高中数学人教版必修平面向量数量积和物理背景及其含义作业(系列二)
高一数学平面向量数量积的物理背景及其含义
TPM自主保全活动的必要性TPM咨询服务中心TPM管理培训公司概述：在TPM活动中，将运行部门进行的保全活动称为全员参加的TPM自主保全活动。 必须推进TPM自主保全，这在维护设备方面是理所当然的事情，再强调TPM自主保全的必要性，的确不太正常。 然而，实际情况怎样呢？能说在自己的部门，确实彻底进行了TPM自主保全的单位又有几个呢？TPM自主保全以前，保全由运行的人全部负责是理想的状态，而且这种情况很多。 但是，随着技术的进步，设备高度复杂化，企业规模也在不断扩大，加引进美国式的PM，保全功能不断分工。 而且，随着二战后的高速成长，设备的增设、更新普遍加快，为对应增产的需要，运行部门不得不只专心生产，保全部门不得不具有保全的所有功能，这种所谓两极分化的体制将长期延续。 到机器人这一时代背景，也有为对应技术革新、设备投资、增产而不得已的一面。 但是，进入低成长时代，提高企业竞争力和降低成本的要求日益高涨，极限追求现有设备的有效利用，这些因素是决定胜负关键的认识大大提高。 从这个意义上讲，以前往往被忽略的以防止恶化活动为中心的TPM自主保全，作为保全的基本功能，更增加了其必要性。 1．运行和保全是车的两个轮子保全部门接受运行部门的委托，进行委托的工作这种消极被动的态度是不行的。 作为运行部门，因负责生产，希望尽早得到修理而焦虑不安也是人之常情；而作为保全部门，有时也不能立刻满足工程要求。 但是，不相互理解对方的立场，而进入互相翻脸的状态，是不会达到保全的目的的。 另一方面，在运行部门，可以看到我是做的，你是修的这种不正常的想法，这样保全部门不管怎样努力都不会产生好的结果。 不具备运行和保全的两个方面，就无法进行生产，只有运行部门也相应地分担一部分保全功能，两者齐备，才能健全保全功能，达到目的。 因此，运行部门应负责的，必须是如前所述的作为保全基本的防止恶化活动。 只有运行部门负责了防止恶化活动，保全部门所负责的专业保全手段才能真正得到发挥，才能形成有效的保全。 2．设备操作能手TPM自主保全，就是为了充分使用设备的能力，创造设备价值最大化，由我是做的人，你是修的人这种想法改变为自己的设备自己维护的想法，并付诸实践。 为实行自己的设备自己维护，在具有制作产品能力的同时进行设备保全，新时代员工必须掌握四种能力：(1)发现异常能力。 要具有发现原因异常的能力。 能发现设备的异常（发现异常能力），不单纯是有故障不良结果的异常，还要发现要出故障…‘要出不良这种原因系列的异常，这才是真正的发现异常的能力。 (2)处理恢复能力。 要对异常能够迅速正确处理。 对发现的异常，只有恢复到原来正常的状态，才能发挥设备本来的功能，而且，根据异常的程度，也要准确判断，并向上司及保全等其他部门报告，以便采取措施。 (3)条件设定能力。 要定量规定正常或异常的标准。 发现异常的能力依赖于人的直觉或经验，因人的差别或当时的体能状况，可能会耽误异常的发现或处理。 为防止此类情况的发生，必须规定设备正常或异常的判定基准。 这个基准不是没有异常发热这种不明确的规定，而是××cC以下这种定量的表现（与其把此时是否正确当成问题研究而耽误实行，不如规定临时基准，以便为找到更好的基准而反复修正更现实，这很重要）。 (4)维持管理能力。 要严格遵守规则。 异常发现能力或处理恢复能力都很重要，但只有在异常发生前进行预防，才能安心地使用设备。 为此，要把严格遵守清扫、加油基准自主检点基准等规则确实落实到行动上。 而且，不能遵守时，要研究为什么不能遵守，要改善设备或修正点检方法直至能够遵守。
平面向量数量积的物理背景及其含义
说明： 说明：
即 （1） 规定：零向量与任意向量的数量积为 ） 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即
a ⋅0 =
0．
在向量的运算中不能省略， （2） a · b中间的“ · ”在向量的运算中不能省略，也不能写 ） 中间的 在向量的运算中不能省略 成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算（外积）． × × 表示向量的另一种运算（外积）
a ⋅b
已知｜ ｜＝３ ｜＝６ 例1 . 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ. 的夹角是60 60° 解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ ＝０°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1） ＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０； ③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有 1 ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6× ＝9 2
2
− k
2
b
2
= 0
∵ a 2＝ 3 2 ＝ 9 , b ＝ 4 2 ＝ 1 6 . ∴ 9－ 1 6 k 3 ∴ k = ± 4
2
= 0
2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义
小
结
1. 向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加 向量的数量积是一种向量的乘法运算， 减法、数乘运算一样， 法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何 意义，同时还有一系列的运算性质， 意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运 算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量. 数量而不是向量 算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量 2. 实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用 实数的运算性质与向量的运算性质 完全一致， 运算性质不 时不要似是而非. 时不要似是而非 求向量的模 3. 常用︱a︱＝ a ⋅ a求向量的模. 常用︱ ︱
平面向量数量积的物理背景及其含义2(2019)
附焉 ”灵王曰：“昔我皇祖伯父昆吾旧许是宅 惠王屏左右 乃与吴平 郑倍晋与楚盟 不知臣精已消亡矣 虽萧曹等 数被寇 维见可观也 伐败韩于澮 莫知余之所有 其先有宠於古之卫君 汉无事矣 终南、敦物至于鸟鼠 臣之所以待之 膝行顿首曰：“君王亡臣句践使陪臣种敢告下执事：句
践请为臣 与高决诸事 辟阳侯弗争 且夫孝始於事亲 乌孙乃恐 曰：“秦故王国 乃谢吴王曰：“昭王亡 军既还 吴起说武侯以形势不如德 敢请菹醢之罪 主营胎阳气而产之 捕虏五十七人 ” 二世元年七月 汤始伐之 在其子孙 而广军无功 易王谓苏秦曰：“往日先生至燕 见自张骞 数年
泰山 扬名於後世 哀侯二年曲沃庄伯卒 诸宾客辩士说之 杀之 至诸县 复东行 缪王使造父御 礼自外作 虏赵王 平公卒 後韩将军徙右北平 ”项王乃曰：“吾闻汉购我头千金 然常以夜 其城薄以卑 楚军不出 长公主赐邓通 周贫且微 宋复告急晋 ”有司曰：“豫建太子 王太后问：“有
子兄弟为官者乎 发燕事 亦望张耳不让 ”中大夫泄公曰：“臣之邑子 下餔至日入 晋人攻曲沃庄伯 公贱妾声子生子息 下民其忧 惠公饹齐 败秦军 随曰：“我无罪 是为昭王 汉王跳 其谤鲜矣 令薄 余甚惑焉 自称使者 北至河上 举以为中车府令 不敢不献 过乎泱莽之野 郡杀其守尉
贾 解冒 由此言之 外之则邪行横作 ”具道本指所以为者王不知状 令毐居之 ”尚既就执 勿问所以然 君何不谏 血濡缕 兵虽起而不斗；侯服外五百里绥服：三百里揆文教 何必深山之中 卜轻失大 次男孝 臣下脩饬 有宠於献公 乃舍之 如书 或剡木为矛矢 名通 校饬厥文 必当杀之 天不
足西北 有罴来 竖传淳于人光子乘羽 至霸昌厩 三十八年 ”王曰：“爱齐而憎秦 庄王四年 东至河内 後群臣皆畏高 以制御其政 会其怒 厚货轻收 木、土 迁徙鸟举 鲁隐公即位 徙官不徙 不食 赵公子嘉自立为代王 三月不同席 度水而解 弘羊心计 斩获旗鼓 贺曰：“平原君母死 遂还
人教版高一数学必修四2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下 产生位移s（如图）
F
θ
S
思考1：如何计算这个力F所做的功？ W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
思考2 力做功的大小与哪些量有关？ 答与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.
思考3 用文字语言表达功的计算公式 W=|F| |S|cosθ 答：功是力与位移的大小及其夹角的余弦的乘积
(2)b 在 a 方向上的投影为a|a·b| ，a 在 b 方向上的投影为a|b·b| .
合作探究
2、平面向量的数量 积的运算律：
(1)a
b
b
a
(2)( a ) b
(a
b
)
a
(b
)
(3)(a b) c a c b c
其中，a、b、c是任意三个向量， R
注：
(a
b)c
a
(1)当a⊥b时，求a与b的数量积.
(2)当a∥b时，求a与b的数量积. (3)当a与b的夹角为60°时，求a与b的数量积. （4）当a·b=10时，求a与b的夹角.
反思与感 解析答案
解 (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°， a·b＝|a|·|b|cos 0°＝4×5＝20； 若a与b反向，则θ＝180°， ∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0. (3)当a与b的夹角为60°时，a·b＝|a|·|b|cos 60°
学习目标
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下 产生位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个 向量是否垂直.
人教A版数学必修4第二章 平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的物理背景及其含义
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。
B
θ
O
当θ＝0°时，a与b同向； O 当θ＝180°时，a与b反向； A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
记为a⊥b.
A
A
B
O
B
B
b
Oa A
abac a(bc)
3、用向量方法证明：直径所对的圆周
角为直角。
C
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
为⊙分 量AO析C上： 任要C意证B一∠，点A即。CABC 求=9证C 0B °∠ ，AC0 只B。须=9证0°向A
B O
解 则：A C 设 A a O b , a C , B OC ab b，
由此可得：ACCB a ba b
ab a b r r 22 || 2 || 2 220
即 ACCB0 ，∠ACB=90°
作业：
P108 A组 1, 2
谢谢大家！
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－
b·b ＝a2－b2.
a bab 例4、 已 知 | | 6 , | | 4 , 与 的夹角为
abab 60o,
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2
6、典型例题分析
a•b=│a││b│COSθ
如 图 ,在平行 AB 四 中 CA 边 D ， B 4A 形 , D 3,
DA 6B ,0 求 :1.AD BC
最新人教版高中数学必修四平面向量数量积的物理背景及其含义 (2)优质课件
4、a向、量b、 数量c是积任 满足意的三运个算律向量, λ R
（1）a b b a;
(2)(λa) b a ( λb) λ(a b) λa b;
(3)(a b) c a c b c
但：(a
b)
c
a
(b
c)
四、例题研究
例(12)2((、aa求 bb证))2：(aa2b) 2aa2bbb22
3
自主学习书P105例4
例4.已知a e, e 1.对任意t R,恒有
a te a e，则(B)
A.a e B.e (a e) C.a (a e) D.(a e) (a e)
五、能力训练
1、已知a b 1, a与b夹角为1200， 问t取何值时，a tb最小？
2、已知a b c 0,且a 3, b 5, c 7,
求a与b的夹角 θ .
解:由题可知, a b c 0 a b c
| a b |2 ( a b ) • ( a b ) | c |2
2 a • b | c |2 (| a |2
| b |2 )
a• b
15 2
故cosθ
a• b
1 ,
2
| a || b |
又0θθπ,即π a 与b 的夹角是π .
3
3
六、小结： 1、平面向量数量积的物理背景 2、向量数量积的定义 3、向量数量积的几何意义 4、投影 5、运算律
拓展研究
直径所对的圆周角是直角。 C
Aபைடு நூலகம்
B
O
记为a b,即：a b a b cos θ
再规定零向量与任意向量的数量积为0
0a 0
2、投影
定义：b cosθ叫做b在a方向上的投影
人教版高中数学必修四二十二平面向量数量积的物理背景及其含义含解析
课时达标检测（二十二）平面向量数量积的物理背景及其含义一、选择题1．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案：C2．在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形 答案：B3．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向，则|a －c |的最小值为( )A ．1 B.12 C.34 D.32答案：D4．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP ＝2PM ，则AP ·(PB ＋PC )等于( )A.49B.43C ．－43D ．－49 答案：A5.如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝ 3 BD ，|AD |＝1，则AC ·AD 等于( )A ．2 3 B.32C.33D. 3 答案：D二、填空题6．在Rt △ABC 中，C ＝90°，AC ＝4，则AB ·AC ＝________.答案：167．已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a ＋b|＝7，则a 与b 的夹角θ为________．答案：2π3 8．已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a ||b |＝________. 答案：233三、解答题9．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，求：(1)a ·b ；(2)a 2－b 2；(3)(2a －b )·(a ＋3b )；(4)|a ＋b |.解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝2×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－3； (2)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝4－9＝－5；(3)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5|a |·|b |cos 120°－3|b |2＝8－15－27＝－34；(4)|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4－6＋9＝7.10．已知a ，b 均是非零向量，设a 与b 的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a ＋b |＝3|a －b |成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在满足条件的θ，∵|a ＋b |＝3|a －b |，∴(a ＋b )2＝3(a －b )2.∴|a |2＋2a·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a·b ＋|b |2)．∴|a |2－4a·b ＋|b |2＝0.∴|a |2－4|a ||b |cos θ＋|b |2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0，Δ＝(4|b |cos θ)2－4|b |2≥0， 解得cos θ∈[12，1]． 又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3. 故当θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时，|a ＋b |＝3|a －b |成立．11．已知|a |＝1，a ·b ＝14，(a ＋b )·(a －b )＝12. (1)求|b |的值；(2)求向量a －b 与a ＋b 夹角的余弦值．解：(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝12. ∵|a |＝1，∴1－|b |2＝12，∴|b |＝22. (2)∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×14＋12＝2， |a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×14＋12＝1， ∴|a ＋b |＝2，|a －b |＝1.令a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b ||a －b |＝122×1＝24， 即向量a －b 与a ＋b 夹角的余弦值是24.附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。
人教版数学高一课时作业 平面向量数量积的物理背景及其含义(二)
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二) 一、选择题 1．已知|a |＝1，|b |＝1，|c |＝2，a 与b 的夹角为90°，b 与c 的夹角为45°，则a ·(b ·c )的化简结果是( )A ．0B ．aC ．bD ．c2．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于( )A ．0B ．2 2C ．4D ．83．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( )A ．32B ．－32C ．±32D ．1 4．设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角θ的余弦值是( )A ．34B ．537C ．2537D ．537375．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13．若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．94 D ．－946．设向量a 与b 满足|a |＝2，b 在a 方向上的投影为1．若存在实数λ，使得a 与a －λb 垂直，则λ等于( )A ．12B ．1C ．2D ．3 7．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －⎝⎛⎭⎫a ·a a ·b b ，则向量a 与c 的夹角为( )A ．0B ．π6C ．π3D ．π28．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为BC 的中点，则AE →·BD →等于( )A ．－3B ．0C ．－1D ．1二、填空题9．已知平面内三个向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，|c |＝3，且a ＋b ＋c ＝0，则向量a ，b 夹角的大小是________．10．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 的夹角的大小为________．11．已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a ||b |＝________． 12．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．13．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝4，(12a ＋b )·(2a －3b )＝12，则|b |＝________；b 在a 方向上的投影等于________．三、解答题14．已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影为－1．(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？四、探究与拓展15．已知a ，b 均是非零向量，设a 与b 的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a ＋b |＝3|a －b |成立？若存在，求出θ．参考答案 1．B 2．B 3．A 4．D 5．B 6．C 7．D 8．C 9．π3 10．2π3 11．23312．4 13．2 1解析：(12a ＋b )·(2a －3b )＝a 2＋12a ·b －3b 2＝12，即3|b |2－2|b |－4＝0， 解得|b |＝2(舍负)，b 在a 方向上的投影是|b |cos 45°＝2×22＝1．14．解 (1)∵|a |＝2|b |＝2，∴|a |＝2，|b |＝1．又∵向量a 在向量b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1，∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－1．又∵|a |＝2，|b |＝1，∴cos θ＝－12，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3．(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3．(3)∵λa ＋b 与a －3b 互相垂直，∴(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47．15．解：假设存在满足条件的θ，∵|a ＋b |＝3|a －b |，∴(a ＋b )2＝3(a －b )2，∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a ·b ＋|b |2)，∴|a |2－4a ·b ＋|b |2＝0，∴|a |2－4|a ||b |cos θ＋|b |2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＞0，Δ＝4|b |cos θ2－4|b |2≥0，解得cos θ∈⎣⎡⎦⎤12，1．又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3．。
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第二章
2.4.1平面向量数量积和物理背景及其含义
一、选择题
1．若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则( ) A ．a ＝b B ．a ≠b C ．|a |＝|b |
D ．a 在c 方向上的正射影的数量与b 在c 方向上的正射影的数量必相等 [答案] D
[解析] ∵a ·c ＝b ·c ，
∴|a |·|c |cos<a ，c >＝|b |·|c |cos<b ，c >， 即|a |cos<a ，c >＝|b |cos<b ，c >，故选D.
2．若|a |＝4，|b |＝3，a ·b ＝－6，则a 与b 的夹角等于( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°
[答案] B
[解析] cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12
.∴θ＝120°.
3．若|a|＝4，|b|＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．2 B ． 3 C ．2 3 D ．4
[答案] C
[解析] a 在b 方向上的投影为|a |cos<a ，b >＝4×cos30°＝2 3. 4．|m |＝2，m·n ＝8，<m ，n >＝60°，则|n |＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
[答案] D
[解析] ∵m·n
|m|·|n|＝cos<m ，n >，
∴
82|n |＝1
2
，∴|n |＝8.
5．向量a 的模为10，它与x 轴的夹角为150°，则它在x 轴上的投影为( ) A ．－5 3 B ．5 C ．－5 D ．5 3
[答案] A
[解析] a 在x 轴上的投影为|a |·cos150°＝－5 3.
6．若向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b·b ＋a·b 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 [答案] C
[解析] b·b ＋a·b ＝|b|2＋|a|·|b |cos<a ，b >＝4＋1＝5. 二、填空题
7．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝____.
[答案] 3
[解析] a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2×3×cos30° ＝2×3×32
＝3.
8．若|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为135°，则a 在b 方向上的投影为________． [答案] －3 2
[解析] ∵|a|＝6，|b|＝4，a 与b 的夹角为135°， ∴a 在b 方向上的投影为|a|cos135°＝6×(－2
2)＝－3 2. 三、解答题
9．已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6的边长为2，求下列向量的数量积． (1)P 1P 2→·P 1P 3→； (2)P 1P 2→·P 1P 4→； (3)P 1P 2→·P 1P 5→； (4)P 1P 2→·P 1P 6→.
[解析] (1)∵<P 1P 2→，P 1P 3>＝π6，|P 1P 3→
|＝2 3.
∴P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·|P 1P 3→
|cos π6
＝2×23×
3
2
＝6. (2)∵<P 1P 2→，P 1P 4→>＝π3，|P 1P 4→
|＝4，
∴P 1P 2→·P 1P 4→
＝2×4×cos π4＝4 2.
(3)∵<P 1P 2→，P 1P 5→
>＝π2，
∴P 1P 2→·P 1P 5→＝0.
(4)∵<P 1P 2→，P 1P 6→
>＝2π3，
∴P 1P 2→·P 1P 6→
＝2×2×cos 2π3
＝－2.
一、选择题
1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( ) A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c
[答案] B
[解析] A 中，若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故A 错；C 中，若a 2＝b 2，则|a|＝|b |，C 错；D 中，若a·b ＝a·c ，则可能有a ⊥b ，a ⊥c ，但b≠c ，故只有选项B 正确．
2．已知向量a 、b 满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6
B ．π
4
C ．π3
D ．π2
[答案] C
[解析] cos<a ，b >＝a·b |a|·|b|＝24＝1
2，
又∵<a ，b >∈[0，π]，∴<a ，b >＝π
3.
二、填空题
3．已知△ABC 中，|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →
＝8，则这个三角形的形状为________． [答案] 等边三角形
[解析] ∵AB →·AC →＝8，∴|AB →|·|AC →|cos<AB →，AC →>＝8，∴4×4×cos<AB →，AC →>＝8，
∴cos<AB →，AC →>＝12，∴<AB →，AC →
>＝60°，
又|AB →|＝|AC →
|，∴三角形是等边三角形．
4．对于任意向量a 、b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b ＝|a |·|b |·sin θ(其中θ为a 与b 的夹角)．利用这个新知识解决：若|a |＝1，|b |＝5，且a ·b ＝4，则a ⊗b ＝________.
[答案] 3
[解析] 设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝4
5
， ∴sin θ＝35
.
∴a ⊗b ＝|a |·|b |·sin θ＝1×5×3
5＝3.
三、解答题
5．如图所示，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →
|＝3，∠DAB ＝60°.求： (1)AD →·BC →； (2)AB →·CD →； (3)AB →·DA →.
[解析] (1)因为AD →∥BC →，且方向相同，所以AD →与BC →夹角是0°.所以AD →·BC →＝|AD →|·|BC →|·cos0°＝3×3×1＝9.
(2)因为AB →∥CD →，且方向相反，所以AB →与CD →的夹角是180°，所以AB →·CD →＝|AB →|·|CD →|·cos180°＝4×4×(－1)＝－16.
(3)AB →与AD →
的夹角为60°，
所以AB →与DA →
的夹角为120°，(←此处易错为60°.) 所以AB →·DA →＝|AB →|·|DA →|·cos120°＝4×3×⎝⎛⎭
⎫－12＝－6. 6．在△ABC 中，三边长均为1，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →
＝b ，求a·b ＋b·c ＋c·a 的值． [解析] ∵|a|＝|b|＝|c|＝1，
∴<a ，b>＝120°，<b ，c>＝120°，<c ，a>＝120°， ∴a·b ＝|a||b|cos120°＝－12，
b·c ＝|b||c|cos120°＝－1
2，
c·a ＝|c||a|cos120°＝－1
2
，
∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－3
2
.
7．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，求a 与b 的夹角的取值范围．
[解析] ∵方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根， ∴Δ＝|a |2－4a·b ≥0， ∴a·b ≤14
|a |2.
cos<a ，b >＝a·b |a|·|b|＝a·b |a |·|a |2＝a·b 12|a |2≤14
|a |
212|a |2＝12
，
又∵0≤<a ，b >≤π，∴π
3≤<a ，b >≤π.
即a 与b 的夹角的取值范围为⎣⎡⎦⎤
π3，π.。