复变函数经典例题

第一章例题

例1.1试问函数二-把」平面上的下列曲线分别变成].；平面上的何种曲线?

(1)以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧；

(2)倾角二的直线；

(3)双曲线''■='。

解设Z = x + =r(cosfi + ι SiIl θ)7= y + jv = Λ(cos

R = r2jφ = 2θ

因此

(1)在口平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周。

2π φ ~

—

(2)在口平面上对应的图形为：射线J 。

2 2 2 2 2

(3)因，故;"r ?'',在F平面上对应的图形为：直线

金松“。

例1.2设」「在点[连续，且在点的某以邻域内恒不为0.

证因在点勺连续，则能〉0,站〉0,只要k-2ol<^,就有

∣⅛)√(¾)∣<≡

∖X n

E . --------- > 0

特别，取- ，则由上面的不等式得

∣∕(z)∣>l∕(z o)∣-^ = M>0

因此，f②在匚邻域内就恒不为0。

例1.3设

/⑵ 4C ri)(3≠o)

试证一在原点无极限，从而在原点不连续。

证令变点匚—…:弓仁门 1 F ,则

而沿第一象限的平分角线 故「匚在原点无确定的极限，从而在原点不连续。

第二章例题

例2.1 北）= 匚在二平面上处处不可微 证易知该函数在二平面上处处连续。但

Δ/ _ z+∆z -z _ ∆z

∆z ∆z ∆z

零时，其极限为一1。故匚处处不可微。

证因UaJ ）二倆，呛J ） = C I 。故

但

/(⅛) - /(0) _ λj⅛j

∆z ⅛ + i∆y

从而

（沿正实轴。一 H ）

当I: 「时，极限不存在。因

二取实数趋于O 时，起极限为1 ,二取纯虚数而趋于

例2.2

在了 — 1满足定理 2.1的条件，但在_ I.不可微。

M (ΔJ 7O)-⅛(O,O) = 0 = v∕0,0)

(O f O) =

Ii(Q i Ly)-Ii(Ofi) Ay

在二■ I时无极限，这是因让亠一丄 7'沿射线八—7：' J随二；■.

2

例2.3讨论/⑵=IZ I的解析性

解因•,故

UJ = 2扎- 2y f V r=VJ =O

要使C-K条件成立，必有2x = 0,2I y = 0,故只在一I可微，从而，处处不解析。

例2.4讨论/⑵=H '/的可微性和解析性

解因■- ".^1■'' 'l'■：■■「，故

Ul = 2x t Uy = O3V Jf = O l VJ=-I

要使」一条件成立，必有2I = -I) 0 = 0 ,故只在直线二1上可微，从而，处处不解析。

例2.5 讨论一二「…厂TQ-J的可微性和解析性，并求一''o

解因w⅛j) = ^COSy I V(XJ)二/血P ,而

= e x CoS i y r U y= 一/ Sin y f

V IC-S Sln y f V y= & COS I y

在复平面上处处连续且满足「：.条件，从而在二平面上处处可微，也处处解析。且

f(z)=叭+叽二/c艸y+ihsiny = /⑵O

例2.6设卍-确定在从原点匚■起沿负实轴割破了的一'平面上且b■.- ,试求 /之值。

解设匚，则

0纠T

W上二VPE 3t k~ 0X2J M JT <θ

由代入得

而趋于零，即知上式趋于一个与

#1 T有关的值:--V

Lna- In a + 2kπi, Ct = 0+1,);

Z Λ(-Λ) = In at + (2t + I)F t (Jb = 0,±1「); ln( -1) = In 1 + J SΠ = m t

例2.8考查下列二函数有哪些支点

(a) . 'l: l ^ Z 1 ■

(b 」一;—二

解 (a )作一条内部含 O 但不含1的简单闭曲线-」，当」沿-一正方向绕行一周时 匚的辐 角得到增量一：,1 二的辐角没有改变，即

Δ q i arg z = 2πr

Δft aιgCl -^) = Δαarg(z-l)=O

从而

△ q arg/(Z) =-[Δς argz÷∆c o ^(I -刃]

=

∙^[2Λ

^ + 0] = r

故/匚 的终值较初值增加了一个因子 孑”二-1 ,发生了变化，可见0 是-二_的 支点。同理1也是其支点。

任何异于0，1的有限点都不可能是支点。因若设 -■是含■' (≠ Ox 但不含0，1的简

-J

∆c arg∕⑵=二血畤+ 歸 arg(l-z)]

故的终值较初值增加了一个因子 :"-

：,未发生变化。

最后.■-厂' 不是 ∕⅛）二 ΛJ⅛-Z ） 的支点。因若设 「含0， 1的简单闭曲线，则

AC

⅛) = τ[i c ar E z +A C 前g(l-z)] =-[2π + Ξ^] = 2π

故」L ：*的终值较初值增加了一个因子 二 -，未发生变化。

含1但不含O ,和既含O 又含1的简单闭曲线，则

△q ai∙g∕W=-[Δq 遵£+ Aq 吨(1-可]

1 2 = -[0 + 2c] = -π 3 3

结果；-的终值较初值均发生了变化。故 0，1,工】都是支点，此外别无支点。

例2.9试说明- 1在将二平面适当割开后能分出三个解析分支。并求出

在点』二:取负值的那个分支在 ■: 一丨的值

解 易知的支点是；••■ L 。因此，将3平面沿正实轴从 O 到1割开,

再沿负实轴割开。在这样割开后的 平面」上，—'、「- 能分出三个解析分支。 现取一条从「一 •到：的有向曲线「（不穿过支割线），则

∆c argz = ^r ACarg(I-Z)二 +

于是

单闭曲线，则

，IC 。设 C （X C

分别是含O 但不含1,

(b )