常微分方程自学考试大纲
常微分方程教学大纲
218．111．1常微分方程教学大纲<Ordinary Differential Equations>学分数 3 周学时 3+1一.说明1.课程名称: 常微分方程 <一学期课程>一学期： 4*18.2.教学目的和要求:<1>课程性质:本课程是数学系二年级必修课.本课程是数学系的一门基础课,一般安排在第三学期.它的前续课程是：数学分析、高等代数、解析几何、普通物理等.本课程是数学应用于物理、力学等的桥梁,是运用数学工具解决实际问题的重要工具和基础.也是加深理解数学分析、高等代数等课程的重要课程.<2>基本内容:本课程主要内容为常微分方程的理论与计算.包括以下内容:常微分方程问题的来源,简单常微分方程的初等解法,常系数线性方程解的结构〔以及解法〕,线性微分方程组理论与解法,微分方程基本理论,微分方程定性理论初步.<3>基本要求: 通过本课程的学习,学生对微分方程在实际问题〔包括数学本身以及物理、力学、经济、生物等各个领域〕中的应用有较好的认识,熟练掌握简单常微分方程的初等解法、常系数线性方程的解法和线性微分方程组的知识〔对于低阶方程组、简单的高阶方程组要会解〕,掌握微分方程〔组〕的基本理论,对微分方程〔组〕的定性理论有一定的了解.3.教学方式:课堂授课.4.考试方式:考试〔笔试〕.5.教材: 《常微分方程》,金福临,李训经等编,##科学技术,1984.参考书:《常微分方程》 V. I. 阿诺尔德著, 沈家骐,周宝熙,卢亭鹤译,科学, 2001.其他院校,例如大学、南京大学编写的常微分方程教材.二.讲授纲要第一章引论<10学时+4学时>§1.1. 常微分方程问题的来源<1学时>§1.2. 简单常微分方程的初等解法<4学时>§1.3. 高阶方程的降阶<3学时>§1.4. 两体问题 <2学时>本章教学要求:对微分方程在实际问题〔包括数学本身以及物理、力学、经济、生物等各个领域〕中的应用有较好的认识,熟练掌握简单常微分方程的初等解法和一些可以利用降阶解决的高阶常微分方程的求解.注：4学时为习题课第二章常系数线性微分方程 <6学时+2学时>§2.1. 一阶、二阶方程<2学时>§2.2. n阶常系数线性方程 <2学时>§2.3. 算子方法 <2学时>本章教学要求:熟练掌握常系数线性方程的解法.注：2时为习题课第三章线性方程组<12学时+4学时>§3.1. 向量值与矩阵值函数,线性微分方程组的矩阵向量表示.<1学时>§3.2. 线性微分方程组初值问题的存在唯一性定理 <2学时>§3.3. 线性微分方程组解的结构 <2学时>§3.4. 非齐次线性常微分方程 <1学时>§3.5. 常系数线性微分方程组的求解 <4学时>§3.6. 二阶变系数常微分方程 <2学时>本章教学要求:掌握线性微分方程组的知识,对于低阶方程组、简单的高阶方程组要具体会求解.注：4学时为习题课第四章微分方程的基本理论<10学时+3学时>§4.1. 初值问题解的纯在存在唯一性定理 <2学时>§4.2. 微分方程组的初值问题 <2学时>§4.3. 动力系统的基本概念 <2学时>§4.4. 微分方程组解关于初值和参数的可微性定理 <2学时>本章教学要求:掌握微分方程〔组〕的基本理论.注意把握逐次逼近法.注：3学时为习题课第五章微分方程定性理论初步<14学时+5学时>§5.1. 平面上初等奇点及其分类 <2学时>§5.2. 平面定性理论的基础—非线性二阶方程的周期解和极限圈 <4学时>§5.3. 非线性常微分方程解的稳定性定义 <2学时>§5.4. 稳定性的李雅普诺夫定理 <4学时>§5.5. 一次近似理论 <2学时>本章教学要求:对微分方程〔组〕的定性理论有一定的了解注：5学时为习题课学时安排说明: 本课程共需72学时, 在教学过程中,某些章节的学时可以根据学生的接受情况略有增减.另外,时间允许时,在第三章可以介绍周期系数的常微分方程.在第四章可以介绍连续右端的常微分方程.本纲要编写者: 楼红卫。
高等数学基础班常微分方程
第六章 常微分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。
微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。
特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。
【大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。
理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。
了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。
会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。
【考点分析】本章包括三个重点内容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。
求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。
2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。
利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。
若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。
3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。
【考点一】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。
可分离变量的微分方程的解题程序：当()0,()()()()dy g y y f x g y f x dx g y '≠=⇔=时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+⎰⎰上式即为变量可分离微分方程的通解。
常微分方程课程教学大纲知识分享
常微分方程课程教学大纲常微分方程课程教学大纲英文名称：Ordinary differential equation 课程类型：专业基础课理论学时：64实验学时：学分： 4 开课学期：第3学期适用对象：数学与应用数学专业本科生考核方式：考试先修课程：数学分析、高等代数与解析几何一、课程简介常微分方程是数学系本科生的必修课.通过本课程的学习，利用数学分析、高等代数的一些工具，牢固掌握微分方程学科最基本的内容，如一阶常微分方程、高阶微分方程与线性微分方程组的基本理论与解法，初步掌握其在实际问题中的应用及微分方程定性和稳定性理论的基本概念和重要结果，一般了解一阶线性偏微分方程.二、课程教学目标本门课程的主要任务是：通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力；使学生掌握常微分方程的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础.三、教学内容及要求第一章绪论主要内容：1、常微分方程基本概念;2、导出微分方程的实例;3、微分方程的几何意义。
基本要求和教学重点：1、了解常微分方程的基本概念；2、领会常微分方程所讨论问题的基本内容；3、了解常微分方程的实际背景及应用。
第二章初等积分法主要内容：1、变量分离方程；2、齐次方程；3、一阶线性方程与常数变易法；4、全微分方程与积分因子；5、一阶隐式微分方程。
基本要求和教学重点：1、熟练地掌握一阶方程各种类型的初等解法.2、学会根据所给方程的特点，引进适当的变换，增强解题能力；3、能够合理的处理某些一阶微分方程的求解问题。
第三章一阶微分方程的解的存在定理主要内容：1、解的存在性与唯一性定理2、解的延拓3、解对初值和参数的连续依赖性4、解对初值和参数的可微性基本要求和教学重点：1、熟悉和理解定理证明方法；2、掌握逐步逼近法。
复试笔试科目《常微分方程》
复试笔试科目：《常微分方程》
一、试卷满分及考试时间
试卷满分：100分
考试时间：2小时
二、考试题型
填空题，计算题，证明题
三、考试大纲及参考书目
1、参考书目：王高雄，常微分方程，高等教育出版社
2、试卷考查内容比例：一阶微分方程的初等解法（40%）；一阶微分方程的
解的存在定理（10%）；高阶微分方程（30%）；线性微分方程组（20%）
3、考查内容
第一章绪论
§1.2 基本概念
第二章一阶微分方程的初等解法
§2.1 变量分离方程与变量变换
§2.2 线性方程与常数变易法
§2.3 恰当方程与积分因子
§2.4 一阶隐方程与参数表示
第三章一阶微分方程的解的存在定理
§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
第四章高阶微分方程
§4.1 线性微分方程的一般理论
§4.2 常系数线性方程的解法（要求掌握第一、二、三小节，第四小节不做要求）
§4.3 高阶方程的降阶（要求掌握第一节）
第五章线性微分方程组
§5.1 存在唯一性定理
§5.2 线性微分方程组的一般理论
§5.3 常系数线性微分方程组（要求掌握第一、二小节，第三小节不做
要求）。
常微分方程教学大纲
《常微分方程》教学大纲课程名称：常微分方程学时：54学分：课程性质：专业必修课考核方式：考试开课对象：一、教学目的常微分方程是数学各专业必修的基础课之一，目的是要学习和逐步掌握常微分方程的基本理论和方法，学习建立和解决确定性数学模型的思想方法，把数学理论和方法运用到解决实际问题中去。
本课程要求学生能熟练掌握各类微分方程的基本解法，理解和掌握常微分方程的基本理论：存在唯一性定理和线性常微分方程的基本理论。
二、课程内容及学时分配第一章初等积分法（16学时）了解微分方程的背景和基本概念，熟练掌握各类一阶方程(变量分离方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程、隐式微分方程)、高阶方程的基本解法。
第二章基本定理 (12学时)理解并掌握存在唯一性定理及证明方法—逐次逼进法，掌握解的延拓定理和解的存在区间。
理解解对初始值与参数的连续性，了解解对初始值的可微性。
了解奇解概念和会求奇解。
会应用存在唯一性定理。
第三章一阶线性微分方程（12学时）理解并掌握线性方程与方程组的基本理论：齐次和非齐次线性方程解的性质、函数线性关系、Wronsky行列式、基本解组、齐次和非齐次线性方程的通解结构定理、Liouville公式。
方程组基解方阵的性质。
第四章 n阶线性微分方程（14学时）熟练掌握常系数线性方程与方程组的解法（高阶非齐次可只讲待定系数法，算子法，Laplace 变换可不讲）。
高阶方程的特征方程方法，方程组的基解矩阵求法，指数矩阵exp(At)求法，通解。
三、教材及教学参考书教材：东北师范大学微分方程教研室，常微分方程（第二版），北京：高等教育出版社.2005教学参考书：常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。
常微分方程讲义，叶彦谦编，人教出版社。
常微分方程稳定性理论，许松庆编，上海科技出版社。
常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
四、说明本课程成绩评定方法：平时成绩30%；期末成绩70%。
常微分方程大纲(数学与应用数学专业)
常微分方程教学大纲（The teaching outline of ordinary differential equations）（供四年制数学与应用数学专业2009级试用）课程编号：21210590总学时数：51学分数：3 开课单位：数学科学学院课程的性质与任务常微分方程是一门从数量关系上研究客观现实世界规律性的学科，它在自然科学和工程技术中均有着广泛的应用，是数学与应用数学（师范类）专业教学计划中一门重要的专本课程为考试课程，建议考核方式：闭卷考试。
大纲内容与基本要求第一章绪论第一节常微分方程模型第二节基本概念和常微分方程的发展历史1、常微分方程的基本概念，2、雅可比矩阵与函数相关性，3、常微分方程的发展历史。
教学要求：1、通过简单实际问题的常微分方程模型的建立了解常微分方程的实际背景。
2、掌握常微分方程的基本概念（类型，阶，线性，非线性，解，通解，初值条件，初值问题，特解，积分曲线以及方向场等），通过方向场与欧拉折线了解一阶微分方程与解的几何意义。
3、理解函数相关性概念及结论，了解常微分方程的发展历史。
第二章一阶微分方程的初等解法第一节变量分离方程和变量变换1、变量分离方程，2、可化为变量分离方程的类型，3、应用举例。
第二节线性微分方程与常数变易法第三节恰当微分方程与积分因子1、恰当微分方程，2、积分因子。
第四节一阶隐式微分方程与参数表示1、可以解出y（或x）的方程，2、不显含y（或x）的方程。
教学要求：1、熟练掌握各类一阶显式方程(变量分离方程、齐次方程、准齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程等)的基本解法。
2、理解积分因子的概念，并能寻求特殊形式的积分因子。
第三章一阶微分方程的基本理论第一节一解微分方程的解的存在唯一性定理与逐步逼近法1、初值问题的解的存在唯一性定理，2、近似计算与误差估计。
第二节解的延拓第三节解对初值的连续性和可微性定理第四节奇解1、包络和奇解，2、克莱罗微分方程。
常微分方程课程教学大纲及实施意见.doc
常微分方程课程教学大纲及实施意见一、课程的性质与任务常微分方程是数学的一个重耍分支，也是数学理论联系实际的重耍渠道之一，它是与微积分同时产生和发展起來的。
随着科学技术和数学各分支的发展，常微分方程的理论FI益丰富多采，富有生命力。
常微分方程是大学数学专业的一门皋础课，在教学计划屮是选修课，它在解析几何、数学分析、高等代数之后开课,本课程着重讲授常微分方程理论中一些最皋本、最重要的经典问题和一些简单的应用，例如初等解法，解的理论，线性方程的理论和解法，一阶线性和拟线性偏微分方程的理论和解法，为了使学生对常微分方程的进一步内容有所了解，本课程也简略地介绍了常微分方程定性理论和稳定性理论。
通过本课程的学习，使学生正确理解常微分方程的基本概念,掌握基本理论和主耍方法,具冇一定的解题能力，为学习本学科的近代内容和后继课程打下基础C二、课稈内容、要求与说明（一）初等积分法（学吋数26）内容1.基本概念：常微分方程和偏微分方程，线性方程和非线性方程，阶，解（通解、特解、隐式解），初值条件，初值问题。
2.可分离变量的方程。
3.齐次方程dy/dx=ip（y/x）4.一阶线性方程,常数变易法,伯努力方程。
5.全微分方程与积分因子。
6.方向场，微分方程的几何意义。
7.一阶隐式微分方程（可解出dy/dx的方程，克莱洛方程，奇解）8.几种可降阶的二阶方程:d2y/dx2=f（x, dy / dx）, d 2 y / dx 2 =f （y, dy / dx）。
9.微分方程的应用举例（物理与几何方面的简单应用）教学要求1.理解线性方程与井线性方稈，阶，解（通解，特解，隐式解），初值条件，初值问题等概念。
2.熟练掌握可分离变量的方程，齐次方程，一阶线性方程；们努力方程，全微分方程的求解方法。
3.掌握常数变易法，记住一阶线性方程的通解表达式。
4.了解变量变换和积分因子在求解微分方程屮的作用，会作简单的变量变换和会用简单的积分因子解微分方程。
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第 5 章 常微分方程
一、微分方程
表 5-1 微分方程
微分方程
概念 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之问的关系的方程，称为微分方程．
阶
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶．
设函数 y (x) 在区间 I 上有 n 阶连续导数，如果在区间 I 上，有
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如果一个一阶微分方程能写成
g y dy f x dx
的形式，则原方程称为可分离变量的微分方程．
2．解法
设 y x 是方程 g y dy f x dx 的解，代入得
三、一阶线性微分方程 1．一阶线性微分方程
dy P(x) y Q(x) dx
2．齐次线性方程 （1）表达式
（2）通解
dy P(x) y 0 dx
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y CeP(x)dx (C eC1 ) (C1为常数)
F[x, (x), (x), , (n)(x)] 0
解
则函数 y (x) 就称为微分方程
F(x, y, y, , y(n)) 0
在区间 I 上的解．
通解
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相
同，则这样的解称为微分方程的通解．
设微分方程中的未知函数为 y (x) ，则：
方程
y f ( y, y)
令 y p
得
y dp dp dy p dp dx dy dx dy
常微分方程教学大纲
常微分方程教学大纲第一部分大纲说明一、课程的作用与任务“常微分方程”课程是中央广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课。
常微分方程是一门与微积分一起成长起来的学科，是自然学科中表述各种基本规律的根本工具之一，已经成为数学联系实际问题的重要手段之一。
近些年来，常微分方程的研究与应用已经深入到自然科学和社会科学的众多领域，并且成功地揭示了许多自然和社会现象的内在规律。
本课程的任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力。
学习本课程，学生应具备微积分和高等代数的基础知识。
通过本课程的学习，还能为其它后继课，如微分几何、数学物理方程和泛函分析初步等课程的学习做好必要的准备。
二、课程的目的与要求1.学习常微分方程基本理论时，学生要注意了解学科的理论特征，理解其思维方式，掌握基本的推理方法。
2.常微分方程的求解方法主要包含在初等积分法，线性方程与线性方程组的代数解法中，这是学习常微分方程的基本功，要求学生熟练掌握。
3.线性系统理论是常微分方程理论中不多见的比较完整的理论，其内容与线性代数的有关知识有密切关系，通过这部分内容的学习，使学生在高等代数有关理论的框架下，对常微分方程线性系统理论有更深层次的理解，有助于学生对数学理论的统一性加深理解。
4.定性理论是常微分方程近代理论中重要的研究方向，本课程简略介绍问题的背景、解决问题的方法和重要结果，以此引发学生进一步深入学习常微分方程的兴趣。
5.由于常微分方程是一门与实际问题联系紧密的学科，在教学中，尽量多安排一些在物理、化学、生态学及几何学中常见的与之有关的实际问题，培养学生把实际问题转化成为数学问题的能力。
三、课程的教学要求层次教学要求中，有关定义、定理、性质、特征等概念的内容按“知道、了解和理解”三层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。
第二部分学时、教学安排、教材与教学环节一、学时和学分1．本课程共54学时，学时分配为：章号内容课内学时电视学时IP学时备注1 初等积分法14 5 72 基本定理93 43 线性微分方程组9 3 54 线性微分方程145 75 定性理论简介8 2 4合计54 18 272.学分本课程共3学分。
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《常微分方程》(B)自学考试大纲课程代码：8488目录一、课程性质与设置目的二、课程内容与考核内容第一章绪论§1.1 常微分方程模型§1.2 基本概念1.2.1 常微分方程基本概念第二章一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换2.1.1 变量分离方程2.1.2 可化为变量分离方程的类型§2.2 线性方程与常数变易法§2.3 恰当方程与积分因子2.3.1 恰当方程2.3.2 积分因子§2.4 一阶隐方程与参数表示2.4.1 可以解出y（或x）的方程2.4.2 不显含y（或x）的方程第三章一阶微分方程的解的存在定理§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1 存在唯一性定理3.1.2 近似计算与误差估计§3.2解的延拓第四章高阶微分方程§4.1. 线性微分方程的一般理论4.1.1 引言4.1.2 齐次线性微分方程的解的性质与结构4.1.3 非齐次线性微分方程与常数变易法§4.2 常系数线性方程的解法4.2.1 复值函数与复值解4.2.2 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程4.2.3 非齐次线性微分方程，比较系数法§4.3 高阶方程的降阶解法4.3.1 可降阶的一些方程的类型第五章线性微分方程组§5.1 存在唯一性定理§5.2. 线性微分方程组的一般理论5.2.1 齐次线性微分方程组5.2.2 非齐次线性微分方程组§5.3 常系数线性微分方程组5.3.1 矩阵指数Aexp的定义5.3.2基解矩阵的计算公式三、有关说明和实施要求附录：题型举例一、课程性质与设置目的：常微分方程是数学的一个重要分支，是数学和实际相联系的重要渠道之一，它是和微积分同时产生和发展的。
现代科学技术和数学各分支的发展，为常微分方程提供了众多的数学摸型、研究方法和广阔的应用领域，使得常微分方程的理论日益丰富多彩，富有生命力。
常微分方程是高等师范院校数学专业的基础课之一，在自学考试科目中也是必考课程，它是继数学分析，高等代数和解析几何之后开设的一门课程。
本课程重点讲授常微分方程理论中的一些最基本、最重要的经典性问题和一些简单的应用，例如一、二阶方程的解法，解的基本理论，线性方程组的理论和方法。
通过本课程的学习，使学生正确掌握常微分方程的各种基本概念和处理微分方程问题的思维方法，了解和初步掌握用常微分方程解决实际问题的全过程。
通过学习，使学生熟练掌握求解常微分方程的方法，包括各种一阶方程的各种初等解法和高阶线性常系数和方程组的解法，降阶解法等方法。
同时为学习本学科的后继课程和近代内容打下基础。
二、课程内容与考核内容第一章、绪论（一）学习目的与要求正确掌握微分方程，解和通解，线性与非线性，定解问题和初值问题等基本概念. 了解积分曲线，方向场等概念. 学会通过较简单的实际问题建立常微分方程的方法(例如平面解析几何中点的轨迹问题).（二）课程内容§1.1 常微分方程模型了解几种常微分方程（RLC电路、数学摆、人口模型等）的建模§1.2 基本概念微分方程常微分方程偏微分方程和微分方程组；线性与非线性方程；解和隐式解；通解和特解；积分曲线和方向场。
（三）考核知识点通解和特解积分曲线和方向场（四）考核要求（1）识记：微分方程常微分方程偏微分方程与方程组线性与非线性方程解和隐式解通解与特解积分曲线与方向场等概念。
（2）领会：通解，积分曲线与方向场等概念的含义。
（3）应用：根据常微分方程的物理背景及建立方法，能从一些简单物理现象中抽象出微分方程数学模型。
第二章一阶微分方程的初等解法（一）学习目的与要求熟练掌握各种基本类型的方程及其解法；特别是线性方程及全微分方程。
（二）课程内容§2.1 变量分离方程与变量变换变量分离方程; 可化为变量分离方程的类型;§2.2线性方程与常数变易法§2.3 恰当方程与积分因子恰当方程; 积分因子§2.4 一阶隐方程与参数表示可以解出y（或x）的方程; 不显含y（或x）的方程（三）考核知识点变量分离方程与变量变换; 线性方程与常数变易法;恰当方程与积分因子; 一阶隐方程与参数表示。
（四）考核要求（1）识记：各种方程的定义，恰当方程判定的充要条件，特殊积分因子存在的条件。
（2）领会：变量分离方程的求解方法，一阶线性非齐次方程的常数变易法，恰当方程的解法，特殊积分因子的求法以及可解出x和y的一阶隐方程的解法。
（3）应用：能根据实际问题，列出对应的微分方程并求解。
第三章一阶微分方程的解的存在定理（一）学习目的与要求掌握证明存在唯一性定理的逐步逼近法。
（二）课程内容解的存在唯一性定理与逐步逼近法；解的延拓。
（三）考核知识点掌握证明存在唯一性定理的逐步逼近法，会用其数学方法解决相关问题；通过这部分内容的学习理解定性研究方程的基本思想。
（四）考核要求（1）识记：解的存在唯一性定理的条件，结论。
解的延拓定理及方法。
（2）领会：解的存在唯一性定理的意义；逐步逼近法的思想、近似解的求法。
（3）应用：运用解的存在唯一性定理解决相关问题。
第四章高阶微分方程（一）学习目的与要求准确掌握函数组线性无关及付朗斯基行列式的概念，齐和非齐线性方程解的叠加性原理，熟练掌握基本解组的概念和常数变易公式等；熟记线性齐方程组解空间的结构和通解表示；熟练掌握常系数线性齐方程组基本解组的表示(特征根法);熟练掌握用比较系数法求两类非齐方程的特解的方法.（二）课程内容线性微分方程的一般理论; 常系数线性微分方程的解法; 高阶微分方程的降阶.（三）考核知识点理解线性方程解的性质及通解的结构，掌握常系数线性方程的解法以及特殊高阶方程的降阶，并会用有关定理的证明方法和数学思想解决问题。
（四）考核要求（1）识记; 线性方程解的性质及通解的结构。
（2）领会：常系数齐线性方程求解的欧拉待定指数函数法，欧拉方程的解法以及非齐线性方程的比较系数法和常数变易法，高阶方程的降阶。
（3）应用：会运用这部分内容中相关定理的证明方法和思想解决问题。
第五章线性微分方程组（一）学习目的与要求理解并掌握线性微分方程组的解的性质，通解结构，刘维尔公式，熟悉向量与矩阵的表达方法. 熟练掌握常系数线性微分方程组的解法。
（二）课程内容存在唯一性定理; 线性微分方程组的一般理论; 常系数线性微分方程组. （三）考核知识点理解任何一个高阶线性方程的问题都可以化成一个线性方程组去解决，掌握常系数方程组基解矩阵的求法，并从中体会本课程与高等代数间的联系，学习其解决问题的数学思想和方法。
（四）考核要求（1）识记：方程组的向量形式的记法、方程组的解的存在唯一性定理，方程组一般理论，伏朗斯基行列式，基解矩阵以及矩阵指数的定义。
（2）领会：线性方程组与高阶线性方程的关系，常系数线性方程组基解矩阵和标准基解矩阵的求法，非齐线性方程组的常数变易法。
（3）应用：能根据实际问题，列出对应的微分方程并求解。
三、有关说明和实施要求（一）、自学方法指导：本课程概念较少，但计算与理论都占有很重要的地位。
这就要求自学者要通过大量的例题、习题学会各种计算的方法和技巧以及基本理论的有关内容，主要是通过正确的判断方程的类型并会用相应的方法求解方程，掌握存在唯一性定理以及线性方程（组）的解的结构定理和解的性质等定理的内容以及证明的思想方法。
（二）、对助学的要求：第一、社会助学者应根据大纲规定的考试内容和考核目标，认真钻研指定教材，明确本课程与其它课程的联系与不同，对自学应考者进行切实有效的辅导，引导他们防止自学中的各种偏向，把握社会助学的正确方向；第二、要正确处理基本知识和应用能力的关系，努力引导自学应考者将识记、理、掌握、会应用联系起来，把基本知识转化为解决问题的能力，在辅导的基础上，帮助自学应考者建立用系统的观点进行分析问题和解决问题的能力；第三、要正确处理重点和一般的关系。
课程内容有重点和一般之分，但考试内容是全面的，而且重点与一般是相互影响的，不是截然分开的。
社会助学者应指导自学应考者全面系统地学习教材内容，掌握全部考试内容和考核知识点，在此基础上再突出重点。
总之，要把重点学习同兼顾一般结合起来，切勿孤立地抓重点，把自学应考者引向猜题、押题。
（三）、有关教材和参考书指定教材：《常微分方程》(第三版), 高教出版社, 王高雄, 周之铭等编著.主要参考书：1.《常微分方程教程》, 高教出版社, 丁同仁, 李承志等编著.2．《常微分方程讲义》, 人民教育出版社, 王柔怀，伍卓群编.（四）、考试方式：闭卷考试采用闭卷、笔试形式，全卷满分为100分，考试时间为150分钟。
试卷包括选择题、填空题、解答题、应用题和证明题。
选择题是四选一的单向选择，填空题只要求填写结果，解答题、应用题和证明题均应写出文字说明、演算步骤或推证过程。
选择题、填空题、为44分，解答题、应用题、证明题分值合计为56分。
附录：题型举例《常微分方程》课程自学考试试卷(样题)一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
在每小题给出的四个备选项中，选出一个正确的答案，并将所选项前的字母填写在答题纸的相应位置上，填写在其它位置上无效）1、下列方程是三阶方程的是A. 032=+'+'''y y y ，B. 032)(3=+'+'y y yC. 032)(3=+''+'y y yD. 03)(2)(33=+''+'y y y二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1、 方程)(xy g dx dy =方程，经过变换______可以化变量可分离方程。
三、计算题（本大题共6小题，每小题7分共42分）1、 求方程y xy dxdy x ==2 （0<x ）的通解 四、 应用题 (7分)镭的衰变有如下规律：镭的衰变速度与现存量 成正比。
有经验材料得知，如有镭20克，则经过1600年后，只剩余10克。
（1）试求镭的量 与时间 的关系式。
（2）求3200年后，镭剩余多少。
五、证明题 (7分)假设0)(1≠t x 是二阶齐次线性微分方程：0)()()()()(21=+'+''t x t a t x t a t x 的解，这里)(1t a 和)(2t a 于区间],[b a 上连续。
证明：)(2t x 为方程的解的充要条件是：0},[)(],[21121=+'x x W t a x x W ，其中],[21x x W 由1x 和2x 所构成的朗斯基行列式.11 / 11。