2机械控制工程基础第二章答案
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习 题
2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中,x o 表示系统输出,x i 表示系统输入,哪些是线性系统? (1) x x x x x i
o
o
o
o
222=++ (2) x tx x x
i
o
o
o
222=++ (3)
x x x x i
o
222o
o
=++ (4) x tx x x x
i
o
o
o
222o
=++ 解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中（2）和（3）是线性系统。 2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中x i 表示输入位移，x o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。
图(题2.2) 解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有 x
m x c x x c i
o
o
2
o
1)(
=--
即 x
c x c c x m i
1
2
1
o o )(=++ (2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有
)1()()(1
x x
c k x x o
i
-=- )2()(2
x k x x
c o
o
=-
消除中间变量有 x ck x k k x k k c
i
o
1
2
1
o
2
1
)(=--
(3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有 x
k x x k x x c o
o
i
o
i
2
1
)()(=-+-
即 x k x c x k k x
c
i
i
o
o
1
2
1
)(+=++ 2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。
图（题
2.3）
解:(1)对图(a)所示系统,设i 1为流过R 1的电流,i 为总电流,则有
⎰+
=idt C
i R u o 1
2
2
i R u u o
i
1
1=-
dt i i C
u u o i )(1
1
1
⎰
-=
-
消除中间变量,并化简有
u R C u C
C R R u
R C u R C u C C R R u R C i
i
i
o
o
o
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1)()1(1+++=-+++
(2)对图(b)所示系统，设i 为电流，则有
⎰++=idt
C i R u u o
i
11
1
⎰+=i R idt C
u o
2
2
1 消除中间变量,并化简有 u C
u R u C C u R R i
i
o
o
2
2
2
1
2
1
1)11()(
+=+
++
2.4 求图(题2.4)所示机械系统的微分方程。图中M 为输入转矩,C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。
解：设系统输入为M （即），输出θ(即)，分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：
)(x R Rk C J M m
-++=θθθ
x
c x m x R k +=-)(θ 消除中间变量
x
,即可得到系统动力学方程
KM M c M
m C R c k KJ c C km R cJ mC mJ m
m
m
++=++-++++ θ
θθθ）（2
2
)()()
4(2.5 输出y(t)与输入x(t)的关系为y(t)= 2x(t)+0.5x 3(t)。 （1）求当工作点为x o =0,x o =1,x o =2时相应的稳态时输出值； （2）在这些工作点处作小偏差线性化模型，并以对工作的偏差来定义x 和y ，写出新的线性化模型。 解: (1) 将
x o =0,x o =1,x o =2分别代入y(t)= 2x(t)+0.5x 3
(t)中,即当工作
点为x o =0,x o =1,x o =2时相应的稳态输出值分别为0=y o ,5.20
=y ,
8=y o
。
(2) 根据非线性系统线性化的方法有，在工作点)(,y x o
o
附近,将非
线性函数展开成泰勒级数,并略去高阶项得
x
x x x y y x x o
o
o
o
∇•=+++=∇+|)5.12(5.022
3
∴ x
x y x
x o
∇
•=+=∇|)5.12(2
若令x x
∇=
,y
y ∇=有
x x y )5.12(20+=
当工作点为0=x o 时,
x
x x y 2)5.12(20=+=
当工作点为1=x o 时, x x x y 5.3)5.12(2
0=+= 当工作点为2
=
x o 时,
x x x y 8)5.12(2
=+=