概率论与数理统计课件
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第6章 第4讲 正定二次型 课件(共26张PPT)- 《概率论与数理统计(慕课版)》同步教学(人民邮
之差为2r – m为符号差.
3
01
正定二次型的定义
惯性定理
任意二次型 X T AX 都可通过非退化线性变换化为规范形
z12 z22
z 2p z 2p 1
z 2p q，
其中 p 为正惯性指数，q 为负惯性指数，p + q为二次型的秩
且 p 、q 由二次型唯一确定，即规范情势唯一的.
霍尔维茨定理
例5
方程3x 2 5 y 2 5z 2 4 xy 4 xz 10 yz 1表示何种二次曲面.
2
2
2
f
x
,
y
,
z
解 因为
3x 5 y 5z 4 xy 4 xz 10 yz
是一个二次型，
3 2 -2
其矩阵A= 2 5 -5 ，由 A - E 0 得
因为 3 2 3 0，
所以A不是正定矩阵，从而二次型不是正定二次型.
10
01
正定二次型的定义
例3
已知A为n阶正定矩阵，E为n阶单位矩阵，证明 | A E | 1.
解
设A的特征值为 1 , 2 ,
, n， 由A为正定矩阵知
1 0, 2 0,
A + E 的特征值为 1 1, 2 1,
4
01
正定二次型的定义
定义6.3
对应矩阵A 称为正定矩阵.
实二次型 f ( x1 , x2 ,
恒有 f (c1 , c2 ,
, xn ) X T AX，若对任意 (c1 , c2 ,
, cn ) 0，则称 f ( x1 , x2 ,
, cn )T 0，
概率论与数理统计课件：随机变量及其分布
随机变量及其分布
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§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
随机变量及其分布
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定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
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这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
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常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)
《概率论与数理统计》经典课件 概率论
解： P( Ak )
C C k nk D ND
/ CNn ,
k
0,1,
,n
（注：当L>m或L<0时，记 CmL 0）
2021/8/30
17
❖ 例4：将n个不同的球，投入N个不同的盒中(n≤N)，设每一球落入各盒
的概率相同，且各盒可放的球数不限，
记A＝{ 恰有n个盒子各有一球 }，求P(A)．
解： ① ②……n
2021/8/30
2
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性：
1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
例：
✓ ✓ ✓ ✓
抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；
S AB
✓
A的逆事件记为A,
A
A S,
A A
若
A A
B
B
S
,称A,
B互逆、互斥
S
✓ “和”、“交”关系式
AA
n
n
Ai Ai A1 A2
n
n
An； Ai Ai＝A1A2
i 1
i 1
i 1
i 1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则：
An；
A B {甲、乙至少有一人来}
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
# 3。的推广：
n
n
P( Ai ) P( Ai )
P( Ai Aj )
i 1
i 1
《概率论与数理统计》课件-随机过程
《概率论与数理统计》经典课件 -随机过程
目录
• 随机过程基础 • 随机过程的基本类型 • 随机过程的分析与变换 • 随机过程的应用 • 随机过程的计算机模拟 • 随机过程的未来发展与挑战
01
随机过程基础
随机过程的定义与分类
定义
随机过程是由随机变量构成的数 学结构，每个随机变量对应一个 时间点或位置。
分类
根据不同的特性，随机过程可以 分为离散随机过程和连续随机过 程，平稳随机过程和非平稳随机 过程等。
随机过程的统计特性
均值函数
方差函数
自相关函数
谱密度函数
描述随机过程的平均行 为。
描述随机过程的波动程 度。
描述随机过程在不同时 间点的相关性。
描述随机过程的频率特 性。
随机过程的概率模型
01
02
蒙特卡洛方法在金融、物理、工程等领域有广泛应用，如期权定价、核反应堆模拟 等。
离散事件模拟方法
离散事件模拟方法是一种基于 事件驱动的模拟方法，通过模 拟离散事件的发生和影响来逼 近真实系统。
离散事件模拟方法适用于描述 离散状态变化的过程，如交通 流模拟、排队系统模拟等。
离散事件模拟方法的关键在于 事件的时间点和顺序的确定， 以及事件影响的计算。
连续时间模拟方法
连续时间模拟方法是一种基于时间连 续变化的模拟方法，通过模拟时间连 续变化的过程来逼近真实系统。
连续时间模拟方法的关键在于时间步 长的选择和状态变化的计算，需要保 证模拟结果的准确性和稳定性。
连续时间模拟方法适用于描述连续状 态变化的过程，如人口增长模拟、生 态系统模拟等。
06
随机过程的未来发展与挑战
控制系统
利用随机过程理论，分析和设计 控制系统，提高系统的稳定性和
目录
• 随机过程基础 • 随机过程的基本类型 • 随机过程的分析与变换 • 随机过程的应用 • 随机过程的计算机模拟 • 随机过程的未来发展与挑战
01
随机过程基础
随机过程的定义与分类
定义
随机过程是由随机变量构成的数 学结构，每个随机变量对应一个 时间点或位置。
分类
根据不同的特性，随机过程可以 分为离散随机过程和连续随机过 程，平稳随机过程和非平稳随机 过程等。
随机过程的统计特性
均值函数
方差函数
自相关函数
谱密度函数
描述随机过程的平均行 为。
描述随机过程的波动程 度。
描述随机过程在不同时 间点的相关性。
描述随机过程的频率特 性。
随机过程的概率模型
01
02
蒙特卡洛方法在金融、物理、工程等领域有广泛应用，如期权定价、核反应堆模拟 等。
离散事件模拟方法
离散事件模拟方法是一种基于 事件驱动的模拟方法，通过模 拟离散事件的发生和影响来逼 近真实系统。
离散事件模拟方法适用于描述 离散状态变化的过程，如交通 流模拟、排队系统模拟等。
离散事件模拟方法的关键在于 事件的时间点和顺序的确定， 以及事件影响的计算。
连续时间模拟方法
连续时间模拟方法是一种基于时间连 续变化的模拟方法，通过模拟时间连 续变化的过程来逼近真实系统。
连续时间模拟方法的关键在于时间步 长的选择和状态变化的计算，需要保 证模拟结果的准确性和稳定性。
连续时间模拟方法适用于描述连续状 态变化的过程，如人口增长模拟、生 态系统模拟等。
06
随机过程的未来发展与挑战
控制系统
利用随机过程理论，分析和设计 控制系统，提高系统的稳定性和
自考-概率论与数理统计课件(经管类)
贝叶斯定理
贝叶斯定理的表述
对于任何事件A和B，有P(B|A)=P(A∩B)/P(A)。
贝叶斯定理的应用
贝叶斯定理在统计推断、决策分析和机器学习等领域 有广泛的应用。
贝叶斯定理的推导
贝叶斯定理可以通过条件概率的定义和全概率公式进 行推导。
02 随机变量及其分布
离散随机变量
定义
离散随机变量是在一定区间内取有限个值的随机变量，通 常用整数或离散值表示。
04 数理统计基础
样本与抽样分布
总体与样本
总体是研究对象的全体，样 本是从总体中抽取的一部分 。
随机抽样
随机抽样是从总体中按照随 机原则抽取一部分个体的方 法。
抽样分布
抽样分布是描述样本统计量 的分布情况。
参数估计
点估计
点估计是利用样本数据对总体参数进行估计的 方法。
区间估计
区间估计是基于点估计，给出总体参数可能存 在的区间范围。
性质
随机变量的函数的概率分布可以 通过对原随机变量的概率分布进 行相应的运算得到。
03 数字特征与特征函数
期望与方差
期望
期望是概率论中用来度量随机变量取值的平均水平的数学工具，常用符号E表示。期望的计算公式为 E(X)=∑XP(X)，其中X是随机变量，P(X)是随机变量取各个可能值的概率。
方差
方差是用来度量随机变量取值分散程度的数学工具，常用符号D表示。方差的计算公式为 D(X)=E[(X−E(X))^2]，其中E(X)是随机变量的期望值。
市场调查数据分析
调查问卷设计
基于概率论与数理统计原理，设计有 效的调查问卷，确保数据收集的准确
性和代表性。
数据处理与分析
利用统计分析方法对市场调查数据进 行处理和分析，提取有价值的信息，
概率论与数理统计ppt课件
P( A) m( A)
m( )
(其中m( ) 是样本空间的度量, m( A) 是构成事件A 的子区域的度量) 这样借助于几何上的度量来合理 规定的概率称为几何概率. 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.
20
会面问题
例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不相 关. 求甲、乙两人能会面的概率.
(2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.
(3) 用下列公式计算:
P( A)
SA中中的的基基本本事事件件总数数
k n
16
例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
28
§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑
在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另 两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
m( )
(其中m( ) 是样本空间的度量, m( A) 是构成事件A 的子区域的度量) 这样借助于几何上的度量来合理 规定的概率称为几何概率. 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.
20
会面问题
例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不相 关. 求甲、乙两人能会面的概率.
(2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.
(3) 用下列公式计算:
P( A)
SA中中的的基基本本事事件件总数数
k n
16
例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
28
§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑
在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另 两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
《概率论于数理统计》PPT课件
这里固然有把哪个假设作为原假设从而引起检验结果不同这一原因；除此外还有一个根本的原因，即样本容量不够大．
若样本容量足够大，则不论把哪个假设作为原假设所得检验结果基本上应该是一样的．否则假设检验便无意义了！
由于假设检验是控制犯第一类错误的概率, 使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较慎重, 也就是 H0 得到特别的保护. 因而, 通常把有把握的, 经验的结论作为原假设, 或者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.
查表得 F0.05( 17, 12 ) = 2.59,
F0.95( 17, 12 ) =
拒绝外,故接受原假设, 即认为内径的稳定程度相同.
8.2.4 样本容量的选取
虽然当样本容量 n 固定时, 我们不能同时控制犯两类错误的概率, 但可以适当选取 n 的值, 使犯取伪错误的概率 控制在预先给定的限度内.
8.2 正态总体的参数检验
8.2.1 单个正态总体情况
1. 方差 已知，关于 的检验(u检验法)
(2) 选取检验统计量
~ N(0,1)
(1)
(3) 对给定的显著性水平 ，可以在N(0,1)表中查到分位点的值 ，使
得拒绝域为
W：
(4) 由样本观察值算出统计量的实测值
假设检验与置信区间对照
接受域
置信区间
检验统计量及其在 H0为真时的分布
枢轴量及其分布
0
0
（ 2 已知)
（ 2 已知)
原假设 H0
备择假设 H1
待估参数
接受域
置信区间
检验统计量及其在 H0为真时的分布
枢轴量及其分布
原假设 H0
备择假设 H1
待估参数
0
0
0
0
0
若样本容量足够大，则不论把哪个假设作为原假设所得检验结果基本上应该是一样的．否则假设检验便无意义了！
由于假设检验是控制犯第一类错误的概率, 使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较慎重, 也就是 H0 得到特别的保护. 因而, 通常把有把握的, 经验的结论作为原假设, 或者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.
查表得 F0.05( 17, 12 ) = 2.59,
F0.95( 17, 12 ) =
拒绝外,故接受原假设, 即认为内径的稳定程度相同.
8.2.4 样本容量的选取
虽然当样本容量 n 固定时, 我们不能同时控制犯两类错误的概率, 但可以适当选取 n 的值, 使犯取伪错误的概率 控制在预先给定的限度内.
8.2 正态总体的参数检验
8.2.1 单个正态总体情况
1. 方差 已知，关于 的检验(u检验法)
(2) 选取检验统计量
~ N(0,1)
(1)
(3) 对给定的显著性水平 ，可以在N(0,1)表中查到分位点的值 ，使
得拒绝域为
W：
(4) 由样本观察值算出统计量的实测值
假设检验与置信区间对照
接受域
置信区间
检验统计量及其在 H0为真时的分布
枢轴量及其分布
0
0
（ 2 已知)
（ 2 已知)
原假设 H0
备择假设 H1
待估参数
接受域
置信区间
检验统计量及其在 H0为真时的分布
枢轴量及其分布
原假设 H0
备择假设 H1
待估参数
0
0
0
0
0
《概率论与数理统计》课件
n
XXXX大学
单选题 1分
下列对古典概型说法正确的个数是 ( )。 A ①试验中可能出现的基本事件只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
B ③若基本事件总数为n ，事件 A 包括 k 个基本事件，则P(A) = k n ；
④每个基本事件出现的可能性相等。 C A. 0
B. 1 C. 2 D D. 3
柯尔莫哥洛夫
概率的公理化定义
概率的性质
频率方法：
频率= nA n
概率=频率的稳定值
Ⅰ.规范性 Ⅱ.非负性 Ⅲ.可列可加
Ⅰ.P( ) = 0 ； Ⅱ.有限可加性 Ⅲ.对
立事件概率Ⅳ.减法公式； Ⅴ加法公式
概率
三种计算方法
几何方法：一维线段的长度；
二维区域的面积； 三维立体的体积.
古典方法：
Ⅰ .随机试验中只有有限个可能的结果；
AB
A
B
A = (A− B) + AB 显然A− B与AB互斥
2
P(A) = P(A− B) + P(AB)
P(A− B) = P(A) − P(AB)
B 仁 A，则P(A− B) = P(A) − P(B). 显然P(A) > P(B)
1.3.2概率的公理化定义及其性质
P( ) = 0;
A1 , A2 , , An
A
B. P(AB) = 1− P(A) − P(B) + P(AB) C. P(AB) = P(A)P(B)
B
D. P(A− B) = 0
C
P(A− B) = P(A) − P(AB) ，排除选项 A。
D
1− P(A) − P(B) + P(AB)=P(A) −1+ P(B) + P(A B)
XXXX大学
单选题 1分
下列对古典概型说法正确的个数是 ( )。 A ①试验中可能出现的基本事件只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
B ③若基本事件总数为n ，事件 A 包括 k 个基本事件，则P(A) = k n ；
④每个基本事件出现的可能性相等。 C A. 0
B. 1 C. 2 D D. 3
柯尔莫哥洛夫
概率的公理化定义
概率的性质
频率方法：
频率= nA n
概率=频率的稳定值
Ⅰ.规范性 Ⅱ.非负性 Ⅲ.可列可加
Ⅰ.P( ) = 0 ； Ⅱ.有限可加性 Ⅲ.对
立事件概率Ⅳ.减法公式； Ⅴ加法公式
概率
三种计算方法
几何方法：一维线段的长度；
二维区域的面积； 三维立体的体积.
古典方法：
Ⅰ .随机试验中只有有限个可能的结果；
AB
A
B
A = (A− B) + AB 显然A− B与AB互斥
2
P(A) = P(A− B) + P(AB)
P(A− B) = P(A) − P(AB)
B 仁 A，则P(A− B) = P(A) − P(B). 显然P(A) > P(B)
1.3.2概率的公理化定义及其性质
P( ) = 0;
A1 , A2 , , An
A
B. P(AB) = 1− P(A) − P(B) + P(AB) C. P(AB) = P(A)P(B)
B
D. P(A− B) = 0
C
P(A− B) = P(A) − P(AB) ，排除选项 A。
D
1− P(A) − P(B) + P(AB)=P(A) −1+ P(B) + P(A B)
《概率论与数理统计》课件-随机过程
06
随机过程的未来发展与挑战
随机过程理论的发展趋势
随机过程与大数据的结合
随着大数据技术的快速发展，如何将随机过程与大数据分 析相结合，挖掘出更多有价值的信息和模式，是未来的一 个重要研究方向。
复杂系统中的随机过程
研究复杂系统中的随机过程，如金融市场、生态系统、社 交网络等，以揭示其内在的运行规律和动态特性。
02
随机过程的基本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ型
独立增量过程
总结词
描述随机过程中事件发生次数随时间变化的过程，其中每次事件的发生都是独立 的。
详细描述
独立增量过程是指随机过程中事件发生次数在不相重叠的时间区间内相互独立， 即每次事件的发生与其他时间点的事件无关。这种过程在保险、金融等领域有广 泛应用。
马尔科夫过程
总结词
描述一个随机系统在给定当前状态的情况下，未来状态只依 赖于当前状态的过程。
详细描述
马尔科夫过程是一种特殊的随机过程，其中下一个状态只与 当前状态有关，而与过去状态无关。这种过程在自然现象、 社会现象和工程领域中都有广泛的应用，如天气预报、股票 价格波动等。
泊松过程
总结词
描述随机事件在单位时间内按照恒定速率独立发生的随机过程。
该方法通过大量随机抽样，得到概率分布的近似结果，具有简单、灵活和通用性强 的特点。
蒙特卡洛方法在金融、物理、工程等领域有广泛应用，如期权定价、核反应堆模拟 等。
离散事件模拟方法
离散事件模拟方法是一种基于 事件驱动的模拟方法，适用于 描述离散状态变化的过程。
该方法通过跟踪系统中的事件 发生和状态变化，来模拟系统 的动态行为。
离散事件模拟方法在交通运输 、生产制造、通信网络等领域 有广泛应用。