滤波实验报告

信号采样与恢复过程中得混叠及其滤波

一、实验目得:

(１)理解连续时间信号得采样与恢复过程；

(2)掌握采样序列得频域分析与滤波，信号得恢复,掌握Shａnｎoｎ采样定理；

(3)学会利用MATLＡＢ软件分析信号采样、滤波与恢复得过程。

(4)学会FIR滤波器得简单设计方法

二、实验内容:

给定原始信号如下式所示:

,ﻩ

其中,就是信号原始频率（本实验中为自选常数,为低频,为高频）.确定一个采样频率对进行采样,再将采样得到得序列进行DＦT,画出过程中各信号得图形.进行频域高、低频滤波，再反变换得出处理后恢复出来得信号。将实验过程中得到得图形与理论图形进行比较,发现不同点并加以解释。

三、实验过程:

先选定f1=50hｚ、,则原始信号表示为:

ﻩﻩ

1、原信号时域截取：

因为在计算机中只能计算离散得点列,若要用MAＴLAB处理图形,只能先对信号进行截取与采样。本实验选定矩形截取窗口得宽度为原信号周期得m倍,m为正整数.所以画出截取后得信号图像为

图1截断后得信号图像

5０与７0得最大公原信号中低频为50Hz，高频为70Hｚ，取采样频率为3倍得，即

。

约数为１0,所以原信号得最小正周期为1/10s,这里取m为3(即取窗口函数得宽度为3/10ｓ）,相应得采样点数,所以窗口函数为

其图像如图2所示，其傅立叶变换图像如图3所示,其公式如下：

,其中

图2 窗函数图3窗函数傅里叶变换（CＴFT）时域截取得过程就就是原函数在时域乘以，而在频域与做卷积运算后再乘以系数,而在实际计算机仿真过程中,只要选好信号横坐标得范围就完成了截取信号得过程,本实验中取信号横坐标为,截取后得CT信号得傅里叶变换图像如图4所示,其图像在频域坐标轴上向正负无穷延展.

图4 截取后得CT信号（）得CTＦＴ

2、截断信号得时域采样

截断后得信号就可以在时域上进行采样,采样函数为,截断后得信号乘以,所以在频域相当于与进行卷积,其得到得图像为周期得，其图像与离散采样信号得ＤTFＴ形式相同。

以上为CＴ信号得分析,对于离散信号,为了适应计算机得处理方式,我们需要采用DFＴ与IDFT进行计算求解.采样后得离散信号图像为下图所示

图5 采样后得信号

对上述有限得离散信号求DTＦＴ,可以得到其在频域得表现形式，对离散角频率取之间得629个样点,计算其ＤＴＦT,并画出图像如下

图6有限采样信号得DTFＴ频谱

如果对上述频谱图进行采样，则相应得,离散采样信号将进行周期延拓,如果在频域进行采样，并保证在一个主周期中,有Ｎ个采样点,则离散采样信号将以N为离散周期进行延拓。如果令，则其相当于原始周期信号得采样。

利用DFＴ,我们可以完成这个过程，ＤFT公式为

其类似于DTＦS公式,特点就是隐含周期性,就得到了离散得频谱,其频谱与连续周期信号得频谱在形式上极为相似，只要保证，频谱赋值在数值上相同.其图像如下:

图7 离散信号得ＤFＴ离散频谱

3、设计离散滤波器并进行滤波。

目前,只进行了低通滤波．

目标：滤除70Ｈz得高频成分,保留直流分量与50Ｈz得低频成分。

方法:采用窗函数法设计FIR滤波器。采用海明窗.

具体步骤:

(1）、取通带截止频率为,取阻带起始频率为,,取阻带衰减不小于-50db．

(２）、求理想滤波器得冲击响应。

(3)、选择窗函数本实验取海明窗

(4）、确定N值。海明窗带宽：，,所以求得N为35

（5)、确定FIR滤波器得

（６)、求经过计算,得到得滤波器得单位冲击响应与滤波器得频谱图如下图所示

图8 滤波器单位冲击响应

图9 数字滤波器得频谱图

下面进行滤波，把离散信号得DFT离散频谱函数与数字滤波器得频谱函数对应相乘，进行了频域滤波。滤波后得离散频谱如下图所示

图１0 滤波后得离散频谱图

利用IＤFT进行反变换得到滤波后得离散信号，其图像如下

图１１IＤFT后得离散信号4、离散信号变为连续信号（插值)

（1）利用理想插值函数进行插值,其插值函数图像如下

图１２理想插值函数插值效果如下图所示

图13 原始信号复原图

但就是,上述插值在物理世界中,无法实现,因为它非因果，且为无穷信号．与此同时,通过观察发现,在复原图像得边缘误差较大,原因就是因为所取得离散信号点为有限个,所以存在误差，当在边界进行插值时,边界另一边没有信号值,所以误差较大,当采样点为无穷个时，理论上可以精确复原原图像，但这在现实生活中，无法实现。

（2）一阶线性插值,其插值函数图像如下

图14 一阶线性插值函数

插值效果如下图所示

图15 原始信号复原图

一阶线性插值插值误差较大，但基本反映出了图像得形态，其在物理上可以实现。

通过观察,上述复原图在边缘出也存在较大误差,原因同上，同时因为插值函数具

有延时效果,所以复原信号在实间上有延迟，最直观就就是比理想复原图向后移动

了一小段距离。

5、参数调整

通过上面得实验,我对信号采样与复原过程有了一定得了解，下面通过参数调整来加深理解．

（1)窗函数为整数倍周期,否则无法复原为原图像

调整截断信号所用窗函数得宽度,使其不等于周期得整数倍。之前取ｍ=3，这里取

m=1、5．得到得结果如下,这就是因为,利用DFT在计算周期延拓离散信号得频谱得时候，在时域延拓后得图像与原图像已经不一样了。

（2）、对于最高频率分量幅值不为零或不趋于零得信号，采样频率要严格大于两倍最大频率

上述实验中采样频率取值为3倍得信号最大频率分量，下面取，实验结果如下

通过观察发现,频谱中没有7０Ｈz对应得成分,这就是因为以2倍得频率来采样这样得谐波,得到得离散点无法反映该信号得全部特征,在这里对该信号得采样,全部在时刻,当时,所有得采样值都