初三数学圆的有关性质及有关的角(含答案)

第三讲圆的有关性质及有关的角

一、知识要点：

1、圆是平面上到的距离等于的点的集合。

2、的三点确定一个圆；任何一个三角形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫做

三角形的

心，它是三角形的的交点。

3、圆是以为轴的轴对称图形，又是以为中心的中心对称图形。

4、垂径定理的条件是，结论是。

5、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中，有一组量相等，

那么它们所对应的其余各组量都。

重、难点：圆的基本性质，垂径定理。

基础知识

圆的有关性质和计算

①垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

垂径定理的推论:

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

②弧、弦、圆心角之间的关系:

在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.

③在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.

④圆内接四边形的性质: 圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内

对角.

1、圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的；半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是。

2、弦切角它所夹的弧对的圆周角。

3、圆内接四边形的对角；任何一个外角都等于它的。

二、例题讲解

（1）圆的认识

1、（2005•扬州）下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆．其中正确命题的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2、下列命题中，正确的是（）

A．圆只有一条对称轴

B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条

C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴

D．圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴

3、过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为（）

A．1条B．2条C．3条D．无数条

4、下列命题中，正确的个数是（）

（1）不同的圆中不可能有相等的弦；（2）优弧一定大于劣弧；

（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧．

A．1个B．2个C．3个D．4个

（2）垂径定理及推论

例1、1．（2012•新疆）如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．

（1）请你写出四个不同类型的正确结论；

（2）若BE=4，AC=6，求DE．

练习1、（2019•南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O 位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．

变式题1：（2010•襄阳）圆的半径为13cm，两弦：AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求两弦AB、CD的距离。

练习2、．（2012•陕西）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两

条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为。

变式题2、如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于C，交弦AB于D，

（1）求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若AB=8cm，CD=2cm，求（1）中所作圆的半径．

（3）垂径定理的应用

例2、如图，有一个拱桥是圆弧形，它的跨度为60m，拱高为18m，当洪水泛滥跨度小于30m 时，要采取紧急措施．若拱顶离水面只有4m时，问是否要采取紧急措施？

练习3、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径AB是多少毫米？

变式题3、由于过度地采伐森林和破坏植被，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日

10km/h的速度向南偏A市气象局测得沙尘暴中心在A市的正西方向300km的B处，正以7

东60°的BF方向移动，距沙尘暴中心200km的范围内是受沙尘暴严重影响的区域．

（1）通过计算说明A市必然是否会受到这次沙尘暴的影响；

（2）计算A市受沙尘暴影响的时间．

（4）圆心角、弧、弦关系

例5、（2020•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，求∠BCD 的度数。

练习4、（2020•十堰）如图，在⊙O中，弦AB=CD，图中的线段、角、弧分别

具有相等关系的量共有（不包括AB=CD）（）

A．10组B．7组C．6组D．5组

变式题5、（2020•资阳）如图，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点．

（1）连接AB、AD、AF，求证：AB+AF=AD；

（2）若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连接PB、PD、PF，写出这三条线段长度的数量关系（不必说明理由）．

练习5、如图，⊙O中两条不平行弦AB和CD的中点M，N．且AB=CD，求证：∠AMN=∠CNM．

（5）圆周角定理

例6、（2020•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD ⊥AC，垂足为E，连接BD

（1）求证：BD平分∠ABC；

（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．

练习6、（2020•衢州）如图4，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，则sin∠AOB= 。

图4 图5 图6 图7

练习7、（220•德阳），如图5，已知AB、CD是⊙O的两条直径，∠ABC=30°，那么∠

BAD= 。

练习8、（2012•随州）如图6，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=（） A．35°B．55°C．70°D．110°