2017天津高考文科数学试卷含答案

2017天津文
【试卷点评】
2017年天津高考数学试卷考点变化不大，题型结构与2016年相同，从知识结构角度看，试卷考查内容覆盖面广，与往年基本一致．与此同时，试卷命题中出现的综合与创新，体现了能力立意的命题思路与稳中求变的命题特点．整卷难度分布合理，具有较好的区分度，整体难度与去年相比稍有降低．
纵观整篇试卷，命题严格按照《考试说明》与课程标准，双基内容占了相当大的比例，体现了命题人回归教材、突出主干的思路，重视对考生基本数学素养的考查．对于此部分题目，只要考生熟练掌握基本概念和定理，就可以轻松得分．试卷在知识点选择上与去年相比略有改变，考验学生基础知识掌握的全面性．试卷命题风格稳定，试题布局合理，利于考生发挥自身真实水平，具有较好的信度和效度．
每年天津高考命题都会给予应用问题一定的关注，对中学数学教学重视数学应用有很好的导向作用，第16题以大家熟悉的电视剧与广告以及收视人次为命题背景，选材合理，将线性规划与实际问题相结合，考查学生的理解能力以及应用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学的应用价值与人文特色．知识难度不大，审清题后可较容易地得到答案，体现了新课标的教育理念． 在注重基础和应用的同时，今年天津高考试卷也加强了综合性与创新性的考查，以提高试卷区分度，如第8题，主要考查基本初等函数的图像和性质，设问综合了分段函数单调性、函数零点以及图像变换等典型考点，充分考查了考生的数形结合思想与转化化归思想，考验学生的知识理解深度与分析问题解决问题的能力．第19题设问较为新颖，命题具有一定的抽象性与综合性，需要学生基于三次函数单调性与极值最值的关系进行探索分析，考查函数与方程、分类讨论、转化等数学思想，问题思路环环相扣，逻辑严密，难度较大，充分考验学生的心理素质，具有较好的区分度，体现了高考的选拔性，另外也给优秀学生提供了展示自身能力的平台，也引导我们数学教学工作需注重数学能力与创新意识的培养．第20题总的来说需要考生熟练掌握解析几何中常见几何图形性质的代数表达并合理选择参数简化运算，对考生的运算和解题技巧要求较高．2016年天津理科数学试卷继续稳字当头，平凡问题考查真功夫，没有出现任何偏题怪题，有利于学生考出好成绩，也对中学数学教学回归教材、扎实基础有很好的导向作用．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{1，2，3，4}，则(A ∪B )∩C ＝
A ．{2}
B ．{1，2，4}
C ．{1，2，4，6}
D ．{1，2，3，4，6}
2．设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】2－x ≥0，则x ≤2，|x －1|≤1，即－1≤x ≤1，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项．
3．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 ( )
A ．45
B ．35
C ．25
D ．15
【解析】选取两支彩笔的方法有C 25种，含有红色彩笔的选法为C 14种，
由古典概型公式得，P ＝410＝25
． 4．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，
则输出N 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始值为N ＝19，
第一次循环结束：N ＝N －1＝18，不满足N ≤3；第二次循环结束：N
＝13N ＝6，不满足N ≤3；第三次循环结束：N ＝13
N ＝2，满足N ≤3；此时结束循环，输出N ＝3．
5．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，ΔAFO 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线
的方程为( )
A ．x 24－y 212＝1
B ．x 212－y 24＝1
C ．x 23－y 2＝1
D ．x 2－y 23＝1 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：b a
＝3，c ＝2，c 2＝a 2＋b 2，解得：a 2＝1，b 2＝3，双曲线方程为：x 2－y 23
＝1，本题选择D 选项． 6．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f (log 215
)，b ＝f ()log 24.1，c ＝f (20．8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．c ＜b ＜a
D ．c ＜a ＜b
【解析】由题意得，a ＝－f (log 215
)＝f (log 25)，且log 25＞log 24．1＞2，1＜20．8＜2，故log 25＞log 24．1＞20．8，结合函数的单调性得，f (log 25)＞f ()log 24.1＞f (20．
8)，即a ＞b ＞c ，即c ＜b ＜a ． 7．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π．若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭
⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )
A ．ω＝23，φ＝π12
B ．ω＝23，φ＝－11π12
C ．ω＝13，φ＝－11π24
D ．ω＝13，φ＝7π24
【解析】因f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，故f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎫11π8
－5π8＝3π，故ω＝2π3π＝23，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ．故2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12
，k ∈Z ，又|φ|<π，故取k ＝0，得φ＝π12
． 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋2，x <1，x ＋2x ，x ≥1.
设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥|x 2＋a |在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )
A ．[－2，2]
B ．[－23，2]
C ．[－2，23]
D ．[－23，23]
【解析】作出f (x )的图像如图所示，当y ＝|x 2
＋a |的图像经过点(0，2)时，可知a ＝±2．当y ＝x 2＋a 的图像与y ＝x ＋2x 的图像相切时，由x 2
＋a ＝x ＋2x
，得x 2－2ax ＋4＝0，由Δ＝0，并结合图像可得a ＝2．要使f (x )≥|x 2
＋a |恒成立，只需f (0)≥|a |，当a ≤0时，需满足－a ≤2，即－2≤a ≤0；当a >0时，需满足a ≤2，故－2≤a ≤2．
二． 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i 2＋i
为实数，则a 的值为__________． 【解析】a －i 2＋i ＝（a －i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）
＝（2a －1）－（a ＋2）i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，则a ＋25＝0，a ＝－2
10．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图像在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．
【解析】f (1)＝a ，切点为(1，a )．f ′(x )＝a －1x ，则切线的斜率为f ′(1)＝a －1，切线方程为：y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0得出y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1． 11．已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ______．
【解析】设正方形的边长为a ，则6a 2＝18，故a 2＝3，故外接球直径2R ＝3a ，故V ＝43πR 3＝43π×(32
)3＝92
π． 12．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若∠F AC ＝120°，则圆的方程为________．
【解析】由题意知该圆的半径为1，设圆心C (－1，a )(a >0)，则A (0，a )．又F (1，0)，故AC →＝(－1，
0)，AF →＝(1，－a )．由题意知AC →与AF →的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a 2
＝－12，解得a ＝3．故圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1．
13．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab
的最小值为________ 【解析】因a ，b ∈R ，ab ＞0，故a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab
＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24
时取得等号． 14．在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE
→＝－4，则λ的值为_____________．
【解析】AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝(13AB →＋23AC →)·(λAC →－AB →)＝λ－23
AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311
．. 法二：以点A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，不妨设点
C 在第一象限，则A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)．由B
D ―→＝2DC ―→，得D ⎝⎛⎭
⎫53，233，由AE ―→＝λAC ―→－AB ―→，得E (λ－3，3λ)，则AD ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭
⎫53，233·(λ－3，3λ)＝53(λ－3)＋233×3λ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311
. 三． 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分) 在ΔABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．
⑴．求cos A 的值；
⑵．求sin (2B －A )的值．
【解析】⑴．由a sin A ＝4b sin B
及a sin A ＝b sin B 知，a ＝2b ，由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝55
； ⑵．由⑴得，sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B 得，sin B ＝55
．由⑴知，A 为钝角，故cos B ＝1－sin 2B ＝255．于是sin2B ＝2sin B cos B ＝45，cos2B ＝1－2sin 2 B ＝35
，故sin (2B －A )＝sin2B cos A －cos2B sin A ＝45×(－55)－35×255＝－255
． 16．(本小题满分13分)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万)
甲 70 5 60
乙 60 5 25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(I)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(II)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？
【解析】(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，
x ≤2y ，
x ≥0，y ≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不
等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：
(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y ．考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25
，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线，z 25为直线在y 轴上的截距，当z 25
取得最大值时，z 的值最大．又x ，y 满足约束条件，故由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截
距z 25最大，即z 最大．解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3)．故，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
17．(本小题满分13分) 如图，在四棱锥P －ABCD
中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，
BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2．
(I)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
(II)求证：PD⊥平面PBC；
(Ⅲ)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
【解析】(Ⅰ)如图，由已知AD//BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD
⊥平面PDC，故AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得AP＝5，故cos∠DAP＝
5
5．故异面直线
AP与BC所成角的余弦值为
5 5．
(Ⅱ)证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD 平面PDC，故AD⊥PD．又因为BC//AD，故PD⊥BC，又PD⊥PB，故PD⊥平面PB C．
(Ⅲ)解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，故∠DFP为直线DF 和平面PBC所成的角．由于AD//BC，DF//AB，故BF＝AD＝1，由已知，得CF＝BC–BF＝2．又
AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得DF＝25，在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝
5 5．故
直线AB与平面PBC所成角的正弦值为
5 5．
18．(本小题满分13分)已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N*)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4．
(1)求{a n}和{b n}的通项公式；
(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*)．
解(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，故q2＋q－6＝0，又q＞0，解得q＝2，故b n＝2n．由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8①，由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16②，联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得a n＝3n－2．故{a n}的通项公式为a n＝3n－2，{b n}的通项公式为b n＝2n．
(2)设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n＝6n－2，b n＝2n，有T n＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n，2T n＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1，上述两式相减得，－T n
＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1，＝12×（1－2n）
1－2
－4－(6n－2)×2n＋1＝－(3n－
4)2n＋2－16．故T n＝(3n－4)2n＋2＋16．故数列{a2n b n}的前n项和为(3n－4)2n＋2＋16．
19．(本小题满分14分)设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f(x)＝x3－6x2－3a(a－4)x＋b，g(x)＝e x f(x)．
⑴．求f(x)的单调区间；
⑵．已知函数y＝g(x)和y＝e x的图像在公共点(x0，y0)处有相同的切线，
(i)求证：f (x )在x ＝x 0处的导数等于0；
(ii)若关于x 的不等式g (x )≤e x 在区间[x 0－1，x 0＋1]上恒成立，求b 的取值范围．
【解析】⑴．由f (x )＝x 3－6x 2－3a (a －4)x ＋b ，可得f ′(x )＝3(x －a )[x －(4－a )]，令f ′(x )＝0，解得x ＝a ，或
x ＝4－a ．由|a |≤1，得a ＜4－a ．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，a ) (a ，4－a ) (4－a ，＋∞)
f ′(x ) ＋ － ＋
f (x ) ↗ ↘ ↗
故f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，(4－a ，＋∞)，单调递减区间为(a ，4－a )．
⑵．(i)因为g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )]，由题意知0000()e ()e x x x x g g'⎧=⎪⎨=⎪⎩，故0000000()e e e (()())e
x x x x f f f x 'x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f 'x x f =⎧⎨=⎩
．故f (x )在x ＝x 0处的导数等于0． (ii)因g (x )≤e x ，x ∈[x 0－1，x 0＋1]，由e x ＞0，可得f (x )≤1．又f (x 0)＝1，f ′(x 0)＝0，故x 0为f (x )的极大值点，由(I)知x 0＝a ．另一方面，由于|a |≤1，故a ＋1＜4－a ，由(I)知f (x )在(a －1，a )内单调递增，在(a ，a ＋1)内单调递减，故当x 0＝a 时，f (x )≤f (x )＝1在[a －1，a ＋1]上恒成立，从而g (x )≤e x 在[x 0－1，x 0＋1]上恒成立．由f (a )＝a 3－6a 2－3a (a －4)a ＋b ＝1，即b ＝2a 3－6a 2＋1，－1≤a ≤1，令t (x )＝2x 3－6x 2＋1，x ∈[－1，1]，则t ′(x )＝6x (x －2)，令t ′(x )＝0得，x ＝2(舍)，或x ＝0．因t (－1)＝－7，t (1)＝－3，t (0)＝1，故t (x )的值域为[－7，1]，故b 的取值范围为[－7，1]．
20．(本小题满分14分)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c ，0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，ΔEF A 的面积为12
b 2． ⑴．求椭圆的离心率；
⑵．设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝32
c ，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ．
(i)．求直线FP 的斜率；
(ii)．求椭圆的方程．
【解析】⑴．设椭圆的离心率为e ．由已知，可得12(c ＋a )c ＝12
b 2．又由b 2＝a 2－
c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0．又0＜e ＜1，解得e ＝12．故椭圆的离心率为12
． ⑵．(i)．依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m ＞0)，则直线FP 的斜率为1m
，由⑴知，a ＝2c ，则直线AE 的方程为
34
(ii)解：由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 2
3c 2＝1．由(i)得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，代入椭圆方程x 24c 2＋y 23c 2＝1消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝－13c /7 (舍)，或x ＝c ．因此可得点P (c ，32c )，进而可得|FP |＝52c ，故|PQ |＝|FP |－|FQ |＝52c －32
c ＝c ．由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 与QN 都垂直于直线FP ．因为QN
⊥FP ，故|QN |＝|FQ |tan ∠QFN ＝32c ×34＝98c ，故ΔFQN 的面积为12
|FQ ||QN |＝27c 2/32，同理ΔFPM 的面积等于75c 2/32，由四边形PQNM 的面积为3c ，得132
(75c 2－27c 2)＝3c ，整理得c 2＝2c ，又由c ＞0，得c ＝2．故椭圆的方程为x 216＋y 212
＝1．。