中考数学压轴题60例(解答题)
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中考数学压轴题 60 例（解答题）
一、解答题（共 60 小题） 1．（2015•遵义）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于 A（﹣4，0），B（2，0），与 y 轴交于点 C（0，2）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 D 为该抛物线上的一个动点，且在直线 AC 上方，当以 A、C、D 为顶点的三角 形面积最大时，求点 D 的坐标及此时三角形的面积； （3）以 AB 为直径作⊙M，直线经过点 E（﹣1，﹣5），并且与⊙M 相切，求该直线的解析 式．
2．（2015•株洲）已知 AB 是圆 O 的切线，切点为 B，直线 AO 交圆 O 于 C、D 两点，CD=2， ∠（D1A）B当=3点0°，P 运动动点到P使在直Q、线CA两B点上重运合动时，（PC如交图圆1）O，于求另A一P 点的长Q．； （2）点 P 在运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD 的面积为 ？（直接写出答案） （3）当△CQD 的面积为 ，且 Q 位于以 CD 为直径的上半圆，CQ＞QD 时（如图 2），求 AP 的长．
7．（2015•湘西州）如图，已知直线 y=﹣x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，抛物线 y= ﹣x2+bx+c 经过 A，B 两点，点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发，向点 A 以 1 个单位/秒的速 度匀速运动；同时，点 Q 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以 个单位/秒的速度匀速 运动，连接 PQ，设运动时间为 t 秒． （1）求抛物线的解析式； （2）问：当 t 为何值时，△APQ 为直角三角形； （3）过点 P 作 PE∥y 轴，交 AB 于点 E，过点 Q 作 QF∥y 轴，交抛物线于点 F，连接 EF， 当 （ 点4的E）F三∥设角P抛Q形物时与线，以顶求O点点，为FB，M的，P坐为连标顶接；点B的P，三B角M形，相MQ似，？问若：存是在否，存请在求t出的t值的，值使；以若B不，存Q在，，M请为说顶 明理由．
5．（2015•玉林）已知：一次函数 y=﹣2x+10 的图象与反比例函数 y= （k＞0）的图象相交 于 A，B 两点（A 在 B 的右侧）． （1）当 A（4，2）时，求反比例函数的解析式及 B 点的坐标； （2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点 P，使△PAB 是以 AB 为 直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当 A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线 OA 与此反比例函数图象的另一支交 于另一点 C，连接 BC 交 y 轴于点 D．若 = ，求△ABC 的面积．
6．（2015•烟台）【问题提出】
如图①，已知△ABC 是等腰三角形，点 E 在线段 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC， 将△BCE 绕点 C 顺时针旋转 60°至△ACF 连接 EF 试证明：AB=DB+AF 【类比探究】 （1）如图②，如果点 E 在线段 AB 的延长线上，其他条件不变，线段 AB，DB，AF 之间 又有怎样的数量关系？请说明理由 （2）如果点 E 在线段 BA 的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整， 并写出 AB，DB，AF 之间的数量关系，不必说明理由．
8．（2015•湘潭）如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（﹣1，0）、B（3，0）两点， 交 y 轴于点 C，连接 BC，动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从 A 向 B 运动，动点 Q 以每 秒 个单位长度的速度从 B 向 C 运动，P、Q 同时出发，连接 PQ，当点 Q 到达 C 点时，P、 Q 同时停止运动，设运动时间为 t 秒． （1）求二次函数的解析式； （2）如图 1，当△BPQ 为直角三角形时，求 t 的值；
（3）如图 2，当 t＜2 时，延长 QP 交 y 轴于点 M，在抛物线上是否存在一点 N，使得 PQ 的中点恰为 MN 的中点？若存在，求出点 N 的坐标与 t 的值；若不存在，请说明理由．
9．（2015•咸宁）如图 1，已知直线 y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将直线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V 形折线”）． （1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式； （2）如图 2，双曲线 y= 与新函数的图象交于点 C（1，a），点 D 是线段 AC 上一动点（不 包括端点），过点 D 作 x 轴的平行线，与新函数图象交于另一点 E，与双曲线交于点 P． ①试求△PAD 的面积的最大值； ②探索：在点 D 运动的过程中，四边形 PAEC 能否为平行四边形？若能，求出此时点 D 的 坐标；若不能，请说明理由．
3．（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ均为整数的点称之为“中国结”． （1）求函数 y= x+2 的图象上所有“中国结”的坐标；
（2）若函数 y= （k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数 k 的值与 相应“中国结”的坐标； （3）若二次函数 y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k 为常数）的图象与 x 轴相交 得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共 包含有多少个“中国结”？ 4．（2015•岳阳）已知直线 m∥n，点 C 是直线 m 上一点，点 D 是直线 n 上一点，CD 与直 线 （1m）、操n作不发垂现直：，直点线Pl⊥为m线，段l⊥CnD，的垂中足点分．别为 A、B，当点 A 与点 C 重合时（如图①所示）， 连 （2接）P猜B想，证请明直：接在写图出① 线段的P情A况与下P，B把的直数线量关l 向系上：平移到如图②的．位置，试问（1）中的 PA 与 PB 的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）延伸探究：在图②的情况下，把直线 l 绕点 A 旋转，使得∠APB=90°（如图③所示）， 若两平行线 m、n 之间的距离为 2k．求证：PA•PB=k•AB．
中考数学压轴题 60 例（解答题）
一、解答题（共 60 小题） 1．（2015•遵义）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于 A（﹣4，0），B（2，0），与 y 轴交于点 C（0，2）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 D 为该抛物线上的一个动点，且在直线 AC 上方，当以 A、C、D 为顶点的三角 形面积最大时，求点 D 的坐标及此时三角形的面积； （3）以 AB 为直径作⊙M，直线经过点 E（﹣1，﹣5），并且与⊙M 相切，求该直线的解析 式．
2．（2015•株洲）已知 AB 是圆 O 的切线，切点为 B，直线 AO 交圆 O 于 C、D 两点，CD=2， ∠（D1A）B当=3点0°，P 运动动点到P使在直Q、线CA两B点上重运合动时，（PC如交图圆1）O，于求另A一P 点的长Q．； （2）点 P 在运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD 的面积为 ？（直接写出答案） （3）当△CQD 的面积为 ，且 Q 位于以 CD 为直径的上半圆，CQ＞QD 时（如图 2），求 AP 的长．
7．（2015•湘西州）如图，已知直线 y=﹣x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，抛物线 y= ﹣x2+bx+c 经过 A，B 两点，点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发，向点 A 以 1 个单位/秒的速 度匀速运动；同时，点 Q 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以 个单位/秒的速度匀速 运动，连接 PQ，设运动时间为 t 秒． （1）求抛物线的解析式； （2）问：当 t 为何值时，△APQ 为直角三角形； （3）过点 P 作 PE∥y 轴，交 AB 于点 E，过点 Q 作 QF∥y 轴，交抛物线于点 F，连接 EF， 当 （ 点4的E）F三∥设角P抛Q形物时与线，以顶求O点点，为FB，M的，P坐为连标顶接；点B的P，三B角M形，相MQ似，？问若：存是在否，存请在求t出的t值的，值使；以若B不，存Q在，，M请为说顶 明理由．
5．（2015•玉林）已知：一次函数 y=﹣2x+10 的图象与反比例函数 y= （k＞0）的图象相交 于 A，B 两点（A 在 B 的右侧）． （1）当 A（4，2）时，求反比例函数的解析式及 B 点的坐标； （2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点 P，使△PAB 是以 AB 为 直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当 A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线 OA 与此反比例函数图象的另一支交 于另一点 C，连接 BC 交 y 轴于点 D．若 = ，求△ABC 的面积．
6．（2015•烟台）【问题提出】
如图①，已知△ABC 是等腰三角形，点 E 在线段 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC， 将△BCE 绕点 C 顺时针旋转 60°至△ACF 连接 EF 试证明：AB=DB+AF 【类比探究】 （1）如图②，如果点 E 在线段 AB 的延长线上，其他条件不变，线段 AB，DB，AF 之间 又有怎样的数量关系？请说明理由 （2）如果点 E 在线段 BA 的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整， 并写出 AB，DB，AF 之间的数量关系，不必说明理由．
8．（2015•湘潭）如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（﹣1，0）、B（3，0）两点， 交 y 轴于点 C，连接 BC，动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从 A 向 B 运动，动点 Q 以每 秒 个单位长度的速度从 B 向 C 运动，P、Q 同时出发，连接 PQ，当点 Q 到达 C 点时，P、 Q 同时停止运动，设运动时间为 t 秒． （1）求二次函数的解析式； （2）如图 1，当△BPQ 为直角三角形时，求 t 的值；
（3）如图 2，当 t＜2 时，延长 QP 交 y 轴于点 M，在抛物线上是否存在一点 N，使得 PQ 的中点恰为 MN 的中点？若存在，求出点 N 的坐标与 t 的值；若不存在，请说明理由．
9．（2015•咸宁）如图 1，已知直线 y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将直线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V 形折线”）． （1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式； （2）如图 2，双曲线 y= 与新函数的图象交于点 C（1，a），点 D 是线段 AC 上一动点（不 包括端点），过点 D 作 x 轴的平行线，与新函数图象交于另一点 E，与双曲线交于点 P． ①试求△PAD 的面积的最大值； ②探索：在点 D 运动的过程中，四边形 PAEC 能否为平行四边形？若能，求出此时点 D 的 坐标；若不能，请说明理由．
3．（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ均为整数的点称之为“中国结”． （1）求函数 y= x+2 的图象上所有“中国结”的坐标；
（2）若函数 y= （k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数 k 的值与 相应“中国结”的坐标； （3）若二次函数 y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k 为常数）的图象与 x 轴相交 得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共 包含有多少个“中国结”？ 4．（2015•岳阳）已知直线 m∥n，点 C 是直线 m 上一点，点 D 是直线 n 上一点，CD 与直 线 （1m）、操n作不发垂现直：，直点线Pl⊥为m线，段l⊥CnD，的垂中足点分．别为 A、B，当点 A 与点 C 重合时（如图①所示）， 连 （2接）P猜B想，证请明直：接在写图出① 线段的P情A况与下P，B把的直数线量关l 向系上：平移到如图②的．位置，试问（1）中的 PA 与 PB 的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）延伸探究：在图②的情况下，把直线 l 绕点 A 旋转，使得∠APB=90°（如图③所示）， 若两平行线 m、n 之间的距离为 2k．求证：PA•PB=k•AB．