(小学奥数)4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型(二).教师版

.... ..... 板块一 三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生

变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::SSab

s2

s

1

baDC

BA

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACDBCDSS△△； 反之，如果ACDBCDSS△△，则可知直线AB平行于CD． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 板块二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则:():()ABCADESSABACADAE△△

EDCB

AD

ECB

A

图⑴ 图⑵

例题精讲 4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型 .... ..... 【例 1】 如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点，且:2:5ADAB，:4:7AEAC，16ADES△平

方厘米，求ABC△的面积．

EDCB

A

EDCB

A

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE，::2:5(24):(54)ADEABESSADAB△△， ::4:7(45):(75)ABEABCSSAEAC△△，所以:(24):(75)ADEABCSS△△，设8ADES△份，

则35ABCS△份，16ADES△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC△的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【答案】70

【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？

ED

CB

A A

BCDE

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE． ∵3ECAE ∴3ABCABESS 又∵5ABAD ∴515ADEABEABCSSS，∴1515ABCADESS． 【答案】15

【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BDDC，3BE，6AE，乙部分面积是甲部分面积的几倍？

乙甲

E

DCB

A A

BC

D

E甲乙

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD． ∵3BE，6AE ∴3ABBE，3ABDBDESS 又∵4BDDC， ∴2ABCABDSS，∴6ABCBDESS，5SS乙甲． 【答案】5

【例 2】 如图在ABC△中，D在BA的延长线上，E在AC上，且:5:2ABAD， :3:2AEEC，12ADES△平方厘米，求ABC△的面积． .... ..... EDCBA ED

CB

A

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BE，::2:5(23):(53)ADEABESSADAB△△ ::3:(32)(35):(32)5ABEABCSSAEAC

△△，

所以:(32):5(32)6:25ADEABCSS△△，设6ADES△份，则25ABCS△份，12ADES△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC△的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【答案】50

【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，2AFCF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？

EFDC

BA 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接FB．三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的326（）倍．因此，平行四边形的面积为8648(平方厘米)． 【答案】48

【例 4】 已知DEF△的面积为7平方厘米，,2,3BECEADBDCFAF，求ABC△的面积．

FED

CB

A

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 :():()(11):(23)1:6BDEABCSSBDBEBABC△△，:():()(13):(24)3:8CEFABCSSCECFCBCA△△

:():()(21):(34)1:6ADFABCSSADAFABAC△△

设24ABCS△份，则4BDES△份，4ADFS△份，9CEFS△份，244497DEFS△份，恰好是7

平方厘米，所以24ABCS△平方厘米 【答案】24

【例 5】 如图16-4，已知．AE=15AC，CD=14BC，BF=16AB，那么DEFABC 三角形的面积三角形的面积等于多少? .... ..... 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题 【解析】 如下图，连接AD，BE，CF.

有△ABE，△ABC的高相等，面积比为底的比，则有ABEABCSS=AEAC，所以ABES=AEAC×ABCS=15ABCS 同理有AEFS=AFABABES,即=AEFS=15×56ABCS=16ABCS. 类似的还可以得到CDES=14×45ABCS=15ABCS，BDFS=16×13ABCS=18ABCS． 所以有DEFS=ABCS-(AEFS+CDES+BDFS)=(1-16-15-18)ABCS=61120ABCS． 即DEFABC 三角形的面积三角形的面积为61120． 【答案】61120 【例 6】 如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中:2:5ABBE，:3:2BCCD，三角形BDE的面积是多少？

ABE

CDD

CEBA

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由于180ABCDBE，所以可以用共角定理，设2AB份，3BC份，则5BE份， 325BD份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABCBDESSABBCBEBD△△，设6ABCS△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5平方厘米，三角

形BDE的面积是12.5平方厘米 【答案】12.5

【例 7】 如图所示，正方形ABCD边长为6厘米，13AEAC，13CFBC．三角形DEF的面积为_______平方厘米．

FED

CBA .... ..... 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯，五年级，初赛

【解析】 由题意知13AEAC、13CFBC，可得23CEAC．根据”共角定理”可得， :():()12:(33)2:9CEFABCSSCFCECBAC

△△；而66218ABCS△；所以4CEFS△；

同理得，:2:3CDEACDSS△△;，183212CDES△，6CDFS△ 故412610DEFCEFDECDFCSSSS△△△△(平方厘米)． 【答案】10

【例 8】 如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BDAB；延长BC至E，使2CEBC；延长CA至F，使3AFAC，求三角形DEF的面积．

FEDCBA ABCDEF

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 (法1)本题是性质的反复使用． 连接AE、CD．

∵11ABCDBCSS，1ABCS，

∴S1DBC． 同理可得其它，最后三角形DEF的面积18． (法2)用共角定理∵在ABC和CFE中，ACB与FCE互补，

∴111428ABCFCESACBCSFCCE．

又1ABCS，所以8FCES． 同理可得6ADFS，3BDES． 所以186318DEFABCFCEADFBDESSSSS． 【答案】18

【例 9】 如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 方法一：如下图，连接BD，ED，BG，

有EAD、ADB同高，所以面积比为底的比，有2EADABDABDEASSSAB．