插值法习题及解答
计算方法第三章(插值法)解答
Aitken（埃特肯）算法 N 0,1,,k , p ( x) L( x) N 0,1,,k ( x)
N 0,1,,k 1, p ( x) N 0,1,,k ( x) x p xk
Neville（列维尔）算法
( x xk )
Ni ,i 1,,k ( x) L( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) Ni 1,i 2,k ( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) xk xi ( x xi )
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 )
容易求出，该函数为：
x x0 x x1 y y0 y1 x0 x1 x1 x0
一般插值问题：求过n+1个点
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),,( xn , yn )
的不超过n次多项式 Ln ( x )。
Ln ( x) yi li ( x )
例子：求方程 x3-2x-5=0 在(2 , 3)内的根 思路: 设 y = f(x) =x3-2x-5 ，其反函数为 x=f -1(y)，则 根为x* =f -1(0) 。先用3= f -1(16)， 2= f -1(-1)插值，得 N0,1 (y) ≈f -1(y), 计算N0,1 (0)= 2.058823, f(2.058823) = -0.39 ，以-0.39为新的节点，继续……
第三章 插值法
第一节 插值多项式的基本概念
假设已经获得n+1点上的函数值
f xi yi , i 0,1,, n,
即提供了一张数据表
x
y f x
x0
y0
x1
y1
x2
xn
y2
第三章多项式插值方法习题
4、经过点(0,1)，(1,2)，(2,5)的插值多项式 P(x) （ D ）
（A） x
（B） x 1
（C） 2x 1 （D） x2 1
x 0 2 51
5、已知函数 y f (x) 的数据表
，
y 3 6 9 0
则 y f (x) 的拉格朗日插值基函数 l2 (x) （ A ）
（A） x(x 2)( x 1) （B） (x 2)( x 5)( x 1)
第三章 习 题
1、 n 次拉格朗日插值多项式的余项是( A )
(A) Rn (x)
f (n (n
1) ( )
1)!
n1
(
x)
(B) Rn (x)
f
(n)
n
(
!
)
n
(
x)
f (n1) ( )
(C) Rn (x) (n 1)!
(D)
Rn (x)
f (n) ( )
n!
x 0 0.5 1 1.5 2 1 1 x x 1 x 2 1 x3 3 x2 1。
2
2
22
又： R3 x f x px 满足： R0 1, R1 2, R2 3, R0 0 ，
使
xi
x
xi1 ，
令 h xi1 xi ，则： R(x)
f
'' (
2
)
(x
xi
)(x
xi1 )
，
解：对
x
[0,
2
]
，必有某个
x
i
使
xi
x
xi1 ，
令 h xi1 xi ，则： R(x)
f
'' (
插值法例题计算过程
插值法例题计算过程（实用版）目录一、插值法简介二、插值法例题计算过程1.公式变形2.计算过程3.结论正文一、插值法简介插值法是一种求解未知数值的方法，通常用于预测和推断。
在财务管理中，插值法常用于计算实际利率、股票价格和债券价格等。
插值法的核心思想是根据已知的数据点，通过数学模型估算出未知数据点的值。
二、插值法例题计算过程假设有一个财务问题，需要计算一个项目的净现值（NPV）。
已知该项目在不同折现率下的净现值如下：- 当折现率为 12% 时，净现值为 116530- 当折现率为 i 时，净现值为 120000- 当折现率为 10% 时，净现值为 121765为了计算项目的实际利率，我们可以使用插值法。
首先，我们需要将公式进行变形，以便于理解和计算。
变形后的公式如下：(i-12%) / (10%-12%) = (120000-116530) / (121765-116530)接下来，我们可以按照以下步骤进行计算：1.将已知的数值代入公式中，得到：(i-12%) / (10%-12%) = 3470 / 52352.对公式进行化简，得到：(i-12%) / (10%-12%) = 0.66023.解方程，得到：i = 12% + 0.6602 * (10%-12%)i = 12% + 0.6602 * (-2%)i = 12% - 1.3204%i = 10.68%因此，该项目的实际利率为 10.68%。
通过以上计算过程，我们可以看到插值法在计算实际利率方面的应用。
在实际应用中，插值法还可以用于计算其他财务指标，如股票价格、债券价格等。
插值法求复利现值系数例题
插值法求复利现值系数例题
1.在其他条件相同的条件下，下列说法正确的是（）。
A、利率与一次性收付款终值呈同方向变化
B、利率与普通年金终值呈反方向变化
C、期限与一次性收付的现值呈反向变化
D、期限与普通年金现值呈反向变化答案：AC
解析：利率与一次性收付款复利终值呈同方向变化，期限与一次性收付款的复利现值呈反向变化2.有一项银行存款M元，年利率是10%，每季复利一次，期限是2年，那么期终值为（）。
A、M*（F/P，10%，2）
B、M*（F/P，2.5%，8）
C、M*（F/P，10.38%，2）
D、M*（F/P，5%，4）
答案：BC
解析：如果用名义利率表示，则每季利率为2.5%，期限为8，所以B正确；如果用实际利率表示，则实际利率为（1+10%/4）4-
1=10.38%，期限为2，所以C正确。
二次插值计算例题
二次插值计算例题二次插值是数学中常用的一种近似计算方法，通过已知的离散数据点构造二次函数，进而求解给定数据处的函数值，从而实现插值计算。
二次插值方法在实际应用中经常被广泛地使用，例如在图像和声音信号处理、数学模型和物理现象等方面。
在二次插值计算中，需要假设有三个已知数据点，分别为$(x_0,y_0)$，$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，其中$x_0<x_1<x_2$。
在这三个点之间构造二次函数$y=ax^2+bx+c$，并且要满足函数在这三个点处的取值与已知数据相同，即满足以下三个方程组：$$y_0=ax_0^2+bx_0+c \\y_1=ax_1^2+bx_1+c \\y_2=ax_2^2+bx_2+c$$通过解这个方程组得到二次函数的系数$a$、$b$和$c$，进而求得在给定数据点处的函数值。
求解这个方程组的方法，可以使用高斯消元法、矩阵求逆法或拉格朗日插值法等多种计算方法。
其中拉格朗日插值法是一种比较常用的方法。
通过拉格朗日插值法可以构造出一个满足给定数据点的二次函数，其具体方法如下：$$L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} \\L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} \\L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$$构造出三个拉格朗日插值基函数$L_0(x)$、$L_1(x)$和$L_2(x)$，满足$L_i(x_j)=\delta_{ij}$。
其中，$\delta_{ij}$为克罗内克 delta 函数，当$i=j$时取值为1，否则取值为0。
通过将这三个插值基函数与已知数据点进行组合，可以得到一个满足插值条件的二次函数：$$y(x)=L_0(x)y_0+L_1(x)y_1+L_2(x)y_2$$利用这个二次函数，可以计算任意给定位置$x$处的函数值$y(x)$。
数值分析作业答案
第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。
（1）用单项式基底。
（2）用Lagrange 插值基底。
（3）用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：6421111111111222211200-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
第4、5讲 插值与拟合 作业参考答案
第四、五讲作业题参考答案一、填空题1、拉格朗日插值基函数在节点上的取值是（ 0或1 ）。
2、当1,1,2x =-，时()034f x =-，，，则()f x 的二次插值多项式为 （2527633x x +- ）。
3、由下列数据所确定的唯一插值多项式的次数为（ 2次 ）。
4、根据插值的定义，函数()x f x e -=在[0,1]上的近似一次多项式1()P x =（ 1(1)1e x --+ ），误差估计为（ 18 ）。
5、在做曲线拟合时，对于拟合函数x y ax b =+，引入变量变换y =（ 1y），x =（1x）来线性化数据点后，做线性拟合y a bx =+。
6、在做曲线拟合时，对于拟合函数Ax y Ce =，引入变量变换（ ln()Y y = ）、X x =和B C e =来线性化数据点后，做线性拟合Y AX B =+。
7、设3()1f x x x =+-，则差商[0,1,2,3]f =（ 1 ）。
8、在做曲线拟合时，对于拟合函数()A f x Cx =，可使用变量变换（ln Y y =）（ln X x = ）和B C e =来线性化数据点后，做线性拟合Y AX B =+。
9、设(1)1,(0)0,(1)1,(2)5,()f f f f f x -====则的三次牛顿插值多项式为（ 321166x x x +-），其误差估计式为（4()(1)(1)(2),(1,2)24f x x x x ξξ+--∈-） 10、三次样条插值函数()S x 满足：()S x 在区间[,]a b 内二阶连续可导，(),,0,1,2,,,k k k k S x y x y k n ==（已知）且满足()S x 在每一个子区间1[,]k k x x +上是（ 三次多项式 ）。
11、1()[a,b]()f x L x =函数在上的一次（线性）插值函数（公式）（ ()()x b x af a f b a b b a--+-- ），1()R x =（ 1()()(),2f x a x b a b ξξ''--≤≤ ）。
数值分析作业答案
第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。
（1）用单项式基底。
（2）用Lagrange 插值基底。
（3）用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：642111111111122221120-=-==x x x x x x A37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
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一、填空题：
1． 满足()a a f x x =，()b b f x x =，()c c f x x =的拉格朗日插值余项为 。
答：()()
()()()3!
a b c f R x x x x x x x ξ'''=---
2．已知函数()f x 的函数值()()()()()0,2,3,5,6f f f f f ，以及均差如下 ()()()()()00,0,24,0,2,35,0,2,3,51,0,2,3,5,60f f f f f ===== 那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是 答： 1
二、选择题
1. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．()00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()110l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x = 答：D
2．. 已知等距节点的插值型求积公式
()()35
2
k
k
k f x dx A f x =≈∑⎰，那么3
k
k A
==∑（ ）
A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 答：C
3．过点(x 0,y 0), (x 1,y 1)，…，(x 5,y 5)的插值多项式P(x)是( )次的多项式。
(A). 6 (B).5 (C).4 (D).3． 答：B 三、证明题
1. 设 f (x) = (x-1) (x-2) .证明对任意的x 有： f [1, 2, x)]= 1
证明:f [1, 2] = [f (1) – f (2)]/ (1 – 2) = [0 – 0]/ (-1) = 0, 对任意的x 有
F[2, x] = [f (2) – f (x)]/ (2 – x) = [0 – (x-1) (x-2)]/ (2 – x) = (x-1), 所以 f [1, 2, x] = [f (1, 2) - f (2, x)]/ (1 – x) = [0 - (x-1)]/ (1 – x) = 1 2.设
在
上具有二阶连续导数，且
，求证：
解：由，则在的线性插值多项式为：
，于是由
，可得：
3． 试利用差分性质证明：
证明：记：
可以证明：，
又：
故：
. 四、计算题： 1.．已知数值表
x
()f x
试用二次插值计算()0.57681f 的近似值，计算过程保留五位小数。
（要写出二次插值多项式）
答： 过()0.5,0.447943，()0.6,0.56464，()0.7,0.64422作二次插值多项式
()()()()()()()()()
20.60.70.50.70.479430.564640.50.60.50.70.60.50.60.7x x x x P x ----=⨯+⨯----
()()()()
0.50.60.644220.70.50.70.6x x --+⨯-- （5分）
所以
()()()()()()
20.576810.60.576810.70.576810.576810.479430.50.60.50.7f P --≈=⨯--
()()()()0.576810.50.576810.70.564640.60.50.60.7--+
⨯--
()()()()
0.576810.50.576810.60.644220.70.50.70.6--+⨯--
（9
分）
0.002860.009460.00178
0.479430.564640.644220.20.10.10.10.20.1
=⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯
0.068560.534280.057380.54546=+-= （15分）
2.用已知函数表
求抛物插值多项式，并求1()2
f 的近似值。
解答：作差商表：
()()()()2
210011N x x x x x =+-+--=+
2115
1.25224
f N ⎛⎫⎛⎫≈== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3. 已知函数2
1
1y x
=
+的一组数据：
求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.
解答 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=
⨯+
⨯=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221
x x L x x --=
⨯+⨯=-+--% 所以分段线性插值函数为
()[][]
10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩% 10分 ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=% 12
分
4． 试给出样条函数：
的分段表达式. 解：由
的定义可得：
5. 求一次数小于等于三次多项式
，满足如下插值条件：
，
，
，
解：
，其中
为二次多项式，满足插值条件：
，
，
可求得：. 由
得：.(
)
故：.
6.设：
求
之值，
.这里互异
解：利用差商的性质：
，
.
可得：
，得：。