18.2.3正方形(2)
18.2.3正方形的性质与判定课件
小结
性质 图形 平行四 矩形 边形 菱形 正方形
对边平行且相等 四条边都相等 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 每条对角线平分 一组对角
√
√ √
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√ √
√ √ √ √ √ √ √ √
√
正方形、矩形、菱形、平行四边形、四边形五者之间有什么关 系？
Ａ Ｅ Ｂ
Ｈ
Ｄ Ｇ
Ｆ
Ｃ
2.已知:如图,△ABC中.∠ABC=90°,BD是角 平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F. 试说明：四边形DEBF是正方形.
解:∵ DF⊥BC,DE⊥AB, ∴ ∠DEB= ∠DFB=90°, 又∵ ∠ABC=90°, ∴四边形DEBF是矩形
A
E
B
D F C
∵ BD平分∠ABC, DF⊥BC , DE⊥AB, ∴ DE= DF ∴四边形DEBF是正方形
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ C ） A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线平分一组对角 2.已知正方形的一条边长为2cm,则这个正方形的周长 2 8cm 4 cm 为 ,对角线长为 2 2cm ,面积为 . 3.已知正方形的一条对角线长为4cm,则它的边长 2 为 2 2cm ， 面积为 8cm 。 4.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P 为AB上任意一点,PE⊥AC,PF⊥BD,E、F为 垂足,则PE+PF=5cm 。
已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别在 AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判 断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
证明：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠ABC=∠BCD=90°； AB=AD=DC=BC （正方形的四条边都相等，四个角都是直角） 又∵ AE=BF=CG=DH ∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF 即BE=AH=DG=CF ∴ △AEH≌△BFE≌△CGF ≌△DHG．
18.2.3正方形的判定【预习】
正方形的判定预习学习目标： 1.会证明正方形的判定定理.2.能综合运用正方形的判定定理进行计算与证明.学习重点：正方形的判定方法学习难点：正方形判定定理的综合应用．学习过程：一、自主探究（一）知识梳理1．叫正方形．2.由定义得正方形的判定方法：（1）的矩形叫正方形．（2）的菱形叫正方形．（3）既是又是的四边形叫正方形．3．你能用集合的观点表示出平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系吗？(二)证明：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形．（2）有一个角是直角的菱形是正方形．（三）动手操作：（1）用直尺和圆规作正方形；（2）把长方形的纸片通过折纸，剪出一个正方形纸片.说说你作图和剪纸的理由.D B C AEF 二、自主合作1.例1．如图，已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是∠ACB 的平分线，交AB 于D ，作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ．求证：四边形DECF 是正方形．2.例2：如图，以△ABC 的边AB 、AC 为边的等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，四边形ADFE 是平行四边形． （1）当∠BAC 满足 时，平行四边形ADFE 是矩形．（2）当△ABC 分别满足什么条件时，四边形ADFE 是正方形？ 并说明理由．三、自主展示1．判断下列命题是否正确，并说明理由.(1)有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形;(2)有一个角是直角的平行四边形是正方形;(3)对角线相等的菱形是正方形;(4)对角线互相垂直的矩形是正方形;（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;（6）一个角是直角且对角线互相平分且相等的四边形是正方形;2．已知，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则下列能判断它是正方形的条件的是：（ ）A ．AO=BO=CO=DO AC ⊥BDB ．AC=BC=CD=DAC ．AO=CO ，BO=DO ，AC ⊥BD D ．AB=BC CD ⊥DA3．证明：对角线互相垂直的矩形是正方形．4．证明：对角线相等的菱形是正方形．四、自主评价1.本节课你学到了哪些知识？2.本节课中你最大的收获是什么？ F E D C B A。
人教版八年级数学下册18.2.3正方形性质(教案)
5.激发对数学几何图形的兴趣，培养数学审美和学科素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-正方形的定义及特征：确保学生理解正方形是一种特殊的矩形，具有四条边相等、四个角都是直角的特点。
-正方形的性质：强调正方形四条边相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相等的核心性质。
4.正方形对角线与边长的关系，即对角线将正方形平分成长度为边长一半的小正方形；
5.运用正方形性质解决实际问题。
二、核心素养目标
1.理解并掌握正方形的定义、性质及判定定理，提高空间观念和几何直观能力；
2.能够运用正方形性质解决实际问题，增强数学应用意识和问题解决能力；
3.通过探索正方形性质，培养推理能力和逻辑思维能力；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正方形的基本概念。正方形是四条边相等、四个角都是直角的特殊平行四边形。它在几何图形中具有重要地位，广泛应用于日常生活和建筑等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过观察正方形的实物模型，分析其性质和特点。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正方形的性质和判定定理这两个重点。对于难点部分，如对角线性质，我会通过举例和图形演示来帮助大家理解。
人教版八年级数学下册18.2.3正方形性质（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学下册18.2.3正方形性质。本节课我们将学习以下内容：
1.正方形的定义及特征；
2.正方形的性质，包括四条边相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相等；
3.正方形的判定定理，即有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形；
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
初中数学 正方形(第2课时) 教案1
∴四边形ABDE是平行四边形.
（2）由第（1）问知，AB∥DC，
∴四边形ABCD是梯形.
∵DB平分∠ADC，∠BDC=30°,
∴∠ADC=∠BCD=60°，
∴四边形ABCD是等腰梯形,∴BC=AD
∵在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30°,
∴∠DBC=90°.
∴∠AMB＝∠DAM，∠DMC＝∠ADM.
∴∠AMB＝∠DMC.
又∵点M是BC的中点，∴BM＝CM.
∴△AMB≌△DMC.
∴AB＝DC，四边形ABCD是等腰梯形.
【解析】（1）∵∠ABC=120°，∠C=60°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥DC，即AB∥ED.
又∵∠C=60°，∠E= ∠C，∠BDC=30°.
答案解析
1.【解析】选B.全等三角形有△ABD≌△DCA,△ABC≌△DCB,△ABO≌△DCO.
2.【解析】选B.作AE⊥BC，垂足为E.
∵∠B=60°,∴∠BAE=30°,
∴BE= AB=1,
∵AB=CD=AD=2,∴梯形ABCD是等腰梯形,
∴BC=1+2+1=4.
3.【解析】选D.∵∠A∶∠B∶∠C∶∠D=3∶3∶5∶5,
备课人
学科
数学
备课
时间
课时
安排
一课时
课题
18.2.3正方形第二课时
教学
目标
知识目标
掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
能力目标
．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别
情感、态度、价值观目标
在探究讨论中养成与他人合作交流的习惯;在性质应用过程中培养独立思考的习惯;在数学活动中获得成功的体验,提高克服困难的勇气和信心。
18.2.3正方形的判定
思考：如果是平行四边形呢？
有一组邻
边相等 有一个角 有一个角 是直角 有一组邻 边相等 ）+平行四边形=正方形。
是直角
（ ）+ （
有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形 是正方形。
判断下列命题哪些是真命题、哪些是假命题？
1、对角线相等的菱形是正方形 2、对角线互相垂直的矩形是正方形
（ 真） （真 ）
变式：在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ `，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别是ＡＢ，Ｂ Ｃ，ＣＤ，ＤＡ的中点，四边形Ａ `Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？
Ａ D` Ｄ
Ａ`
C`
Ｂ B`
Ｃ
例.如图，分别延长等腰直角三角 形OAB的两条直角边AO和BO，使 AO=OC，BO=OD
求证：四边形ABCD是正方形。
A O B D
3、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
（假 ）
4、四条边都相等的四边形是正方形 （假 ） 5、四个角都相等的四边形是正方形
（假 ）
6、四边相等，有一个角是直角的四 （真 ） 边形是正方形.
7、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正 方形 （ 真 ）
1.已知：在△ABC中， ∠ACB＝90°，CD平分 ∠ACB，DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别为E、 F． 证明： 求证： 四边形 是正 ∵ ∠DEC＝∠ ECF＝∠CFDE CFD＝90 °， 图 20.4.1 ∴ 四边形CFDE是矩形. 方形．
∵ CD平分∠ACB， DE⊥BC， DF⊥AC， ∴ DE＝DF． ∴ 矩形CFDE是正方形．
变式：在△ABC中，AB=AC,D是BC的中 点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F. (1)试说明：DE=DF (2)只添加一个条件，使四边形EDFA是正 方形.（不另外添加辅助线） A
18.2.3正方形的判定
B
D
)
A
有三个角是直角的四边形是矩形
∴四边形ABCD是正方形（
有一组邻边相等的矩形是正方形 )
例3：如图，已知Rt△ABC中，∠C=900，∠A、 ∠B的角平分线相交于点D，DE⊥BC于点E， DF⊥AC于点F， 求证：四边形AEDF是正方形。
A
D
M
F
C B E
例4：已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分 别在AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH, 试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
A
E P F B
O
D
C
例5、如图，点M是矩形ABCD边AD的中点，2AB＝AD， 点P是边BC上一动点，PE⊥MC，PF⊥MB，垂足分别为 E、F，求点P运动到什么位置时，四边形PEMF为正方形？
A F B M E C D
P
2、已知，如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， 垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线， CE⊥AN垂足为点E，
正方形的判定方法3
有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. 求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可 转化为证明有一组邻边相等的矩形即可. 证明: ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别是 AB 、BC 、CD 、DA的中点,试判断四边形 EFGH是正方形吗?为什么?
Ａ Ｈ
Ｄ
Ｅ
Ｇ
Ｂ
Ｆ
Ｃ
设计花坛
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路 使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的 四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？
人教版八年级数学下册18.2.3正方形的性质及判定教案
最后，今天的总结回顾环节，同学们能够较好地概括出正方形的性质和判定方法，说明他们对本节课的知识点有了较好的掌握。但在提问环节，我发现有些同学对自己的疑问表达得不够清晰，可能是他们对自己的问题认识不够准确。在以后的教学中，我会更加关注学生的疑问，引导他们准确地表达自己的问题，并给予耐心解答。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正方形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，如对角线垂直平分性质和判定方法的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正方形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直尺和量角器测量正方形的对角线，验证其互相垂直平分的性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正方形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
人教版八年级数学下册18.2.3正方形的性质及判定教案
一、教学内容
人教版八年级数学下册18.2.3正方形的性质及判定：
1.正方形的定义及性质：准确理解正方形的定义，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分等性质。
18.2.3正方形的性质与判定
18.2.3正方形的性质一、学习准备：1、有一组相等并且有一个角是的平行四边形叫做正方形。
有一个角是的菱形叫做正方形；一组相等的矩形叫做正方形。
2、正方形既是，又是，所以它具有和的性质：（1）正方形的四个角都是，四条边都；（2）正方形的对角线且，每条对角线平分；（3）正方形是图形，的交点是它的对称中心；（4）正方形是图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴。
如上图，画出该正方形的对称轴。
3、如图，正方形ABCD的对角线把它分成了个三角形，它们是三角形，它们全等吗？请简单说明理由。
二、学习目标：1．理解正方形的定义，掌握正方形的性质和判定；2．能运用正方形的性质和判定进行简单的计算与证明．三、自学提示：（一）自主学习：1、正方形具有而一般菱形不具有的性质是（）A. 四条边都相等B. 对角线互相垂直平分C. 对角线相等D. 每一条对角线平分一组对角2、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（）A. 四个角相等B. 四条边相等C. 对角线互相平分D. 对角线相等3、已知一个正方形的边长为2cm，则对角线长为。
4、已知一正方形的对角线长为2cm，则它的边长为。
5、若正方形的一条对角线长为4cm ，则正方形的周长为 ，面积为 ；对角线的交点到边的距离为 。
（二）合作探究：6、顺次连接正方形各边中点，得4个等腰直角三角形，则每个小三角形的面积为原正方形面积的 。
7、如图，四边形ABCD 是正方形，∠CAB 是多少度？为什么？至少用两种方法说明理由。
四、学习小结： 五、夯实基础：1、如上图正方形有哪些性质？（1）边的性质： 。
（2）角的性质： 。
（3）对角线的性质： 。
2、正方形是轴对称图形，它的对称轴有 条，正方形也中心对称图形，它的对称中心是 。
3、已知一正方形的对角线长为6cm ，则它的边长为 。
4、选择题（1）正方形的边和对角线构成的等腰直角三角形共有（ ） A 、4个 B 、6个 C 、8个 D 、10个（2）如图，在正方形ABCD 中，∠DAE ＝25°，AE 交对角线BD 于E 点， 那么∠BEC 等于（ ）A 、45°B 、60°C 、70°D 、75°（3）如图，在正方形ABCD 中作等边△AEF ，则∠AFD 的度数为（ ） A 、40° B 、75° C 、50° D 、55°5、如图，在正方形ABCD 是，E 为对角线AC 上一点，连结EB 、ED 。
人教版数学八年级下册教学设计 18.2.3《 正方形 》
人教版数学八年级下册教学设计 18.2.3《正方形》一. 教材分析人教版数学八年级下册第18章是关于几何图形的教学，其中18.2.3《正方形》是本章的重要内容。
本节主要让学生掌握正方形的性质，理解正方形与平行四边形的联系与区别，学会正方形的判定方法，并能够运用正方形的性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了矩形、菱形的相关知识，对平行四边形的性质有了深入的理解。
但正方形作为一种特殊的平行四边形，其性质和平行四边形存在很大的差异，学生需要通过实例和证明来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解正方形的性质，学会正方形的判定方法，能够运用正方形的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、证明等方法，让学生体验从特殊到一般的数学思想，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学的美，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：正方形的性质，正方形的判定方法。
2.难点：正方形性质的证明，正方形与其他四边形的联系与区别。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生发现正方形的存在，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：提出问题，引导学生思考，培养学生解决问题的能力。
3.合作学习法：分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作意识。
4.归纳总结法：引导学生总结正方形的性质，培养学生总结归纳的能力。
六. 教学准备1.准备相关的图片和实例，用于导入和讲解。
2.准备黑板和粉笔，用于板书。
3.准备练习题，用于巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的正方形实例，如魔方、瓷砖等，引导学生发现正方形的存在，激发学生的学习兴趣。
同时，提出问题：“正方形是什么？它有什么特殊的性质？”让学生思考。
2.呈现（10分钟）讲解正方形的性质，如四条边相等、四个角都是直角等。
同时，通过证明来说明正方形的性质，如利用勾股定理证明正方形的对角线相等。
人教版数学八年级下册18.2.3《正方形》教学设计
人教版数学八年级下册18.2.3《正方形》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册18.2.3《正方形》是学生在学习了矩形、菱形的基础上，对正方形的性质和判定进行深入探讨的一节课。
本节课的主要内容有：正方形的性质，正方形的判定，以及正方形在实际生活中的应用。
正方形是四边相等、四角为直角的四边形，具有独特的性质和判定方法。
通过本节课的学习，使学生掌握正方形的性质和判定，提高他们的空间想象能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了矩形和菱形的性质和判定，对平行四边形的性质也有了一定的了解。
但正方形作为特殊的长方形和菱形，其性质和判定方法与它们有所不同，需要学生进行进一步的探究。
此外，正方形在实际生活中的应用也是学生需要了解和掌握的内容。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握正方形的性质和判定，能运用正方形的性质和判定解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等方法，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.正方形的性质和判定。
2.正方形在实际生活中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置情境，让学生在实际问题中感受正方形的特点和作用。
2.启发式教学法：引导学生通过观察、操作、猜想、验证等方法，自主探究正方形的性质和判定。
3.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论、交流，共同解决问题，提高他们的合作能力。
六. 教学准备1.教具：正方形模型、矩形模型、菱形模型、多媒体课件。
2.学具：学生用书、练习册、笔记本、铅笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示正方形模型、矩形模型、菱形模型，引导学生观察它们的特点，提出问题：“你能找出这些图形的共同点和不同点吗？”学生在观察和思考后，得出正方形的特殊性质。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，呈现正方形的性质和判定方法，引导学生进行学习。
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18.2.3 正方形(2)
一、教学目的
1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平
行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的
逻辑思维能力．
二、重点、难点
1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
三、例题的意图分析
本节课安排了1个例题，是补充的题目．其中例1与例2是正方形性质的应
用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3是正方形判定的应用，
它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正
方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃
学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：
①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？
②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？
③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什
么条件？
④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？
四、课堂引入
1.复习正方形的性质
2.例题
例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分
别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直
线MB、DN分别交l2于Q、P点．
求证：四边形PQMN是正方形．
分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM
≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．
证明：∵ PN⊥l1，QM⊥l1，
∴ PN∥QM，∠PNM=90°．
∵ PQ∥NM，
∴ 四边形PQMN是矩形．
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是
直角）．
∴ ∠1+∠2=90°．
又 ∠3+∠2=90°， ∴ ∠1=∠3．
∴ △ABM≌△DAN．
∴ AM=DN． 同理 AN=DP．
∴ AM+AN=DN+DP
即 MN=PN．
∴ 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
五、课后练习
1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是
CB的延长线上一点，且DE=BF．
求证：EA⊥AF．
2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE
⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．
3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF
平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．
4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角
形，
求∠EAD与∠ECD的度数．
【教学反思】