初中抛物线经典练习题(含详细答案)
初中数学抛物线与几何专题训练及答案
全国各地中考试题压轴题精选讲座抛物线与几何问题【知识纵横】抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：2y ax bx c =++(a ≠0)；2、顶点式：y=a(x —h) 2-＋k ；3、交点式：y=a(x —x 1)(x —x 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的两个实根。
解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。
【典型例题】【例1】 (浙江杭州) 在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。
平移二 次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B ，C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B 。
（1）是否存在这样的抛物线F ，OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO=23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式。
【思路点拨】（1）由关系式OC OB OA ⋅=2来构建关于t 、b 的方程；(2)讨论t 的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。
【例2】(江苏常州)如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O,它的顶点为A,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点.（1）求点A 的坐标;（2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;（3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为x,当46S +≤≤+,求x 的取值范围.【思路点拨】（3）可求得直线l 的函数关系式是y=-2x ，所以应讨论①当点P 在第二象限时，x<0、 ②当点P 在第四象限是，x>0这二种情况。
初中抛物线经典练习题(含详细答案)
初中数学抛物线经典试题集锦编著】黄勇权第一组题型】1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p 使△ ABP的面积为15，请直接写出p 点的坐标。
2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n 经过点A（5，0 ），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴2）设点 B 关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式3、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点 C 为（2，4），并在x 轴上截得的长度为 6 。
（1）写出抛物线与x 轴交点 A 、B 的坐标（2）求该抛物线的表达式（3）写出抛物线与y 轴交点P 的坐标4、直线的解析式为y=2x+4 ，交x 轴于点 A ，交y 轴于点B，若以 A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB 于点D，交y 轴负半轴于点 C ，（1）若△ ABC 的面积为20，求此时抛物线的解析式（2）若△ BDO 的面积为8，求此时抛物线的解析式答案】1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p 使△ ABP的面积为15，请直接写出p 点的坐标解：【第一问】因为函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）分别将x=2，y=0 代入y=x2+bx+c，得0=4+2b+c -①将x=0，y=-8 代入y=x2+bx+c，得-8=c -------- ②将②代入①，解得：b=2 ------------------------------------ ③此时，将② ③代入y=x2+bx+c，所以：二次函数的解析式y=x2+ 2x -8 【第二问】1△ABP的面积= 2│AB│*│y p│------------- ④因为A、B 两点在x 轴上，令x2+ 2x -8=0 （x-2）（x+4）=0 解得：x1=2，x2= -4所以：│ AB│=│X1- X2│=│2-（- 4）│ =6 ---- ⑤又△ ABP的面积=15 --------------------------------- ⑥1由④ ⑤ ⑥，得：2 *6* │y p│=15y p =5故有：y p= ± 5即：p 点的纵坐标为 5 或-5.把y=5 代入y=x2+ 2x -8 ，即：5=x2+ 2x -8x2+ 2x -13=0解得：x= -1 ± 14那么，此时p 点坐标（-1+ 14，5），（-1- 14，5）---- ⑦把y=-5 代入y=x2+ 2x -8，即：-5=x2+ 2x -8x2+ 2x -3=0 （x-1）（x+3）=0 解得：x= 1 或x= -3 那么，此时p 点坐标（1，-5），（-3，-5）⑧由⑦ ⑧得，使△ ABP的面积为15，p 点坐标是：（-1+ 14，5），（-1- 14，5），（1，-5），（-3，-5）2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n 经过点A（5，0 ），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点 B 关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。
抛物线试题及答案初三
抛物线试题及答案初三
一、选择题
1. 抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标是（）
A. (-b/2a, f(-b/2a))
B. (-b/2a, f(-b/2a))
C. (-b/2a, f(-b/2a))
D. (-b/2a, f(-b/2a))
答案：A
2. 抛物线y=x^2-4x+3与x轴的交点坐标是（）
A. (1,0)和(3,0)
B. (-1,0)和(3,0)
C. (1,0)和(-3,0)
D. (-1,0)和(-3,0)
答案：A
二、填空题
3. 若抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴为直线x=2，则b的值为______。
答案：-4a
4. 抛物线y=-2x^2+4x+1的顶点坐标为（1,3），则a=______。
答案：-2
三、解答题
5. 已知抛物线y=x^2-6x+9，求抛物线的顶点坐标。
答案：顶点坐标为(3,0)。
6. 抛物线y=2x^2-4x+1与直线y=x+2相交于A、B两点，求A、B两点
的坐标。
答案：A(1,3)，B(2,4)。
四、综合题
7. 抛物线y=x^2-2x-3与x轴相交于点C、D，与y轴相交于点E，求
三角形CDE的面积。
答案：三角形CDE的面积为9。
8. 已知抛物线y=ax^2+bx+c经过点(1,0)和(-1,0)，且顶点在x轴上，求抛物线的解析式。
答案：抛物线的解析式为y=x^2。
初三抛物线试题及答案
初三抛物线试题及答案一、选择题1. 抛物线y = ax^2 + bx + c的顶点坐标是什么？A. (-b, c)B. (-b/2a, c - b^2/4a)C. (-b/2a, c + b^2/4a)D. (-b/a, c)答案：B2. 如果抛物线y = x^2 + 2x + 1的对称轴是直线x = -1，那么a的值是多少？A. 1B. -1C. 0D. 2答案：A3. 抛物线y = 2x^2 - 4x + 3的开口方向是：A. 向上B. 向下C. 水平D. 无法确定答案：A二、填空题4. 已知抛物线y = 3x^2 - 6x + 5，求抛物线的顶点坐标。
答案：顶点坐标为(1, 2)5. 抛物线y = -x^2 + 4x - 3的焦点坐标是什么？答案：焦点坐标为(2, -2)三、解答题6. 已知抛物线y = 2x^2 - 8x + 7，求其与x轴的交点。
答案：首先将方程化为标准形式：y = 2(x - 2)^2 - 1。
抛物线与x轴的交点即为y = 0时的x值。
解方程2(x - 2)^2 - 1 = 0，得到x= 2 ± √(1/2)，即x = 2 ± √2/2。
7. 已知抛物线y = ax^2 + bx + c经过点(1, 3)和(-1, 1)，求a和b 的值。
答案：将点(1, 3)和(-1, 1)代入方程，得到两个方程：3 = a(1)^2 + b(1) + c1 = a(-1)^2 + b(-1) + c解这两个方程，得到a + b + c = 3和a - b + c = 1。
相减消去c，得到2b = 2，即b = 1。
将b的值代入任一方程，得到a + 1 + c = 3，即a + c = 2。
由于c = 3 - a - b = 3 - a - 1 = 2 - a，代入得到a + 2 - a = 2，这是一个恒等式，说明a可以是任意实数。
四、应用题8. 一个物体从地面向上抛，其高度h（米）与时间t（秒）的关系为h = -5t^2 + 20t。
抛物线课件及练习题含详解
为 y k(x p).
2
又因为A,B两点是直线AB与抛物线的交点，则
y k(x y2 2px
p ), 2
x2
(
2p k2
p)x
p2 4
0,
所以x1·x2=p2 .
4
由|AF|·|BF|=
x1
x2
p 2
x1
x
2
p2 4
1. 3
得 p2 p (4 p) 1 ,
2 23
3
即 2p 所1 ,以 p 1 ,
2p y21p2y1y1y1 y2
x
x1
,
= 2p x y1y2 2p (x y1y2 ),
y1 y2 y1 y2 y1 y2
2p
将y1·y2=-4p2代入上式得y 2p x 2p,
y1 y2
故直线AB恒过定点(2p,0).
【方法技巧】利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点：解决焦点弦问题.
|AF|=1，|BF|= 1，求抛物线及直线AB的方程.
3
【解题指南】设出A，B两点的坐标，根据抛物线定义可分别表
示出|AF|和|BF|，进而可求得|AF|+|BF|，求得x1+x2的表达
式，表示出|AF|·|BF|，建立等式求得p，则抛物线方程可得.
再由|AB|=
2p sin 2
得4， sin2θ=
(2)y2=2px(p＞0)的焦点为( p，0)，由题意得
2
( p 2)2 解9 得 5p，=4或p=-12(舍去).
2
初中抛物线试题及答案
初中抛物线试题及答案
一、选择题
1. 抛物线y = x^2 - 2x + 1的顶点坐标是（）。
A. (1, 0)
B. (1, -1)
C. (0, 1)
D. (0, -1)
答案：A
2. 如果抛物线y = ax^2 + bx + c的对称轴是直线x = -2，那么b的值是（）。
A. 4a
B. -4a
C. 2a
D. -2a
答案：B
二、填空题
1. 抛物线y = 2x^2 + 4x + 3的顶点坐标是（）。
答案：(-1, 1)
2. 抛物线y = -3x^2 + 6x - 2的对称轴方程是（）。
答案：x = 1
三、解答题
1. 已知抛物线y = x^2 - 6x + 9，求抛物线与x轴的交点坐标。
答案：抛物线与x轴的交点坐标为(3, 0)。
2. 抛物线y = 2x^2 - 4x + 3，求抛物线的顶点坐标和对称轴。
答案：抛物线的顶点坐标为(1, 1)，对称轴为直线x = 1。
四、应用题
1. 一个抛物线形的桥拱，其方程为y = -0.5x^2 + 4x + 1，桥拱的最高点离水面的高度是5米。
求桥拱的跨度。
答案：桥拱的跨度为8米。
2. 一个物体从地面以一定的初速度向上抛，其运动轨迹可以用抛物线y = -5x^2 + 20x + 2描述，其中x表示时间（秒），y表示高度（米）。
求物体达到最高点时的时间。
答案：物体达到最高点时的时间是2秒。
抛物线必做题型(含答案)
y＜－ 或y＞ （y≠2 ）.
18．解：（1）由题意可知F（a，0），设椭圆方程为 + =1（m＞n＞0）.
= ，m2=2a2，
m2－n2=a2，n2=a2，
∴椭圆方程为 + =1，直线l：y=x－a.
y=x－a，
+ =1，
y=x－a，
y2=4ax，
4g 4.4g－4g
解得：M＝40
根据乙炔的相对分子质量为26、丙炔的相对分子质量为40；而混合气体中必含一种相对分子质量小于40的烃，这种炔烃只能是乙炔。由乙炔加成可得乙烷，则所得烷烃中一定有乙烷。
4．取82mL某烷烃和快烃的混合气体在27℃和1.01×105Pa时，测定其质量为85mg，则关于混合气体的不正确叙述是[ ]
A.［－ ， ］B.［－2，2］
C.［－1，1］D.［－4，4］
3．在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为
A. B.1 C.4 D.2
4．设a≠0，a∈R，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为
A.（a，0）B.（0，a）
C.（0， ）D.随a符号而定
5．以抛物线y2＝2px（p＞0）的焦半径｜PF｜为直径的圆与y轴位置关系为
（1）过点（－3，2）；
（2）焦点在直线x－2y－4=0上.
11．如下图所示，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|= ，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.
12．设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.
抛物线习题精选(带答案)
抛物线习题精选一、选择题1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，在抛物线准线上的射影分别是，，则为（）．A．45°B．60°C．90°D．120°2．过已知点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条3．已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（）．A．B．C．D．4．若抛物线（）的弦PQ中点为（），则弦的斜率为（）A．B．C．D．5．已知是抛物线的焦点弦，其坐标，满足，则直线的斜率是（）A．B．C．D．6．已知抛物线（）的焦点弦的两端点坐标分别为，，则的值一定等于（）A．4 B．－4 C．D．7．已知⊙的圆心在抛物线上，且⊙与轴及的准线相切，则⊙的方程是（）A．B．C．D．8．当时，关于的方程的实根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．将直线左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线仅有一个公共点，则实数的值等于（）A．－1 B．1 C．7 D．910．以抛物线（）的焦半径为直径的圆与轴位置关系为（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么长是（）A．10 B．8 C．6 D．412．过抛物线（）的焦点且垂直于轴的弦为，为抛物线顶点，则大小（）A．小于B．等于C．大于D．不能确定13．抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（－2，－2）C．（2，2）D．（2，0）14．已知抛物线（）上有一点，它到焦点的距离为5，则的面积（为原点）为（）A．1 B．C．2 D．15．记定点与抛物线上的点之间的距离为，到此抛物线准线的距离为，则当取最小值时点的坐标为（）A．（0，0）B．C．（2，2）D．16．方程表示（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆17．在上有一点，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则的坐标为（）A．（－2，8）B．（2，8）C．（－2，－8）D．（－2，8）18．设为过焦点的弦，则以为直径的圆与准线交点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或1或219．设，为抛物线上两点，则是过焦点的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．不充分不必要20．抛物线垂点为（1，1），准线为，则顶点为（）A．B．C．D．21．与关于对称的抛物线是（）A．B．C．D．二、填空题1.顶点在原点，焦点在轴上且通径（过焦点和对称轴垂直的弦）长为6的抛物线方程是_________．2.抛物线顶点在原点，焦点在轴上，其通径的两端点与顶点连成的三角形面积为4，则此抛物线方程为_________．3．过点（0，－4）且与直线相切的圆的圆心的轨迹方程是_________．4．抛物线被点所平分的弦的直线方程为_________．5．已知抛物线的弦过定点（－2，0），则弦中点的轨迹方程是________．6．顶点在原点、焦点在轴上、截直线所得弦长为的抛物线方程为____________．7．已知直线与抛物线交于、两点，那么线段的中点坐标是__ _．8．一条直线经过抛物线（）的焦点与抛物线交于、两点，过、点分别向准线引垂线、，垂足为、，如果，，为的中点，则 =__________．9．是抛物线的一条焦点弦，若抛物线，，则的中点到直线的距离为_________．10．抛物线上到直线的距离最近的点的坐标是____________．11．抛物线上到直线距离最短的点的坐标为__________．12．已知圆与抛物线（）的准线相切，则 =________．13．过（）的焦点的弦为，为坐标原点，则=________．14．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的纵坐标为__________．15．已知抛物线（），它的顶点在直线上，则的值为__________．16．过抛物线的焦点作一条倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的范围是________．17．已知抛物线与椭圆有四个交点，这四个交点共圆，则该圆的方程为__________．18．抛物线的焦点为，准线交轴于，过抛物线上一点作于，则梯形的面积为_______________．19．探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分，安装灯源的位置在抛物线的焦点处，如果到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径，已知灯口的半径为30cm，那么灯深为_________．三、解答题1．知抛物线截直线所得的弦长，试在轴上求一点，使的面积为392．若的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程3．已知是以原点为直角顶点的抛物线（）的内接直角三角形，求面积的最小值．4．若，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的的坐标．5．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上一宽4米，高6米的大木箱，问能否安全通过．6．抛物线以轴为准线，且过点，（）求证不论点的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹是椭圆，且离心率为定值．7．已知抛物线（）的焦点为，以为圆心，为半径，在轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点、，为线段的中点．①求的值；②是否存在这样的，使、、成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．8．求抛物线和圆上最近两点之间的距离．9．正方形中，一条边在直线上，另外两顶点、在抛物线上，求正方形的面积．10．已知抛物线的一条过焦点的弦被焦点分为，两个部分，求证．11．一抛物线型拱桥的跨度为，顶点距水面．江中一竹排装有宽、高的货箱，问能否安全通过．12．已知抛物线上两点，（在第二象限），为原点，且，求当点距轴最近时，的面积．13．是抛物线上的动点，连接原点与，以为边作正方形，求动点的轨迹方程．参考答案：一、1．C；2．C；3．D；4．B；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C10．C；11．B；12．C；13．C；14．C；15．C；16．C；17．B；18．B；19．C；20．A；21．D二、1．；2．；3．；4．5．；6．（在已知抛物线内的部分）7．或；8．（4，2）；9．10．；11．；12．2；13．－414．2；15．0，，，；16．17．；18．3．14；19．36.2cm三、1．先求得，再求得或2．3．设，，则由得，，，于是当，即，时，4．抛物线的准线方程为，过作垂直准线于点，由抛物线定义得，，要使最小，、、三点必共线，即垂直于准线，与抛物线交点为点，从而的最小值为，此时点坐标为（2，2）．5．建立坐标系，设抛物线方程为，则点（26，－6.5）在抛物线上，抛物线方程为，当时，，则有，所以木箱能安全通过．6．设抛物线的焦点为，由抛物线定义得，设顶点为，则，所以，即为椭圆，离心率为定值．7．①设、、在抛物线的准线上射影分别为、、，则由抛物线定义得，又圆的方程为，将代入得②假设存在这样的，使得，由定义知点必在抛物线上，这与点是弦的中点矛盾，所以这样的不存在8．设、分别是抛物线和圆上的点，圆心，半径为1，若最小，则也最小，因此、、共线，问题转化为在抛物线上求一点，使它到点的距离最小.为此设，则，的最小值是9．设所在直线方程为，消去得又直线与间距离为或从而边长为或，面积，10．焦点为，设焦点弦端点，，当垂直于轴，则，结论显然成立；当与轴不垂直时，设所在直线方程为，代入抛物线方程整理得，这时，于是，命题也成立．11．取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为轴建立直角坐标系，则桥墩的两端坐标分别为（－26，－6.5），（26，－6.5），设抛物线型拱桥的方程为，则，所以，抛物线方程为．当时，，而，故可安全通过．12．设，则，因为，所以，直线的方程为，将代入，得点的横坐标为（当且仅当时取等号），此时，，，，所以．13．设，，过，分别作为轴的垂线，垂足分别为，，而证得≌，则有，，即、，而，因此，即为所求轨迹方程．。
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初中数学抛物线经典试题集锦【编著】黄勇权【第一组题型】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。
2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。
3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。
（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标（2）求该抛物线的表达式（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C，（1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式（2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式【答案】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。
解：【第一问】因为函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）分别将x=2，y=0代入y=x²+bx+c，得0=4+2b+c-----①将x=0，y=-8代入y=x²+bx+c，得-8=c-------------②将②代入①，解得：b=2--------------------------------------③此时，将②③代入y=x²+bx+c，所以：二次函数的解析式y=x²+ 2x -8【第二问】△ABP的面积= 12│AB│*│y p│----------------------④因为A、B两点在x轴上，令x²+ 2x -8=0（x-2）（x+4）=0解得：x1=2，x2= -4所以：│AB│=│X1- X2│=│2-（- 4）│=6------⑤又△ABP的面积=15-------------------------------------⑥由④⑤⑥，得：12*6*│y p│=15│y p│=5故有：y p= ±5即：p点的纵坐标为5或-5.把y=5代入y=x²+ 2x -8，即：5=x²+ 2x -8x²+ 2x -13=0解得：x= -1± 14那么，此时p点坐标（-1+ 14，5），（-1- 14，5）-------⑦把y=-5代入y=x²+ 2x -8，即：-5=x²+ 2x -8x²+ 2x -3=0（x-1）（x+3）=0解得：x= 1或x= -3那么，此时p点坐标（1，-5），（-3，-5）------------------⑧由⑦⑧得，使△ABP的面积为15，p点坐标是：（-1+ 14，5），（-1- 14，5），（1，-5），（-3，-5）2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。
解：【第一问】因为抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．将x=5，y=0 代入y=2x²+mx+n，得：0=50+5m+n-------------------①将x=2，y= -6代入y=2x²+mx+n，得：-6=8+2m+n--------------------②此时，由①、②，得：m= -12，n=10所以，抛物线的表达式：y=2x²-12x+10再将抛物线表达式进行变形：y=2x²-12x+10y=2（x²-6x+9）-8y=2（x-3）²-8所以，抛物线的对称轴是x=3【第二问】因为B点坐标为（2，-6），C是B关于原点的对称点，所以，C点的坐标（-2，6）设过A、C两点的直线方程为：y=kx+b因为过A（5，0），C（-2，6），将x=5，y=0 代入y=kx+b，得：0= 5k +b---------③将x=-2，y=6代入y=kx+b，得：6= -2k+b-------④由③④解得：k= - 67，b=307所以，过A、C两点的直线表达式为：y= - 67x+3073、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。
（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标（2）求该抛物线的表达式（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标解：【第一问】因为抛物线的顶点C为（2，4），所以，对称轴是：x=2又因为抛物线在x轴上截得的长度为6，那么，对称轴x=2将6平分，也就是说，A、B两点关于x=2对称，且他们到x=2的距离是3 所以，A的横坐标：2-3 = -1B的横坐标：2+3 = 5故，抛物线与x轴交点A、B的坐标是（-1,0），（5,0）【第二问】因为抛物线的顶点C为（2，4），那么，抛物线的表达式直接可设为：y=a（x-2）²+4 【特别提示，这个非常重要，大大简化了计算】再将A（-1,0）代入y=a（x-2）²+4，得，0=a（-1-2）²+4解得：a= - 4 9所以，抛物线的表达式为，y= - 49（x-2）²+4【第二问】令x=0，代入y= - 49（x-2）²+4 ，得y= -49（0-2）²+4y=209所以，抛物线与y轴交点P的坐标（0，20 9）4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C，（1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式（2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式解：【第一问】直线的解析式为y=2x+4令x=0，代入y=2x+4，得，y=4，所以B点坐标（0, 4）令y=0，代入y=2x+4，得，x=-2，所以A点坐标（-2,0）设C点的纵坐标为y c（y c是负数），那么线段BC的长度│BC│= 4 -yc△ABC的面积=12*│x A│*│BC│=12*│-2│* (4 -yc )=204 -yc =20解得：yc = -16所以，C点坐标（0，-16）---------------------------------①以A（-2,0）为顶点,可设抛物线表达式：y= a（x+2）²+0y= a（x+2）²，它过点C（0，-16），将x=0,y= -16代入y= a（x+2）²，解得：a= -4所以，抛物线表达式y= -4（x+2）²【第二问】设D点的横坐标为x D（x D是负数），△BDO的面积= 12*│x D│*│BO│=12*│x D│*4=8│x D│=4x D是负数,所以，x D= -4，又D点在直线y=2x+4上，将x D= -4 代入y=2x+4，解得y D= -4D点坐标（-4, -4）-------------------------------------------②以A（-2,0）为顶点,可设抛物线表达式：y= a（x+2）²它过点D（-4，-4）将x= -4,y= -4代入y= a（x+2）²，解得：a= -1所以，抛物线表达式y= -（x+2）²【第二组题型】5、若关于x的方程x²+2mx+m²+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x2²的最小值为（）6、平面直角坐标系中两定点A（-5，0,），B（3，0），抛物线y=ax²+bx-30（a≠0）过A、B，顶点为C，点P（m，n）为抛物线上的一点。
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标。
（2）当四边形APBC为梯形，求P的坐标。
7、已知抛物线y= 34x²+bx+c 与x轴相交于点A和B（2，0），与y轴相交于C（0，-6）（1）求出抛物线的解析式和A点的坐标。
（2）D为抛物线的顶点，设P点（t，0），且t＞2，如果△BDP与△CDP的面积相等，求P点的坐标。
8、在xoy直角坐标系中，点C（2，-3）关于x轴对称的点为A，关于原点对称的点为B，抛物线y=ax²+bx+c过A、B两点，且点D（3，19）在抛物线上。
【答案】5、若关于x的方程x²+2mx+m²+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x2²的最小值为（）解：方程x²+2mx+m²+3m﹣2=0有两个实数根则判别式△=（2m）²- 4*（m²+3m﹣2）≥0即：m≤23------------------------------------------------①根据韦达定理，x1+x2 = -2m-------------------------②x1x2 =m²+3m﹣2-----------------③又x1（x2+x1）+x2²= x1x2 +x1²+x2²=（x2+x1）²- x1x2 【将②③代入】=（-2m）²-（m²+3m﹣2）=3m²- 3m+2=3（m- 12）²+54则顶点（12，54）其图像为由①知，当m≤23时，已经把顶点包含在内，故，当m=12时，有最小值是546、平面直角坐标系中两定点A（-5，0,），B（3，0），抛物线y=ax²+bx-30（a≠0）过A、B，顶点为C，点P（m，n）为抛物线上的一点。
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标。
（2）当四边形APBC为梯形，求P的坐标。
解：【第一问】（12，54）因为点A（-5，0,），B（3，0）均为x轴上的两点，且抛物线过这两点，故抛物线的解析式可写为：y=a（x+5）（x-3）y=a（x²+2x-15）y=ax²+2ax-15a-----------①又已知，抛物线y=ax²+bx-30------------②根据恒等原理，①式与②式对应的系数相等。
那么它们的常数项相等，即：-15a = -30解得：a=2将a=2 代入①式，解得抛物线解析式为：y=2x²+4x-30 再对y=2x²+4x-30变形即：y=2（x²+2x）-30y=2（x+1）²-32所以，顶点C坐标（-1,-32）答：抛物线解析式为：y=2x²+4x-30，顶点C坐标（-1,-32）【第二问】四边形APBC为梯形，有两种情况，一是BP∥AC，一是AP∥CB （1）当BP∥AC，因为A（-5，0），C（-1，-32）直线AC的斜率k1=0-（-32）-5-（-1）= -8 ----------------③因为B（3，0），P（m，n）直线PB说完斜率k2= 0- n3- m=nm -3----------------④因为BP∥AC 所以③=④即-8 =n m -3化简：n = 24 -8m-----------------------------------------⑤因为P（m，n）在抛物线上，所以，把x=m，y=n代入y=2x²+4x-30中得：n=2m²+4m-30---------------------------------------⑥因为⑤=⑥，消去n，得：24 -8m=2m²+4m-30化简：m²+6m-27=0（m+9）（m-3）=0解得：m= -9，m=3将m= -9代入⑤中，解得，n=96，则P坐标（-9，96）将m=3代入⑤中，解得，n=0，则P坐标（3，0）与B（3,0）重合，舍去故：当BP∥AC时，P坐标为（-9，96）（2）AP∥CB同理：直线BC的斜率k3=8直线AP的斜率k4=n m+5由K3=k4，得8=nm+5即：n=8m+40----------⑦因为P（m，n）在抛物线上，所以，把x=m，y=n代入y=2x²+4x-30中得：n=2m²+4m-30--------------------------------------⑧由⑦=⑧解得，m=7，m=-5将m=7，m=-5代入⑦，解得n=106，n=0即P坐标（7，106），或p（-5，0）与A（-5，0）重合，舍去故：当AP∥CB时，P坐标为（7，106）7、已知抛物线y= 34x²+bx+c 与x轴相交于点A和B（2，0），与y轴相交于C（0，-6）（1）求出抛物线的解析式和A点的坐标。