北大理论力学作业

3.5. 一个自由度为4的理想、完整、稳定约束 的保守力学体系，广义坐标为qα , α = 1, . . . 4, 相应的势能和动能二次式的系数矩阵分别为
图上标出. (2)若 已 知 轮 心O作 匀 加 速 运 动,加 速 度 为a,求 最 高 点B 的 加 速 度 的 大 小 和 方
5
B A O
FIG. 16:
第五章
5.1.
刚体动力学（13）
negligible thickness with mass m, suspended in a vertical plane by one end. At the other end a uniform disc of radius a and mass M is attached so it can rotate freely in its own plane, which is the vertical plane(Fig. 16). Set up the equations of motion in the Lagrangian
2 2 2 2 2 简并度是多少？(ω1 = ω2 = ω3 = ω0 , ω4 = 2 2ω0 )
1 0 0
0

1 0 0
0

O M
k
C k m
FIG. 11:
O M
3.3. 在2根自然长度为l0 ，弹性系数为k的弹 簧下端悬一细棒（l, m），体系限于铅垂平 面内因两弹簧的不同伸缩情况而运动（Fig. 10），1）通过求解本征值问题求体系小振动 的频率和运动；2）通过分析简正模式，求本 征频率和简正坐标。
第三章
2.5. 完全相同的小球组成的均匀、平行射束 从远处以初速度v0 射向月球，求能击中月球 的碰撞总截面，用月球半径a，月球的逃逸速 度u，和v0 表示。
小振动（5）
3.1. 两质点由三个弹簧联结在同一直线上运 动，质点的质量都是m，三个弹簧的自然长度 和弹性系数都分别是l0 和k ，两固定端点之间 的距离为3l0 （Fig. 8）。1）求体系的小振动 频率；2）如果每个质点都带正电荷q，再求 体系小振动频率。
线y = y (x), z = z (x)上 运 动 ， 质 点 受 到 的 主 动 力 为Fx = ϕ(x)，Fy = ψ (x)， 和 重 力Fz = −mg 。1. 求 该 质 点 的Lagrange 方 程 。2. 如 曲 线 方 程 为y = 0, z = −x; Fx = ϕ(x) = mgx/2c, Fy = ψ (x) = 0，其中c > 0。 由 “1.” 写 出 该 情 形 下 的Lagrange方 程 ， 求出该方程的任意一特解，并给出其物 理 解 释 ；3. 再 求 “2.” 中 的 方 程 的 通 解 ； 如t = 0时 ，x = 0, x ˙ = 0， 求 该 质 点 的 运 动。( mx ¨(1 + y + z ) + mx ˙ (y y + z z ) =
第四章
3.4. 把 二 氧 化 碳 分 子CO2 简 单 看 作 如Fig. 11所示的一维力学体系，处于平衡位置时， 整个体系关于C对称。1）取3个原子偏离平衡 位置的坐标x1 , x2 , x3 为广义坐标，求小振动的 频率。2）再取x2 − x1 和x3 − x2 为广义坐标， 求小振动频率，与1）比较，可以得到什么结 论？ 4.1.
l
O A
l C
FIG. 4:
l
FIG. 5:
1.7. 证明带电粒子在稳定外电磁场中的能量 积分是T + eϕ = const。
第二章
有心运动（6）
2.1. 在地球赤道处以第一宇宙速度的一半和 仰角45◦ 发射一物体，求该物体以OA为极轴的 轨道方程(Fig. 5)。
1.8.
一 质 量 为 m的 质 点 限 于 一 光 滑 的 曲
3.2. 一杆OA(m, l)绕固定点O在铅垂平面内摆 动，另一杆AB (m, l)绕A在同一铅垂面内运动 （Fig. 9），求双杆体系作小摆动时的频率和 运动。
4 （ω0 > 0）：
l l0 k l, m
FIG. 10:

l0
k
0 1 0 0 2 (V ) = ω , 0 0 2 −2 0 0 0 −2 3 0 1 0 0 (T ) = , 0 0 1 −1 0 0 −1 2 (1) 求该体系的小振动解,并由求出的本征矢量 判断哪几个广义坐标已是简正坐标； (2) 找出全部简正坐标，并求出其小振动解； (3) 已知(T )为无量纲的量，问(V ), q 的量纲是 什么？ (4) 在以上求出的4个ω 2 中，哪些是简并的？
a
FIG. 12:
ω'
b
ω
O'
O
A a O v2
v1
FIG. 14:
Z A O
α
FIG. 13:
向(t = 0, vo = 0Leabharlann .XFIG. 15:
Y
4.3. 半径为a的圆柱夹在互相平行的两板间,两 板分别以v1 , v2 反向运动(Fig. 13), 若圆柱和板 之间无滑动,求 (1) 圆柱瞬心的位置; (2) 圆柱与上板的接触点A的加速度(A点是圆 柱上的点).
4.6. (Goldstein, p185, pr.8) If A is the matrix of a rotation through 180◦ about any axis, show
6 that if 1 P± = (1 ± A), 2 2 then P± = P± . Find a geometric interpretation of the operation P+ and P− on any vector F. (Hint: A2 = 1, projection operator)
2.6. (Goldstein, p121, pr.2) A particle moves in a central force field given by the potential V = −k e−aρ , ρ
where k and a are positive constants. Using the method of the equivalent one-dimensional potential discuss the nature of the motion, stating the range E appropriate to each type of motion. When are circular orbits possible? Find the period of small radial oscillations
刚体运动学（7）
证 明 （1）Tijk Uki 为 矢 量 ，
（2）δij = ∂xi /∂xj 为2阶 张 量 ， （3）2阶 张量的各对角线分量之和为不变量（即标 量）。
4.2. 一 半 径 为R的 轮 子 在 水 平 面 上 作 纯 滚 动,如Fig. 12所示. (1) 若已知轴心O的速度vo =常数. 求轮边上 任一点A的速度和加速度的大小及方向,并在
理论力学习题
（ 2015年 3月–7月 ）
第一章
Lagrange 方程（9）
1.1. 设 在 图 示 的 曲 柄 连 杆 结 构 中 ， 曲 柄 端 点A处所受的铅垂力Q与活塞D处所受的水平 力P维持平衡。用虚功原理求Q/P(Fig. 1)。 1.2. 一 弹 性 绳 圈 （ 自 然 长 度 为l0 ,弹 性 系 数 为k ，单位长度质量为σ ）水平地套在一固定 的光滑球面（半径为R，且2πR > l0 ）上， 它因自重而下滑。用虚功原理求其平衡方 程(Fig. 2)。 1.3. 一质点在半径为a的园环上运动。园环平 面保持竖直，并绕其过圆心的竖直轴以匀角 速度ω 转动。写出质点在重力作用下的运动方 程和初级分。ω 小于何值才能使质点不在底部 的另一处平衡，并求此位置。
FIG. 3: FIG. 2:
O
θ
m1 O
m2
1.4. 一小球m1 在光滑水平桌上运动。另一个 小球m2 通过桌上小孔用一根用一根不能伸长 的轻绳与m1 连接。写出该体系的拉氏量和初 级分(Fig. 3)。
1.5. 瓦特调速器如图所示，设4根轻杆的长度 都是l，两个小球的质量均为m，质量为M 的 套管C可沿z 轴滑动。写出体系的拉氏量、拉 氏方程和初级分（Fig. 4）。
O l, m
M
4.7. (Goldstein, p185, pr.7) The body set of axes can be related to the space set in terms of Euler’s angles by the following set to rotations: 1) Rotation about the X axis by an angle θ. 2) Rotation about the z axis by an angle ϕ. 3) Rotation about the Z axis by an angle ψ . Show that the sequence leads to the same elements of the matrix of transformation as the sequence of rotations given in the class.(Hint: It is not necessary to carry out the explicit multiplication of the rotation matrices.) 5.4.（Goldstein, p239, pr.11）A plane pendulum consists of a uniform rod of length l and 从求解本征值问题找出主轴坐标系的三 个轴的方向及其主转动惯量。简述简并的 本 征 值 的 物 理 后 果 。(I1 = I2 = 11I0 , I3 = 2I0 ; (−1, 0, 1), (−1, 1, 0), (1, 1, 1))