(江苏专用)2017版高考数学 专题7 不等式 51 基本不等式的基本功” 文
三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第七章不等式第四节基本不等式及应用课时跟踪检测理
课时跟踪检测（三十九） 基本不等式及应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________．解析：∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，∴ab 的最大值为14.答案：142．(2016·盐城调研)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为________．解析：因为a >0，b >0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，则4a －1＋16b －1＝4 b －1 ＋16 a －1a －1b －1 ＝4b ＋16a －20ab － a ＋b ＋1＝4b ＋16a －20.又4b ＋16a ＝4(b ＋4a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝20＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫b a＋4a b ≥20＋4×2b a ·4a b ＝36，当且仅当ba＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号，所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16. 答案：163．已知a ＋b ＝t (a ＞0，b ＞0)，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t ＝________. 解析：因为a >0，b >0时，有ab ≤ a ＋b 24＝t 24，当且仅当a ＝b ＝t 2时取等号．因为ab的最大值为2，所以t 24＝2，t 2＝8，所以t ＝8＝2 2.答案：2 24．(2016·常州一模)已知x >0，则xx 2＋4的最大值为________．解析：因为x x 2＋4＝1x ＋4x，又x ＞0时，x ＋4x≥2x ×4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号，所以0<1x ＋4x≤14，即x x 2＋4的最大值为14. 答案：145．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．解析：依题意得a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |·|2b |＝22|ab |＝2100＝20，当且仅当|a |＝|2b |＝10时取等号，因此|a ＋2b |的最小值是20.答案：20二保高考，全练题型做到高考达标1．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是________．解析：由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4.当且仅当a ＝b ＝1时取等号． ∴m ＋n 的最小值是4. 答案：42．(2015·湖南高考改编)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为________．解析：由1a ＋2b＝ab ，知a ＞0，b ＞0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2. 答案：2 23．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：每批生产x 件，则平均每件产品的生产准备费用是800x元，每件产品的仓储费用是x 8元，则800x ＋x 8≥2 800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时“＝”成立，∴每批生产产品80件．答案：804．(2016·重庆巴蜀中学模拟)若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是________．解析：1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1a ＋1＋4b ＋1 a ＋1 ＋ b ＋1 4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4＋b ＋1a ＋1＋ 4 a ＋1 b ＋1 ≥14(5＋24)＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4 a ＋1 b ＋1，即a ＝13，b ＝53时取等号．所以1a ＋1＋4b ＋1的最小值是94. 答案：945．若一元二次不等式ax 2＋2x ＋b >0(a >b )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－1a ，则a 2＋b 2a －b 的最小值是________．解析：由一元二次不等式ax 2＋2x ＋b >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－1a ，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4ab ＝0且a >0，a ×1a 2－2a＋b ＝0，所以ab ＝1且a >0.又已知a >b ，所以a 2＋b 2a －b ＝ a －b 2＋2aba －b＝(a －b )＋2a －b ≥22，当且仅当a －b ＝2a －b 时取等号．所以a 2＋b2a －b的最小值是2 2.答案：2 26．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________． 解析：因为x 2＋y 2－xy ＝1，所以x 2＋y 2＝1＋xy . 所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2. 当且仅当x ＝y ＝1时等号成立． 所以x ＋y 的最大值为2. 答案：27．(2016·青岛模拟)已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为________．解析：因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 2 2－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2，y ＝1时等号成立， 所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1. 答案：18．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________．解析：1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0， ∴k ＝1或k ＝－2(舍)， ∴k ＝1.∴f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立．答案：1 39．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x 4－2x 的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥2 3－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)∵0<x <2， ∴2－x >0，∴y ＝x 4－2x ＝2·x 2－x ≤ 2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x 4－2x 的最大值为 2. 10．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·南京名校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则3a ＋2b的最小值为________．解析：不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由z ＝ax ＋by 得y ＝－a b x ＋z b，当z 变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－a b ，在y 轴上的截距为z b，由图可知当直线经过点A (4,6)时，在y 轴上的截距最大，从而z 也最大，所以4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，所以3a ＋2b ＝2a ＋3b 6·⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋6＋4a b ＋9b a ≥4，当且仅当a ＝32，b ＝1时等号成立．所以3a ＋4b的最小值为4.答案：42．(2015·南京二模)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)．若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1≥3(x ∈N *)，则(3－a )x ≤x 2＋8，即3－a ≤x ＋8x .因为x ＋8x≥28＝42，当且仅当x ＝22时取等号，又x ∈N *，当x ＝2时，x ＋8x＝6；当x ＝3时，x＋8x ＝3＋83<6，因此x ＋8x 的最小值为3＋83，于是3－a ≤3＋83，即a ≥－83. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞3．(2016·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积．．．为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值．解：(1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450， 所以2x ＋7 200x≥22x ×7 200x＝240，当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形为区域的总面积最大，最大为676 m 2.。
专题7.3 热点题型二 基本不等式-奇招制胜2017年高考数
【基础知识整合】 1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)类型一 利用基本不等式证明不等式【典例1】【2015河北省永年二中期中】下面四个不等式：（1）a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ac ；（2）a （1－a ）≤14；（3）b a ＋a b≥2；（4）（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）≥（ac ＋bd ）2；其中恒成立的有 个 【答案】3【变式训练1】已知a >0，b >0，给出下列四个不等式：①a ＋b ＋1ab≥22；②(a ＋b )(1a ＋1b)≥4；③a 2＋b 2ab≥a ＋b ；④a ＋1a ＋4≥－2. 其中正确的不等式有________(只填序号)． 【答案】①②③【变式训练2】若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________．(写出所有正确命题的编号)①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.【答案】①③⑤【解析】对于命题①，由2＝a ＋b ≥2ab ，得ab ≤1，命题①正确；对于命题②，当a ＝b ＝1时，不成立，∴命题②错误；对于命题③，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，命题③正确；对于命题④，当a ＝b ＝1时，不成立，∴命题④错误；对于命题⑤，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab≥2，命题⑤正确．∴正确的结论为①③⑤. 【解题技巧与方法总结】利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．类型二、 利用基本不等式求最值【典例3】【2015高考湖南，文7】若实数,a b 满足12a b+=，则ab 的最小值为( )A 、2 C 、、4 【答案】C【变式训练】【2015高考天津，文12】已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值.【答案】4【解析】()()()()22222222log log 211log log 2log 2log 164,244a b a b ab +⎛⎫⋅≤=== ⎪⎝⎭当2a b =时取等号,结合0,0,8,a b ab >>=可得4, 2.a b ==【考点定位】本题主要考查对数运算法则及基本不等式应用.【思路点拨】在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.【典例4】【2014高考重庆文第9题】若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是( )A.326+B.327+C.346+D.347+ 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，0,ab >且340a b +>，所以0,0a b >>.又()42log 34log a b +=，所以，34a b ab +=，所以431a b+=.所以()4343777b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+⎪⎝⎭当且仅当43b a a b=，即2a =+3b =+.故选D. 考点：1、对数的运算；2、基本不等式.【思路点拨】本题考查了对数运算，基本不等式求最值，本题属于中档题，注意使用基本不等式时的条件，特别是等号成立的条件. 【一题多解】已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【解析】由已知得x ＝9－3y1＋y.【解题技巧与方法总结】(1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”． (2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．注意：形如y ＝x ＋ax(a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．类型三、不等式与函数的综合问题【典例5】【2015高考四川】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为【答案】18【变式训练1】【2015·福州模拟】正数a,b 满足+=1,若不等式a+b ≥-x 2+4x+18-m 对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是 【答案】6,+∞)【解析】因为a>0,b>0,+=1, 所以a+b=(a+b)=10++≥10+2=16,由题意,得16≥-x 2+4x+18-m, 即x 2-4x-2≥-m 对任意实数x 恒成立, 而x 2-4x-2=(x-2)2-6, 所以x 2-4x-2的最小值为-6, 所以-6≥-m, 即m ≥6. 【变式训练2】(1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是__________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a的取值范围是________．【答案】 (1)(－∞，22－1) (2)－83，＋∞)类型四、基本不等式的实际应用【典例6】【2014湖北卷16】某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：米/秒）平均车长（单位：米）的值有关，其公式为lv v vF 2018760002++=（1）如果不限定车型，05.6=l，则最大车流量为_______辆/小时；（2）如果限定车型，5=l ，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 辆/小时. 【答案】（1）1900；（2）100 【解析】【变式训练】如图，有一块边长为1(单位：百米)的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为45°(其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上)，设∠PAB ＝θ，tan θ＝t.(1)用t 表示出PQ 的长度，并探求△CPQ 的周长l 是否为定值；(2)问探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 最大为多少？【解析】(1)由tan θ＝BPAB＝t ，得BP ＝t(0≤t≤1)，可得CP ＝1－t.∵∠DAQ ＝45°－θ， ∴DQ ＝tan (45°－θ)＝1－t1＋t ，CQ ＝1－1－t 1＋t ＝2t1＋t ，∴PQ ＝CP 2＋CQ 2＝（1－t ）2＋（2t 1＋t）2＝1＋t 21＋t， ∴△CPQ 的周长l ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝1－t ＋2t 1＋t ＋1＋t21＋t＝2为定值．(2)∵S ＝S 正方形ABCD －S △ABP －S △ADQ ＝1－t 2－12×1－t 1＋t＝2－12(t ＋1＋2t ＋1)≤2－2，当且仅当t ＋1＝2t ＋1，即t ＝2－1时等号成立．∴探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 最大为(2－2)平方百米． 【一题多解】如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱.污水从A 孔流入,经沉淀后从B 孔流出.设箱体的长度为a 米,高度为b 米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b 的乘积ab 成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b 各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B 孔的面积忽略不计)?【解题技巧与方法总结】利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．。
备战2017高考十年高考数学分项版 专题07 不等式、线性规划(解析版)
一．基础题组1. 【2006江苏，理8】设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是( ) （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）aa a a 1122+≥+ （C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+2132. 【2006江苏，理12】设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 ▲【答案】18．【解析】画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18.3. 【2006江苏，理16】不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为 ▲ 【答案】{}(322,322)1---+⋃．【解析】1(6)822log3log x x ++≤=，0〈168x x ++≤，∴12160x x x x ⎧+≤⎪⎪⎨⎪++>⎪⎩. 解得{}(322,322)1x ∈---+⋃.4. 【2007江苏，理10】在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ={（x ，y ）|x +y ≤1，且x ≥0，y ≥0}则平面区域B ={（x +y ，x -y ）|（x ，y ）∈A}的面积为（ ）A.2B.1C.21D.41 【答案】B ．【解析】.5. 【2008江苏，理11】设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 ▲【答案】3．【解析】由230x y z -+=得32x z y +=，代入2y xz得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”.6. 【2009江苏，理11】已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c = ▲ .7. 【2013江苏，理9】抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是__________． 【答案】12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】由题意可知抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线方程为y ＝2x －1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：当直线x ＋2y ＝0平移到过点A 1,02⎛⎫⎪⎝⎭时，x ＋2y 取得最大值12.当直线x ＋2y ＝0平移到过点B(0，－1)时，x ＋2y 取得最小值－2. 因此所求的x ＋2y 的取值范围为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.8. 【2013江苏，理11】已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为__________．9. 【2015高考江苏，7】不等式224x x-<的解集为________.【答案】(1,2).-【解析】由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).- 【考点定位】解指数不等式与一元二次不等式二．能力题组1. 【2008江苏，理14】设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为 ▲【答案】4．2. 【2010江苏，理11】已知函数f (x )＝21,0,1,0,x x x ⎧+≥⎨<⎩则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x的取值范围是__________． 【答案】(－12－1)．【解析】作出函数f(x)的图象如图所示．由图象可知不等式f(1－x2)＞f(2x)可化为22210,10,20,20.12,x x x x x x ⎧≥⎧>⎪≥⎨⎨<⎩⎪>⎩－－或－ 解得0≤x＜－1＋2或－1＜x ＜0. ∴－1＜x ＜－1＋2.3. 【2010江苏，理12】设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤2x y≤9，则34x y 的最大值是__________． 【答案】27．三．拔高题组1. 【2010江苏，理17】某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？【答案】(1) 124．(2) d ＝【解析】解：(1)由AB ＝tan H α，BD ＝tan h β，AD ＝tan H β及AB ＋BD ＝AD ，得tan Hα＋tan h β＝tan Hβ，解得H ＝tan 4 1.24tan tan 1.24 1.20h ααβ⨯=－－＝124.2. 【2012江苏，理13】已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为__________． 【答案】9．【解析】∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的值域为0，＋∞)， ∴∆＝a 2－4b ＝0.①又∵f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，即x 2＋ax ＋b －c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，∴m ，m ＋6是对应方程x 2＋ax ＋b －c ＝0的两个根，∴(6),(6),m m a m m b c ++=-⎧⎨+=-⎩①②由②得，a 2＝4m 2＋24m ＋36，④ 由③得，4b －4c ＝4m 2＋24m ，⑤由①④⑤可得，4m 2＋24m ＋36＝4m 2＋24m ＋4c ， 解得c ＝9..3. 【2012江苏，理14】已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则ba的取值范围是__________． 【答案】e,7]．【解析】由5c －3a≤b≤4c－a 及c ＞0，得534a b ac c c-≤≤-，①由clnb≥a＋clnc 得：a c ≤lnb－lnc ＝ln bc∴切点坐标为(1，e)，切线方程为y＝ex.显然此时yx取得最小值，所以yx的取值范围为e,7]．4.【2016年高考江苏卷】已知实数,x y满足240220330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，，，则22x y+的取值范围是▲ .【答案】4 [,13] 5【解析】画出不等式组表示的平面区域（图略），由图可知原点到直线220x y +-=距离的平方为22x y +的。
三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第七章 不等式、推理与证明4 理
第四节 基本不等式及其应用A 组 三年高考真题(2016～2014年)1. (2014·上海，5)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·四川资阳诊断)已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab ，则a ＋2b 的最小值为( )A.5＋2 2B.8 2C.5D.92.(2016·辽宁师大附中模拟)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为( ) A.2 B.4 C.8 D.163.(2015·北京海淀二模)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A.(-∞，-1)B.(-∞，22-1)C.(-1，22-1)D.(-22-1，22-1)4.(2016·山东泰安模拟)若直线l ：x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)经过点(1，2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________.答案精析A 组 三年高考真题(2016～2014年) 1. 2 2 [∵x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22xy ＝22，当且仅当x ＝2y 时取“＝”，∴x 2＋2y 2的最小值为2 2.]B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.D [∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab ，∴a ＝b b －2＞0，解得b ＞2. 则a ＋2b ＝bb －2＋2b ＝1＋2b －2＋2(b －2)＋4≥5＋22b －2·2（b －2）＝9，当且仅当b ＝3，a ＝3时取等号，其最小值为9.]2.C [∵x ＝－2时，y ＝log a 1－1＝－1，∴函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即A (－2，－1)， ∵点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，∵m >0，n >0，1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n ＋2≥4＋2·n m ·4m n＝8， 当且仅当m ＝14，n ＝12时取等号.故选C.]2 3.B [由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ， 而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1.]4.3＋22 [直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b .求直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值即求a ＋b 的最小值.由直线l 经过点(1，2)得1a ＋2b ＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )×1＝(a ＋b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b ≥2b a ×2a b ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当b a ＝2ab 时取等号.所以a ＋b ≥3＋2 2.]。
高考数学(江苏专用,理科)大一轮复习讲义课件：第7章 不等式 7.4
练出高分
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1.下列不等式一定成立的是________. ①lg(x2＋14)>lg x(x>0)； ②sin x＋sin1 x≥2(x≠kπ，k∈Z)； ③x2＋1≥2|x|(x∈R)； ④x2＋1 1>1(x∈R).
000 x)
≤1 200－2 10 000＝1 000(万元)，
当且仅当x＝100时，L(x)最大＝1 000(万元)， 综上所述，当x＝100时，年获利最大.
解析答案
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易错警示系列
易 错 警 示 9.忽视最值取得的条件致误
系列
典例 (1)已知 x>0，y>0，且1x＋2y＝1，则 x＋y 的最小值是________.
式及公式的逆用等，例如：ab≤(a＋2 b)2≤a2＋2 b2， ab≤a＋2 b≤
a2＋b2 2
(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
方法与技巧
3.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数 y＝x＋mx (m>0) 的单调性.
失误与防范
1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三 个条件缺一不可. 2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.
解析答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2. 设 非 零 实 数
a
，
b
，
则
“a2
＋
b2≥2ab”
是
“
a b
＋
b a
≥2
成立”的
必__要__不___充__分_条件
三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第七章 不等式、推理与证明5 理
第五节 推理与证明A 组 三年高考真题(2016～2014年)1.(2014·北京，8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ) A.2人B.3人C.4人D.5人2.(2014·山东，4)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A.方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D.方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根3.(2016·全国Ⅱ，15)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.4.(2015·山东，11)观察下列各式： C 01＝40； C 03＋C 13＝41;C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1 ＋C 12n －1＋ C 22n －1＋…＋ C n －12n －1＝________.5.(2015·福建，15)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1,2，…，n )称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算定义为0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________.6.(2015·江苏，23)已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数. (1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明.7.(2014·陕西，14)观察分析下表中的数据：8.(2014·陕西，21)设函数f (x )＝ln (1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数.(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N *，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N *，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明.9.(2014·重庆，22)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *). (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·广东深圳调研二，8)如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r )×2π×R ＋r2，所以，圆环的面积等于以AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间，并解决以下问题：若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0＜r ＜d )绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )A.2πr 2d B.2π2r 2d C.2πrd 2D.2π2rd 22.(2016·辽宁抚顺模拟)对累乘运算Π有如下定义：1nk =∏ a k ＝a 1·a 2·…·a n ，则下列命题中的真命题是( )A. Π1 007k ＝12k 不能被10100整除 B.2?01512?0141(42)(21)k k k k ==∏-∏-＝22 015C. Π1 008k ＝1 (2k －1)不能被5100整除 D. Π1 008k ＝1 (2k －1) Π1 007k ＝12k ＝Π2 015k ＝1k 3.(2015·大连二模)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )(n ∈N *，且n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 012⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( ) A.503 B.1 006 C.0 D.2 0124.(2015·上海闸北二模)平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( )A.n ＋1B.2nC.n 2＋n ＋22D.n 2＋n ＋15.(2016·山东枣庄模拟)设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，…，观察上述式子，可推测一般的结论为________.6.(2016·甘肃酒泉模拟)已知12＝16×1×2×3，12＋22＝16×2×3×5，12＋22＋32＝16×3×4×7，12＋22＋32＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝________(其中n ∈N *).7.(2016·湖南岳阳模拟)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a b ＝7ab，(a 、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a＋b ＝________.8.(2015·西安师大附中模拟)观察下列等式：13＋23＝1，73＋83＋103＋113＝12，163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，…，则当n ＜m 且m ，n ∈N 时，3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝________(最后结果用m ，n 表示).9.(2015·山东威海模拟)对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23⎩⎪⎨⎪⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，…仿此，若m 3的“分裂”数中有一个是2 015，则m 的值为________.10.(2015·广东模拟)已知n ，k ∈N * ，且k ≤n ，k C k n ＝n C k －1n －1，则可推出C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋k C k n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…C k －1n －1＋…C n －1n －1)＝n ·2n －1，由此，可推出C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C n n ＝________.答案精析A 组 三年高考真题(2016～2014年)1.B [学生甲比学生乙成绩好,即学生甲两门成绩中一门高过学生乙,另一门不低于学生乙.一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等.故选B.]2.A [至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”.]3.1和3 [由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.]4.4n －1[观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1， 第4个等式右边为43＝44－1，所以第n 个等式右边为4n －1.]5.5 [(ⅰ)x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x 5，x 7有一个错误，(ⅱ)中没有错误， ∴x 5错误，故k 等于5.]6.解 (1)f (6)＝13.(2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *).下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时,S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：1)若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；2)若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k 3＋1＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－13，结论成立；3)若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－23，结论成立；4)若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋k ＋13，结论成立；5)若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (x )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－13，结论成立； 6)若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－23，结论成立.综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立.7. F ＋V －E ＝2 [三棱柱中5＋6－9＝2;五棱锥中6＋6－10＝2;立方体中6＋8－12＝2,由此归纳可得F ＋V －E ＝2.]8. 解 由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0).(1)由已知，g 1(x )＝x1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x ，g 3(x )＝x1＋3x，…， 可得g n (x )＝x1＋nx .下面用数学归纳法证明.①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x，结论成立.②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x1＋kx 1＋x 1＋kx＝x 1＋（k ＋1）x，即结论成立.由①②可知，结论对n ∈N *成立.(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln (1＋x )≥ax1＋x 恒成立.设φ(x )＝ln (1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a （1＋x ）2＝x ＋1－a（1＋x ）2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1时，ln (1＋x )≥ax1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立). 当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )＜0，∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0，即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， 故知ln (1＋x )≥ax1＋x 不恒成立.综上可知，a 的取值范围是(－∞，1].(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，n －f (n )＝n －ln (n ＋1)，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln (n ＋1). 证明如下：法一 上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln (n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln (1＋x )>x1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N *，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明.①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立.②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln (k ＋1).那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln (k ＋1)＋1k ＋2<ln (k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln (k ＋2)， 即结论成立.由①②可知，结论对n ∈N *成立.法二 上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln (n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln (1＋x )>x1＋x，x >0.令x ＝1n ，n ∈N *，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1， 上述各式相加可得ln (n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证.法三 如图，n⎰xx ＋1d x 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和. ∴12＋23＋…＋n n ＋1>0n⎰xx ＋1d x ＝0n ⎰(1－1x ＋1)d x ＝n －ln (n ＋1)， 结论得证.9.解 (1)法一 a 2＝2，a 3＝2＋1，再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1. 从而{(a n －1)2}是首项为0公差为1的等差数列,故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *). 法二 a 2＝2，a 3＝2＋1，可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式： 当n ＝1时结论显然成立.假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1.则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1 ＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立.所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *). (2)法一 设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n ). 令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明加强命题a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立.假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数， 从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1. 故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立. 综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.法二 设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n ). 先证：0≤a n ≤1(n ∈N *).①当n ＝1时，结论明显成立.假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立，故①成立.再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *).② 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，有a 2<a 3，即n ＝1时②成立. 假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1，由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2，a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立，所以②对一切n ∈N *成立.由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14.③又由①、②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2， 所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1.解得a 2n ＋1>14.④综上，由②、③、④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.B [已知中圆环的面积等于以AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积，由此拓展到空间，可知：将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0＜r ＜d )绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积应等于以圆(x －d )2＋y 2＝r 2围成的圆面为底面，以圆心(d ，0)绕y 轴旋转一周所形成的圆的周长2π×d 为高的圆柱的体积.故该旋转体的体积V ＝πr 2·2πd ＝2π2r 2d .故选B.]2.D [Π1 008k ＝1 (2k －1)Π1 007k ＝12k ＝(1×3×5×…×2 015)×(2×4×6×…×2 014)＝1×2×3×…×2 014×2 015＝Π2 015k ＝1k ，故选D.] 3. C [∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f 2(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，又f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 012⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×503＝0.] 4. C [1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n （n ＋1）2＝n 2＋n ＋22个区域，选C.]5. f (2n)≥n ＋22(n ∈N *) [由f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3可得f (21)＝1＋22，f (22)＞2＋22，f (23)＞3＋22，f (24)＞4＋22.从而可推测f (2n )≥n ＋22，(n ∈N *).] 6.16n (n ＋1)(2n ＋1) [根据题意归纳出12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)·(2n ＋1)，故填16n (n＋1)(2n ＋1).]7. 55 [观察下列等式2＋23＝223， 3＋38＝338，4＋415＝4415，…， 照此规律，第7个等式中：a ＝7，b ＝72－1＝48，∴a ＋b ＝55，故答案为：55.] 8. m 2－n 2 [当n ＝0，m ＝1时，为第一个式子13＋23＝1，此时1＝12－0＝m 2－n 2，当n ＝2，m ＝4时，为第二个式子73＋83＋103＋113＝12；此时12＝42－22＝m 2－n 2，当n ＝5，m ＝8时，为第三个式子163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，此时39＝82－52＝m 2－n 2，由归纳推理可知观察下列等式：3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝m 2－n 2.故答案为：m 2－n 2.]9. 45 [由题意，从23到m 3，正好用去从3开始的连续奇数共2＋3＋4＋…＋m ＝（m ＋2）（m －1）2个，2 015是从3开始的第1 007个奇数，当m ＝44时，从23到443，用去从3开始的连续奇数共46×432＝989个. 当m ＝45时，从23到453，用去从3开始的连续奇数共47×442＝1 034个.] 10.n (n ＋1)·2n －2[C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C kn ＋…＋n 2C nn ＝n (C 0n －1＋2C 1n －1＋…＋k C k －1n －1＋…＋n C n－1n－1)＝n[(C0n－1＋C1n－1＋…＋C k－1n－1＋…＋C n－1n－1)＋(C1n－1＋2C2n－1＋…＋(k－1)C k－1n－1＋…＋(n－1)C n－1n－1)].]11。
2017版高考数学(江苏专用理科)专题加练半小时专题7不等式48
1．(2015·金华十校联考)设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的________条件． 2．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是________．①1x 2＋1>1y 2＋1；②ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)；③sin x >sin y ；④x 3>y 3. 3．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b，则M ，N 的大小关系是________． 4．设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则d 与AB 的大小关系为________． 5．已知a >0，b >0，记M ＝a 2b ＋b 2a，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系为________． 6.(2015·江西南昌八中上学期第三次月考)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b ＋1c，则T 与0的大小关系是________．7．若存在x 使不等式x －m ex >x 成立，则实数m 的取值范围为________． 8．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围是________．9．已知a ，b ，c ∈R ，给出下列命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ab ≠0，则a b ＋b a≥2； ③若a >b >0，n ∈N *，则a n >b n ；④若log a b <0(a >0，a ≠1)，则(a －1)(b －1)<0.其中真命题的个数为________．10．已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中，正确的是________．①log 2a >0；②2a －b <12；③log 2a ＋log 2b <－2；④2a b ＋b a <12. 11．已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是__________________．12．如下图所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示为__________________．13．设a>0且a≠1，则log a(a3＋1)与log a(a2＋1)的大小关系为____________________．14．已知a，b，c∈{正实数}，且a2＋b2＝c2，当n∈N，n>2时，c n与a n＋b n的大小关系为________．答案解析1．充分不必要解析 方法一 因为a ＋1a －(b ＋1b )＝(a －b )(ab －1)ab， 所以若a >b >1，显然a ＋1a －(b ＋1b )＝(a －b )(ab －1)ab>0，则充分性成立； 当a ＝12，b ＝23时， 显然不等式a ＋1a >b ＋1b成立，但a >b >1不成立， 所以必要性不成立．方法二 令函数f (x )＝x ＋1x， 则f ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x 2， 可知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，所以“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的充分不必要条件． 2．④解析 因为0<a <1，a x <a y ，所以x >y .采用赋值法判断，①中，当x ＝1，y ＝0时，12<1，①不成立；②中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1<ln 2，②不成立；③中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，③不成立；④中，因为函数y ＝x 3在R 上是增函数，④成立．3．M >N解析 ∵0<a <1b，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0， ∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab (1＋a )(1＋b )>0，∴M >N . 4．d ≤AB5．M ≥N解析 a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )ab ＝(a －b )2(a ＋b )ab≥0.故M ≥N . 6.T <0解析 由a ＋b ＋c ＝0，abc >0，知三数中一正两负，不妨设a >0，b <0，c <0，则T ＝1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc＝ab ＋c (b ＋a )abc ＝ab －c 2abc. ∵ab <0，－c 2<0，abc >0，∴T <0.7．(－∞，0)解析 由x －m e x >x 得：－m >e x ×x －x (x >0)， 令f (x )＝e x ×x －x (x >0)，则－m >f (x )min .f ′(x )＝e x ×x ＋e x ×12x－1≥2×e x －1>0(x >0)， 所以f (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以f (x )≥f (0)＝0，－m >0，m <0.8．[－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5.∴－1≤a －b ≤6.9．2解析 当c ＝0时，ac 2＝bc 2＝0，所以①为假命题；当a 与b 异号时，a b <0，b a<0，所以②为假命题； ③为真命题；若log a b <0(a >0，a ≠1)，则有可能a >1,0<b <1或0<a <1，b >1，即(a －1)(b －1)<0，所以④是真命题．综上，真命题有2个．10．③解析 若0<a <1，此时log 2a <0，①错误；a －b <0，此时2a －b <1，②错误； 由a b ＋b a >2a b ·b a ＝2,2a b ＋b a>22＝4，④错误； 由a ＋b ＝1>2ab ，即ab <14， 因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )<log 214＝－2.故③正确． 11．a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1解析 a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，因为a 1≤a 2，b 1≥b 2，所以a 1－a 2≤0，b 1－b 2≥0，于是(a 1－a 2)(b 1－b 2)≤0，故a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1.12.12(a 2＋b 2)>ab (a ≠b ) 解析 图(1)所示广告牌的面积为12(a 2＋b 2)，图(2)所示广告牌的面积为ab ，显然不等式可表示为12(a 2＋b 2)>ab (a ≠b )．13．log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)解析 (a 3＋1)－(a 2＋1)＝a 2(a －1)， ①当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；②当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，∴总有log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)．14．c n >a n ＋b n解析 ∵a ，b ，c ∈{正实数}，∴a n ，b n ，c n >0. 而a n ＋b n c n ＝(a c )n ＋(b c)n . ∵a 2＋b 2＝c 2，则(a c )2＋(b c)2＝1， ∴0<a c <1,0<b c<1. ∵n ∈N ，n >2，∴(a c )n <(a c )2，(b c )n <(b c)2. ∴a n ＋b n c n ＝(a c )n ＋(b c )n <a 2＋b 2c 2＝1. ∴a n ＋b n <c n .。
三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第七章 不等式、推理与证明5 理
第五节 推理与证明A 组 三年高考真题(2016～2014年)1.(2014·北京，8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ) A.2人B.3人C.4人D.5人2.(2014·山东，4)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A.方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D.方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根3.(2016·全国Ⅱ，15)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.4.(2015·山东，11)观察下列各式： C 01＝40； C 03＋C 13＝41;C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1 ＋C 12n －1＋ C 22n －1＋…＋ C n －12n －1＝________.5.(2015·福建，15)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1,2，…，n )称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算定义为0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________.6.(2015·江苏，23)已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数. (1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明.7.(2014·陕西，14)观察分析下表中的数据：8.(2014·陕西，21)设函数f (x )＝ln (1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数.(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N *，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N *，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明.9.(2014·重庆，22)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *). (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·广东深圳调研二，8)如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r )×2π×R ＋r2，所以，圆环的面积等于以AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间，并解决以下问题：若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0＜r ＜d )绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )A.2πr 2d B.2π2r 2d C.2πrd 2D.2π2rd 22.(2016·辽宁抚顺模拟)对累乘运算Π有如下定义：1nk =∏ a k ＝a 1·a 2·…·a n ，则下列命题中的真命题是( )A. Π1 007k ＝12k 不能被10100整除 B.2?01512?0141(42)(21)k k k k ==∏-∏-＝22 015C. Π1 008k ＝1 (2k －1)不能被5100整除 D. Π1 008k ＝1 (2k －1) Π1 007k ＝12k ＝Π2 015k ＝1k 3.(2015·大连二模)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )(n ∈N *，且n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 012⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( ) A.503 B.1 006 C.0 D.2 0124.(2015·上海闸北二模)平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( )A.n ＋1B.2nC.n 2＋n ＋22D.n 2＋n ＋15.(2016·山东枣庄模拟)设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，…，观察上述式子，可推测一般的结论为________.6.(2016·甘肃酒泉模拟)已知12＝16×1×2×3，12＋22＝16×2×3×5，12＋22＋32＝16×3×4×7，12＋22＋32＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝________(其中n ∈N *).7.(2016·湖南岳阳模拟)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a b ＝7ab，(a 、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a＋b ＝________.8.(2015·西安师大附中模拟)观察下列等式：13＋23＝1，73＋83＋103＋113＝12，163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，…，则当n ＜m 且m ，n ∈N 时，3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝________(最后结果用m ，n 表示).9.(2015·山东威海模拟)对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23⎩⎪⎨⎪⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，…仿此，若m 3的“分裂”数中有一个是2 015，则m 的值为________.10.(2015·广东模拟)已知n ，k ∈N * ，且k ≤n ，k C k n ＝n C k －1n －1，则可推出C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋k C k n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…C k －1n －1＋…C n －1n －1)＝n ·2n －1，由此，可推出C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C n n ＝________.答案精析A 组 三年高考真题(2016～2014年)1.B [学生甲比学生乙成绩好,即学生甲两门成绩中一门高过学生乙,另一门不低于学生乙.一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等.故选B.]2.A [至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”.]3.1和3 [由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.]4.4n －1[观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1， 第4个等式右边为43＝44－1，所以第n 个等式右边为4n －1.]5.5 [(ⅰ)x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x 5，x 7有一个错误，(ⅱ)中没有错误， ∴x 5错误，故k 等于5.]6.解 (1)f (6)＝13.(2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *).下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时,S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：1)若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；2)若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k 3＋1＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－13，结论成立；3)若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－23，结论成立；4)若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋k ＋13，结论成立；5)若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (x )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－13，结论成立； 6)若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－23，结论成立.综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立.7. F ＋V －E ＝2 [三棱柱中5＋6－9＝2;五棱锥中6＋6－10＝2;立方体中6＋8－12＝2,由此归纳可得F ＋V －E ＝2.]8. 解 由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0).(1)由已知，g 1(x )＝x1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x ，g 3(x )＝x1＋3x，…， 可得g n (x )＝x1＋nx .下面用数学归纳法证明.①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x，结论成立.②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x1＋kx 1＋x 1＋kx＝x 1＋（k ＋1）x，即结论成立.由①②可知，结论对n ∈N *成立.(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln (1＋x )≥ax1＋x 恒成立.设φ(x )＝ln (1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a （1＋x ）2＝x ＋1－a（1＋x ）2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1时，ln (1＋x )≥ax1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立). 当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )＜0，∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0，即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， 故知ln (1＋x )≥ax1＋x 不恒成立.综上可知，a 的取值范围是(－∞，1].(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，n －f (n )＝n －ln (n ＋1)，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln (n ＋1). 证明如下：法一 上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln (n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln (1＋x )>x1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N *，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明.①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立.②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln (k ＋1).那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln (k ＋1)＋1k ＋2<ln (k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln (k ＋2)， 即结论成立.由①②可知，结论对n ∈N *成立.法二 上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln (n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln (1＋x )>x1＋x，x >0.令x ＝1n ，n ∈N *，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1， 上述各式相加可得ln (n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证.法三 如图，n⎰xx ＋1d x 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和. ∴12＋23＋…＋n n ＋1>0n⎰xx ＋1d x ＝0n⎰(1－1x ＋1)d x ＝n －ln (n ＋1)， 结论得证.9.解 (1)法一 a 2＝2，a 3＝2＋1，再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1. 从而{(a n －1)2}是首项为0公差为1的等差数列,故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *). 法二 a 2＝2，a 3＝2＋1，可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式： 当n ＝1时结论显然成立.假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1.则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1 ＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立.所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *). (2)法一 设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n ). 令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明加强命题a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立.假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数， 从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1. 故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立. 综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.法二 设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n ). 先证：0≤a n ≤1(n ∈N *).①当n ＝1时，结论明显成立.假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立，故①成立.再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *).② 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，有a 2<a 3，即n ＝1时②成立. 假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1，由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2，a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立，所以②对一切n ∈N *成立.由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14.③又由①、②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2， 所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1.解得a 2n ＋1>14.④综上，由②、③、④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.B [已知中圆环的面积等于以AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积，由此拓展到空间，可知：将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0＜r ＜d )绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积应等于以圆(x －d )2＋y 2＝r 2围成的圆面为底面，以圆心(d ，0)绕y 轴旋转一周所形成的圆的周长2π×d 为高的圆柱的体积.故该旋转体的体积V ＝πr 2·2πd ＝2π2r 2d .故选B.]2.D [Π1 008k ＝1 (2k －1)Π1 007k ＝12k ＝(1×3×5×…×2 015)×(2×4×6×…×2 014)＝1×2×3×…×2 014×2 015＝Π2 015k ＝1k ，故选D.] 3. C [∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f 2(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，又f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 012⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×503＝0.] 4. C [1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n （n ＋1）2＝n 2＋n ＋22个区域，选C.]5. f (2n)≥n ＋22(n ∈N *) [由f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3可得f (21)＝1＋22，f (22)＞2＋22，f (23)＞3＋22，f (24)＞4＋22.从而可推测f (2n )≥n ＋22，(n ∈N *).] 6.16n (n ＋1)(2n ＋1) [根据题意归纳出12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)·(2n ＋1)，故填16n (n＋1)(2n ＋1).]7. 55 [观察下列等式2＋23＝223， 3＋38＝338，4＋415＝4415，…， 照此规律，第7个等式中：a ＝7，b ＝72－1＝48，∴a ＋b ＝55，故答案为：55.] 8. m 2－n 2 [当n ＝0，m ＝1时，为第一个式子13＋23＝1，此时1＝12－0＝m 2－n 2，当n ＝2，m ＝4时，为第二个式子73＋83＋103＋113＝12；此时12＝42－22＝m 2－n 2，当n ＝5，m ＝8时，为第三个式子163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，此时39＝82－52＝m 2－n 2，由归纳推理可知观察下列等式：3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝m 2－n 2.故答案为：m 2－n 2.]9. 45 [由题意，从23到m 3，正好用去从3开始的连续奇数共2＋3＋4＋…＋m ＝（m ＋2）（m －1）2个，2 015是从3开始的第1 007个奇数，当m ＝44时，从23到443，用去从3开始的连续奇数共46×432＝989个. 当m ＝45时，从23到453，用去从3开始的连续奇数共47×442＝1 034个.] 10.n (n ＋1)·2n －2[C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C kn ＋…＋n 2C nn ＝n (C 0n －1＋2C 1n －1＋…＋k C k －1n －1＋…＋n C n－1n－1)＝n[(C0n－1＋C1n－1＋…＋C k－1n－1＋…＋C n－1n－1)＋(C1n－1＋2C2n－1＋…＋(k－1)C k－1n－1＋…＋(n－1)C n－1n－1)].]11。
创新设计2017版高考数学(江苏专用文科)一轮复习练习：第七章 不等式 第3讲 含答案
基础巩固题组（建议用时：40分钟)一、填空题1。
(2015·湖南卷改编）若实数a，b满足错误!＋错误!＝错误!，则ab的最小值为________。
解析因为错误!＋错误!＝错误!，所以a,b同号且均大于零,由基本不等式可得错误!＝错误!＋错误!≥2错误!,所以ab≥2错误!。
当且仅当错误!＝错误!时取等号。
所以ab的最小值为2错误!.答案2错误!2.已知a＞0，b＞0，a＋b＝2,则y＝错误!＋错误!的最小值是________。
解析由于a〉0，b〉0，依题意，得错误!＋错误!＝错误!错误!·（a＋b）＝错误![5＋（错误!＋错误!）]≥错误!(5＋2错误!）＝错误!,当且仅当错误!即a＝错误!,b ＝错误!时取等号，即错误!＋错误!的最小值是错误!。
答案错误!3。
若正数x,y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是________。
解析由x＞0,y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·（2x)·(3y）＋3xy（当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30,即xy≤2,∴xy的最大值为2。
答案24。
(2015·重庆卷）设a，b〉0，a＋b＝5，则错误!＋错误!的最大值为________。
解析∵a,b＞0，a＋b＝5,∴（错误!＋错误!)2＝a＋b＋4＋2错误!错误!≤a＋b ＋4＋（错误!）2＋(错误!）2＝a＋b＋4＋a＋b＋4＝18，当且仅当a＝错误!,b ＝错误!时，等号成立，则错误!＋错误!≤3错误!,即错误!＋错误!最大值为3错误!。
答案3错误!5。
(2016·南京、盐城一模)若实数x,y满足x〉y>0，且log2x＋log2y ＝1，则错误!的最小值为________。
解析因为log2x＋log2y＝log2xy＝1，所以xy＝2。
因为x〉y〉0，所以x－y〉0。
所以错误!＝错误!＝x－y＋错误!≥2错误!＝4，当且仅当x－y ＝错误!，即x＝错误!＋1,y＝错误!－1时取等号.答案46。
江苏高考数学二轮复习讲义微专题七基本不等式
微专题七 基本不等式基本不等式作为C 级考点，每年必考，但基本上都是作为工具在其他知识点里面出现．年份 填空题 2017 T10应用题中的最值 2018 T13三角形中边长和的最值 2019T7，T19基本不等式的应用目标1 基本不等式应用于一元函数的最值例1 (1) 已知x ＜12，则函数y ＝4x 2－2x ＋12x －1 的最大值是________．(2) 已知在 △ABC 中，，AB →·AC →＝3CA →·CB →，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为_________．点评：【思维变式题组训练】1. 已知函数f (x )＝12x 100－x 2，则f (x )的最大值为________．2. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．3. 已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．目标2 给定条件下二元变量的最值问题例2 (1) 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________．(2) 已知x >0，y >0，则2xy x 2＋8y 2＋xyx 2＋2y 2的最大值是________．(3) 已知a ，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，则a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为________．点评：【思维变式题组训练】1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋2cos C 的最大值为________．2. 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________．3. 若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为________．4. 已知函数f (x )＝x －sin x ，若正数a ，b 满足f (2a －1)＋f (b －1)＝0，则2a 2a ＋1＋b 2＋1b 的最小值为________．目标3 用基本不等式解应用题例3 如图，长方形ABCD 表示一张6×12(单位：分米)的工艺木板，其四周有边框(图中阴影部分)，中间为薄板．木板上一瑕疵(记为点P )到外边框AB ，AD 的距离分别为1分米，2分米．现欲经过点P 锯掉一块三角形废料MAN ，其中M ，N 分别在AB ，AD 上．设AM ，AN 的长分别为m 分米，n 分米．(1) 为使剩下木板MBCDN 的面积最大，试确定m ，n 的值；(2) 求剩下木板MBCDN 的外边框长度(MB ，BC ，CD ，DN 的长度之和)的最大值．点评：【思维变式题组训练】如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.问：A，B两点应选在何处，可使得小道AB 最短？。
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【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题7 不等式 51 基本不
等式的“基本功” 文
训练目标
(1)熟练掌握基本不等式及应用方法；(2)会用基本不等式解决最值问题；(3)
能将基本不等式与函数、数列、三角函数等知识结合，解决综合问题.
训练题型
(1)比较两数(式)的大小；(2)求最大(小)值；(3)求代数式、函数式值域；(4)
求参数范围；(5)与其他知识交汇综合应用.
解题策略 (1)直接利用基本不等式(注意应用条件)；(2)将已知条件变形，以“和”或“积”为定值为目标，构造基本不等式“模型”(注意积累变形技巧，总结变形
突破点).
1．(2015·长沙一模)设a>0，b>0.若a＋b＝1，则1a＋1b的最小值是________．
2．(2015·湖南改编)若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为________．
3．(2015·北京东城区一模)已知b>0且a≠0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1
＝0互相垂直，则ab的最小值为________．
4．(2015·大连期末)设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，则1x＋1y的最大值为
________．
5．若a<1，则a＋1a－1有最____(填“大”或“小”)值，为____________________________．
6．若实数x，y满足x2＋xy＋y2＝1，则x＋y的最大值为________．
7．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则1a＋1b的最
小值是________．
8．若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围是________．
9．(2015·黄冈模拟)若实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝2，则xy＋yz＋xz的取值范围是________．
10．已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，则1m＋4n的最
小值为________．
11．(2015·济南一模)若实数x，y满足4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，则t＝2x＋2y的取值范围是
________．
12．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．
13．(2015·株洲教学质量检测一)已知M是△ABC内的一点，且AB→·AC→＝23，∠BAC＝30°.
若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为12，x，y，则1x＋4y的最小值是________．
14．已知正实数x，y满足等式x＋y＋8＝xy，若对任意满足条件的x，y，不等式(x＋y)2－
a(x＋y)＋1≥0恒成立，则实数a
的取值范围是________．
答案解析
1．4 2.22
3．2
解析 由两条直线垂直的充要条件可得，(－b2＋1a)·1b2＝－1，
解得a＝b2＋1b2，
所以ab＝b2＋1b2·b＝b2＋1b＝b＋1b.
因为b>0，所以b＋1b≥2 b·1b＝2，
当且仅当b＝1b，即b＝1时取“＝”．
4．1
解析 由ax＝by＝3，得x＝loga3，y＝logb3，
由a>1，b>1，知x>0，y>0，
1x＋1y＝log3a＋log3b＝log3ab≤log3(a＋
b
2
)2＝1，
当且仅当a＝b＝3时“＝”成立，
则1x＋1y的最大值为1.
5．大 －1 6.233
7．4
解析 圆心为(－1,2)，依题意知，直线2ax－by＋2＝0始终过圆心，
则－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，
所以1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥4(当且仅当a＝b＝12时，“＝”成立)．
8．a≤2
解析 x2－ax＋1≥0，x∈(0,1]恒成立
⇔ax≤
x
2
＋1，x∈(0,1]恒成立，
⇔a≤x＋
1
x
，x∈(0,1]恒成立．
∵x∈(0,1]，x＋1x≥2，∴a≤2.
9．[－1,2]
解析 因为x2＋y2＋z2＝2，所以2x2＋2y2＋2z2＝4，
所以4≥2xy＋2yz＋2xz，即xy＋yz＋xz≤2.
又因为(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz≥0，
所以xy＋yz＋xz≥－1，
所以xy＋yz＋xz的取值范围是[－1,2]．
10.32
解析 ∵a7＝a6＋2a5，∴a5q2＝a5q＋2a5，
又∵{an}是正项等比数列，a5≠0，且q>0，
∴q2－q－2＝0，∴q＝2或q＝－1(舍去)．
又am·an＝4a1，
∴am·an＝16a21，a21qm＋n－2＝16a21，
又a21≠0，∴m＋n－2＝4，∴m＋n＝6，
1m＋4n＝16(1m＋4n)(m＋n)＝16(5＋4mn＋nm)≥16(5＋2 4mn·nm)＝3
2
.
当且仅当4mn＝nm，即m＝1，n＝2时取等号． 12.15，＋∞ 解析 ∵a≥xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3对任意x>0恒成立，设u＝x＋1x＋3， ∴只需a≥1u恒成立即可． 即x＋y＝12， 解析 因为x＋y＋8＝xy≤(x＋y2)2， 不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立可等价转化为a≤x＋y2＋1x＋y恒成立， 所以实数a的取值范围为(－∞，658]．
11．(2,4]
解析 设a＝2x，b＝2y，则a>0，b>0，
由条件得a2＋b2＝2(a＋b)，
∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，
当且仅当a＝b时取等号，
∴(a＋b)2≤4(a＋b)，∴a＋b≤4，
又(a＋b)2－2(a＋b)＝2ab>0，
∴a＋b>2，∴2
∵x>0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．
由u≥5知0<1u≤15，∴a≥15.
13．18
解析 由已知得AB→·AC→＝|AB→||AC→|·cos∠BAC＝23，
∴|AB→||AC→|＝4，
∴S△ABC＝x＋y＋12＝12|AB→||AC→|·sin∠BAC＝1，
而1x＋4y＝2(1x＋4y)·(x＋y)＝2(5＋yx＋4xy)≥2(5＋2 yx·4xy)＝18，
当且仅当y＝2x时，等号成立．
14．(－∞，658]
即4(x＋y)＋32≤(x＋y)2，
解得x＋y≥8或x＋y≤－4(舍去)．
令x＋y＝t(t≥8)，
且f(t)＝t2＋1t＝t＋1t.
函数f(t)在[8，＋∞)上单调递增，
所以f(t)min＝f(8)＝8＋18＝658.