37完全弹性碰撞完全非弹性碰撞详解

§3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
一、定义
1.碰撞： 两个或两个以上的物体在相遇的极短促 时间内产生非常之大的相互作用力，而其他的相 互作用力相对来说显得微不足道的过程。 其主要特征是动量守恒。 如打桩，基本粒子在加速器中的散射，两球组 成的系统发生的对心碰撞。
两球在踫撞前的相对速度沿着两球心的连线的碰撞。
解：分阶段、分系统、不同过 程用不同的力学规律求解。 ①泥球自由下落过程;
m
h
M
• •
x0
0
系统：泥球、地球
W ex

W in nc

0
k xv
选M(x=0)处为重力势能零 点，系统机械能守恒。
mgh 1 mv2 2
②泥球与板发生非弹性碰撞； 系统：泥球m、板M；由于撞击力(内力)>>系统外 力：重力、弹性恢复力，系统的动量守恒。
一个封闭系统内经历任何变化时，该系统的所有能 量的总和保持不变。这是普遍的能量守恒定律。
即对于一个与自然界无任何联系的系统来说， 系统内各种形式的能量是可以相互转换的，但是 不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭。 这一结论叫做能量守恒定律，它是自然界的基本 定律之一。
在能量守恒定律中，系统的能量是不变的，但能 量的各种形式之间却可以相互转化。
动量守恒： m1v10 m2v20 m1v1 m2v2
碰撞定律： 碰撞后两球的分离速度（v2-v1）与碰撞 前两球的接近速度（v10-v20）成正比。 比值由两球的质料决定。
e v2 v1 v10 v20
e 称为恢复系数
弹性碰撞： e =1 （v2-v1）= （v10-v20） 非弹性碰撞： 0 < e < 1
m1vv10 m2vv20 m1vv1 m2vv2
分类：弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞
2.弹性碰撞： 碰撞后物体的变形可以完全恢复， 且碰撞前后系统的总机械能守恒。
v10 v20
v1
v2
动量守恒： m1v10 m2v20 m1v1 m2v2
动能守恒：
1 2
m1v120
运动，在最高点时，摆线中的张力T=0。则有：
mg mv2 l
联立求解，可得子弹 所需速率的最小值：
v 2m m
5gl
例：如图所示，一倔强系数为k的竖直弹簧一端与质
量为M的水平板相联接，另一端与地面固定。一个质
量为m的泥球自距离板M上方h处自由下落到板上。求
此后泥球与平板一起向下运动的最大位移？
完全非弹性碰撞： e =0 v2=v1
总之：碰撞问题属于系统的动量守恒定律问题，而弹 性碰撞和非弹性碰撞之分是与机械能守恒与否有关。
举例 教材P105 习题3-28：如图所示，质量为 m
的子弹水平地穿过摆锤后，速率由 v 减少到 v 2 。
已知摆锤的质量为 m，摆长 l 。如果摆锤恰能在
垂直平面内完成一个完全的圆周运动，求子弹速度
有：
mv

m
v 2

mv0
②摆锤作铅直圆周运动，取摆锤与地球为系统，受
重力Mg（保守性内力）和摆线拉力T（系统的外力）
作用，在上述运动过程中，拉力T处处垂直于位移，
故不作功。则系统的机械能守恒。
选最底点为重力势能零点，则有：
1 2
mv02

2mgl

1 mv2 2
③为使摆锤恰能在垂直平面内完成一个完全的圆周
动量守恒： m1v10 m2v20 (m1 m2 )v
v m1v10 m2v20
机械能损失：
m1 m2
E

Ek 0

Ek

1 2
(m1

m2
)v
2

(
1 2
m1v120

1 2
m2v220 )
E m1m2 (v10 v20 )2 2(m1 m2 )
4.非弹性碰撞： 碰撞后物体的变形只有部分恢复， 系统有部分机械能损失。
mv (m M )V ～取向下为正
③泥球、板共同向下运动过程; 系统：泥球、平板、地球 W ex 0,Wnicn 0 系统机械能守恒。
选平板M(x=0)原始位置为重力势能零点，此时弹
簧压缩量为 x0 ，选 x0 位置为弹性势能零点，
所求最大位移为 x，则有：
1 2
kx2 0

1 2
yc
i
m
mi zi
zc
i
m
质量连续分布时：
xc

1 m

xdm
yc
1 m来自ydmzc
1 m

zdm
的最小值应多少？不计一切摩擦。
vv
解： 该题可分为两个过程： ①子弹射穿摆锤的过程。
v T
mgv
l
o
以子弹与摆锤作为一系统，由于 穿越过程的时间很短，重力和绳 的张力在水平方向的冲量远小于
m
v T
m
vv
mgvxv vv 2
冲击力的冲量。因此，系统在水平方向不受外力的 冲量的作用，系统沿水平方向的动量守恒。

1 2
m2v220

1 2
m1v12

1 2
m2v22
解得：
v1
m1 m2 v10 2m2v20 m1 m2
v2
m2 m1 v20 2m1v10 m1 m2
3.完全非弹性碰撞：
碰撞过程中物体的变形完全不能恢复，以致两
物体合为一体一起运动，即两物体在非弹性碰撞 后以同一速度运动。系统有机械能损失。
(m
M )V
2

1 2
k(x

x0 )2
(m

M )gx
由初始平衡条件：Mg kx0
联立求解，得： x mg (1 1 2kh )
k
(m M )g
§3-8 能量守恒定律
封闭系统：不受外界作用的系统。（孤立系统） 封闭系统内有非保守力做功时，机械能不守恒， 能量的形式可能变化，也可能在物体之间转移。
, ..., ...,
rmvi ,i ,......,,
mrvNN
r
r
质心的位矢：
(m’ 为总质量)
r rc
i
mi ri
i
mi ri
mi
m
i
质心的位矢随坐标系的选取而变化，但对一个质点 系，质心的位置是固定的。
直角坐标系中的分量式为：
mi xi
xc
i
m
mi yi
例：机械能、电能、热能、光能以及分子、原子、 核能等等能量之间都可以相互转换
在能量转换的过程中，功是能量变化的量度。在 机械运动范围内，功是机械能变化的唯一量度。 注意：功是过程量，能量是状态量。
§3-9 质心 质心运动定律
1、质心：质点系的质量中心 质点系 N个质点
质量： 位矢：
mrv11,,rvm2 ,2