(完整版)复变函数习题答案第3章习题详解
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第三章习题详解
1． 沿下列路线计算积分
⎰
+i
dz z 30
2。
1) 自原点至i +3的直线段；
解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3
()()()⎰⎰
+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+1
3
1
0332330
233
13313i t i dt t i dz z i
2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3；
解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz =
33
033
2
3
2
33
131=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==
⎰
⎰
t dt t dz z
连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz =
()()()33
1
031
02
33
233133
13313-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰
+i it idt it dz z i
()()()3
3331
02
3
0230233
133********i i idt it dt t dz z i
+=-++=
++=
∴⎰⎰⎰
+ 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。
解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz =
()()31
031
2
02
3
131i it idt it dz z i
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰
连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz =
()()()33
1
031
02323113
131i i i t dt i t dz z i
i
-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰
+
()()3
333320
230
213
13113131i i i i dz z dz z dz z i
i
i
i
+=-++=
+=
∴⎰
⎰
⎰
++ 2． 分别沿x y =与2
x y =算出积分
()⎰++i
dz iy x
10
2
的值。
解：x y = ix x iy x +=+∴2
2
()dx i dz +=∴1 ()()()()()⎪⎭⎫
⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴
⎰⎰
+i i x i x i dx ix x i dz iy x i
213112131111
0231
0210
2 2
x y = ()2
2
2
2
1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴
()()()()()⎰
⎰⎪⎭⎫
⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴
+1
1
043210
2
2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x
i
而()i i i i i 656121213
1
3121311+-=-++=⎪⎭⎫
⎝⎛++
3． 设()z f 在单连通域B 内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。问()[]0=⎰
C
dz z f Re ，
()[]0=⎰C
dz z f Im 是否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。
解：不成立。
例如：()z z f =，ϑ
i e z C =：，πϑ<≤0
()[]()i i d dz z f C
πϑϑϑπ
=+=⎰
⎰sin cos cos Re 20
()[]()πϑϑϑπ
-=+=
⎰
⎰sin cos sin Im i d dz z f C
20
4． 利用在单位圆上z z 1
=
的性质，及柯西积分公式说明i dz z C
π2=⎰，其中C 为正向单位圆周1=z 。 解：01
1-==
z z z ()i f dz z dz z C
C
ππ2020
1
==-=∴⎰
⎰ 5． 计算积分⎰
C
dz z
z
的值，其中C 为正向圆周： 1) 2=z ；
解：在2=z 上，ϑ
i e z 2= ()[]i i id e d e dz z z i i C
πϑϑπ
ππϑϑ
42222
2202020====⎰⎰⎰
-
2) 4=z
解：在4=z 上，ϑ
i e z 4=
()[]i i id e d e dz z z i i C
πϑϑπππϑ
ϑ84444
4202020====⎰⎰⎰
-
6． 试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？C 是正向的圆周1=z 。 1)
⎰
-C
z dz
2
解：()21
-=
z z f 在C 内解析，根据柯西—古萨定理，02=-⎰C
z dz 2)
⎰
++C
z z dz
4
22
解：()()2221421+=++=
z z z z f 在C 内解析，根据柯西—古萨定理，0422=++⎰C
z z dz