七年级数学竞赛讲座13 角的认识

七年级数学竞赛讲座13 角的认识

角的认识

一、一、知识要点

具有公共端点的两条射线所成的图形称为角。

与角有关的基本概念有：周角，平角，直角，锐角，钝角，对顶角等。

二、二、例题精讲

例1． 例1． 如图，已知O 是直线AC 上一点，OB 是一条射线， OD 平分∠AOD ，

OE 在∠BOC 内，∠BOE ＝21

∠EOC ，∠DOE ＝70°，求∠EOC 的度数。

分析：易得∠EOC ＝32

∠BOC ，而∠BOC +∠AOB ＝180°，结合OD 平分∠AOB ，可作∠BOC 平分线，结合∠DOE 可求出∠BOC ，从而求∠EOC 的度数

解：作∠BOC 平分线OF ，则

∠BOF ＝∠COF ＝21

∠BOC

∵OD 平分∠AOB ∴∠AOD ＝∠DOB ＝21∠AOB 又∵∠BOC +∠AOB ＝180°

∴∠DOB+∠BOF ＝90° 即 ∠DOF ＝90°

∴∠EOF ＝∠DOF-∠DOE ＝20°

又∵∠EOF ＝∠BOF-∠BOE

而∠BOF ＝21∠BOC ，∠BOE ＝31

∠BOC

∴∠EOF ＝21∠BOC-31∠BOC ＝61

∠BOC

∴∠BOC ＝6∠EOF ＝120°

∴∠EOC ＝32∠BOC ＝32

×120°＝80°

即 ∠EOC ＝80°

例2． 例2． 一个锐角的余角的补角与这个锐角的差是（ ）

A ．锐角

B ．直角

C ．钝角

D ．不能确定

分析：设该锐角为α，它的余角（90°-α）的补角β应为180°-（90°-α）＝90°+α，β与α的差（90°+α）-α＝90° 故选B

A 10

例3． 例3． 已知∠α的余角是∠β的补角的51

，∠β＞110°，求∠α的范围。 分析：显然∠α是锐角，由互余和互补的定义及条件可求出∠α与∠β的关系，再由∠β的范围，可求出∠α的范围。

解：∠α的余角为90°-α，∠β的补角为180°-β

由题意，得90°-α＝51

（180°-β）

∴β＝5α-270°

∵∠β＞110°

∴5α-270°＞110°∴α＞76°

又由条件知∠α为锐角 ∴α＜90°

故∠α的范围是76°＜α＜90°

评注：本例把∠α转化到∠β进而求出∠α的范围。要把相关概念进解透彻，否则就会忽略α＜90°这一条件。

例4． 例4． 当时间是2点32分时，时针与分针的夹角是多少度？

解：时针每小时转1大格，即30°，所以每分针转0.5°，而分针每分转6°，当时针指向整点时，分针指向12点。因此，我们以指向12点作为角的始边，在2点32分时，时针与12点构成的角度是2×30°+32×0.5°＝76°分针与12点构成的角度是32×6°＝192°，从而，2点32分时，时针与分针的夹角是192°-76°＝116°

评注：（1）当时针与分针所转过的角度的差大于180°时，则需用360°减去这个角，例如：2点50分时，按上述方法求得的角是50×6°-(2×30°+50×0.5°)

=300°-85°=215°＞180°

则时针与分针的夹角为360°-215°＝145°

（2）对于确定的时间，例如x 点y 分时，试写出用x 、y 表示时针与分针的夹角的表达式。

例5． 例5． 如图射线OA 表示北偏东60°，

射线OB 表示东南方向，∠BOC 是∠AOB 的余角，射

线OD 是射线OC 的反向延长线，写出射线OD 所表示的方向。

解：∠AOB=30°+45°=75° ∠AOB 的余角∠BOC=90°-75°=15°

∴OC 表示南偏东30°，OC 的反向延长线OD 所表示方向是北偏西30°

评注：如果本例没有给出图形，那么按题意，射线OC 就有在∠AOB 外部和内部两种不同位置，求OD 的方向也就需要分两种情况求解。

例6． 例6． 如图，OA 1，OA 2，…，OA 10是以O 为端点的十条射线，∠A 1OA 10

＜90°，则图中以O 为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有多少个？

解法一：以O 为端点，以十条射线OA 1，OA 2，…，OA 10的任意两条为边组成的角，取决于从

十条射线OA 1，OA 2，…，OA 10中选出两条配成的对数。 共有9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45对，

所以图中以O 为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有45个。

评注：在数图形的角的总数时，和数线段一样，关键仍是做到不重不漏，因此，必须按照一定的规律去数。

解法二：也可化为数线段的问题。如图作一直线，分别交OA 1，OA 2，…，

OA 10于A 1，A 2，…，A 10，则每一个角对应于A 1 A 10上的某一条线段。

反过来，A 1 A 10上的每一条线段又对应于某一个角，如∠A 4OA 6，它对应线段A 4A 6，而线段A 4A 6恰好对应线段于∠A 4OA 6，因此，要数图

中角的个数，只要数A 1 A 10上的线段数即可，

而A 1 A 10上的线段数有9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45条

因此，图中共有45个角

例7． 例7． 求证：成对顶角的两个角的平分线，在一直线上。

证明：如图，AB 、CD 相交于O ，则∠AOC 与∠BOD 成对顶角。设OE 、OF 分别为∠AOC 、∠BOD

的平分线，

∵∠AOE=21∠AOC ∠BOF=21∠BOD 且∠AOC=∠BOD ∴∠AOE=∠BOF 又∵∠BOF+∠FOD+∠DOA=180°

∴∠AOE+∠FOD+∠DOA=180°

即∠EOF=180°

∴OE 、OF 在同一直线上。

评注：与对顶角有关的问题比较多，解这类题时，主要运用对顶角的定义来解题

例8． 例8． 已知：直角∠AOB ，以点O 为端点在∠AOB 的内部画出1995条射

线，以OA 、OB 及这些射线为边的锐角的个数是多少？

解：设以O 为端点在∠AOB 的内部画出的1995条射线逆时针方向分别为射线OP 1，OP 2，OP 3…，OP 1995

则以OA 为始边，逆时针方向旋转，形成1995个锐角（终边分别为射线OP 1，OP 2，OP 3…，OP 1995） 以OP 1为始边，逆时针方向旋转，形成1995个锐角（终边分别为射线OP 2，OP 3，…，OP 1995，OB ）

以OP 2为始边，逆时针方向旋转，形成1994个锐角（终边分别为射线OP 3，OP 4，…，OP 1995，OB ）

……

以OP 1995为始边，逆时针方向旋转，形成1个锐角（终边为射线OB ）

∴ 共有1995+1995+1994+1993+…+2+1＝1993005（个）

三、三、巩固练习

选择题

1、两个角β,a 的补角互余，则这两个角的和β+a 的大小是

A.180°

B.135°

C. 270°

D.90°

2、如图，OM 是∠AOB 的平分线，射线OC 在∠BOM 内部，ON 是∠BOC 的平

分线，已知∠AOC ＝80°，则∠MON 为 （ ）

A ．30°

B ．40°

C ．45°

D ．50°

O 第2题

E

F