函数单调性的判定方法【论文版】最全
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函数单调性的判定方法
单调性是函数的一个重要性质，其在数学、经济学等诸多学科中均有广泛的应用。本文介绍了判断函数单调性的若干方法及一些结论，首先对于具体函数，由函数单调性的定义出发，依次给出了定义法、函数性质法、图像法、复合函数单调性判断法、导数法；其次对于没有给出具体函数表达式的抽象函数，给出了定义法和列表法，并且对于每种方法本文都给出了应用该方法的例子。对于同一个函数判定其单调性的方法可以有多种，而每种方法都有优缺点，在解题中应灵活选择方法，方可使解题过程更加简单。
函数的单调性是函数的重要性质，反应了随着自变量的增加函数值的变化趋势，它是研究函数性质的有力工具，在比较大小、解决函数图像、值域、最值等数学问题。
1.判断具体函数单调性的方法
对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种：
1.1 定义法
首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、D x ∈2，当21x x <时，总有
(1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数；
(2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。
给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤：
（1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <；
（2）作差)()(21x f x f -；
（3）变形（普遍是因式分解和配方）；
（4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）；
（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。
例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。
证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则
).)(()()()(212221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04
3)2(22221212221>++=++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(2122211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在()
+∞∞-,上是减函数。
例2.用定义证明函数x
k x x f +=)( )0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则
)()()()(221121x k x x k x x f x f +-+=-)()(2
121x k x k x x -+-= )()(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2
12121x x k x x x x --=， 又210x x << 所以021<-x x ，021>x x ，
当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ⇒0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ⇒0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。
综上函数x k x x f +=)( )0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。
1.2 函数性质法
函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表：
函数 函数表达式
单调区间 特殊函数图像 一
次
函数
)
0(≠+=k b kx y
当0>k 时，y 在R 上是增函数； 当0 二 次函数 c bx ax y ++=2),,,0(R c b a a ∈≠ 当0>a 时，a b x 2-<时y 单调减, a b x 2- >时y 单调增； 当0 b x 2-<时y 单调增，a b x 2->时y 单调减。 反比 例函 数 x k y = R k ∈(且0≠k ) 当0>k 时,y 在0 >x 时单调增。 指 数 函数 x a y = )1,0(≠>a a 当1>a 时，y 在R 上是增函数；