、解答题（本大题共6题，共76分）15．（12分）[解析]：（1）由点A （2，8）在抛物线px y 22=上，有2282⋅=p ，解得p=16. 所以抛物线方程为x y 322=，焦点F 的坐标为（8，0）.（2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的定比分点，且2=FMAF，设点M 的坐标为),(00y x ，则02128,8212200=++=++y x ，解得4,1100-==y x ， 所以点M 的坐标为（11，－4）．（3）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在 的直线不垂直于x 轴.设BC 所在直线的方程为： ).0)(11(4≠-=+k x k y由⎩⎨⎧=-=+xy x k y 32),11(42消x 得0)411(32322=+--k y ky ， 所以ky y 3221=+，由（2）的结论得4221-=+y y ，解得.4-=k因此BC 所在直线的方程为：.0404=-+y x16．（12分）[解析]：设在抛物线y=ax 2－1上关于直线x +y=0对称的相异两点为P(x ,y),Q(－y,－x )，则⎪⎩⎪⎨⎧-=--=1122ay x ax y ②①，由①－②得x +y=a (x +y)(x －y),∵P、Q 为相异两点，∴x +y≠0，又a ≠0，∴a1y ,1-==-x a y x 即，代入②得a 2x 2－ax －a +1=0，其判别式△=a 2－4a 2(1－a )＞0，解得43>a ． 17．（12分）[解析]：设R(x ,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB 的中心为)21,2(+y x C ，L:y=k x－1,代入抛物线方程得x 2－4k x +4=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2－16＞0，即|k|＞1 ①，2442)(4221221222121-=-+=+=+∴k x x x x x x y y ，∵C 为AB 的中点.∴1222122222222-=+=+=+=k y y y k x x x ⇒3442-==k y k x ，消去k 得x 2=4(y+3),由① 得，4>x ，故动点R 的轨迹方程为x 2=4(y+3)(4>x )．18．19．（14分）[解析]：（1）F （a ,0）,设),(),,(),,(002211y x P y x N y x M ，由16)4(4222=+--=y a x axy0)8()4(222=++-+⇒a a x a x ，)4(2,021a x x -=+∴>∆ ，8)()(21=+++=+a x a x NF MF（2）假设存在a 值，使的NFPF MF ,,成等差数列，即42=⇒+=PF NF MF PFa x -=4042)2(41616)24(16)(212221221202202022020y y y y y y y a a y y a y a x ++=+=-=⇒=+-⇒=+-212121212)(444244x x a x x a ax ax ax ax ++=++==⇒++-a a a a a 82)4(22=++-a a a a a 82)4(222416a a -1=⇒a10000202121<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>>+>∆a y x x x x 矛盾.∴假设不成立．即不存在a 值，使的NFPF MF ,,成等差数列．或解: 4=PF a x -=40⇔40=+a x 知点P 在抛物线上. 矛盾. 20．（14分）【解】(1) 解方程组 481212-==x y xy 得 2411-=-=y x 或 4822==y x 即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1).由k AB ==21,直线AB 的垂直平分线方程y －1=21(x －2). 令y=－5, 得x =5, ∴Q(5,－5)． (2) 直线OQ 的方程为x +y=0, 设P(x , 81x 2－4).∵点P 到直线OQ 的距离d=24812-+x x =3282812-+x x ,25=OQ ,∴S ΔOPQ =21d OQ =3281652-+x x .∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x <43－4或43－4<x ≤8.∵函数y=x 2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30．。
抛物线练习题带答案,知识点总结(提高版).doc
抛物线练习题带答案,知识点总结(提高版) 【答案】D【解析】x28y，如图。
x的焦点为F，Ax0，y0是C上一点，且AF2y0，则x082抛物线的几何意义，可知AFAl2y0y02，所以y02，所以x04，故选D。
2．设A,B,C是抛物线y24x上的三点，若ABC的重心恰好是该抛物线的焦点F，则FAFBFCA.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】题意可得F是抛物线的焦点，也是三角形ABC的重心，故xAxBxC1。
3∴xAxBxC=3．再抛物线的定义可得FAFBFC=xA+1+xB+1+xC+1=3+3=6。
3．已知抛物线:2=2(>0)的焦点为，准线:=，点在抛物线上，点在左准线上，若⊥，且直线的斜率=3，则的面积为A.33B.63C.93D.123 【答案】C【解析】设准线与轴交于N，所以||=3,直线的斜率=3，所以∠=60°,在直角三角形中，||=33，||=6，根据抛物线定义知，||=||,又∠=30°,⊥,所以∠=60°,因此是等边三角形，故||=6，所以11的面积为=2||||=2×6×33=93，故选C.4．已知F是抛物线C:2=8的焦点，是C上一点，F的延长线交轴于点．若为F的中点，则F=____________．【答案】623【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点′，作⊥与点，⊥与点，抛物线的解析式可得准线方程为=2，则=2,′=4，在直+′角梯形′中，中位线==3，抛物线的定义有：==3，结合题意。
2有==3，故=+=3+3=6．2O为坐标原点，5．已知点A是抛物线C:x2pyp0上一点，若A,B是以点M0,10为圆心，OA的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且ABO为等边三角形，则p的值是．【答案】56【解析】试题分析：如图，因为MAOA，所以点A在线段OM的中垂线上，又M0,10，所以可设Ax,5.tan30得p5x5，得x，所以A,5的坐标代入方程x22px，53355，故答案为.666．已知F是抛物线2=4的焦点，M是抛物线上的一个动点，P(3，1)是一个定点，则+的最小值为A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知=∴要求+||取得最小值，即求|+|取得最小，当,,三点共线时+||最小，为3=4．7．已知点P是抛物线y24x上的一点，设点P到此抛物线准线的距离为d1，到直线x2y10的距离为d2，则d1d2的最小值为A.4B.【答案】D【解析】因为点P到抛物线y24x的准线的距离为d1等于P到抛物线y24x的焦点的距离PF，则d1d2的最小值为F到直线x2y120的距离。
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抛物线基础训练题
1.动点P到点A(0，2)的距离比到直线l:y=-4的距离小2，则动点P的轨迹方程为 D
A. xy42 B. xy82 C.yx42 D.
yx82
2.已知直线l及抛物线xy82交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线
段AB的中点到准线的距离是 A
A.425 B. 225 C. 825 D.25
3.已知抛物线的焦点在直线yx2-4=0上，则此抛物线的标准方程是C
A.xy162 B.
yx82
C. xy162或yx82 D. xy162或yx82
4.直线y=kx-2及抛物线xy82交于A、B两点，且AB的中点横坐标为2，则k的值是 B
A.-1 B.2 C.-1或2 D.以上都不是
5.动圆M经过点A(3，0)且及直线l:x=-3相切，则动圆圆心M的轨迹方程是
A
A. xy122 B. xy62 C. xy32 D.
xy242
6.θ是任意实数，则方程ｘ２＋ｙ２ｓｉｎθ＝４的曲线不可能是（C ）
Ａ.椭圆 Ｂ.双曲线 Ｃ.抛物线 Ｄ.圆
7.双曲线＝１的离心率ｅ∈（１，２），则k的取值范围是（B ）
Ａ.(－∞，０) Ｂ.（－12，０） Ｃ.（－３，０） Ｄ.（－60，－12）
8.以=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（D ）
A. B.
C. D.
9.抛物线y=x２上到直线２x-y=4距离最近的点的坐标是（ B ）
Ａ.(45,23) Ｂ.(1，1) Ｃ.( 49,23) Ｄ.(2，4)
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10.1122222222aybxbyax与（ａ＞ｂ＞０）的渐近线（D ）
Ａ.重合 Ｂ.不重合，但关于x轴对应对称
Ｃ.不重合，但关于y轴对应对称 Ｄ.不重合，但关于直线y=x对应对称
11．抛物线22xy的焦点坐标是 （ C ）
A．)0,1( B．)0,41( C．)81,0( D．
)41,0(
12 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点)3,(mP到焦点的距离为5，则抛物线方程为
（ D ）
A．yx82 B．yx42 C．yx42 D．
yx82
13．抛物线xy122截直线12xy所得弦长等于 （ A ）
A．15 B．152 C．215 D．15
14．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 （ B ）
A．yx292或xy342 B．xy292或yx342
C．yx342 D．
xy292
15．抛物线xy2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________．
16．已知圆07622xyx，及抛物线)0(22ppxy的准线相切，则p _2__________．
17抛物线22yx的准线方程为 （ B ）
A． B． C．1y D．
18抛物线24xy上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ B）
A．1617 B．1615 C．87 D．0
19抛物线28xy的准线方程是 （ B ）
A． B． 2y C． D．
2y
20抛物线2xy在点M（21，41）处的切线的倾斜角是（ B ）
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A．30° B．45° C．60° D．90°
21若抛物线22ypx的焦点及椭圆的右焦点重合，则p的值为（ D ）。
A．2 B．2 C．4 D．
4
22抛物线2yax的焦点恰好为双曲线222yx的一个焦点，则a____18或18 _____