(2)函数在a ≤x ≤a+2的最小值．
21．如图，在直角坐标：x O y 中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，3-)，且在x 轴上截得的线段AB 的长为6．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在y 轴上求作一点P (不写作法)使PA+PC 最小，并求P 点坐标；
(3)在x 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q 、A 、B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似?如果存在，求出Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由．
22．某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax 2+2x+3(a≠0)，当实数a 变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a 变化时，若把抛物线y=ax 2+2x+3的顶点的横坐标减少
a 1，纵坐标增加，得到A 点的坐标；若把顶点的横坐标增加a 1，纵坐标增加a
1，得到B 点的坐标，则A 、B 两点一定仍在抛物线y=ax 2+2x+3上．
(1)请你协助探求出当实数a 变化时，抛物线y=ax 2+2x+3的顶点．．
所在直线的解析式； (2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗?并说明理由；
(3)在他们第二个发现的启发下，运用“一般——特殊—一般”的思想，你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立请说明理由．
参考答案
初中数学 抛物线 练习题(含答案)
第十讲 抛物线 一般地说来，我们称函数c bx ax y ++=2 (a 、b 、c 为常数，0≠a )为x 的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有： 1．a 、b 、c 的符号决定抛物线的大致位置； 2．抛物线关于a b x 2-=对称，抛物线开口方向、开口大小仅与a 相关，抛物线在顶点(a b 2-，a b a c 442-)处取得最值； 3．抛物线的解析式有下列三种形式： ①一般式：c bx ax y ++=2； ②顶点式：k h x a y +-=2)(； ③交点式：))((21x x x x a y --=，这里1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个实根． 确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键． 注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方式有： (1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息； (2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被x 轴所截得的弦长获得对称信息． 【例题求解】 【例1】 二次函数c bx x y ++=2的图象如图所示，则函数值0++c b a ．以下结论：①0>+b a ；②0>+c a ；③0>++-c b a ；④2252a ac b >-．其中正确的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 思路点拨 由条件大致确定抛物线的位置，进而判定a 、b 、c 的符号；由特殊点的坐标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系．
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题7(附答案)
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题7（附答案） 1．如图，是某座抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为21104 y x =-+，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 的高为8米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是____________米。 2．如图有一抛物线形的拱桥，拱高10米，跨度为40米，则该抛物线的表达式为 ______________. 3．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m ，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的表达式为________________，其中自变量x 的取值范围是__________. 4．如图,某抛物线型桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，图示为它在坐标系中的示意图，则它对应的解析式为：_________________． 5．如图是抛物线形拱桥，P 处有一照明灯，水面OA 宽4m ，从O 、A 两处双测P 处，仰角分别为α、β，且tanα＝12 ，tanβ＝32，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系． P 点坐标为_____；若水面上升1m ，水面宽为_____m ．
6．在如图所示的平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y ＝﹣13x 2，当水位上涨1m 时，水面宽CD 为26m ，则桥下的水面宽AB 为_____m ． 7．如图，已知桥拱形状为抛物线，其函数关系式为y=﹣14 x 2，当水位线在AB 位置时，水面的宽度为12m ，这时水面离桥拱顶部的距离是_____． 8．如图，拱桥呈抛物线形，其函数的表达式为y ＝－14 x 2，当水位线在AB 位置时，水面的宽度为12米，这时拱顶距水面的高度h 是____米． 9．某涵洞的截面是抛物线型，如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为214 y x =- ，当涵洞水面宽AB 为12米时，水面到桥拱顶点O 的距离为________米．
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题3(附答案)
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题3（附答案） 1．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA ，O 恰为水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式是y=﹣x 2+2x+54，则下列结论： (1)柱子OA 的高度为54 m ； (2)喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度； (3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m ； (4)水池的半径至少要2.5m 才能使喷出的水流不至于落在池外. 其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA ，O 恰为水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式是2y x 2x 3=-++，则下列结论：（1）柱子OA 的高度为3m ；（2）喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m ；（4）水池的半径至少要3m 才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4 3．某民房发生火灾．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A 处透过窗户E 发现乙楼F 处出现火灾，此时A ，E ，F 在同一直线上．跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m 高的D 处喷出，水流正好经过E ，F ．若点B 和点E 、点C 和点F 的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移5m ，再向左后退_____m ，恰好把水喷到F 处进行灭火．
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题4(附答案)
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题4（附答案） 1．如图为一座抛物线型的拱桥，AB 、CD 分别表示两个不同位置的水面宽度，O 为拱桥顶部，水面AB 宽为10米，AB 距桥顶O 的高度为12.5米，水面上升2.5米到达警戒水位CD 位置时，水面宽为（ ）米． A ．5 B ．25 C ．45 D ．8 2．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为20m ，顶点距水面6m ，小孔顶点距水面4.5m ．当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为（ ）m ． A ．8m B ．9m C ．10 m D ．12 m 3．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m ，P 距抛物线对称轴1m ，则为使水不落到池外，水池半径最小为（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．3 4．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在AB 位置时，拱顶（即抛物线的顶点）离水面2m ，水面宽为4m ，水面下降1m 后，水面宽为（ ） A ．5m B ．6m C 6m D ．6m 5．如图，隧道的截面是抛物线，可以用y= 21416 x - +表示，该隧道内设双行道，限高为3m ，那么每条行道宽是（ ）
A ．不大于4m B ．恰好4m C ．不小于4m D ．大于4m ，小于 8m 6．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ） A ．2.76米 B ．6.76米 C ．6米 D ．7米 7．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ） A ．2.76米 B ．6.76米 C ．6米 D ．7米 8．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为2125 y x =- ，当水面离桥拱顶的高度DO 是4m 时，这时水面宽度AB 为（ ） A ．﹣20m B ．﹣10m C ．10m D ．20m 9．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣ x 2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4m 时，这时水面宽度AB
初中数学抛物线经典习题及答案
初中数学抛物线 经典试题集锦 【第一组题型】 1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8） （1）求此二次函数的解析式， （2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。 2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）． （1）求抛物线的表达式及对称轴 （2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。
3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。 （1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标 （2）求该抛物线的表达式 （3）写出抛物线与y轴交点P的坐标 4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C， （1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式 （2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式 【答案】 1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8） （1）求此二次函数的解析式， （2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点
的坐标。 解： 【第一问】 因为函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8） 分别将x=2，y=0代入y=x2+bx+c，得0=4+2b+c-----①将x=0，y=-8代入y=x2+bx+c，得-8=c-------------②将②代入①，解得：b=2--------------------------------------③此时，将②③代入y=x2+bx+c， 所以：二次函数的解析式y=x2+ 2x -8 【第二问】 △ABP的面积= 1 2 │AB│*│y p│----------------------④ 因为A、B两点在x轴上，令x2+ 2x -8=0 （x-2）（x+4）=0 解得：x1=2，x2= -4 所以：│AB│=│X1- X2│=│2-（- 4）│=6------⑤又△ABP的面积=15-------------------------------------⑥ 由④⑤⑥，得：1 2 *6*│y p│=15
初中抛物线经典练习题(含详细答案)
初中抛物线经典练习题(含详细答案) 初中数学抛物线经典试题集锦，编著者为黄勇权。以下为题目和解答。 第一组题型】 1、已知二次函数$y=x^2+bx+c$过点$A(2,0)$，$C(0,-8)$ 1）求此二次函数的解析式； 2）在抛物线上存在一点$p$使$\triangle ABP$的面积为15，请直接写出$p$点的坐标。 解： 第一问】 因为函数$y=x^2+bx+c$过点$A(2,0)$，$C(0,-8)$，分别将$x=2$，$y=0$代入$y=x^2+bx+c$，得$0=4+2b+c$-----①。将 $x=0$，$y=-8$代入$y=x^2+bx+c$，得$-8=c$-------------②。将 ②代入①，解得：$b=2$--------------------------------------③。此时，将②③代入$y=x^2+bx+c$，所以二次函数的解析式为 $y=x^2+2x-8$。
第二问】 因为$A$、$B$两点在$x$轴上，令$x^2+2x-8=0$，解得：$x_1=2$，$x_2=-4$。所以$|AB|=|x_1-x_2|=|2-(-4)|=6$。又 $\triangle ABP$的面积为15，所以$|y_p|\cdot 6=30$，即 $|y_p|=5$。故$p$点的纵坐标为5或-5，即$p(2,5)$或$p(2,-5)$。 2、在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线 $y=2x^2+mx+n$经过点$A(5,B)$，$B(2,-6)$。 1）求抛物线的表达式及对称轴； 2）设点$B$关于原点的对称点为$C$，写出过$A$、 $C$两点直线的表达式。 解： 第一问】 因为抛物线$y=2x^2+mx+n$经过点$A(5,B)$，$B(2,-6)$， 分别将$x=5$，$y=B$代入$y=2x^2+mx+n$，得$B=50+5m+n$- ----①。将$x=2$，$y=-6$代入$y=2x^2+mx+n$，得$- 6=8+2m+n$-------------②。将②代入①，解得：$m=-4$，$n=-
初中数学竞赛：抛物线(附练习题及答案)
初中数学竞赛：抛物线 一般地说来，我们称函数c bx ax y ++=2 (a 、b 、c 为常数，0≠a )为x 的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有： 1．a 、b 、c 的符号决定抛物线的大致位置； 2．抛物线关于a b x 2-=对称，抛物线开口方向、开口大小仅与a 相关，抛物线在顶点(a b 2-，a b a c 442-)处取得最值； 3．抛物线的解析式有下列三种形式： ①一般式：c bx ax y ++=2； ②顶点式：k h x a y +-=2)(； ③交点式：))((21x x x x a y --=，这里1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个实根． 确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键． 注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方式有： (1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息； (2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被x 轴所截得的弦长获得对称信息． 【例题求解】 【例1】 二次函数c bx x y ++=2的图象如图所示，则函数值0【例2】 已知抛物线c bx x y ++=2(a <0)经过点(一1，0)，且满足024>++c b a ．以下结论：①0>+b a ；②0>+c a ；③0>++-c b a ；④2252a ac b >-．其中正确的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 思路点拨 由条件大致确定抛物线的位置，进而判定a 、b 、c 的符号；由特殊点的坐标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系． 【例3】 如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN ＝4分米，抛物线顶点处到边MN 的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD ，使矩形顶点B 、C 落在边MN 上，A 、D 落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米? 思路点拨 恰当建立直角坐标系，易得出M 、N 及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式，设A(x ，y )，建立含x 的方程，矩形铁皮的周长能否等于8分 米，取决于求出x 的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取 值范围内． 注： 把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解． 【例4】 二次函数223212-++-=m x x y 的图象与x 轴交于A 、两点(点A 在点B 左边)，与y 轴交于C 点，且∠ACB ＝90°． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设计两种方案：作一条与y 轴不重合，与△A BC 两边相交的直线，使截得的三角形
人教版九年级数学上册 实物抛物线问题 章节培优训练试卷(含解析)
人教版九年级数学章节培优训练试卷 班级姓名 第二十二章二次函数 22.3 实际问题与二次函数 第3课时实物抛物线问题 一、选择题 1. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点.拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线型钢拱的函数表达式为( ) A.y=26 675x2 B.y=-26 675 x2 C.y=13 1350 x2 D.y=-13 1350 x2 2. 如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y=4 9 x2+5的一部分，则杯口的口径AC=( )
A.7 B.8 C.9 D.10 3. 如图，从某建筑物10 m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直).如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面40 m，则水流落地点B离墙的距离OB是( ) 3 A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m 4. 如图，抛物线型的拱门的地面宽度为20米，两侧离地面15米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为10米，则拱门的最大高度为( ) A.10米 B.15米 C.20米 D.30米 5.如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中点M 5米的地方，桥的高度是( ) A.12米 B.13米 C.14米 D.15米
初中抛物线经典练习题(含详细答案)
初中数学抛物线 经典试题集 锦 编著】黄勇 权 第一组题型】 1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8） （1）求此二次函数的解析式， （2）在抛物线上存在一点p 使△ ABP的面积为15，请直接写出p 点的坐标。 2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n 经过点A（5， 0 ），B（2，-6）． （1）求抛物线的表达式及对称轴 2）设点 B 关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式3、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点 C 为（2，4），并在x 轴上截得的长度为 6 。（1）写出抛物线与x 轴交点 A 、B 的坐
标 （2）求该抛物线的表达式 （3）写出抛物线与y 轴交点P 的坐标 4、直线的解析式为y=2x+4 ，交x 轴于点 A ，交y 轴于点B，若以 A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB 于点D，交y 轴负半轴于点 C ， （1）若△ ABC 的面积为20，求此时抛物线的解析式 （2）若△ BDO 的面积为8，求此时抛物线的解析式 答案】 1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8） （1）求此二次函数的解析式， （2）在抛物线上存在一点p 使△ ABP的面积为15，请直接写出p 点
的坐标 解： 【第一问】 因为函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8） 分别将x=2，y=0 代入y=x2+bx+c，得0=4+2b+c -①将x=0，y=-8 代入y=x2+bx+c，得-8=c -------- ②将②代入①，解得：b=2 ------------------------------------ ③此时，将② ③代入y=x2+bx+c，所以：二次函数的解析式y=x2+ 2x -8 【第二问】 1 △ABP的面积= 2│AB│*│y p│------------- ④ 因为A、B 两点在x 轴上，令x2+ 2x -8=0 （x-2） （x+4）=0 解得：x1=2，x2= -4 所以：│ AB│=│X1- X2│=│2-（- 4）│ =6 ---- ⑤ 又△ ABP的面积=15 --------------------------------- ⑥ 1 由④ ⑤ ⑥，得：2 *6* │y p│=15 y p =5
2022-2023学年九年级数学中考复习《抛物线与x轴交点问题》填空题专题训练(附答案)
2022-2023学年九年级数学中考复习《抛物线与x轴交点问题》填空题专题训练（附答案）1．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，经过点（1，n），顶点为P，下列四个结论： ①若a＜0，则c＞n； ②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点； ③方程ax2+（b﹣n）x+c＝0一定有两个不相等的实数解； ④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线PC始终过定点（3，n）． 其中正确的是（填写序号）． 2．下列关于二次函数y＝x2﹣2mx﹣2m﹣3的四个结论：①当m＝1时，抛物线的顶点为（1，﹣6）；②该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点；③该函数的最小值的最大值为﹣4； ④点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该函数图象上，若x1＜x2，y1＜y2，则x1+x2＞2m；其中 正确的是． 3．定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2﹣mn+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2﹣（﹣3）×2+2＝17．根据以上知识解决问题： （1）若x☆3＝1，则x的值为； （2）抛物线y＝（2﹣x）☆（﹣1）的顶点坐标是； （3）若2☆a的值小于0，则方程﹣2x2﹣bx+a＝0有个根． 4．若二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是．5．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴交抛物线于点P，交x轴于点Q，点A是PQ右侧的抛物线上的一点，过点P做PB⊥P A交x轴于点B，若设点A的横坐标为t（t＞1），线段BQ的长度为d，则d与t的函数关系式是． 6．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下： x…﹣30135… y…7﹣8﹣9﹣57… 则一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5的解为．
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题6(附答案)
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题6（附答案） 1．发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y=ax 2+bx ，若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的？( ) A ．第8秒 B ．第10秒 C ．第12秒 D ．第15秒 2．定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度y (单位：m )与水平距离x (单位：m )近似满足函数关系2 y ax bx c =++(a≠0)．下表记录了该同学将篮球投出后的x 与y 的三组数据， 根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（ ） x (单位：m) 0 2 4 y (单位：m) 2.25 3.45 3.05 A ．1.5m B ．2m C ．2.5m D ．3m 3．向空中发射一枚炮弹，第x 秒时的高度为y 米，且高度与时间的关系为 2(0)y ax bx c a =++≠，若此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，则在下列时间中 炮弹所在高度最高的是（ ） A ．第8秒 B ．第10秒 C ．第12秒 D ．第15秒 4．在学校运动会上，一位运动员掷铅球，铅球的高()y m 与水平距离()x m 之间的函数 关系式为2 0.2 1.6 1.8y x x =-++，则此运动员的成绩是（ ） A ．10m B ．4m C ．5m D ．9m 5．一小球被抛出后，距离地面的高度h (米)和飞行时间t (秒)满足下面函数关系式：h ＝－5(t －1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( ) A ．1米 B ．5米 C ．6米 D ．7米 6．如图，铅球的出手点C 距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为（ ） A ．h=﹣ 316 t 2 B ．y=﹣ 316 t 2 +t C ．h=﹣ 18 t 2 +t+1 D ．h=- 13 t 2 +2t+1 7．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=- 1 12 (x-4)2+3，由此可知小明这次的推铅球成绩是（ ）
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题5(附答案)
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题5（附答案） 1．一同学推铅球，铅球高度y(m)关于时间x(s)的函数表达式为y=ax 2+bx(a≠0)．若铅球在第7秒与第14秒时的高度相等，则在第m 秒时铅球最高，则m 的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．10．5 D ．21 2．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A ．篮圈中心的坐标是()4,3.05 B ．此抛物线的解析式是2 1 3.55 y x =- + C ．此抛物线的顶点坐标是()3.5,0 D ．篮球出手时离地面的高度是2m 3．如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系h ＝20t ﹣5t 2．下列叙述正确的是（ ） A ．小球的飞行高度不能达到15m B ．小球的飞行高度可以达到25m C ．小球从飞出到落地要用时4s D ．小球飞出1s 时的飞行高度为10m 4．一学生推铅球，铅球行进的高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系为 2125 1233 y x x =- ++，则学生推铅球的距离为（ ） A ． 35 m B ．3m C ．10m D ．12m
飞行的高度()h m 与发球后球飞行的时间()t s 满足关系式22 1.5h t t =-++，则该运动员发球后1s 时，羽毛球飞行的高度为（ ） A ．1.5m B ．2m C ．2.5m D ．3m 6．铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y ＝－ 112 x 2 ＋23x ＋5 3 .则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A ．6 m B ．12 m C ．8 m D ．10 m 7．从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度h (单位：)m 与小球运动时间t (单位：)s 之间的函数关系式为240 (3)409 h t =- -+，若后抛出的小球经过2.5s 比先抛出的小球高 10 3 m ，则抛出两个小球的间隔时间是（ ）s A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.5 8．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y (m )与水平距离x (m )之间的函数表达式为：y 1 50 =- (x ﹣25)2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( )m ． A ．12 B ．25 C ．13 D ．14 9．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球 看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a （x ﹣k ）2 +h ．已 知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（ ） A ．球不会过网 B ．球会过球网但不会出界 C ．球会过球网并会出界 D ．无法确定 10．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y ＝﹣225 313 12x x ++，则此运动员把铅球推出多远( )
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题2(附答案)
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题2（附答案） 1．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（） A．2.1m B．2.2m C．2.3m D．2.25m 2．烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．10s 3．某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所 在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面40 3 m，则 水流落地点B离墙的距离OB是（） A．2m B．3m C．4m D．5m 4．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（） A．0.55米B．11 30 米C． 13 30 米D．0.4米 5．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛
物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( ) A ．2.5米 B ．3米 C ．3.5米 D ．4米 6．广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y （米）关于水珠和喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()236042 y x x x =-+≤≤，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ） A ．1米 B ．2米 C ．5米 D ．6米 7．同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A 下压如图②位置时，洗手液从喷口B 流出，路线近似呈抛物线状，且a ＝﹣118 ．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD ．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH ＝12cm ，喷嘴位置点B 距台面的距离为16cm ，且B 、D 、H 三点共线．小王在距离台面15.5cm 处接洗手液时，手心Q 到直线DH 的水平距离为3cm ，若学校组织学生去南京进行研学实践活动，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离是（ ）cm ． A ．3 B ．2 C ．3 D ．2 8．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )
初中数学抛物线与几何专题训练及答案
全国各地中考试题压轴题精选讲座 抛物线与几何问题 【知识纵横】 抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：2y ax bx c =++(a ≠0)；2、顶点式：y =a(x —h) 2-＋k ；3、交点式：y=a(x —x 1)(x —x 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的两个实根。 解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。 【典型例题】 【例1】 (浙江杭州) 在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。平移二 次函数2 tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件： ①顶点为Q ；②与x 轴相交于B ，C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B 。 （1）是否存在这样的抛物线F ， OC OB OA ⋅=2 ？请你作出判断，并说明理由； （2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO=2 3 ，求抛物线F 对应的二次函数的解析式。 【思路点拨】（1）由关系式OC OB OA ⋅=2 来构建关于t 、b 的方程；(2)讨论 t 的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。 【例2】(江苏常州)如图,抛物线2 4y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O,它的顶点为
A,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点. （1）求点A 的坐标; （2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标; （3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为x, 当46S +≤≤+,求x 的取值范围. 【思路点拨】（3）可求得直线l 的函数关系式是y=-2x ，所以应讨论①当点P 在第二象限时，x<0、 ②当点P 在第四象限是，x>0这二种情况。 【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2 x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动． （1）求线段OA 所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M 的横坐标为m , ①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短； （3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（2）构建关于PB 的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点Q 落在直线OA 的下方时、当点Q 落在直线OA 的上方时讨论。 【例4】（广东省深圳市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函 数
九上数学二次函数提高题常考题型抛物线压轴题(含解析)
二次函数常考题型与解析 一．选择题（共12小题） 1．若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7 2．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（） A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3 3．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（） A．B．C． D． 4．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表： 下列说法正确的是（） A．抛物线的开口向下 B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是﹣2 D．抛物线的对称轴是x=﹣
5．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1） B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点 C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大 6．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论： ①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜ ⑤b＞c． 其中含所有正确结论的选项是（） A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤ 7．抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（） A．4 B．6 C．8 D．10 8．已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（） A．或1 B．或1 C．或D．或 9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（） A．c＜3 B．m≤C．n≤2 D．b＜1
