分段线性插值

《数值分析》课程设计题目分段线性插值

学生牛彦坡陈彬冯梦雨

指导教师郭阁阳

天津工程师范学院

课程设计任务书

理学院数学0702 班学生牛彦坡陈彬冯梦雨课程设计课题：

考察分段线性插值

一、课程设计工作日自2009 年 6 月22 日至2009 年 6 月28 日

二、同组学生：牛彦坡陈彬冯梦雨

三、课程设计任务要求（包括课题来源、类型、目的和意义、基本要求、参考资

料等）：

来源与意义:

本课题来源于教材第二章插值法，目的是从几何意义掌握分段线性插值的思想，加深对其的理解以及掌握用计算机与Matlab 解决相关问题的能力。

基本要求:

要求自编程序；掌握编程思想，学会一门编程语言；报告要有较强的理论分

析；有较强说服力的数据表或图像；对结果进行分析；给出相应结论；鼓励创新；

参考资料:

1.数值分析，李庆扬，王能超，易大义，2001 ，清华大学出版社（第四版）。

2.数值方法，关治，陆金甫，2006 ，清华大学出版社。

3.数值分析与实验学习指导，蔡大用，2001 ，清华大学出版社。

4.数值分析与实验，薛毅，2005 ，北京工业大学出版社。

指导教师签字：教研室主任签字：

天津工程师范学院

课程设计评审表

理学院数学0702 班学生牛彦坡陈彬冯梦雨

设计任务完成情况及指导教师评语

答辩情况

评定成绩

成绩：指导教师签字：日期：

教研室主任：主任签字：

日期：日期：

一、问题提出：

考察分段线性插值：

对 f (x)

1

1 x2

在(-5 ，5)上进行分段线性插值，取不同节点个数n ，得到不同

分段线性插值函数。（要求：自编程序，报告有数据表、图像、分析、结论。）

虽然matlab 里有直接分段线形插值的函数，但为了对分段插值算法有更明确的理解，编写该程序是有必要的

需要解决的问题：

1、由已知数据节点编写分段线形插值函数，从而能由所编函数得到非节点的函

数值。

2、比较用不同节点数所得插值函数与真实函数的误差，从而得出节点数与插值

效果的关系

二、理论基础

所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近f（x）。设已知节点a=x 0

1o I

h

( x) C[a, b],

2o I h ( x) f k (k 0,1, ,n) ,

3o I h ( x) 在每个小区间[x k,x k+1 ]上是线性函数。

则称I

h

( x) 为分段线性插值函数。

模型一：由定义可知I h ( x) 在每个小区间[x k,x k+1 ]上可表示为

x I h (x) =

x k x

k 1

k

x

k 1

x x k

x

k 1

x

k

f

k 1

( x

k

x x k 1 ) f

模型二：首先确定间隔序列k，使得：

x k x x k 1 第二个量是局部变量s，其定义为：

s x x k 最后一个量是一阶均差

y k 1 y k

k

x

k 1 x k

则插值基函数可表示为

L( x) y k (x

y

k 1

y

k

x k )

x k 1 x k

y k s k .

三、实验内容

1、模型一：用MATLAB 分别建立m 文件：

（1）原函数fd1.m

（2）分段线性插值函数fd2.m

（3）比较不同节点数所得分段线性插值函数的插值效果fd3.m 2、选取插值节点数为偶数

在MATLAB 窗口中执行：fd3 n=2 的数据见附录，图像如下：

1

y

0.5

0 -5

-4 -3 -2 -1

0 1 2 3 4 5

x

误 差 分 析

x

） （ -0.5 R

-1 -5

-4 -3 -2 -1

0 1 2 3 4 5

x

n=8 的图如下 :

原 函 数 (实 线 )-插 值 函 数 （ 虚 线 ）

1

y

0.5

0 -5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

误 差 分 析

0.4

0.2 x ） 0 （ R

-0.2

-0.4

-5

-4 -3 -2 -1

0 1 2 3 4 5

x

n=20 的图

1

y 0.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

误差分析

0.1

0.05

）

x

（0

R

-0.05

-0.1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

3、模型二：用MATLAB 分别建立m 文件：

（1））分段插值函数fd22

（2））插值效果比较函数fd32 （选取插值节点数为奇

数）程序代码（参见附录）

在MATLAB 窗口中执行：fd32

得下图：上图为不同节点数插值函数图像与原函数图像，下图为误差图像