2012年浙江省高考数学(文科)试卷-附详解
2012年高考文科数学浙江卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共36页）数学试卷 第2页（共36页） 数学试卷 第3页（共36页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页,选择题部分1至3页,非选择题部分4至6页.满分150分,考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共50分）注意事项：1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上.2. 每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 参考公式：球的表面积公式柱体的体积公式 24πS R =V Sh =球的体积公式其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 34π3V R =台体的体积公式其中R 表示球的半径121()3V h S S =锥体的体积公式其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积, 13V Sh =h 表示台体的高 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 如果事件A ,B 互斥,那么 ()()()P A B P A P B +=+一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{1,2,3,4}P =,{3,4,5,6}Q =,则()U P Q =ð（ ）A . {1,2,3,4,6}B . {1,2,3,4,5}C . {1,2,5}D . {1,2} 2. 已知i 是虚数单位,则3i1i+=-（ ）A . 12i -B . 2i -C . 2i +D . 12i +3. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示,则该三棱锥的体积是（ ）A . 1 3cmB . 2 3cmC . 3 3cmD . 6 3cm4. 设a ∈R ,则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：240x y ++=平行”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件 5. 设l 是直线,α,β是两个不同的平面（ ）A . 若l α∥,l β∥,则a β∥B . 若l α∥,l β⊥,则αβ⊥C . 若αβ⊥,l α⊥,则l β⊥D . 若αβ⊥,l α∥,则l β⊥6. 把函数cos 21y x =+的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是（ ）A .B .C .D . 7. 设a ,b 是两个非零向量（ ）A . 若+=-|a b ||a ||b |,则⊥a bB . 若⊥a b ,则+=-|a b ||a ||b |C . 若+=-|a b ||a ||b |,则存在实数λ,使得λ=b aD . 若存在实数λ,使得λ=b a ,则+=-|a b ||a ||b |8. 如图,中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M ,N 是双曲线的两顶点.若M ,O ,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ）A . 3B . 2C .D .9. 若正数x ,y 满足35x y xy +=,则34x y +的最小值是（ ）A .245B .285C . 5D . 6 10. 设0a >,0b >,e 是自然对数的底数,（ ）A . 若e 2e 3a b a b =++,则a b >B . 若e 2e 3a b a b =++,则a b <C . 若e 2e 3a b a b =--,则a b >D . 若e 2e 3a b a b =--,则a b <姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------数学试卷 第4页（共36页）数学试卷 第5页（共36页） 数学试卷 第6页（共36页）非选择题部分（共100分）注意事项：1. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上.2. 在答题纸上作图,可先使用2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.11. 某个年级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,则此样本中男生人数为_________.12. 从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机（等可能）取两点,则该两点间的距_________.13. 若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是_________.14. 设2z x y =+,其中实数x ,y 满足10,20,0,0,x y x y x y -+⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩≥≤≥≥则z 的取值范围是_________.15. 在ABC △中,M 是BC 的中点,3AM =,10BC =,则AB AC =uu u r uuu rg _________.16. 设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数,当[0,1]x ∈时,()f x =1x +,则3()2f =_________.17. 定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线1C ：2y x a =+到直线l ：y x =的距离等于曲线2C ：22(4)2x y ++=到直线l ：y x =的距离,则实数a =_________.三、解答题：本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程,或演算步骤. 18.（本小题满分14分）在ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且sin cos b A B . （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3b =,sin 2sin C A =,求a ,c 的值.19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+,*n ∈N ,数列{}n b 满足24log 3n n a b =+,*n ∈N .（Ⅰ）求n a ,n b ；（Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .20.（本小题满分15分）如图,在侧棱垂直底面的四棱柱1111ABCD A B C D -中,AD BC ∥,AD AB ⊥,AB 2AD =,4BC =,12AA =,E 是1DD 的中点,F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点.（Ⅰ）证明：（ⅰ）1EF D A ∥；（ⅱ）1BA ⊥平面11B C EF ；（Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值.21.（本小题满分15分）已知a ∈R ,函数3()42f x x ax a =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当01x ≤≤时,|2|)0(f x a -+＞.22.（本小题满分14分）在直角坐标系xOy 中,点1(1,)2P 到抛物线C ：22(0)y px p =>的准线的距离为54.点, 1M t （）是C 上的定点,A ,B 是C 上的两动点,且线段AB 被直线OM 平分.（Ⅰ）求p ,t 的值；（Ⅱ）求ABP △面积的最大值.3 / 122012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）答案解析选择题部分【解析】{1,2,3,4,5,6=U {()=U P Q ð()U P Q ð即可得到正确选项。
2012年浙江高考数学文科试卷带详解
2012浙江高考数学(文科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 设全集={1，2，3，4，5，6} ，设集合={1，2，3，4}，={3，4，5}，则 = ( )A.{1，2，3，4，6}B.{ 1，2，3，4，5}C.{1，2，5}D.{1,2}【测量目标】集合的含义及基本运算.【考查方式】集合的表示法(列举法)，元素互异性等性质.【参考答案】D【试题解析】由集合的互异性得出=，则.2. 已知是虚数单位，则（）A. B. C. D.【测量目标】复数的基本概念及其代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出两个复数的除法运算.【参考答案】D【试题解析】3.已知某三棱锥的三视图（单位：）如图所示，则该三棱锥的体积是（）A.1B.2C.3D.6【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出三视图，推出三棱锥的结构，利用公式计算.【参考答案】A【试题解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于．4.设，则“”是“直线：与直线：平行”的（）A．充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【测量目标】直线方程及直两条直线的位置关系,充分、必要条件的判定.【考查方式】考查了线线平行的条件，及充要条件的判定.【参考答案】C【试题解析】两直线平行，当两直线平行时，因而C正确.5.设是直线，是两个不同的平面.下列选项正确的是（）A.若B.若C.若D.若【测量目标】直线与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系.【考查方式】直接给定条件通过定理判断线面，面面的位置关系.【参考答案】B【试题解析】因为平行于同一直线的两个平面不一定平行，所以A错误；两个平面垂直，一条直线与其中的一个平面垂直，则这条直线有可能与另一个平面平行，故C错误；两个平面垂直，一条直线与其中的一个平面平行，则这条直线有可能与另一个平面垂直，也可能在另一个平面内，故D错误；因此B正确.6. 把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是（）A． B.C. D.【测量目标】三角函数的图像与性质.【考查方式】考查了三角函数的图像，横、坐标的变换，图像的平移.【参考答案】A【试题解析】把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：，向左平移1个单位长度得：，再向下平移1个单位长度得：．令x＝0，得：；；观察即得答案．7.设是两个非零向量.则（）A.若B.若C.若则存在实数，使得D.若存在实数，使得，则【测量目标】向量的基本概念及线性运算.【考查方式】考查了向量线性运算，运用平行四边形法则，三角形法则判断.【参考答案】C【试题解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵，则a，b共线，即存在实数，使得．如选项A：时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得不成立；选项D：若存在实数，使得，a，b可为同向的共线向量，此时显然不成立．8.如图，中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点，是双曲线的两顶点.若将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A.3B.2C.D.【测量目标】椭圆和双曲线的标准方程和简单几何性质.【考查方式】已知双曲线、椭圆共焦点，并与顶点平分椭圆长轴，利用圆锥曲线的性质求离心率的比值.【参考答案】B【试题解析】由题意知椭圆长半轴设为，双曲线的实半轴为半焦距B正确..9.若正数满足，则的最小值是（）A. B. C.5 D.6【测量目标】基本不等式求最值.【考查方式】已知等式，构造1，然后“1乘不变”得到均值不等式的形式，用之求最值.【参考答案】C【试题解析】同除以得：故C正确.10.设是自然对数的底数,则（）A.若B.若C.D.【测量目标】利用导数判断函数的单调性.【考查方式】运用导数判定函数单调性，比较大小.【参考答案】A【试题解析】若，必有．构造函数：，则恒成立，故有函数在上单调递增，即成立，其余选项用同样方法排除．二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.【测量目标】分层抽样.【考查方式】运用抽样方法中的分层抽样解决实际问题.【参考答案】160【试题解析】按比例计算男生人数为.12.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点则该两点间的距离为的概率是___________.【测量目标】几何概型.【考查方式】已知5个点，求满足条件的任意两点的概率.【参考答案】【试题解析】从这5个点中任取2个点共有10种取法；而该两点间的距离为的点只有四个顶点分别和中心的距离符合条件，即事件有4种，于是两点间的距离为的概率为：13. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后结果是___________【测量目标】循环结构程序框图，顺序结构的程序框图.【考查方式】运行程序框图中的循环语句，求值.【参考答案】【试题解析】T，i关系如下图：T1i2345614.设，其中实数满足则的取值范围是_______ .【测量目标】二元线性规划求目标函数的取值范围.【考查方式】直接给出约束条件，作出可行域，通过平移目标函数，求可行域的最值.【参考答案】【试题解析】画出可行域知最优解分别是分别代入目标函数可得其最小值为0，最大值为，因此的取值范围是.15. 在中，是的中点，，，则=________.【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】已知三角形，利用余弦定理、平面向量的数量积运算求值.【参考答案】29【试题解析】假设是以的等腰三角形，如图，，，＝．=.＝.16. 设函数是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，则_______________.【测量目标】函数的周期性、奇偶性.【考查方式】已知函数，直接利用函数的周期性、奇偶性求值.【参考答案】【试题解析】因为函数是定义在上的周期为2的偶函数，所以17. 定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离，已知曲线：到直线的距离等于曲线：到直线的距离，则实数_______.【测量目标】直线与曲线的位置关系.【考查方式】已知曲线和直线的位置关系，利用点到直线的距离公式列出等式求值.【参考答案】【试题解析】：，圆心，圆心到直线的距离为：，故曲线到直线的距离为．（步骤1）另一方面：曲线：，令，得：，曲线到直线的距离的点为(，)，（步骤2）．（步骤3）三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分14分）在中，内角的对边分别为且（1）求角的大小；（2）若，的值【测量目标】三角形中正、余弦定理的应用.【考查方式】直接利用正弦定理将角转化为边，再用余弦定理求边长.【试题解析】（1)由正弦定理得由余弦定理得：（步骤3）（步骤4）19. （本题满分14分）已知数列的前项和为，且，数列满足.（1）求；（2）求数列的前项和。
2023年全国乙卷文科高考数学试卷附详解
2023年高考数学试卷(全国乙卷文科）一、选择题1. 232i 2i ++=（ ）A. 1B. 2C.D. 52. 设全集{}0,1,2,4,6,8U =.集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==.则N C M U （ ） A. {}0,2,4,6,8B. {}0,1,4,6,8C. {}1,2,4,6,8D. U3. 如图.网格纸上绘制的一个零件的三视图.网格小正方形的边长为1.则该零件的表面积为（ ）A. 24B. 26C. 28D. 304. 在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .若cos cos a B b A c -=.且5C π=.则B ∠=（ ）A.10π B.5π C.310π D.25π 5. 已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数.则=a （ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 26. 正方形ABCD 的边长是2.E 是AB 的中点.则EC ED ⋅=（ ）A.B. 3C. D. 57. 设O 为平面坐标系的坐标原点.在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点A .则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（ ）A.18B.16C.14D.128. 函数()32f x x ax =++存在3个零点,则a 的取值范围是（ ）A. (),2-∞-B. (),3-∞-C. ()4,1--D. ()3,0-9. 某学校举办作文比赛.共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A.56B.23C.12D.1310. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增.直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴,则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. B. 12-C.12D.211. 已知实数,x y 满足224240x y x y +---=.则x y -的最大值是（ ）A. 12+B. 4C. 1+D. 712. 设A .B 为双曲线2219y x -=上两点.下列四个点中,可为线段AB 中点的是（ ）A. ()1,1B.1,2 C. ()1,3 D. ()1,4--二、填空题13.已知点(A 在抛物线C ：22y px =上,则A 到C 的准线的距离为______. 14. 若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ.则sin cos θθ-=________．15. 若x .y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩.则2z x y =-的最大值为______.16. 已知点,,,S A B C 均在半径为2的球面上.ABC ∆是边长为3的等边三角形.SA ⊥平面ABC .则SA =________．三、解答题17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应.进行10次配对试验.每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品.随机地选其中一个用甲工艺处理.另一个用乙工艺处理.测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x .()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：记()1,2,,10i i i z x y i =-=⋅⋅⋅.记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z .样本方差为2s ． （1）求z .2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.否则不认为有显著提高）18. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知21011,40a S ==． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．19. 如图.在三棱锥-P ABC 中,AB BC ⊥.2AB =.BC =PB PC ==,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ,点F 在AC 上,BF AO ⊥．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若120POF ∠=︒.求三棱锥-P ABC 的体积． 20. 已知函数()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭． （1）当1a =-时.求曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程． （2）若函数()f x 在()0,∞+单调递增.求a 的取值范围．21. 已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=点()2,0A -在C 上．（1）求C 的方程； （2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点,直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N .证明：线段MN 的中点为定点．【选修4-4】（10分）22. 在直角坐标系xOy 中.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭.曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数,2απ<<π）. （1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点.也与2C 没有公共点.求m 的取值范围．【选修4-5】（10分）23.已知()22f x x x =+-（1）求不等式()6x f x ≤-的解集；（2）在直角坐标系xOy 中.求不等式组()60f x yx y ⎧≤⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积．2023年高考数学试卷年全国乙年文科年解析一、选择题1. C2. A3. D解：如图所示.在长方体1111ABCD A B C D -中.2AB BC ==.13AA =点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点.,,,O L M N 为所在棱的中点. 则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D -去掉长方体11ONIC LMHB -之后所得的几何体.该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形. 其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=. 故选：D. 4. C解：由题意结合正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=. 即()sin cos sin cos sin sin cos sin cos A B B A A B A B B A -=+=+. 整理可得sin cos 0B A =.由于()0,πB ∈.故sin 0B >. 据此可得πcos 0,2A A ==. 则ππ3πππ2510B AC =--=--=.故选：C. 5. D解：因为()e e 1xax x f x =-为偶函数.则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax ax x x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---. 又因为x 不恒为0.可得()1e e 0a x x --=.即()1e e a x x -=. 则()1x a x =-.即11a =-.解得2a =. 故选：D. 6. B解：由题意可得：2ED EC CD ===.在CDE ∆中.由余弦定理可得2223cos 25DE CE DC DEC DE CE +-∠===⋅. 所以35355cos =⨯⨯=∠⋅=⋅→→→→DEC ED EC ED EC . 故选：B.7. C 解：因为区域(){}22,|14x y xy ≤+≤表示以()0,0O 圆心.外圆半径2R =.内圆半径1r =的圆环.则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示.在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=. 结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==. 故选：C.8. B解：3()2f x x ax =++.则2()3f x x a '=+.若()f x 要存在3个零点.则()f x 要存在极大值和极小值.则a<0. 令2()30f x x a '=+=.解得x =且当,,3ax ⎛⎛⎫-∈-∞+∞⎪ ⎪⎝⎝⎭时.()0f x '>.当x ⎛∈ ⎝.()0f x '<.故()f x 的极大值为f ⎛ ⎝.极小值为f. 若()f x 要存在3个零点.则00f f ⎧⎛>⎪⎪⎝⎨⎪<⎪⎩.即2020><.解得3a <-.故选：B. 9. A解：甲有6种选择.乙也有6种选择.故总数共有6636⨯=种.若甲、乙抽到的主题不同.则共有26A 30=种.则其概率为305366=. 故选：A. 10. D解：因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增. 所以2πππ2362T =-=.且0ω>.则πT =.2π2w T==. 当π6x =时.()f x 取得最小值.则ππ22π62k ϕ⋅+=-.Z k ∈.则5π2π6k ϕ=-.Z k ∈.不妨取0k =.则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.则5π5πsin 123f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：D. 11. C解：令x y k -=.则x k y =+.代入原式化简得()22226440y k y k k +-+--=.因为存在实数y .则0∆≥.即()()222642440k k k --⨯--≥.化简得22170k k --≤.解得11k -≤+ 故x y -的最大值是1. 故选：C. 12. D解：设()()1122,,,A x y B x y .则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭. 可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+.因为,A B 在双曲线上.则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩.两式相减得()2222121209y y x x ---=. 所以221222129AB y y k k x x -⋅==-. 对于选项A ： 可得1,9AB k k ==.则:98AB y x =-.联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩.消去y 得272272730x x -⨯+=.此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<. 所以直线AB 与双曲线没有交点.故A 错误； 对于选项B ：可得92,2AB k k =-=-.则95:22AB y x =--. 联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩.消去y 得245245610x x +⨯+=. 此时()224544561445160∆=⨯-⨯⨯=-⨯⨯<. 所以直线AB 与双曲线没有交点.故B 错误； 对于选项C ：可得3,3AB k k ==.则:3AB y x =由双曲线方程可得1,3a b ==.则:3AB y x =为双曲线的渐近线. 所以直线AB 与双曲线没有交点.故C 错误； 对于选项D ：94,4AB k k ==.则97:44AB y x =-. 联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩.消去y 得2631261930x x +-=. 此时21264631930∆=+⨯⨯>.故直线AB 与双曲线有交两个交点.故D 正确； 故选：D.二、填空题13.94解：由题意可得：221p =⨯.则25p =.抛物线的方程为25y x =.准线方程为54x =-.点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭. 故答案为：94.14.解：因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.则sin 0,cos 0θθ>>. 又因为sin 1tan cos 2θθθ==.则cos 2sin θθ=.且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ.解得sin θ=或sin θ=（舍去）.所以sin cos sin 2sin sin 5-=-=-=-θθθθθ故答案为：5- 15. 8解：作出可行域如下图所示：2z x y =-.移项得2y x z =-.联立有3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩.解得52x y =⎧⎨=⎩.设()5,2A .显然平移直线2y x =使其经过点A .此时截距z -最小.则z 最大. 代入得8z =. 故答案为：8. 16. 2解：如图.将三棱锥S ABC -转化为直三棱柱SMN ABC .设ABC ∆的外接圆圆心为1O ,半径为r .则2sin AB r ACB ===∠可得r =. 设三棱锥S ABC -的外接球球心为O .连接1,OA OO .则112,2OA OO SA ==. 因为22211OA OO O A =+.即21434SA =+.解得2SA =. 故答案为：2.三、解答题17.（1）11z =.261s =；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【小问1详解】545533551522575544541568596548552.310x +++++++++==.536527543530560533522550576536541.310y +++++++++==.552.3541.311z x y =-=-=.i i i z x y =- 的值分别为: 9,6,8,8,15,11,19,18,20,12-.故2222222222(911)(611)(811)(811)(1511)0(1911)(1811)(2011)(1211)6110s -+-+-+--+-++-+-+-+-==【小问2详解】由（1）知:11z =.==故有z ≥ 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.（1）152n a n =-（2）2214,71498,8n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩【小问1详解】 设等差数列的公差为d .由题意可得211011110910402a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩.即1111298a d a d +=⎧⎨+=⎩.解得1132a d =⎧⎨=-⎩. 所以()1321152n a n n =--=-. 【小问2详解】 因为()213152142n n n S n n +-==-.令1520n a n =->.解得152n <.且*n ∈N . 当7n ≤时.则0n a >.可得2121214n n n n T a a a a a a S n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==-；当8n ≥时.则0n a <.可得()()121278n n n T a a a a a a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+()()()222777221477141498n n S S S S S n n n n =--=-=⨯---=-+；综上所述：2214,71498,8n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩. 19. （1）证明见解析（2）3【小问1详解】连接,DE OF .设AF tAC =.则(1)BF BA AF t BA tBC =+=-+.12AO BA BC =-+.BF AO ⊥. 则2211[(1)]()(1)4(1)4022BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t ⋅=-+⋅-+=-+=-+=.解得12t =.则F 为AC 的中点.由,,,D E O F 分别为,,,PB PA BC AC 的中点. 于是11//,,//,22DE AB DE AB OF AB OF AB ==.即,//DE OF DE OF =.则四边形ODEF 为平行四边形.//,EF DO EF DO =.又EF ⊄平面,ADO DO ⊂平面ADO .所以//EF 平面ADO . 【小问2详解】过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M . 因为,PB PC O =是BC 中点.所以PO BC ⊥.在Rt PBO △中.12PB BO BC ===所以2PO ==.因为,//AB BC OF AB ⊥.所以OF BC ⊥.又PO OF O ⋂=.,PO OF ⊂平面POF . 所以BC ⊥平面POF .又PM ⊂平面POF . 所以BC PM ⊥.又BC FM O =.,BC FM ⊂平面ABC .所以PM ⊥平面ABC .即三棱锥-P ABC 的高为PM .因为120POF ∠=︒.所以60POM ∠=︒.所以sin 6022PM PO =︒=⨯=又11222ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=△所以11333P ABC ABC V S PM -=⋅=⨯=△.20. （1）()ln 2ln 20x y +-=； （2）1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 【小问1详解】 当1a =-时.()()()11ln 11f x x x x ⎛⎫=-+>-⎪⎝⎭. 则()()2111ln 111x f x x x x ⎛⎫'=-⨯++-⨯ ⎪+⎝⎭. 据此可得()()10,1ln 2f f '==-.所以函数在()()1,1f 处的切线方程为()0ln 21y x -=--. 即()ln 2ln 20x y +-=. 【小问2详解】由函数的解析式可得()()()2111=ln 111f x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫'-+++⨯>- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. 满足题意时()0f x '≥在区间()0,∞+上恒成立.令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫-+++≥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭.则()()()21ln 10x x x ax -++++≥. 令()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++.原问题等价于()0g x ≥在区间()0,∞+上恒成立. 则()()2ln 1g x ax x '=-+.当0a ≤时.由于()20,ln 10ax x ≤+>. 故()0g x '<.()g x 在区间()0,∞+上单调递减.此时()()00g x g <=.不合题意; 令()()()2ln 1h x g x ax x '==-+. 则()121h x a x -'=+. 当12a ≥.21a ≥时.由于111x <+. 所以()()0,h x h x '>在区间()0,∞+上单调递增. 即()g x '在区间()0,∞+上单调递增.所以()()>00g x g ''=.()g x 在区间()0,∞+上单调递增.()()00g x g >=.满足题意.当102a <<时.由()1201h x a x =-=+'可得1=12x a-. 当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时.()()0,h x h x '<在区间10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.即()g x '单调递减. 注意到()00g '=.故当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时.()()00g x g ''<=.()g x 单调递减.由于()00g =.故当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时.()()00g x g <=.不合题意. 综上可知：实数a 得取值范围是1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.21.（1）22194y x +=（2）证明见详解 【小问1详解】由题意可得2222b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩.解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩. 所以椭圆方程为22194y x +=.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在.设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++.联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩.消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=.则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+-++=->.解得0k <.可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=-=++. 因为()2,0A -.则直线()11:22y AP y x x =++. 令0x =.解得1122y y x =+. 即1120,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.同理可得2220,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭.则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++-++++===++-+++. 所以线段PQ 的中点是定点()0,3.【选修4-4】（10分）22.（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈（2）()(),022,-∞+∞【小问1详解】因为2sin ρθ=.即22sin ρρθ=.可得222x y y +=. 整理得()2211x y +-=.表示以()0,1为圆心.半径为1的圆.又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======-ρθθθθρθθθ.且ππ42θ≤≤.则π2π2≤≤θ. 则[][]sin 20,1,1cos21,2x y =∈=-∈θθ.故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈. 【小问2详解】 因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数.ππ2α<<）.整理得224x y +=.表示圆心为()0,0O ,半径为2.且位于第二象限的圆弧. 如图所示.若直线y x m =+过()1,1.则11m =+. 解得0m =；若直线y x m =+.即0x y m -+=与2C 相切.则20m =>⎩.解得m =.若直线y x m =+与12,C C 均没有公共点.则m >0m <. 即实数m 的取值范围()(),022,-∞+∞.【选修4-5】（10分）23. （1）[2,2]-； （2）6. 【小问1详解】依题意.32,2()2,0232,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪-+<⎩.不等式()6f x x ≤-化为：2326x x x >⎧⎨-≤-⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩或0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩.解2326x x x>⎧⎨-≤-⎩.得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩.得02x ≤≤.解0326x x x<⎧⎨-+≤-⎩.得20x -≤<.因此22x -≤≤.所以原不等式的解集为：[2,2]- 【小问2详解】 作出不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域.如图中阴影ABC ∆.由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩.解得(2,8)A -.由26y x x y =+⎧⎨+=⎩. 解得(2,4)C . 又(0,2),(0,6)B D所以ABC ∆的面积11|||62||2(2)|822ABCC A S BD x x =⨯-=-⨯--=.。
2012年高考文科数学浙江卷-答案
【解析】循环前，T 1， i 2 ，不满足判断框的条件，
第 1 次循环，T 1 ， i 3，不满足判断框的条件， 2
第 2 次循环，T 1 ， i 4 ，不满足判断框的条件， 6
第 3 次循环，T 1 ， i 5 ，不满足判断框的条件， 24
第 4 次循环，T 1 ， i 6 ，满足判断框的条件，退出循环，输出结果 1 。
上的周期为
2
的函数，
f
3 2
f
1 2
2
f
1 2
，又
函数 f (x) 是
定义在
R
上的偶函数，
f
1 2
f
1 2
，又
当
x [0,1]
时，
f ( x)
x
1，
f
1 2
1 2
1
3 2
，则案为
3 2
。
5 / 10
【提示】利用函数的周期性先把
f
3 2
转化成
f
120
120
故答案为 1 。 120
【提示】通过循环框图，计算循环变量的值，当 i 6 时结束循环，输出结果即可。
【考点】循环结构
14.【答案】
0,
2 7
x y 1 0
【解析】约束条件
x x
y 0
2
0
对应的平面区域如图示：
y 0
由图易得目标函数
z
x
2
y
在
O(0,
0)
处取得最小值，此时
| a b || a | | b |，所以 D 不正确。
故选 C。 【提示】通过向量和向量的模相关性质进行判断即可。 【考点】平面向量的综合题 8.【答案】B 【解析】因为 M，N 是双曲线的两顶点，M，O，N 将椭圆长轴四等分，所以椭圆的长轴长是双曲线实轴长
2023年新高考1卷数学真题试卷附详解
2023年高考数学试卷新课标Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2,1,0,1,2M =--,{}260N x x x =--≥,则M N ⋂=（ ）A. {}2,1,0,1--B. {}0,1,2C. {}2-D. 22. 已知1i22iz -=+,则z z -=（ ） A.i -B. iC. 0D. 13. 已知向量()()1,1,1,1a b ==-,若()()a b a b λμ+⊥+,则（ ） A. 1λμ+= B. 1λμ+=- C. 1λμ= D. 1λμ=-4. 设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则a 的取值范围是（ ）A. (],2-∞-B. [)2,0-C. (]0,2D. [)2,+∞5. 设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =,则=a （ ）A.B.C.D.6. 过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α,则sin α=（ ）A. 1B.C.D.7. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和,设甲:{}n a 为等差数列；乙:{}nS n为等差数列,则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==,则()cos 22αβ+=（ ）． A.79 B.19C. 19-D. 79-二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅,其中1x 是最小值,6x 是最大值,则（ ） A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱,定义声压级20lgp pL p =⨯,其中常数()000p p >是听觉下限阈值,p 是实际声压．下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ,则（ ）． A. 12p p ≥ B. 2310p p > C. 30100p p =D. 12100p p ≤11. 已知函数()f x 的定义域为R ,()()()22f xy y f x x f y =+,则（ ）．A. ()00f =B. ()10f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点12. 下列物体中,能够被整体放入棱长为1（单位:m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）A. 直径为0.99m 的球体B. 所有棱长均为1.4m 的四面体C. 底面直径为0.01m ,高为1.8m 的圆柱体D. 底面直径为1.2m ,高为0.01m 的圆柱体三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分．13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．14. 在正四棱台1111ABCD A B C D -中,1112,1,AB A B AA ===,则该棱台的体积为________．15. 已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点,则ω的取值范围是________．16. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上,点B 在y 轴上,11222,3F A F B F A F B ⊥=-,则C 的离心率为________． 四、解答题:本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知在ABC 中,()3,2sin sin A B C A C B +=-=． （1）求sin A ；（2）设5AB =,求AB 边上的高．18. 如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上,22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明:2222B C A D ∥；（2）点P 在棱1BB 上,当二面角222P A C D --为150︒时,求2B P ． 19. 已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明:当0a >时,()32ln 2f x a >+． 20. 设等差数列{}n a 的公差为d ,且1d >．令2n nn nb a +=,记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．（1）若2133333,21a a a S T =++=,求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列,且999999S T -=,求d ．21. 甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投籃,若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知:若随机变量i X 服从两点分布,且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅,则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ,求()E Y ．22. 在直角坐标系xOy 中,点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离,记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上,证明:矩形ABCD 的周长大于2023年高考数学试卷新课标Ⅰ卷答案一、选择题.1. C解:因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+,而{}2,1,0,1,2M =--,所以M N ⋂={}2-．故选:C ． 2. A解:因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-,所以1i 2z =,即i z z -=-． 故选:A ． 3. D解:因为()()1,1,1,1a b ==-,所以()1,1a b λλλ+=+-,()1,1a b μμμ+=+- 由()()a b a b λμ+⊥+可得,()()0a b a b λμ+⋅+= 即()()()()11110λμλμ+++--=,整理得:1λμ=-． 故选:D ． 4. D解:函数2xy =在R 上单调递增,而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减,因此12a ≥,解得2a ≥.所以a 的取值范围是[)2,+∞. 故选:D. 5. A解:由21e ,得22213e e =,因此2241134a a --=⨯,而1a >,所以a =故选:A. 6. B解:因为22410x y x +--=,即()2225x y -+=,可得圆心()2,0C ,半径r =过点()0,2P -作圆C 的切线,切点为,A B因为PC ==,则PA ==可得sin APC APC ∠==∠==则sin sin 22sin cos 2APB APC APC APC ∠=∠=∠∠==22221cos cos 2cos sin 04APB APC APC APC ∠=∠=∠-∠=-=-<⎝⎭⎝⎭即APB ∠为钝角.所以()sin sin πsin 4APB APB =-∠=∠=α. 故选:B. 7. C解:甲:{}n a 为等差数列,设其首项为1a ,公差为d 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+ 因此{}nS n为等差数列,则甲是乙的充分条件. 反之,乙:{}nS n为等差数列,即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数,设为t即1(1)n nna S t n n +-=+,则1(1)n n S na t n n +=-⋅+,有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥ 两式相减得:1(1)2n n n a na n a tn +=---,即12n n a a t +-=,对1n =也成立 因此{}n a 为等差数列,则甲是乙的必要条件. 所以甲是乙的充要条件,C 正确. 故选:C. 8. B解:因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=,而1cos sin 6αβ=,因此1sin cos 2αβ=则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=. 故选:B.二、选择题.9. BD解:对于选项A :设2345,,,x x x x 的平均数为m ,126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n 则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系,所以无法判断,m n 的大小 例如:1,2,3,4,5,6,可得 3.5m n ==. 例如1,1,1,1,1,7,可得1,2m n ==. 例如1,2,2,2,2,2,可得112,6m n ==；故A 错误； 对于选项B :不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +,故B 正确； 对于选项C :因为1x 是最小值,6x 是最大值则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性,即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差例如:2,4,6,8,10,12,则平均数()12468101276n =+++++= 标准差1s ==4,6,8,10,则平均数()14681074m =+++= 标准差2s ==5>,即12s s >；故C 错误； 对于选项D :不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤则6152x x x x -≥-,当且仅当1256,x x x x ==时,等号成立,故D 正确； 故选:BD. 10. ACD解:由题意可知:[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈= 对于选项A :可得1212100220lg20lg 20lg p p p p p L L p p p =-⨯=⨯-⨯ 因为12p p L L ≥,则121220lg0p p p L L p =-⨯≥,即12lg 0pp ≥ 所以121p p ≥且12,0p p >,可得12p p ≥,故A 正确； 对于选项B :可得2332200320lg20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯ 因为2324010p p p L L L -=-≥,则2320lg10p p ⨯≥,即231lg 2p p ≥ 所以23pp ≥23,0p p >,可得23p ≥ 当且仅当250p L =时,等号成立,故B 错误； 对于选项C :因为33020lg40p p L p =⨯=,即30lg 2pp =可得3100p p =,即30100p p =,故C 正确； 对于选项D :由选项A 可知:121220lgp p p L L p =-⨯ 且12905040p p L L ≤-=-,则1220lg40p p ⨯≤ 即12lg2p p ≤,可得12100pp ≤,且12,0p p >,所以12100p p ≤,故D 正确； 故选:ACD. 11. ABC解:因为22()()()f xy y f x x f y =+对于A ,令0x y ==,(0)0(0)0(0)0f f f =+=,故A 正确. 对于B ,令1x y ==,(1)1(1)1(1)f f f =+,则(1)0f =,故B 正确. 对于C ,令1x y ==-,(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-,则(1)0f -=令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=又函数()f x 的定义域为R ,所以()f x 为偶函数,故C 正确对于D ,不妨令()0f x =,显然符合题设条件,此时()f x 无极值,故D 错误. 12. ABD解:对于选项A :因为0.99m 1m <,即球体的直径小于正方体的棱长 所以能够被整体放入正方体内,故A 正确；对于选项B :, 1.4> 所以能够被整体放入正方体内,故B 正确；对于选项C :, 1.8< 所以不能够被整体放入正方体内,故C 正确；对于选项D :, 1.2>设正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ,以1AC 为轴对称放置圆柱,设圆柱的底面圆心1O 到正方体的表面的最近的距离为m h如图,结合对称性可知:11111110.62OC C A C O OC OO ===-= 则1111C O h AA C A =,即0.61h -=解得10.340.012h =>> 所以能够被整体放入正方体内,故D 正确； 故选:ABD.三、填空题．13. 64解:（1（当从8门课中选修2门,则不同的选课方案共有144116C C =种；（2（当从8门课中选修3门①若体育类选修课1门,则不同的选课方案共有1244C C 24=种；②若体育类选修课2门,则不同的选课方案共有2144C C 24=种；综上所述:不同的选课方案共有16242464++=种. 故答案为:64. 14.解:如图,过1A 作1A M AC ⊥,垂足为M ,易知1A M 为四棱台1111ABCD A B C D -的高因为1112,1,AB A B AA ===则111111111122222AO AC B AO AC ======故()1112AM AC A C =-=,则1A M ===所以所求体积为1(413V =⨯++=故答案为:6. 15. [2,3)解:因为02x π≤≤,所以02x πωω≤≤ 令()cos 10f x x ω=-=,则cos 1x ω=有3个根 令t x ω=,则cos 1t =有3个根,其中[0,2π]t ω∈结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<,故23ω≤<故答案为:[2,3).16.解:依题意,设22AF m =,则2113,22BF m BF AF a m ===+在1Rt ABF 中,2229(22)25m a m m ++=,则(3)()0a m a m +-=,故a m =或3a m=-（舍去）所以124,2AF a AF a ==,213BF BF a ==,则5AB a = 故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===所以在12AF F △中,2221216444cos 2425a a c F AF a a +-∠==⨯⨯,整理得2259c a =故5c e a ==.四、解答题．17. （1 （2）6 【小问1详解】3A B C += π3C C ∴-=,即π4C =又2sin()sin sin()A C B A C -==+2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+ sin cos 3cos sin A C A C ∴= sin 3cos A A ∴=即tan 3A =,所以π02A <<sin10A ∴==. 【小问2详解】由（1）知,cos10A ==由sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+=+=由正弦定理,sin sin c bC B=,可得52b ==11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅sin 6h b A ∴=⋅==. 18. （1）证明见解析 （2）1 【小问1详解】以C 为坐标原点,1,,CD CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,如图则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)C C B D A2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=- 2222B C A D ∴∥又2222B C A D ，不在同一条直线上2222B C A D ∴∥.【小问2详解】 设(0,2,)(04)P λλ≤≤则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C λ=--=---设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z =则22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ 令 2z =,得3,1y x λλ=-=-(1,3,2)n λλ∴=--设平面222A C D 的法向量(,,)m a b c =则2222222020m A C a b c m D C a c ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令 1a =,得1,2==b c(1,1,2)m ∴=cos ,cos1506n m n m n m⋅∴===︒=化简可得,2430λλ-+= 解得1λ=或3λ=(0,2,1)P ∴或(0,2,3)P21B P ∴=.19. （1）答案见解析 （2）证明见解析 【小问1详解】解:因为()()e x f x a a x =+-,定义域为R ,所以()e 1xf x a '=-当0a ≤时,由于e 0x >,则e 0x a ≤,故()0e 1xf x a -'=<恒成立所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时,令()e 10xf x a '=-=,解得ln x a =-当ln x a <-时,()0f x '<,则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减； 当ln x a >-时,0fx,则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上:当0a ≤时,()f x 在R 上单调递减；当0a >时,()f x 在(),ln a -∞-上单调递减,()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增. 【小问2详解】由（1）得,()()()ln min 2ln ln ln e 1af a a x a f a a a --+=++=+=要证3()2ln 2f x a >+,即证2312ln 2ln a a a ++>+,即证21ln 02a a -->恒成立. 令()()21ln 02g a a a a =-->,则()21212a g a a a a-'=-=令()0g a '<,则02a <<；令()0g a '>,则2a >；所以()g a 在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.所以()2min 1ln 02222g a g ⎛⎛==--=>⎝⎭⎝⎭,则()0g a >恒成立. 所以当0a >时,3()2ln 2f x a >+恒成立,证毕. 20.（1）3n a n = （2）5150d =【小问1详解】21333a a a =+,132d a d ∴=+,解得1a d = 32133()6d d S a a =+==∴又31232612923T b b b d d d d=++=++= 339621S T d d∴+=+= 即22730d d -+=,解得3d =或12d =（舍去） 1(1)3n a a n d n ∴=+-⋅=.【小问2详解】{}n b 为等差数列,2132b b b ∴=+,即21312212a a a =+ 2323111616()d a a a a a ∴-==,即2211320a a d d -+=,解得1a d =或12a d = 1d >,0n a ∴>又999999S T -=,由等差数列性质知,5050999999a b -=,即50501a b -=505025501a a ∴-=,即2505025500a a --=,解得5051a =或5050a =-（舍去） 当12a d =时,501495151a a d d =+==,解得1d =,与1d >矛盾,无解； 当1a d =时,501495051a a d d =+==,解得5150d =. 综上,5150d =. 21. （1）0.6（2）1121653i -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭（3）52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 【小问1详解】记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ,“第i 次投篮的人是乙”为事件i B 所以,()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.【小问2详解】设()i i P A p =,依题可知,()1i i P B p =-,则()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+ 构造等比数列{}i p λ+设()125i i p p λλ++=+,解得13λ=-,则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 又11111,236p p =-=,所以13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16,公比为25的等比数列,即11112121,365653i i i i p p --⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【小问3详解】因为1121653i i p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭,1,2,,i n =⋅⋅⋅ 所以当*N n ∈时,()122115251263185315nn n n n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 故52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 22. （1）214y x =+ （2）见解析 【小问1详解】设(,)P x y ,则y =两边同平方化简得214y x =+ 故21:4W y x =+. 【小问2详解】法一:设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<,易知矩形四条边所在直线的斜率均存在,且不为0.则1,AB BC k k a b b c =⋅-+<+,令2240114AB k b a b a b am ⎛⎫+-+ ⎪⎝=+⎭==<- 同理令0BC k b c n =+=>,且1mn =-,则1m n=-设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥,1BC AB k k c a n m n n-=-=-=+则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=--≥-=+ ⎝.0n >,易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()0f x '=,解得x =当0,2x ⎛∈ ⎝⎭时,()0f x '<,此时()f x 单调递减当,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭,()0f x '>,此时()f x 单调递增则min 27()4f x f ==⎝⎭故122C ≥=,即C ≥当C =时,n m ==,且((b a b a -=-,即m n =时等号成立,矛盾,故C >得证.法二:不妨设,,A B D 在W 上,且BA DA ⊥依题意可设21,4A a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,易知直线BA ,DA 的斜率均存在且不为0则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1k-,由对称性,不妨设1k ≤ 直线AB 的方程为21()4y k x a a =-++则联立22141()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得220x kx ka a -+-=()()222420k ka a k a ∆=--=->,则2k a ≠则||2|AB k a =-同理||2AD a =+||||2|2AB AD k a a ∴+=-1122k a a k k ⎫≥-++≥+=⎪⎭令2k m =,则(]0,1m ∈,设32(1)1()33m f m m m m m+==+++则2221(21)(1)()23m m f m m m m '-+=+-=,令()0'=f m ,解得12m =当10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f m '<,此时()f m 单调递减 当1,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭,()0f m '>,此时()f m 单调递增 则min 127()24f m f ⎛⎫==⎪⎝⎭||||AB AD ∴+≥但12|2|2|2k a a k a a k ⎫-+≥-++⎪⎭,此处取等条件为1k =,与最终取等时k =,故AB AD +>. 法三:为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:W y x '=,\矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于设 ()()()222001122,,,,,B t t A t t C t t ''', 根据对称性不妨设 00t ≥.则 1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+, 由于 A B B C ''''⊥, 则 ()()10201t t t t ++=-.由于 1020,A B t B C t ''''=-=-, 且 0t 介于 12,t t 之间,则 1020A B B C t t ''''+=--. 令 20tan t t θ+=10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=-=--,从而))002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=++-故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''-+⎛⎫+=-++=+ ⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时第 21 页 共 21 页332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''''++≥=+≥=≥ ②当 ππ,42θ⎛⎫∈⎪⎝⎭ 时,由于102t t t <<,从而000cot tan t t t θθ--<<- 从而0cot tan 22t θθ-<<又00t ≥ 故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B B C θθθθθθθθ''''-++=+ 3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ-+>+=+==2≥≥=当且仅当cos 3θ=时等号成立,故A B B C ''''+>,故矩形周长大于。
2024年高考数学新课标1卷真题试卷附详解
2024年高考数学新课标1卷真题试卷一、选择题:本共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}355A x x =-<<,{}3,1,0,2,3B -=-,则A B = ()A.{}1,0- B.{}2,3 C.{}3,1,0-- D.{}1,0,2-2.若11zi z =+-,则z =()A.1i --B.1i -+C.1i -D.1i +3.已知向量()()0,1,2,a b x ==,若()4b b a ⊥- ,则x =()A.2-B.1-C.1D.24.已知cos()m αβ+=,tan tan 2αβ=,则cos()αβ-=()A.3m- B.3m -C.3m D.3m5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,则圆锥的体积为()A. B. C. D.6.已知函数22,0,()ln(1),0x x ax a x f x e x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增,则a 的取值范围是()A.(],0-∞B.[]1,0-C.[]1,1-D.[)0,+∞7.当[]0,2x π∈时,曲线sin y x =与2sin(3)6y x π=-的交点个数为()A.3B.4C.6D.88.已知函数()f x 的定义域为R,()(1)(2)f x f x f x >-+-,且当3x <时,()f x x =,则下列结论中一定正确的是()A.(10)100f > B.(20)1000f > C.(10)1000f < D.(20)1000f <二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值元 2.1x =,样本方差:20.01s =,已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布2(1.8,0.1)N ,假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布2(,)N X s ,则()(若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ,则(Z )0.8413P μσ<+≈)A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5D.P(Y>2)<0.810.设函数2()(1)(4)f x x x =--,则()A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时,2()()f x f x <C.当12x <<时,4(21)0f x -<-<D.10x -<<时,(2)()f x f x ->11.造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中的曲线C 的一部分,已知C 过坐标原点O ,且C上的点满足横坐标大于2-,到点F(2,0)的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4.则()A.2a =-B.点(22,0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点00(,)x y 在C 上时,0042y x ≤+三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ,过2F 作平行于y 轴的直线交C 于,A B 两点,若113,10F A AB ==,则C 的离心率为_________.13.若曲线x y e x =+在点(0,1)处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线,则a =_________.14.甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用),则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为__________.四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15.(13分)记ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin C B =,222a b c +-=.(1)求B ;(2)若ABC ∆的面积为3,求c .16.(15分)已知(0,3)A 和3(3,)2P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ,且ABP ∆的面积为9,求l 的方程如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,2PA AC ==,1BC =,AB =.(1)若AD PB ⊥,证明://AD 平面PBC ;(2)若AD DC ⊥,且二面角A CP D --的正弦值为7,求AD .18.(17分)已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--.(1)若0b =,且'()0f x ≥,求a 的最小值;(2)证明:曲线()y f x =是中心对称图形:(3)若()2f x >-当且仅当12x <<,求b 的取值范围.设m 为正整数,数列1242,,,m a a a + 是公差不为0的等差数列,若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列1242,,,m a a a + 是(,)i j -可分数列(1)写出所有的(,)i j ,16i j ≤<≤,使数列126,,,a a a 是(,)i j -可分数列;(2)当3m ≥时,证明:1242,,,m a a a + 是(2,13)-可分数列;(3)从1,2,,42m + 中一次任取两个数i 和()j i j <,记数列1242,,,m a a a + 是(,)i j -可分数列的概率为m P ,证明:18m P >.2024年高考数学新课标1卷真题试卷详细解析一、选择题.题号12345678答案ACDABBCB1.【答案】A2.【答案】C【解析】:(1)(1)(1)(1)z i z i z i =+-=+-+所以1iz i =+所以11iz i i+==-故选C.3.【答案】D【解析】:()24(2,)(2,4)4(4)(2)0b b a x x x x x ⋅-=⋅-=+-=-= 所以2x =.故选D.4.【答案】A【解析】:由cos()m αβ+=得:cos cos sin sin m αβαβ-=由tan tan 2αβ=得:sin sin 2cos cos αβαβ=所以cos cos ,sin sin 2m mαβαβ=-=-所以cos()cos cos sin sin 23m m m αβαβαβ-=+=--=-.故选A.5.【答案】B【解析】:设底面半径为r ,圆锥母线长为l .所以1222r r l ππ=⨯⨯,得:l =.所以3r ==.所以213V r h π==.故选B.6.【答案】B【解析】:()f x 在R 上单调递增,所以有202(1)(0)(0)a f f --⎧-≥⎪⨯-⎨⎪≤⎩,即202(1)1a a -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤⎩,解得:10a -≤≤.故选B.7.【答案】C【解析】:由图像知:共6个交点.故选C.8.【答案】B【解析】:因为当3x <时,()f x x =,(1)1f ∴=,(2)2f =.考虑斐波那契数列,其前20项分别为:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946.则(20)1000f >.故选B.二、选择题.题号91011答案BCACDABD【答案】BC【解析】:由题意:2(1.8,0.1)X N ,2(2.1,0.1)Y N 2=1.8+20.1=+2μσ⨯ (>2)=(>+2)<(>+)=10.84130.1587P X P X P X μσμσ∴-=.故A 错误.(>2)<(>1.8)=0.5P X P X ∴.故B 正确.2=2.10.1=μσ-- (>2)>(>2.1)0.5P Y P Y ∴=.故C 正确.(>2)=(>)()0.84130.8P Y P Y P Y μσμσ∴-=<+=>.故D 错误.综上:选BC.10.【答案】ACD【解析】:'()3(1)(3)f x x x =-- .()f x ∴在(),1-∞上 ,在()1,3上 ,在()3,+∞上 .故A 正确.当01x <<时,201x x <<<,故B 错误.当12x <<时,1213x <-<,所以(3)(21)(1)f f x f <-<,即4(21)0f x -<-<,故C 正确.当10x -<<时,3(2)()2(1)0f x f x x --=-->,故D 正确.综上:选ACD.11.【答案】ABD【解析】:因为C 过坐标原点O ,所以24a -⨯=,得:2a =-.故A 正确.设曲线上一点任意一点(,)P x y ,则曲线C 的方程为:(4(2)x x +=>-,得:2224((2)2y x x =--+.点满足方程,故B 正确.取132x =,则216412071494196y =-=>,所以11y >,故C 错误.222200044()(2)(22y x x x =--≤++,所以0004422y x x ≤=++,故D 正确.综上:选ABD.三、填空题.12.【答案】32【解析】:1213,10,5F A AB AF ==∴=.1212212,21358c F F a AF AF ∴====-=-=36,4,2c c a e a ∴====.13.【答案】ln 2.【解析】:''(),()1,(0)2,x x f x e x f x e f =+=+∴=∴切线l 的方程为21y x =+.'1()ln(1),()1g x x a g x x =++=+,当12x =-时,'1()22g -=,'11()ln +ln 222g a a -==-所以切线方程为:1(ln 2)2()2y a x --=+,故ln 20a -=,即:ln 2a =.14.【答案】12【解析】不妨设甲的顺序是1,3,5,7,考虑甲得分为0,1的情况(1)甲得0分情况:只有1种,1,3,5,72,4,6,8⎛⎫⎪⎝⎭(2)甲得1分情况①甲出3的时候得分,此时只有1种1,3,5,74,2,6,8⎛⎫⎪⎝⎭②甲出5的时候得分,此时乙对应有两种情况乙出4的时候有1种情况,乙出2的时候有2种情况,所以共有3种.③甲出7的时候得分,此时乙对应有3种情况乙出6的时候有1种情况,乙出4的时候有2种情况,乙出2的时候有4种情况,从而共7种情况.所以甲的总得分小于2的概率为11122-=.所以甲的总得分不小于2的概率为44113712A +++=.四、解答题.15.【答案】(1)3π(2)【解析】:(1)22222cos cos 24a b c ab C C C π+-==⇒=⇒=由sin C B =得:1cos 23B B π==⇒=(2)由(1)得:512A B C ππ=--=,422==316,22a cbc +∴==111sin 322222S ab C c c +∴==⋅⋅⋅=+c ∴=16.【答案】(1)12e =(2)1:2l y x =或332y x =-【解析】:(1)(0,3)A 和3(3,2P 代入椭圆方程得22220919941a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得:22129a b ⎧=⎨=⎩.12c e a ∴===.(2)如图,设点(0,3)A 到l 的距离为d①当l 斜率不存在时,:3l x =3(3,3,32B PB d ∴-==1933922ABP S ∆=⨯⨯=≠,不满足条件.②当l 斜率存在时,设3:(3)2l y k x -=-记11(,)P x y ,22(,)B x y 联立223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得:2222(43)(2412)3636270k x k k x k k +--+--=由韦达定理可得:2122212223124336362743k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩PB ∴=d =192ABP S PB d ∆∴=⋅==解得:12k =或32k =1:2l y x ∴=或332y x =-17.【答案】(1)见解析(2)AD =【解析】:(1)证明:PA ⊥底面ABCD ,AD ⊂平面ABCDPA AD∴⊥,,,AD PB PA PB P PA PB ⊥⋂=⊂ 平面PABAD ∴⊥平面PABAB ⊂ 平面PAB ,AD AB∴⊥在ABC ∆中,222,AB BC AC AB BC+=∴⊥,,,A B C D 四点共面,//AD BC∴BC ⊂ 平面PBC ,AD ⊄平面PBC//AD ∴平面PBC(2)如图,延长CB 至点E ,使得EA AC ⊥.以AE 为x 轴,AC 为y 轴,AP 为z 轴建立坐标系.设ACD θ∠=,则22cos (2cos sin ,2cos ,0)AD D θθθθ=⇒-(0,2,0)C ,(0,0,2)P ,则平面ACP 的法向量是1(1,0,0)n = 2(0,2,2),(2cos sin ,2cos ,2)PC PD θθθ=-=-- 则平面PCD 的法向量是2(tan ,1,1)n θ=-则12cos ,n n <>== 解得:3tan 3θ=所以3cos 2θ=故AD =18.【答案】(1)2-(2)见解析(3)2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】:(1)由题意:()f x 的定义域为(0,2).b =时,()ln 2x f x ax x=+-,'2111122()0(22(2)(1)1f x a a x x x x x x x =++≥⇒≥-+=-=------+要使22(1)1a x ≥---+恒成立,必须max 22(2(1)1a x ≥-=---+所以a 的最小值是2-.(2)()f x 的定义域为(0,2).332()(2)ln ln (2)(1)(1)22x x f x f x ax a x b x b x a x x-+-=+++-+-+-=-.故曲线()f x 关于点(1,)a 对称.(3)由(2)知()f x 关于点(1,)a 对称..()2f x >- 当且仅当12x <<.()2f x ∴≤-当且仅当01x <≤.由于()f x 的连续性,(1)2f a ∴==-.3()ln (1)22x f x ax b x x∴=++->--对(1,2)x ∀∈恒成立.(1)2,f =-又2'222112(1)2()23(1)3(1)(1)32(2)(2)x f x b x b x x b x x x x x x ⎡⎤-=+-+-=+-=-+⎢⎥---⎣⎦'(1)0,f =又''2211()6(1)(2)f x b x x x =-++--''(1)0,f =又'''3322()6(2)f x b x x =++-'''(1)46f b=+令'''(1)460f b =+≥,得:23b ≥-此时4'22222(1)()(1)3(1)20(2)(2)(2)x f x x b x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-=-+≥--=≥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦故()f x 在(1,2)上单调递增所以对(1,2)x ∀∈,()2f x >-恒成立.综上:b 的取值范围是2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.19.【答案】(1)(1,2),(1,6),(5,6)(2)见解析(3)见解析.【解析】:(1)(1,2),(1,6),(5,6)(2)证明:当3m =时,注意到{}{}{}1471036912581114,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a 三组的4个数都能构成等差数列,故3m =时,1242,,,m a a a + 是(2,13)-可分数列.当3m >时,前面的3组按照3m =时的分法,即{}{}{}1471036912581114,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a ,剩余的部分每4个相邻项分一组,即{}43444546,,,,3,4,,1r r r r a a a a r m ++++=- .综上所述:3m ≥时,1242,,,m a a a + 是(2,13)-可分数列.(3),,,p q r s a a a a 成等差,,,p q r s ⇔成等差.故1242,,,m a a a + 是(,)i j -可分数列1,2,,42m ⇔+ 是(,)i j -可分数列.①情形一:1,2,,42m + 是(41,42),0k r k r m ++≤≤≤可分数列.具体构造:前1,2,,4k 项每4个相邻项分一组(0k =时不存在该组),中间42,,41k r ++ 每4个相邻项分一组(k r =时不存在该组),后面43,,42r m ++ 每4个相邻项分一组(r m =时不存在该组).此种分组显然满足题意.此时共211(1)(1)(2)2m C m m m +++=++种.②情形二:1,2,,42m + 是(42,41),0k r k r m ++≤<≤,且2r k -≥是可分数列.记2q r k =-≥具体构造:前1,2,,4k 项每4个相邻项分一组(0k =时不存在该组),后面4 3.44,,42r r m +++ 每4个相邻项分一组(r m =时不存在该组).中间41,43,44,,41,4,42k k k r r r +++-+ 共4()4r k q -=项.要说明41,43,44,,41,4,42k k k r r r +++-+ 可分为q 组,只需考虑1,3,4,,41,4,42q q q -+ 是可分的.将1,3,4,,41,4,42q q q -+ 分为{}1,1,21,13q q q +++,{}3,3,23,33q q q +++{}4,4,24,34q q q +++{}5,5,25,35q q q +++,{},,2,3,4q q q q {},2,22,32,42q q q q ++++共q 组,且满足条件.此时的(42,41)k r ++的数目等于(,)(,),2k r k k p p =+≥的数目.此时共211(1)2m C m m m +-=-种.故22224211(1)(2)(1)11122(21)(41)8618m m m m m m m m m m P C m m m m ++++-++++≥==>++++.。
2023年新高考二卷数学真题试卷附详解
2023年高考数学试卷(全国新高考Ⅱ卷)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内,()()13i 3i +-对应的点位于（ ）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2. 设集合{}0,A a =-,{}1,2,22B a a =--,若A B ⊆,则=a （ ）． A. 2B. 1C.23D. 1-3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有（ ）．A. 4515400200C C ⋅种 B. 2040400200C C ⋅种C. 3030400200C C ⋅种D. 4020400200C C ⋅种4. 若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数,则=a （ ）． A. 1-B. 0C.12D. 15. 已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ,2F ,直线y x m =+与C 交于A ,B 两点,若1F AB △ 面积是2F AB △ 面积的2倍,则m =（ ）．A.23B.3C. 3-D. 23-6. 已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增,则a 的最小值为（ ）． A. 2eB. eC. 1e -D. 2e -7. 已知α为锐角,1cos 4α+=,则sin 2α=（ ）．A.B. C. D.8. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若45S =-,6221S S =,则8S =（ ）． A. 120B. 85C. 85-D. 120-二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 已知圆锥的顶点为P ,底面圆心为O ,AB 为底面直径,120APB ∠=︒,2PA =,点C 在底面圆周上,且二面角P AC O --为45°,则（ ）．A. 该圆锥的体积为πB. 该圆锥的侧面积为C.AC = D. PAC △10. 设O 为坐标原点,直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点,且与C 交于M ,N 两点,l 为C 的准线,则（ ）． A. 2p =B. 83MN =C. 以MN 为直径的圆与l 相切D. OMN ∆为等腰三角形11. 若函数()()2ln 0b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值,则（ ）． A. 0bc >B. 0ab >C. 280b ac +>D. 0ac <12. 在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立．发送0时,收到1的概率为(01)αα<<,收到0的概率为1α-；发送1时,收到0的概率为(01)ββ<<,收到1的概率为1β-. 考虑两种传输方案:单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码；三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码（例如,若依次收到1,0,1,则译码为1）.A. 采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到l ,0,1的概率为2(1)(1)αβ--B. 采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为2(1)ββ-C. 采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D. 当00.5α<<时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知向量a ,b 满足3a b -=,2a b a b +=-,则b =______．14. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为______． 15. 已知直线:10l x my -+=与()22:14C x y -+=交于A ,B 两点,写出满足“ABC ∆面积为85”的m 的一个值______． 16. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+,如图A ,B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点,若π6AB =,则()πf =______．四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 记ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知ABC ∆D 为BC 中点,且1AD =． （1）若π3ADC ∠=,求tan B ； （2）若228b c +=,求,b c ． 18. {}n a 为等差数列,6,2,n n na nb a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数,记n S ,n T 分别为数列{}n a ,{}n b 的前n 项和,432S =,316T =．（1）求{}n a 的通项公式； （2）证明:当5n >时,n nT S >．19. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c ,将该指标大于c 的人判定为阳性,小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为()q c ．假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏诊率()0.5p c =％时,求临界值c 和误诊率()q c ；（2）设函数()()()f c p c q c =+,当[]95,105c ∈时,求()f c 的解析式,并求()f c 在区间[]95,105的最小值．20. 如图,三棱锥A BCD -中,DA DB DC ==,BD CD ⊥,60ADB ADC ∠=∠=,E 为BC 名中点．（1）证明:BC DA ⊥；（2）点F 满足EF DA =,求二面角D AB F --的正弦值．21. 已知双曲线C 的中心为坐标原点,左焦点为()-, （1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ,2A ,过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ,N 两点,M 在第二象限,直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上. 22. （1）证明:当01x <<时,sin x x x x 2-<<； （2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--,若0x =是()f x 的极大值点,求a 的取值范围．2023年高考数学试卷(全国新高考Ⅱ卷)解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. A解:因为()()213i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+则所求复数对应的点为()6,8,位于第一象限. 故选:A. 2. B解:因为A B ⊆,则有:若20a -=,解得2a =,此时{}0,2A =-,{}1,0,2B =,不符合题意； 若220a -=,解得1a =,此时{}0,1A =-,{}1,1,0B =-,符合题意； 综上所述:1a =. 故选:B. 3. D解:根据分层抽样的定义知初中部共抽取4006040600⨯=人,高中部共抽取2006020600⨯= 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有4020400200C C ⋅种. 故选:D. 4. B解:因为()f x 为偶函数,则 1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a =-∴+=-+，,解得0a = 当0a =时,()21ln 21x x x f x -=+,()()21210x x -+>,解得12x >或12x <-则其定义域为12x x⎧⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭,关于原点对称.()()()()()()()121212121ln ln ln ln 21212121f x x x x x x x x x f x x x x x ---+⎫-=---⎛==== ⎪-+-++⎝-⎭- 故此时()f x 为偶函数. 故选:B. 5. C解:将直线y x m =+与椭圆联立2213y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 可得2246330x mx m ++-= 因为直线与椭圆相交于,A B 点,则()223604433m m -⨯-∆=>,解得22m -<< 设1F 到AB 的距离12,d F 到AB 距离2d ,易知())12,F F则1d =2d =122F AB F ABS S===,解得m =或-故选:C.6. C解:依题可知,()1e 0xf x a x '=-≥在()1,2上恒成立,显然0a >,所以1e x x a≥ 设()()e ,1,2xg x x x =∈,所以()()1e 0xg x x =+>',所以()g x 在()1,2上单调递增()()1e g xg >=,故1e a ≥,即11e ea -≥=,即a 的最小值为1e -． 故选:C ． 7. D解:因为2cos 12sin 2αα=-=,而α为锐角 解得:sin2α=14==． 故选:D ． 8.C解:设等比数列{}n a 的公比为q ,首项为1a若1q =,则61126323S a a S ==⨯=,与题意不符,所以1q ≠； 由45S =-,6221S S =可得,()41151a q q-=--,()()6211112111a q a q q q--=⨯--名由名可得,24121q q ++=,解得:24q =.所以8S =()()()()8411411151168511a q a q q qq--=⨯+=-⨯+=---．故选:C ．二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9. AC解:依题意,120APB ∠=︒,2PA=,所以1,OP OA OB ===A选项,圆锥的体积为21π1π3⨯⨯⨯=,A 选项正确；B 选项,圆锥的侧面积为π2=,B 选项错误； C 选项,设D 是AC 的中点,连接,OD PD则,AC OD AC PD ⊥⊥,所以PDO ∠是二面角P AC O --的平面角 则45PDO ∠=︒,所以1OP OD ==故AD CD ===则AC =C 选项正确；D 选项,PD ==,所以122PACS=⨯=,D 选项错误. 故选:AC.10. AC解:A 选项:直线)1y x =-过点()1,0,所以抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F所以1,2,242pp p ===,则A 选项正确,且抛物线C 的方程为24y x =. B 选项:设()()1122,,,M x y N x y由)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去y 并化简得()()231033310x x x x -+=--= 解得1213,3x x ==,所以121163233MN x x p =++=++=,B 选项错误.C 选项:设MN 的中点为A ,,,M N A 到直线l 的距离分别为12,,d d d 因为()()12111222d d d MF NF MN =+=+= 即A 到直线l 的距离等于MN 的一半,所以以MN 为直径的圆与直线l 相切,C 选项正确.D 选项:直线)1y x =-,0y +=O 0y +=的距离为d =所以OMN ∆的面积为11623⨯=由上述分析可知)1213113y y ⎫=-=-=-=⎪⎭所以3OM ON ==== 所以OMN ∆不是等腰三角形,D 选项错误. 故选:AC.11. BCD解:函数2()ln b cf x a x x x =++的定义域为(0,)+∞,求导得223322()a b c ax bx cf x x x x x--'=--= 因为函数()f x 既有极大值也有极小值,则函数()f x '在(0,)+∞上有两个变号零点,而0a ≠因此方程220ax bx c --=有两个不等的正根12,x x于是21212Δ80020b ac b x x a c x x a ⎧⎪=+>⎪⎪+=>⎨⎪⎪=->⎪⎩,即有280b ac +>,0ab >,0ac <,显然20a bc <,即0bc <,A 错.误,BCD 正确. 故选:BCD 12. ABD解:对于A ,依次发送1,0,1,则依次收到l ,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积它们相互独立,所以所求概率为2(1)(1)(1)(1)(1)βαβαβ---=--,A 正确；对于B ,三次传输,发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到l ,0,1的事件 是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积它们相互独立,所以所求概率为2(1)(1)(1)βββββ-⋅⋅-=-,B 正确；对于C ,三次传输,发送1,则译码为1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件和它们互斥,由选项B 知,所以所求的概率为22323C (1)(1)(1)(12)βββββ-+-=-+,C 错误；对于D ,由选项C 知,三次传输,发送0,则译码为0的概率2(1)(12)P αα=-+单次传输发送0,则译码为0的概率1P α'=-,而00.5α<<因此2(1)(12)(1)(1)(12)0P P αααααα'-=-+--=-->,即P P '>,D 正确.故选:ABD.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.解:因为2a b a b +=-,即()()222a ba b +=-则2222442→→→→→→→→+⋅-=+⋅+b b a a b b a a ,整理得220a a b -⋅= 又因为3a b -=,即()23a b-=则32222==+⋅-→→→→→b b b a a ,所以3b =.故答案为 14. 28解:由于2142=,而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6 所以正四棱锥的体积为()1446323⨯⨯⨯=截去的正四棱锥的体积为()122343⨯⨯⨯=,所以棱台的体积为32428-=. 15.2（112,2,,22--中任意一个皆可以）解;设点C 到直线AB 的距离为d ,由弦长公式得AB =所以1825ABC S d =⨯⨯=△,解得:d =或d =由d ==5=5=,解得:2m =±或12m =±．故答案为:2（112,2,,22--中任意一个皆可以）．16. 解:设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由π6AB =可得21π6x x -= 由1sin 2x =可知,π2π6x k =+或5π2π6x k =+,Z k ∈,由图可知 ()215π2ππ663x x ωϕωϕ+-+=-=,即()212π3x x ω-=,4ω∴=． 因为28ππsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以8ππ3k ϕ+=,即8ππ3k ϕ=-+,Z k ∈．所以82()sin 4ππsin 4ππ33f x x k x k ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭或()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭又因为()00f <,所以2()sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()2πsin 4ππ3f ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭ 故答案为:． 四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）5（2）2b c == 【小问1详解】方法1:在ABC ∆中,因为D 为BC 中点,π3ADC ∠=,1AD =则1113313sin 12222822ADCABCSAD DC ADC a a S =⋅∠=⨯⨯⨯===,解得4a = 在ABD △中,2π3ADB ∠=,由余弦定理得2222cos c BD AD BDAD ADB =+-⋅∠ 即2141221()72c =+-⨯⨯⨯-=,解得c=则cos 14B ==sin B ===所以sin tan cos B B B ==. 【小问2详解】方法1:在ABD △与ACD ∆中,由余弦定理得222211121cos(π)4211121cos 42c a a ADC b a a ADC ⎧=+-⨯⨯⨯-∠⎪⎪⎨⎪=+-⨯⨯⨯∠⎪⎩整理得222122a b c +=+,而228b c +=,则a =又11sin 2ADCSADC =⨯∠=解得sin 1ADC ∠=,而0πADC <∠<,于是π2ADC ∠=所以2b c ===.18. （1）23n a n =+ （2）证明见解析 【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,而6,21,N 2,2n n n a n k b k a n k*-=-⎧=∈⎨=⎩ 则112213316,222,626b a b a a d b a a d =-==+=-=+-于是41314632441216S a d T a d =+=⎧⎨=+-=⎩,解得15,2a d ==,1(1)23n a a n d n =+-=+所以数列{}n a 的通项公式是23n a n =+. 【小问2详解】方法1:由（1）知,2(523)42n n n S n n ++==+,23,21,N 46,2n n n k b k n n k*-=-⎧=∈⎨+=⎩ 当n 为偶数时,12(1)34661n n b b n n n -+=--++=+213(61)372222n n n T n n ++=⋅=+当5n >时,22371()(4)(1)0222n n T S n n n n n n -=+-+=->,因此n n T S >当n 为奇数时,22113735(1)(1)[4(1)6]52222n n n T T b n n n n n ++=-=+++-++=+-当5n >时,22351(5)(4)(2)(5)0222n n T S n n n n n n -=+--+=+->,因此n n T S >所以当5n >时,n n T S >. 方法2:由（1）知,2(523)42n n n S n n ++==+,23,21,N 46,2n n n k b k n n k*-=-⎧=∈⎨+=⎩ 当n 为偶数时21312412(1)3144637()()222222n n n n n n n T b b b b b b n n--+--++=+++++++=⋅+⋅=+当5n >时,22371()(4)(1)0222n n T S n n n n n n -=+-+=->,因此n n T S > 当n 为奇数时,若3n ≥,则132411231144(1)61()()2222n n n n n n n T b b b b b b --+-++-+-=+++++++=⋅+⋅ 235522n n =+-,显然111T b ==-满足上式,因此当n 为奇数时,235522n T n n =+- 当5n >时,22351(5)(4)(2)(5)0222n n T S n n n n n n -=+--+=+->,因此n n T S >所以当5n >时,n n T S >. 19. （1）97.5c =,() 3.5%q c = （2）0.0080.82,95100()0.010.98,100105c c f c c c -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩,最小值为0.02【小问1详解】依题可知,左边图形第一个小矩形的面积为50.0020.5%⨯>,所以95100c << 所以()950.0020.5%c -⨯=,解得:97.5c =()()0.0197.59550.0020.035 3.5%q c =⨯-+⨯==．【小问2详解】 当[95,100]c ∈时()()()(95)0.002(100)0.0150.002f c p c q c c c =+=-⨯+-⨯+⨯0.0080.820.02c =-+≥；当(100,105]c ∈时()()()50.002(100)0.012(105)0.002f c p c q c c c =+=⨯+-⨯+-⨯0.010.980.02c =->,故0.0080.82,95100()0.010.98,100105c c f c c c -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩所以()f c 在区间[]95,105的最小值为0.02． 20.（1）证明见解析（2）3【小问1详解】连接,AE DE ,因为E 为BC 中点,DB DC =,所以DE BC ⊥①因为DA DB DC ==,60ADB ADC ∠=∠=,所以ACD ∆与ABD △均为等边三角形AC AB ∴=,从而AE BC ⊥②,由①②,AE DE E =,,AE DE ⊂平面ADE所以,BC ⊥平面ADE ,而AD ⊂平面ADE ,所以BC DA ⊥． 【小问2详解】不妨设2DA DB DC ===,BD CD ⊥,BC DE AE ∴===2224AE DE AD ∴+==,AE DE ∴⊥,又,AE BC DEBC E ⊥=,,DE BC ⊂平面BCD AE ∴⊥平面BCD ．以点E 为原点,,,ED EB EA 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示:设(0,0,0)D A B E设平面DAB 与平面ABF 的一个法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z == 二面角D AB F --平面角为θ,而(0,AB =因为(EF DA ==-,所以(F,即有()AF =-111100⎧=⎪∴-=,取11x =,所以1(1,1,1)n=；2220==⎪⎩,取21y =,所以2(0,1,1)n = 所以,1212cos 33n n n nθ⋅===,从而sin 3θ==． 所以二面角D AB F --的正弦值为3． 21. （1）221416x y -=（2）证明见解析 【小问1详解】设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>,由焦点坐标可知c =则由ce a==2a =,4b== 双曲线方程为221416x y -=.【小问2详解】由(1)可得()()122,0,2,0A A -,设()()1122,,,M x y N x y显然直线的斜率不为0,所以设直线MN 的方程为4x my =-,且1122m -<< 与221416x y -=联立可得()224132480m y my --+=,且264(43)0m ∆=+>则1212223248,4141m y y y y m m +==--直线1MA 的方程为()1122y y x x =++,直线2NA 的方程为()2222y y x x =--联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得:()()()()()2121121211212121222222266y x y my my y y y y x x y x y my my y y +--+++==--=-- 112221122483216222141414148483664141m mm y y m m m m m y y m m -⋅-⋅++---===-⨯---- 由2123x x +=--可得=1x -,即1P x =- 据此可得点P 在定直线=1x -上运动. 22. （1）证明见详解 （2）((),2,-∞+∞解:（1）构建()()sin ,0,1F x x x x =-∈,则()1cos 0F x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立 则()F x 在()0,1上单调递增,可得()()00F x F >= 所以()sin ,0,1x x x >∈； 构建()()()22sin sin ,0,1G x x x xxx x x=--=-+∈则()()21cos ,0,1G x x x x '=-+∈构建()()(),0,1g x G x x '=∈,则()2sin 0g x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立 则()g x 在()0,1上单调递增,可得()()00g x g >= 即()0G x '>对()0,1x ∀∈恒成立则()G x 在()0,1上单调递增,可得()()00G x G >= 所以()2sin ,0,1x x x x >-∈；综上所述:sin x x x x 2-<<.（2）令210x ->,解得11x -<<,即函数()f x 的定义域为()1,1- 若0a =,则()()()2ln 1,1,1f x xx =--∈-因为ln y u =-在定义域内单调递减,21y x =-在()1,0-上单调递增,在()0,1上单调递减 则()()2ln 1f x x=--在()1,0-上单调递减,在()0,1上单调递增故0x =是()f x 的极小值点,不合题意,所以0a ≠. 当0a ≠时,令0b a => 因为()()()()()222cos ln 1cos ln 1cos ln 1f x ax xa x x bx x =--=--=--且()()()()()22cos ln 1cos ln 1f x bx x bx x f x ⎡⎤-=----=--=⎣⎦所以函数()f x 在定义域内为偶函数. 由题意可得:()()22sin ,1,11xf x b bx x x =--∈'-- （i ）当202b <≤时,取1min ,1m b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,()0,x m ∈,则()0,1bx ∈由（1）可得()()()2222222222sin 111x b x b x x f x b bx b x x x x +-'=-->--=--- 且22220,20,10b x b x >-≥-> 所以()()2222201x b x b f x x+-'>>-即当()()0,0,1x m ∈⊆时,0)('>x f ,则()f x 在()0,m 上单调递增 结合偶函数的对称性可知:()f x 在(),0m -上单调递减 所以0x =是()f x 的极小值点,不合题意；（名）当22b >时,取()10,0,1x b ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭,则()0,1bx ∈ 由（1）可得()()()2233223222222sin 2111x x x f x b bx b bx b x b x b x b x b x x x'=--<---=-+++---- 构建()33223212,0,h x b x b x b x b x b ⎛⎫=-+++-∈ ⎪⎝⎭则()3223132,0,h x b x b x b x b ⎛⎫'=-++∈ ⎪⎝⎭且()33100,0h b h b b b ⎛⎫''=>=->⎪⎝⎭,则()0h x '>对10,x b ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立可知()h x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,且()21020,20h b h b ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭ 所以()h x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点10,n b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当()0,x n ∈时,则()0h x <,且20,10x x >->则()()3322322201x f x b x b x b x b x'<-+++-<- 即当()()0,0,1x n ∈⊆时,()0f x '<,则()f x 在()0,n 上单调递减 结合偶函数的对称性可知:()f x 在(),0n -上单调递增 所以0x =是()f x 的极大值点,符合题意；综上所述:22b >,即22a >,解得a >a <故a 的取值范围为((),2,-∞+∞.。
2019年高考浙江卷数学(附参考答案和详解)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学总分：150分考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B =I ð（ ） A.{}1-B.{}0,1C.{}1,2,3-D.{}1,0,1,3-2.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）B.1D.23.若实数x ，y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩则32z x y =+的最大值是（ ）A.1-B.1C.10D.124.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：3cm ）是（ ）A.158B.162C.182D.3245.若0a >，0b >，则“4a b +≤”是“4ab ≤”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（0a >，且1a ≠）的图象可能是（ ） A. B.C. D.7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是01111333X a P则当a 在()0,1内增大时（ ） A.()D X 增大 B.()D X 减小C.()D X 先增大后减小D.()D X 先减小后增大8.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A.βγ<，αγ<B.βα<，βγ<C.βα<，γα<D.αβ<，γβ<9.已知,a b ∈R ，函数()()32,0111,032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（ ） A.1a <-，0b < B.1a <-，0b >C.1a >-，0b <D.1a >-，0b >10.设,a b ∈R ，数列{}n a 满足1a a =，21n na ab +=+，*n ∈N ，则（ ） A.当12b =时，1010a > B.当14b =时，1010a >C.当2b =-时，1010a >D.当4b =-时，1010a >第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分。
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2012年浙江省高考数学（文科）试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）一、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1． 设全集{1,2,3,4,5,6}U = ，设集合{1,2,3,4},{3,4,5}P Q ==，则U PC Q =A ．{1,2,3,4,6}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}【答案】D 【解析】{1,2,3,4}{1,2}{1,2}U P C Q ==，故选D 。
2. 已知i 是虚数单位，则31ii+=- A ．12i - B ．2i -C ．2i +D ．12i +【答案】D 【解析】3(3)(1)24121(1)(1)2i i i ii i i i ++++===+--+。
3． 已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是A ．1cm ³B ．2cm ³C ．3cm ³D ．6cm ³【答案】A【解析】由三视图可知，该棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为1和2，三棱锥的高为3，则11312132V =⨯⨯⨯⨯=，故选A 。
4． 设a R ∈，则“1a =”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:240l x y ++=平行 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】12//21201l l a a ⇔-⨯=⇔=，故1a =是两直线平行的充分必要条件，故选C 。
5． 设l 是直线，,αβ是两个不同的平面A ．若//,//l l αβ，则//αβB ．若//,l l αβ⊥，则αβ⊥C ．若,l αβα⊥⊥，则l β⊥D ．若,//l αβα⊥，则l β⊥【答案】B【解析】//,//l l αβ，则,αβ可能平行也可能相交，A 不正确；,l αβα⊥⊥，则l β⊥或l β⊂，C 不正确；,//l αβα⊥，则,l β可能相交或平行，D 不正确，故选B 。
6. 把函数cos 21y x =+的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】cos 21cos 1cos(1)1cos(1)y x y x y x y x =+⇒=+⇒=++⇒=+，故选A 。
7．设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a bC ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b aD ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b【答案】C【解析】2222||||||||2||||2||||||+=-⇒++=-+a b a b a ab b a a b b ，则||||0=-≠ab a b ，所以,a b 不垂直，A 不正确，同理B 也不正确；||||=-ab a b ，则cos ,1>=-<a b ，所以,a b 共线，故存在实数λ，使得λ=b a ，C 正确；若=b a ，则1λ=，此时||2|0||||+=≠=-a b a |a b ，所以D 不正确。
8． 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，,M N 是双曲线的两顶点。
若,,M O N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2C ．3D ．2【答案】B【解析】设双曲线和椭圆的方程分别为2222111x y a b -=，2222221x y a b +=，则12c c =。
依题意可得，212a a =，所以121212::2c c e e a a ==。
9． 若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是A.245B ．285C ．5D ．6【答案】C【解析】因为,x y 都是正数，所以1335155x y xy y x+=⇒+=，所以13312133121334(34)()2555555555x y x y x y x y y x y x y x +=++=++≥⋅+=当且仅当31255x yy x=即2x y =时取等号。
10．设0,0,a b e >>是自然对数的底数A ．若23a be a e b +=+，则a b > B ．若23a be a e b +=+，则a b < C ．若23a be a e b -=-，则a b >D. 若23abe a e b -=-，则a b <【答案】A【解析】记()22,()22xxf x xg x x =+=-，则'()2ln 220xf x =⋅+>，'()2ln 22x g x =⋅-当2lnln 2x >时'()0g x >，当20ln ln 2x <<时'()0g x <。
222322a b b a b b +=+>+，则有a b >。
222322a b b a b b -=-<-，此时无法确定大小关系，故选A 。
非选择题部分（共100分） 二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.【答案】160【解析】此样本中男生人数为560280160980⨯=。
12．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为22的概率是___________.【答案】25【解析】依题意可得，两点中其中一点必定是中心，所以142525C P C ==。
13．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是________.【答案】1120【解析】第一次运行：1,2T i ==；第二次运行：1,32T i ==；第三次运行：1,46T i ==；第四次运行：1,524T i ==；第五次运行：1,65120T i ==>，故输出值为1120。
14．设2z x y =+，其中实数,x y 满足102000x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则z 的取值范围是_________.【答案】7[0,]2【解析】满足条件的,x y 的可行域如图所示，则目标函数2z x y =+在点13(,)22处取到最大值72，在点(0,0)处取到最小值0，所以z 的取值范围是7[0,]2。
15．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=________.【答案】-16【解析】依题意可得，5BM CM ==。
由余弦定理可得，222222cos ,cos 22AM BM AB AM CM AC AMB AMC AM BM AM CM +-+-∠=∠=⋅⋅，因为AMB AMC π∠+∠=，所以22222222AM BM AB AM CM AC AM BM AM CM +-+-=-⋅⋅，即222222()AM BM AB AM CM AC +-=-+-，则有222222AM BM AB AC +=+，而2AB AC AM MB AM MC AM +=+++=，则2222()||||24||AB AC AB AC AB AC AM +=++⋅=，所以2224||(22)162AM AM BM AB AC -+⋅==-。
16．设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[0,1]x ∈时，()1f x x =+，则3()2f =_______________.2【解析】因为()f x 是偶函数，所以当[1,0]x ∈-时，[0,1]x -∈，则()()1f x f x x =-=-+。
因为()f x 是周期为2的周期函数，所以3113()()()12222f f =-=--+=。
17. 定义：曲线C 上的点到直线的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线1C ：2y x a =+到直线l ：y x =的距离等于曲线2C ：22(4)2x y ++=到直线l ：y x =的距离，则实数a = ．【答案】94【解析】曲线2C ：22(4)2x y ++=到直线l ：y x =的距离为圆心(0,4)-到直线y x =的距离减去半径，即222-=。
依题意可得，0a >，且知曲线1C ：2y x a =+到直线l ：y x =的距离等于曲线1C 上切线斜率为1的切线与y x =的距离。
令'21y x ==，可得12x =，所以切线斜率为1的切线方程为1124y x a =-++，即14y x a =-+，所以1||422a -+=，解得94a =或74a =-（舍）。
三、解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 3cos b A a B =.（1）求角B 的大小；（2）若3,sin 2sin b C A ==，求,a c 的值。
本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力。
满分14分。
解：（1）由sin 3cos b A a B =及正弦定理sin sin a bA B=，得sin 3B B = 所以，tan 3B =3（2）由sin 2sin C A =及sin sin a cA C=，得2c a = 由3b =及余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得229a c ac =+- 所以3,23a c ==19. （本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22,*n S n n n N =+∈，数列{}n b 满足24log 3,*n n a b n N =+∈。
（1）求,n n a b ；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .本题主要考查等差、等比数列的概念，通项公式即求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。
满分14分。
解：（1）由22n S n n =+，得当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，141n n n a S S n -=-=-， 所以41,*n a n n N =-∈由2414log 3n n n a b -==+，得12,*n n b n N -=∈ （2）由（1）知1(41)2,*n n n a b n n N -⋅=-⋅∈所以1372(41)2n n T n -=+⨯++-⋅ 223272(41)2n n T n =⨯+⨯++-⋅所以212(41)2[34(222)](45)25n n n n n T T n n --=-⋅-++++=-+故(45)25,*nn T n n N =-+∈20. （本题满分15分）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，,2AD AB AB ⊥= 12,4,2AD BC AA ===，E 是1DD 的中点，F 是平面11B C E与直线1AA 的交点。