2012高考数学易错题解题方法大全 (6)
高考数学易错题解题方法计划共7套
高考数学易错题解题方法（1）(共 7套)一. 选择题【典范1】已知会合A={x|x=2n—l ，n∈ Z} ， B={x|x2一 4x<0} ，则 A∩ B=（）A．{1}B． { x1x 4}C． 1,3D． {1 ， 2，3， 4}答案： C【错解剖析】本题简单错选为B，错误原由是对会合元素的误会。
【解题指导】会合 A 表示奇数集，会合 B={1 ， 2， 3， 4}.【练习1】已知会合A( x, y) y sin x，会合 B(x, y) y tan x ，则 A B （）A．(0,0)B．(,0), (0,0)C． (k,0)D．【典范 2】若A、B均是非空会合，则A∩B≠φ是A B的（）A. 充足不用要条件B.必需不充足条件C. 充要条件D.即不充足也不用要条件答案： B【错解剖析】考生经常会选择A，错误原由是混杂了充足性，与必需性。
【解题指导】观察目的：充要条件的判断。
【练习2】已知条件p：| x 1| 2，条件q：x a ，且p 是q 的充足不用要条件，则 a 的取值范围能够是（）A．a 1；B．a1；C．a1；D．a 3 ；【典范3】定义在R上的偶函数 f (x) 知足 f (x1) f ( x) ，且在[-1，0]上单一递加，设 a f (3) ，b f ( 2) ，c f (2) ，则 a, b,c 大小关系是（）A．a b c B．a c b C．b c a D ．c b a答案： D【错解剖析】本题常有错误 A、 B，错误原由对 f ( x 1) f ( x) 这样的条件认识不充足，忽视了函数的周期性。
【解题指导】由 f ( x1) f ( x) 可得， f ( x) 是周期为2的函数。
利用周期性a, b, c 转变为[-1，0]的函数值，再利用单一性比较.【练习 3】设函数f(x)是定义在Ｒ上的以5为周期的奇函数，若 f ( 2) 1a3， f (2008)，则 a 的取a3值范围是（）A.( －∞ , 0)B.(0, 3)C.(0 , + ∞)D.( －∞ , 0) ∪(3, + ∞)【典范 4】log2sinlog 2cos 的值为（）1212A．－4 B ．4 C ．2D．－2【 解剖析】 此 常 A 、 C ， 原由是 两倍角公式或 数运算性 不熟习。
2012高二数学必会易错题(超级精品)
高二数学必会易错题（请认真对待！）一．数列与极限1． 已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围 2． 已知数列 {}n a 的前n 项和21n S n =+，n a = 3． 已知等比数列 {}n a 的前n 项和13n n S k +=+，k =4． {n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3413-+=n n T S nn ，那么=nn b a ___________5．2，8的等比中项6． 已知数列 {}n a 的前n 项和31n n S =+，n a = 7． 已知1111,31n n n a a a a --==+，求n a =8.已知22()1xf x x=+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝______9.求和：1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+10. 111112123123n++++=+++++++11.已知：()limn nn na →∞+++=331131，求a 的取值范围12.()113lim1393n n n +-→∞--+-+-……（）=13.“b =ac ”是“a 、b 、c 成等比”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.使nn x )12(lim +∞→存在的实数x 的取值范围是___________；15.已知∞→n lim （112++n n －an －b ）=0，则a =___________,b =___________16.设S n 是无穷等比数列的前n 项和,若∞→n lim S n =41,则首项a 1的取值范围是____________17.已知:a n =(12011)112()(2012)3n nn n n ⎧≤≤⎪⎪+⎨⎪-⋅≥⎪⎩,求:n n a ∞→l i m =18.已知无穷等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q 且有∞→n lim （21)21=--nq qa ，则首项a 1的取值范围是___________.二．向量部分1.△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB _________2. 已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为______3.已知向量)2,1(=a ，点A 的坐标为)1,2(-，向量AB 与a52=，求向量OB 的坐标4.(5,12)a =-，则a 的单位向量__________，与a平行的单位向量为___________5．边长为1的正ΔABC 中，记c CA b BC a AB ===,,，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅=6．若a=(-1,x )与b =(-x ,2)共线且方向相同，则x =7．等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC＋，且A B C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ） A 100 B 101 C 200 D 2018．已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______9.已知j i a 2-=，j i b λ+=，且a 与b 的夹角为钝角，求实数λ的取值范围10．若G 为△ABC 的重心，则=++GC GB GA 。
集合与常用逻辑用语(5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)-2024年高考数学考试易错题
专题01集合与常用逻辑用语易错点一：对集合表示方法的理解存在偏差（集合运算问题两种解题方法）方法一：列举法列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。
其解题具体步骤如下:第一步定元素：确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；第二步定运算：利用常见不等式或等式解未知集合；第三步：定结果。
方法二：赋值法高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.其解题具体步骤如下:第一步：辨差异:分析各选项,辨别各选项的差异；第二步：定特殊:根据选项的差异,选定一些特殊的元素；第三步：验排除:将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；第四步：定结果:根据排除的结果确定正确的选项。
易错提醒：对集合表示法的理解先观察研究对象（丨前），研究对象是点集还是数集，故要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型及代表元素的含义.若A B ⊆，即A 是B 的子集，所以A B A = ，所以（4）正确；根据元素与集合的关系可知{}∅∈∅正确，也即（5）正确.所以正确的个数是4.故选：A易错点二：忽视（漏）空集导致错误（集合中的含参问题）1.利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围解题时务必注意:由于∅是任意集合的子集,若已知非空集合B,集合A 满足A ⊆B 或A ⊂B,则对集合A 分两种情中的含参问题况讨论:(1)当A=∅时,若集合A 是以不等式为载体的集合,则该不等式无解;(2)当A≠∅时,要利用子集的概念把子集关系转化为两个集合对应区间的端点值的大小关系,从而构造关于参数的不等式(组)求解.2.利用两集合的运算求参数的值或取值范围解决此类问题的步骤一般为:第一步：化简所给集合;第二步：用数轴表示所给集合;第三步：根据集合端点间关系列出不等式(组);(4)解不等式(组);第四步：检验,通过返回代入验证端点是否能够取到.第五步：解决此类问题多利用数形结合的方法,结合数轴或Venn 图进行求解.易错提醒：勿忘空集和集合本身.由于∅是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记。
2012学年高考数学_备考冲刺之易错点点睛系列_专题07_平面解析几何(学生版)
平面分析几何-无答案一、高考预测分析几何初步的内容主要是直线和方程、圆和方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个分析几何的基础，在分析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面分析几何的主要内容是圆锥曲线和方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高测试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线和方程、圆和方程的基本问题，偏向于考查直线和圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则和圆锥曲线结合进行．根据近年来各地高考的情况，分析几何初步的考查是稳定的，预计2012年该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线和圆的基础知识和方法，而在分析几何解答题中考查该部分知识的使用．圆锥曲线和方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其使用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线和曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数和方程思想、等价转化思想、分类和整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线和方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．分析几何的知识主线很清晰，就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何性质，复习分析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．分析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在分析几何中的使用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；数学思想方法在分析几何问题中起着重要作用，数形结合思想占首位，其次分类讨论思想、函数和方程思想、化归和转化思想，如分析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值．复习分析几何时要充分重视数学思想方法的运用．二、知识导学(一)直线的方程1.点斜式：)(11x x k y y -=-；2. 截距式：b kx y +=；3.两点式：121121x x x x y y y y --=--；4. 截距式：1=+b y a x ；5.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0.(二)两条直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行和相交.设直线1l ：y =1k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b =2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1.(三)圆的有关问题1.圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r.特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+.2.圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程， 其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为F E D r 42122-+=.当F E D 422-+=0时，方程表示一个点（2D -，2E -）； 当F E D 422-+＜0时，方程不表示任何图形.3.圆的参数方程圆的普通方程和参数方程之间有如下关系：222r y x =+ ⇔ cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）222)()(r b y a x =-+- ⇔ cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数）(五)椭圆的简单几何性质1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+b y a x （a ＞b ＞0）.⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷ 离心率：椭圆的焦距和长轴长的比a c e =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆.2.椭圆的第二定义⑴ 定义：平面内动点M 和一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数a c e =（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵ 准线：根据椭圆的对称性，12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程(六)椭圆的参数方程椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ和直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan a b =；⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+b y a x 和三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.(七)双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内和两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”. 2. 双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系和椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(八)双曲线的简单几何性质1.双曲线12222=-b y a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a c e =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大.2. 双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=或表示为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是x n m y ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式： k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）和到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），和它们对应的准线方程分别是c a x 2-=和c a x 2=.在双曲线中，a 、b 、c 、e 四个元素间有a c e =和222b a c +=的关系，和椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.(九)抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
[VIP专享]2012年高考数学_备考冲刺之易错点点睛系列_专题08_立体几何(教师版)
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（2）在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中，P、Q、R 分别是 BC 、 CC1 、 A1C1 的中点，作出过
三点 P、Q、R 截正三棱类点拔】解决异面直线所成角的问题关键是定义，基本思想是平移，同时对
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3。直线与平面所成角的范围是 2 ；两异面直线所成角的范围是 2 .一般情况下，
求二面角往往是指定的二面角，若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角（直角）情况
即可.
4。立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与
平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去
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交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该定理地应用如证明诸线共点的方法：
先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三
面面平行关系，然后根据性质作出交线。一般情况下这两种方法要结合应用
2.（1）正方体 ABCD—A1 B1 C1 D1 中，P、Q、R、分别是 AB、AD、B1 C1 的中点。那么正 方体的过 P、Q、R 的截面图形是（）
（A）三角形
（B）四边形
（C）五边形
2012届高考数学经典易错题会诊与试题(三)
经典易错题会诊与2012届高考试题预测(三)考点-3 函数 (2)二次函数的图象和性质的应用指数函数与对数函数的图象和性质的应用 函数的应用二次函数闭区间上的最值的问题 三个“二次”的综合问题含参数的对数函数与不等式的综合问题 经典易错 会诊命题角度1 二次函数的图象和性质的应用1．(典型例题)已知向量a=(x 2，x+1)，b=(1-x ，t)若函数f(x)=ab 在区间(-1，1)上是增函数，求t 的取值范围．[考场错解] 依定义f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x 2+tx+t ，则f ′(x)=-3x 2-2x+t.若f(x)在(-1，1)上是增函数，则在(-1，1)上恒有f ′≥0⇔t ＞3x 2-2x 在区间(-1，1)上恒成立．设g(x)= 3x 2-2x=3(x-31)2-31，∴当x=31时，[g(x)]min =-31 ∴t ≥-31即t 的取值范围是[-31,+∞].[专家把脉] 上面解答由t ≥3x 2-2x 在区间(-1，1)上恒成立得t 大于或等于3x 2-2x 的最小值是错误的．因为若t ≥[g(x)]min 只能说存在一个x 的值能使t ≥3x 2-2x 成立，但不能保证x 在(-1，1)上的每一个值都能使t ≥3x 2-2x 成立．因而t 应大于或等于g(x)在(-1，1)上的最大值．[对症下药] 解法1：依定义f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x 2+tx+t.则f ′(x)=-3x 2+2x+t(-1,1)上是增函数，则f ′(x)=-3x 2+2x+t ≥0在 (-1，1)上恒成立，即t ≥3x 2-2x 在(-1，1)上恒成立． 设g(x)=3x 2-2x=3(x-31)2-31．∵对称轴为x=31．∴g(x)<g(-1)=5．因而要t ≥g(x)在(-1，1)上恒成立．∴t ≥5．即t 的取值范围是[5，+∞]．解法2：依定义f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x2+tx+t,f ′(x)=-3x 2+2x+t ，若f(x)在(-1，1)上是增函数，则在(-1，1)上恒有 f ′(x)≥0，∵f ′(x)的图像是开口向下的抛物线． ∴当且仅当⇒⎩⎨⎧≥-=-'≥-='05)1(01)1(t f t f t ≥5时，f ′(x)在(-1，1)上满足f ′(x)>0．即f(x)在(-1，1)上是增函数．故t 的取值范围是[5，+∞]．2．(典型例题)已知函数f(x)=ax-23x 2的最大值不大于61，又当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41时，f(x)≥81. (1)求a 的值;(2)设0<a 1＜21，a n+1=f(a n )，n ∈N *，证明：a n ＜11+n . [考场错解] 第(1)问，∵f(x)=ax-23x 2=-23(x-31a)2+62a．∴62a ≤61，即a 2≤1⇒-1≤a ≤1 ①又当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41时,f(x)≥81，即f(x) ≥81在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41上恒成立⇔81≤f(x)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41上的最小值为f(41) ∴f(41)≥81．即a a ⇒≥-813234≥87. ② 综合，①，②知87≤a ≤1．[专家把脉] 上面解答错在f(x)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41的最小值的计算上，由①得-1≤a ≤1．∴3a∈(-31,31)， ∴对称轴x=3a 离端点21较远，因此,f(x)的最小值应是f(21).而不是f(41). [对症下药] (1)由于f(x)=ax-23x 2=-23(x-2a )2+62a∴f(x)的最大值为62a .∴62a ≤61,即a 2≤1．∴-1≤a ≤1又x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41时，f(x)≥81，即f(x)≥81在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41上恒成立．∴81≤[f(x)]min .由①得-1≤a ≤1．∴-31≤a ≤31.∴f(x)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41上的最小值为f(21)=2a -83.∴-2a ≥83．解得a ≥1 ② 由①,②得a=1.(2)(i)当n=1时,0＜a 1<21，不等式0<a n <11+n 成立.因f(x)>0，x ∈(0，32)，所以0<a 2=f(a 1)≤61＜31. 故n=2时，不等式也成立.(ⅱ)假设n=k(k ≥2)时，不等式0＜a k ＜11+k 成立，因为f(x)=x-23x 2的对称轴x=31知f(x)在[0，31]上为增函数，所以0<a k <11+k ≤31得0<f(a k )<f(11+k )于是有0<a k+1<11+k -23·21)2()1(24212121)1(122++++-+=+-+++k k k k k k k k. 所以当n=k+1时，不等式也成立.根据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任何n ∈N *，不等式a n ＜11+n 成立. 3．(典型例题Ⅰ)已知函数f(x)的二项式系数为a ，且不等式f(x)>-2x 的解集为(1，3)． (1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解 (2)若f(x)的最大值为正数，求a 的取值范围．[考场错解] (1)设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)．∵f(x)+2x=ax 2+(b+2)x+c>0的解集．为(1，3)，∴1、3是方程ax 2+(b+2)x+c=0的两根，∴⎩⎨⎧=--=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯==+=+-.3243314312a c a b ca a b∴f(x)=ax 2-(2+4a)x+3a ①由方程f(x)+6a=0得ax 2-(2+4a)x+9a=0 ②∵方程②有两个相等的根，∴△=[-(2+4a)]2-4a ·9a=0即 5a 2-4a-1=0，解得a=1或a=-51.∴f(x)的解析式为f(x)=x 2-6x+9或f(x)=- 51x 2-56x-53.(2)由f(x)=ax 2-(2+4a)x+3a=a(x-a a 21+)2-a a a 142++可得f(x)的最大值为-aa a 142++．令-aa a 142++>0⇔a(a+2+3)(a+2-3)<0 解得0<-2-3或-2+3<a<0．故当f(x)的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(-∞，-2-3)∪(-2+3，0)．[专家把脉] 上面解答由f(x)+2x ＞0的解集为(1，3)．忽视了隐含条件a ＜0．所以(1)应舍去a=1．另外第(2)问若没有a ＜0这个条件，也不能说f(x)的最大值是-aa a 142++，从而很不容易求得a 的范围． [对症下药] (1)∵f(x)+2x ＞0的解集为(1，3),∴f(x)+2=a(x-1)(x-3)且a<0，因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax 2-(2+4a)x+3a ①由方程f(x)+6a=0得ax 2-(2+4a)x+9a=0 ② 因为方程②有两个相等的根，∴△=[-(2+4a)]2-4a ·9a=0．即5a 2-4a-1=0，解得a=1或a=-51. 由于a ＜0，舍去a=1．将a=-51代入①得f(x)的解析式为f(x)=- 51x 2-56x-53. (2)由f(x)=ax 2-2(1+2a)x+3a=a(x-221a +)2-a a a 142++及a ＜0，可得f(x)的最大值为-aa a 142++.由⎪⎩⎪⎨⎧++-.00142 a aa a ， 解得a ＜-2-3或-2+3＜a<0． 专家会诊利用二次函数图像可以求解一元二次不等式和讨论一元二次方程的实根分布情况，还可以讨论二次函数在闭区间上的最值．对于根的分布问题，一般需从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴x=-ab2与区间端点的关系．另外，对于二次函数在闭区间上的最值要抓住顶点的横坐标与闭区间的相对位置确定二次函数的单调性进行求解.考场思维训练1 若函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数f(1+x)=f(-x)，则下面不等关系成立的是 ( ) A ．f(2)>f(0)>f(-2) B ．f(-2)＞f(2)＞(0) C ．f(0)＞f(-2)＞f(2)D. f(-2)＞f(0)>f(2)答案：B 解析：由f(1+x)=f(-x)得f(x)的对称轴x=21∵b=-1. ∴f(2)=2+c,f(-2)=6+c,f(0)=c. ∴f(-2)>f(2)>f(0).2 若函数y=x 2-2x+3在闭区间[0，m]上有最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围是__________.答案：[1,2]解析：y=(x+1)2+2是以直线x=1为对称轴开口向上、其最小值为2的抛物线，又∵f(0)3. 结合图象易得，2≥m ≥1. ∴m 的取值范围是[1，2].3 设函数f(x)=ax 2+bx+1(1，b ∈R)．(1)若f(-1)=0，则对任意实数均有f(x)≥0成立，求f(x)的表达式． 答案：解析：（1）∵f(-1)=0⇒a-b+1=0⇒b=a+1,又∵对任意实数均有f(x) ≥0成立，⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-+>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-=∆>∴.2104)1(004022b a a a a a b a ∴f(x)=x 2+2x+1.(2)在(1)的条件下，当x ∈[-2，2]时，g(x)=xf(x)-kx 是单调递增，求实数k 的取值范围．答案： g(x)=xf(x)-kx=x(x 2+2x+1)-kx=x 3+2x 2+(1-k)x,g ′(x)=3x 2+4x+1-k ≥0在[-2，2]上恒成立⇒g ′(x)在[-2，2]上的最小值g ′(x)(-.31,0)32-≤∴≥k )4 已知二次函数f(x)=(lga)x 2+2x+4lga 的最大值为3，求a 的值． 答案：解析：原函数式可化为f(x)=lga a aa x lg 4lg 1)lg 1(2+-+由已知，f(x)有最大值3，∴lga<0并且.3lg 4lg 1=+-a a整理得4（lga ）2-3lga-1=0解得lga=1,lga=.101000410.41lg .0lg .4141==∴-=<-a a a 故取命题角度 2 指数函数与对数函数的图象和性质的应用1．(典型例题)函数y=e ｜lnx ｜-|x-1|的图像大致是 ( ) [考场错解] 选A 或B 或C[专家把脉] 选A ，主要是化简函数y=e ｜lnx ｜-|x-1|不注意分x ≥1和x<1两种情况讨论，选B ，主要是化简时错误地认为当，x<1时，e｜lnx ｜-|x-1|=-x1.选C ，主要时当x ≥1时化简错误． [对症下药] D ∵f(x)=e｜lnx ｜-|x-1|=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+)1(,1)1(,11x x x x 作出其图像即可2．(典型例题)在y=2x，y=log 2x ，y=x 2，y=cos2x 这四个函数中，当0<x 1<x 2<1，使f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+221x x >2)()(21x f x f +恒成立的函数的个数是 ( )A.0 B ．1 C ．2 D ．3 [考场错解] C[专家把脉] 对四个函数图像不熟悉导致错误．由题设条件知F(x)在(0，1)上是凸函数，认为y=log 2x和y=cos2x 在(0，1)上是凸函数．其实y=cos2x 在(0，4π)是凸函数，在(4π，1)是凹函数. [对症下药] B 根据条件，当0<x 1<x 2<1，使f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+221x x >2)()(21x f x f +恒成立知f(x)在(0，1)上是凸函数，因此只有y=log 2x 适合．y=2x和y=x 2在(0，1)上是函数．y=cos2x 在(0，4π)是凸函数，但在(4π，1)是凹函数，故选B ．3．(典型例题)若函数f(x)=log a (2x 2+x)(a>0且a ≠1)在区间(0, 21)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为 ( )A.(-∞，-41) B ．(-41，+∞) C ．(0，+∞) D ．(-∞，-21)[考场错解] 选A 或C[专家把脉] 选A ，求f(x)的单调区间时没有考虑函数定义域导致错误；选C ，求复合函数的单调区间时没有注意内、外层函数均递减时，原函数才是增函数．事实上 (0，+∞)是f(x)的递减区间．[对症下药] D ∵f(x)=log a (2x 2+x)(a>0且a ≠1)在区间(0，21)内恒有f(x)>0，若a>1，则由f(x)>0 x>21或x<-1．与题设矛盾.∴0<a<1．设ϕ(x)= 2x 2+x=2(x+41)2-81.ϕ(x)>0⇒x>0或x<-21 .∴f(x)在(-∞，-21)内是增函数．4．(典型例题)已知函数f(x)=ln(e x +a)(a>0)(1)求函数y=f(x)的反函数y=f -1(x)及f(x)的导数f ′(x)．(2)假设对任意x ∈[ln(3a)，ln(4a)]．不等式｜m-f-1(x)｜lnf ′(x)<0成立．求实数m 的取值范围．[考场错解] (1)由y=f(x)=ln(e x +a)得x=ln(e y -a)．∴f -1(x)=ln(e x -a)(x>lna)，f ′(x)=[ln(e x+a)]′=.a e e x x +(2)由｜m-f -1(x)｜+ln[f ′(x)]<0得-ln .a e e xx ++ln(e x -a)<m<ln(e x-a)+ln.a e e xx +在(ln(3a)，ln(4a))上恒成立．设h(x)=ln(e x-a)+ln.a e e x x +. S(x)=-ln.a e e x x++ln （e x-a)．即m ＜[h(x)]mni .且m ＞[S(x)]max∵S(x)，h(x)=ln(e x -a)+ln(1+xe a )在[ln(3a)，ln(4a)]上是增函数．∴[h(x)]min =ln(2a)+ln 34=ln(38a)．[S(x)]max =ln(3a)-ln 45=ln(512a) ∴ln(512a)<m<ln(38a)． [专家把脉] 错在第(2)问h(x),S(x)在(ln(3a)，ln(4a))上是增函数没有根据．应用定义法或导数法判定后才能用这一结论．[对症下药] (1)由y=f(x)=ln(e x +a)得x=ln(e y -a)∴y=f -1(x)=ln(e x-a)(x>lna)，f ′(x)= .a e e x x +.(2)解法1 由｜m-f -1(x)｜+ln(f ′(x))<0得-ln .a e e x x ++ln(e x -a)<m<ln(e x-a)+ln ．即对于x ∈[ln(3a)，ln(4a)]恒有ae a e e x x x +-)(<em ＜xx e a e 22)(- ①设t=e x，u(t)=a t a t t +-)(，v(t)=ta t 22-，于是不等式①化为u(t)<e m <v(t)，t ∈[3a ，4a]当t 1<t 2,t 1,t 2∈[3a ，4a]时u(t 2)-u(t 1)=a t a t t +-222)(-at a t t +-111)(=))((])()[(212212112a t a t a t t a t t t t ++-++-＞0.v(t 2)-v(t 1)=222t a t --121t a t -=211221221)()(t t t t a t t t t -+-=2122121))((t t a t t t t +->0∴u(t)，v(t)在[3a ，4a]上是增函数．因此，当t ∈[3a ，4a]时，u(t)的最大值为u(4a)= 512a ，v(t)的最小值为v(3a)=38a ，而不等式②成立，当且仅当u(4a)<e m<v(3a)． 即512a<e m <38a ，于是，得ln 512a<m<ln(58a)． 解法2 由｜m-f -1(x)｜+ln(f ′(x))<0得ln(e x -a)-ln(e x +a)+x<m<ln(e x -a)+ln(e x+a)-x ．设ϕ(x)=ln(e x -a)-ln(e x+a)+x ，r(x)=ln(e x-a)+ln(e x+a)-x ，于是原不等式对于x ∈[ln(3a)，ln(4a)]恒成立等价于ϕ (x)<m<r(x)． ③ 由ϕ′(x)=ae e ae e x x x x +--+1,ae e ae e x r x x x x ++-=')(-1．注意到0<e x -a<e x<e x+a ，故有ϕ′(x)>0，r ′(x)>0，从而可知ϕ (x)与r(x)均在[ln(3a)，h(4a)]上单调递增，因此不等式③成立，当且仅当 ϕ(ln(4a))<m<r(ln(3a))，即ln(512a)＜m<ln(38a)． 专家会诊论由指数函数和对数函数构成的复合函数的单调性时，首先要弄清复合函数的构成，然后转转化为基本初等函数的单调性加以解决，注意不可忽视定义域，忽视指数和对数的底数对它们的图像和性质起的作用.考场思维训练1 已知函数f(x)=e 21(e x +e 2-x)(x<1)(其中e 为自然对数的底数)，则 ( ) A ．f -1(21)<f -1(23) B ．f -1(21)＞f -1(23)C.f -1(23)<f -1(2)D.f -1(23)＞f -1(2)答案： D 解析：f(x)=.).2()23(.],1[)(,,)1,(1)(,),0(,)1)((211112D f f x f x f e t t e x ee e e x x x 选上是减函数在性相同在各自的定义域上单调由于反函数的两个函数上是减函数且在则上是减函数则令--->∴+∞∴-∞≥∈=<+2 已知f(x)=a x+log a (x+1)在[0，1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为 ( )A.41B. 21C ．2D ．4答案： B 解析：f(x)=a x +log a (x+1)是单调递增（减）函数. (∵y=a x与y=log a (x+1)单调性相同).且在[0，1]的最值分别在端点处取得，最值之和：f(0)+f(1)=a o+log a 1+log 22=2, ∴log a 2+1=0, ∴a=∴.21选B.3 对于0<a<1，给出下列四个不等式 ( )①log a (1+a)＜log a (1+a 1) ②log a (1+a)＞loga(1+a1) ③a 1+a <a a 11+④a 1+a>a a 11+其中成立的是 ( )A.①与③B.①与④C.②与③ D ．②与④ 答案： D 解析：.),11(log )1(log .log .111,11,10111a a a a x xa a a aa a y y a a a a a ++>+>+∴==+<+∴<<∴<<均为减函数与而 选D 。
2012年高考数学备考：把近期做错的题重做一遍
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第二部分：复习方法
一、加倍递减训练法
通过训练，从心理上、精力上、准确度上逐渐调整到考试的最佳状态，该训练一定要在专业人员指导下进行，否则达不到效果。
二、考前不要做新题
考前找到你近期做过的试卷，把错的题重做一遍，这才是有的放矢的复习方法。
第三部分：考试方法
一、良好心态
考生要自信，要有客观的考试目标。
追求正常发挥，而不要期望自己超长表现，这样心态会放的很平和。
沉着冷静的同时也要适度紧张，要使大脑处于最佳活跃状态。
二、考试从审题开始
审题要避免“猜”、“漏”两种不良习惯，为此审题要从字到词再到句。
三、学会使用演算纸
要把演算纸看成是试卷的一部分，要工整有序，为了方便检查要写上题号。
四、正确对待难题
难题是用来拉开分数的，不管你水平高低，都应该学会绕开难题最后做，不要被难题搞乱思绪，只有这样才能保证无论什么考试，你都能排前几名。
备战2024年高考数学考试易错题专题06 解三角形及应用(3大易错点分析)(原卷版)
专题06解三角形及应用易错点一：易忽视三角形解的个数（解三角形多解情况）1．方法技巧：解三角形多解情况在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式sin a b Asin b A a ba b a b a b解的个数一解两解一解一解无解2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有,,a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A B C ．技巧：正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题问题1：已知两角及其一边，求其它的边和角。
这时有且只有一解。
问题2：已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间 0, 内不严格格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。
题设三角形中，已知一个角A 和两个边b a ,，判断三角形个数，遵循以下步骤第一步：先画一个角并标上字母A 第二步：标斜边（非对角边）b 第三步：画角的高，然后观察（A b a sin ,）易错提醒：利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解的个数.C ．若222222a bb c a a c b b a，则ABC 为等腰三角形D ．若ABC 不是直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C1．在ABC 中，已知3cos 5A ，sinB a ，若cosC 有唯一值，则实数a 的取值范围为（）A ．40,5B ．30,{1}5C ．40,{1}5D ．4,152．在ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，有如下判断，其中正确的判断是（）A ．若sin 2sin 2AB ，则ABC 为等腰直角三角形B ．若sin cos a b C c B ，则π4CC ．若12,10,60a b B ，则符合条件的ABC 有两个D ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a 恒成立3．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，以下说法中正确的是（）A ．若AB ，则sin sin A B B ．若π8,10,4a b A，则符合条件的三角形有一个C ．若4,5,6a b c ，则ABC 为钝角三角形D ．若21sin222A b c ，则ABC 直角三角形4．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（）A ．若AB ，则sin sin A BB ．若30A ，4b ，3a ，则ABC 有两解C ．若ABC 为钝角三角形，则222a b c D ．若sin 2sin 2A B ，则此三角形为等腰三角形5．对于△ABC ，有以下判断，其中正确的是（）A ．若sin 2sin 2AB ，则△ABC 为等腰三角形B ．若A B ，则sin sin A BC ．若9a ，10b ，60A ，则符合条件的三角形有两个D ．若222sin sin sin A B C ，则△ABC 是锐角三角形sin2A =sin2B 《正弦定理》①正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ②变形：acA C c b CB b a B A sin sin ,sin sin ,sin sin ③变形：C B A c b a sin :sin :sin :: ④变形：CcB b A aC B A c b a sin sin sin sin sin sin⑤变形：B c C b A c C a A b B a sin sin ,sin sin ,sin sin 《余弦定理》①余弦定理：Cab c b a B ac b c a A bc a c b cos 2,cos 2,cos 2222222222 ②变形：abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222核心问题：什么情况下角化边什么情况下边化角?⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角⑵当每一项都有角《sin 》且次数一样时，采用角化边⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题⑷当每一项都有角《sin 》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可三角形面积公式①A bc S B ac S C ab S ABC ABC ABC sin 21,sin 21,sin 21 ② rl c b a r S ABC2121 其中l r ,分别为ABC 内切圆半径及ABC 的周长推导：将ABC 分为三个分别以ABC 的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式③RabcC B A R S ABC 4sin sin sin 22（R 为ABC 外接圆的半径）推导：将A R a sin 2 代入ACB a S ABCsin sin sin 212可得C B A R S ABC sin sin sin 22 将C R c B R b A R a sin 2sin 2,sin 2 ，代入CB A R S ABC sin sin sin 22可得Rabc S ABC 4④CBA c SBC A b S A C B a S ABC ABC ABC sin sin sin 21,sin sin sin 21,sin sin sin 21222 ⑤海伦公式 c p b p a p p S ABC （其中 c b a p 21）推导：根据余弦定理的推论abc b a C 2cos 222222222121cos 121sin 21ab c b a ab C ab C ab S ABCc b a b a c a c b c b a c b a ab 4124122222令 c b a p 21，整理得c p b p a p p S ABC 正规方法：面积公式+基本不等式① C c ab ab c C ab b a C ab c b a C ab S cos 122cos 2cos 2sin 212222222② B b ac ac b B ac c a B ac b c a B ac S cos 122cos 2cos 2sin 212222222③ A a bc bc a A bc c b Abc a c b A bc S cos 122cos 2cos 2sin 212222222易错提醒：当解题过程中出现类似于sin2A =sin2B这样的情况要注意结合三角形内角范围进行讨论，另外当题设中出现锐角三角形时一定要注意条件之间的相互“限制”例．对于ABC ，有如下命题：①若sin 2sin 2A B ，则ABC 为等腰三角形；②若sin cos A B ，则ABC 为直角三角形；③若222sin sin cos 1A B C ，则ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是（）易错点三：实际问题中题意不明致误（利用解三角形知识解决实际问题）解三角形的实际应用问题的类型及解题策略1、求距离、高度问题（1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量．（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．2、求角度问题（1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．（2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用．易错提醒：实际问题应用中有关名词、术语也是容易忽视和混淆的。
2012年高考数学_备考冲刺之易错点点睛系列_专题04_导数及应用(学生版)
导数及应用-无答案一、高考预测从近几年考查的趋势看，本专题考查的重点是导数在研究函数的单调性和极值中的应用、导数在研究方程和不等式中的应用，考查的形式是解答题考查导数在研究函数问题中的综合运用，但常围绕一些交叉点设计一些新颖的试题，大部分函数和导数的基础试题难度也不大，但少数函数的基础试题难度较大，解答题中的函数导数试题也具有一定的难度． 由于该专题的绝大多数内容(除定积分)都是传统的高中数学内容，在考查上已经基本稳定(难度稳定、考查重点稳定、考查的分值稳定)，预计2012年基本上还是这个考查趋势，具体为：以选择题或者填空题的方式考查导数的几何意义的应用，定积分的计算及其简单应用．以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模．导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练，这是高考命制压轴题的一个重要考查点．二、知识导学要点1：利用导数研究曲线的切线1．导数的几何意义：函数()y f x =在0x 处的导数()f x '的几何意义是：曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数()s t 对时间t 的导数）。
2．求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数()y f x =在点0x x =的导数，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率；（2）在已知切点坐标00(,())P x f x 和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。
2012学年高考数学_备考冲刺之易错点点睛系列_专题07_平面解析几何(教师版)
平面分析几何-附答案一、高考预测分析几何初步的内容主要是直线和方程、圆和方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个分析几何的基础，在分析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面分析几何的主要内容是圆锥曲线和方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高测试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线和方程、圆和方程的基本问题，偏向于考查直线和圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则和圆锥曲线结合进行．根据近年来各地高考的情况，分析几何初步的考查是稳定的，预计2012年该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线和圆的基础知识和方法，而在分析几何解答题中考查该部分知识的使用．圆锥曲线和方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其使用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线和曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数和方程思想、等价转化思想、分类和整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线和方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．分析几何的知识主线很清晰，就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何性质，复习分析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．分析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在分析几何中的使用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；数学思想方法在分析几何问题中起着重要作用，数形结合思想占首位，其次分类讨论思想、函数和方程思想、化归和转化思想，如分析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值．复习分析几何时要充分重视数学思想方法的运用． 二、知识导学 (一)直线的方程1.点斜式：)(11x x k y y -=-；2. 截距式：b kx y +=；3.两点式：121121x x x x y y y y --=--；4. 截距式：1=+bya x ；5.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0. (二)两条直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行和相交.设直线1l ：y =1k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b =2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1.(三)圆的有关问题1.圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r.特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+. 2.圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为F E D r 42122-+=. 当F E D 422-+=0时，方程表示一个点（2D -，2E-）；当F E D 422-+＜0时，方程不表示任何图形.3.圆的参数方程圆的普通方程和参数方程之间有如下关系： 222r y x =+ ⇔ cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）222)()(r b y a x =-+- ⇔ cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数）(四) 椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点和两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+bx a y （a ＞b ＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(五)椭圆的简单几何性质 1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里.⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷ 离心率：椭圆的焦距和长轴长的比ace =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆.椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有2a =2b +2c 、ace =两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件. (六)椭圆的参数方程椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ和直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan ab=； ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+by a x 和三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.(七)双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内和两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系和椭圆中的异同.1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），和它们对应的准线方程分别是c a x 2-=和ca x 2=.在双曲线中，a 、b 、c 、e 四个元素间有ac e =和222b a c +=的关系，和椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.(九)抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
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09高考数学易错题解题方法大全（4）一.选择题【范例1】掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于4”的概率为（ ） A ．61 B ．21 C ．32 D ．65 答案：D【错解分析】此题主要考查用枚举法计算古典概型。
容易错在不细心而漏解。
【解题指导】求古典概型的概率常采用用枚举法，细心列举即可。
【练习1】矩形ABCD 中,7,6==CD AB ,在矩形内任取一点P ,则π2APB ∠>的概率为（ ） A ．2831π-B ．283πC ．143πD ．1431π- 【范例2】将锐角为060=∠BAD 且边长是2的菱形ABCD ，沿它的对角线BD 折成60°的二面角，则（ ）①异面直线AC 与BD 所成角的大小是 . ②点C 到平面ABD 的距离是 . A ．90°，23 B ．90°，2 C ．60°，23D ．60°，2 答案：A【错解分析】此题容易错选为C ，错误原因是对空间图形不能很好的吃透。
【解题指导】设BD 中点为O ，则有A O C BD 平面⊥，则AC BD ⊥.及平面A O C ABD 平面⊥.且AOC ∆是边长为3的正三角形，作AO CE ⊥，则ABD CE 面⊥，于是异面直线AC BD 与所成的角是90°，点C 到平面ABD 的距离是23=CE . 【练习2】长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2，AD=1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为（ ）A BCDA ．1010 B ． 1030 C ．1060 D ．10103 【范例3】已知P 为抛物线221x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(，则PM PA +的最小值是（ ） A 8 B219 C 10 D 221答案：B【错解分析】此题容易错选为C ，在解决抛物线的问题时经常需要把到焦点的距离和到准线的距离互相转化。
【解题指导】抛物线y x 22=的焦点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0F ，点P 到准线的距离为d 。
则2121-+=-+=+PF PA d PA PM PA ，所以当P ，A ，F 三点共线时最小为21921=-AF . 【练习3】已知定点)4,3(A ，点P 为抛物线x y 42=上一动点，点P 到直线1-=x 的距离为d ，则|PA|+d 的最小值为（ ） A ．4B ．52C ．6D ．328-【范例4】函数]2,0[,sin 2sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）A ．{}31<<-k kB ．{}31≤≤k kC ．{}31<<k kD ．{}31<≤k k 答案：C【错解分析】此题容易错选为A ，错误原因是对函数)(x f 不能合理的化为3sin ,[0,]()sin 2sin sin ,(,2]x x f x x x x x ∈π⎧=+=⎨-∈ππ⎩。
【解题指导】作函数)(x f 和直线k y =的草图，借助数形结合，可得，31<<k . 【练习4】函数x x f sin )(=在区间[]b a ,上是增函数，且,1)(,1)(=-=b f a f 则cos 2ba +的值为（ ）A. 0B.22C. 1D. －1 【范例5】平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成)(n f 块区域，有(1)2,(2)4,(3)8,(4)14f f f f ====，则)(n f 的表达式为（ ）A 、n 2B 、22+-n nC 、)3)(2)(1(2----n n n nD 、410523-+-n n n 答案：B【错解分析】此题容易错选为A ，错误原因是在作归纳猜想时没有认真审题只看到(1)2,(2)4,(3)8,f f f ===导致结论太片面且不合理。
【解题指导】由(2)(1)2,(3)(2)4,(4)(3)6,f f f f f f -=-=-= ，(1)()2f n f n n +-=猜想 利用累加法，得2)(2+-=n n n f .【练习5】古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为（ ）A. 20B. 29C. 30D. 59 【范例6】函数f （x ）=3x（x≤2）的反函数的定义域是（ ） A ．(,9]-∞ B ．[9,)+∞ C ．(0,9] D ．(0,)+∞ 答案：C【错解分析】此题容易错选为D ，错误原因是对原函数与反函数理解不透。
【解题指导】反函数的定义域即为原函数的值域，所以求原函数的值域即可。
【练习6】若函数f(x)的反函数),0(1)(21<+=-x x x f则)2(f = （ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ．5 二.填空题【范例7】若}1log |{},822|{2>∈=≤≤∈=x R x B Z x A x，则B A ⋂= . 答案：{}3【错解分析】此题容易错填为(]13，，错误原因是没有看清楚A 中的元素要是整数。
【解题指导】{}{}2,3,2,1>==x x B A 【练习7】已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∈=N x N x A 68|，集合A 的子集共有 个. 【范例8】给出下列命题① 向量 a b 、满足a b a b ==- ，则与a a b +的夹角为030； ② a ∙b ＞0，是 a b、的夹角为锐角的充要条件； ③ 将函数y =1-x 的图象按向量a =(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y =x ； ④ 若)(→-→-+AC AB 0)(=-⋅∙→-→-AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形；以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上） 答案：③④【错解分析】此题容易错选为①②，错误原因是对一些特殊情况考虑不周到。
【解题指导】利用向量的有关概念，逐个进行判断切入，对于 ① 取特值零向量错误，若前提为非零向量由向量加减法的平行四边形法则与夹角的概念正确；对②取特值夹角为直角错，认识数量积和夹角的关系，命题应为a ∙b ＞0，是 a b、的夹角为锐角的必要条件；对于③，注意按向量平移的意义，就是图象向左移1个单位，结论正确； 对于④；向量的数量积满足分配率运算，结论正确.【练习8】已知13(,)22a =- ，(1,3)b = ，则||()a tb t R +∈ 的最小值等于 .【范例9】已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数=a .答案：14【错解分析】此题容易错在抛物线不能求对，下面就无法解决了。
【解题指导】抛物线为x y 162=，1±=m ，渐进线为x a y ±=. 【练习9】一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是)200(22≤≤=y y x. 在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃的半径r 的范围为 . 【范例10】若nxx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 . 答案：20【错解分析】此题容易错在找不对第几项是常数项，对二项展开式的基本性质还要掌握好。
【解题指导】36264,6,20n n C ===常数项为.【练习10】若1()11nx -的展开式中第三项系数等于6，则n 等于 . 【范例11】如果复数)2)(1(i ai ++的实部和虚部相等，则实数a 等于 . 答案：31【错解分析】此题容易错写1，切记：21i =。
【解题指导】i a a i ai )21()2()2)(1(++-=++.【练习11】设R b a bi a z ∈+=,,z a bi =+，将一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为a ，第二次得到的点数为b ，则使复数2z 为纯虚数的概率为 ．【范例12】已知函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数,则实数m 的取值范围为____．答案：12m ≥。
【错解分析】此题容易错填12m >等，错误原因是对利用'0f >求解。
【解题指导】注意区别不等式有解与恒成立：max ()()a f x a f x >⇔>恒成立； min ()()a f x a f x <⇔<恒成立；min ()()a f x a f x >⇔>有解； max ()()a f x a f x <⇔<有解()0212/≥-+=x mx x f 在()+∞,0上恒成立，,1212x xm +-≥所以max 2)121(x x m +-≥所以12m ≥.【练习12】已知函数()f x 的导函数'()29f x x =-，且(0)f 的值为整数，当(,1]x n n ∈+*()n N ∈时，()f x 的值为整数的个数有且只有1个，则n = .三.解答题【范例13】设数列}{n a 的前n 项和为22n S n =， }{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T 。
【错解分析】（1）求数列{}n a 的通项公式时，容易遗忘对n=1情况的检验。
（2）错位相减法虽然是一种常见方法，但同时也是容易出错的地方，一定要仔细。
解：（1）当111,2;n a S ===时,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故}{n a 的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列.ABCA 1B 1C 1OABA 1B 1C 1OHMN 设}{n b 的通项公式为.41,4,,11=∴==q d b qd b q 则 故.42}{,4121111---=⨯-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即（2）,4)12(422411---=-==n n nn n n n b a c]4)12(4)32(454341[4],4)12(45431[13212121nn n n n n n n T n c c c T -+-++⨯+⨯+⨯=-++⨯+⨯+=+++=∴--两式相减得：].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T【练习13】设等比数列{n a }的前n 项和n S ，首项11a =，公比()(1,0)1q f λλλλ==≠-+.(1)证明：(1)n n S a λλ=+-；(2)若数列{n b }满足112b =，*1()(,2)n n b f b n N n -=∈≥，求数列{n b }的通项公式； (3)若1λ=，记1(1)n n nc a b =-，数列{n c }的前项和为n T ，求证：当2n ≥时，24n T ≤<.【范例14】已知斜三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为2， 侧棱1BB 与底面ABC 所成角为3π， 且侧面⊥11A ABB 底面ABC .（1）证明：点1B 在平面ABC 上的射影O 为AB 的中点； （2）求二面角B AB C --1的大小 ；（3）求点1C 到平面A CB 1的距离.【错解分析】对于立体几何的角和距离，一定要很好的理解“作，证，”三个字。