高中数学-定积分与微积分基本定理学案

高中数学-定积分与微积分基本定理学案

一、知识导学

1．可微：若函数)(x f y =在0x 的增量x ∆可以表示为x ∆的线性函数x A ∆（A 是常数）与较

x ∆高阶的无穷小量之和:)(x o x A y ∆+∆=∆（1）,则称函数f 在点0x 可微，

（1）中的x A ∆称为函数f 在点0x 的微分，记作x A dy x x ∆==0或x A x df x x ∆==0)(.函数)(x f 在点0x 可微的充要条件是函数)(x f 在0x 可导，这时（1）式中的A 等于)(0x f '.若函数)(x f y =在区间I 上每点都可微，则称)(x f 为I 上的可微函数.函数)(x f y =在I 上的微分记作

x x f dy ∆'=)(.

2．微积分基本定理：如果)()(x f x F ='，且)(x f 在],[b a 上可积.则

⎰-=b a a F b F dx x f )()()(.其中)(x F 叫做)(x f 的一个原函数.

由于)(])([x f c x F ='+，c x F +)(也是)(x f 的原函数，其中c 为常数.

二、疑难知识导析

1 .定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤，这里包含着很重要的数学思想方法，只有对定积分的定义过程了解了，才能掌握定积分的应用.

1）一般情况下，对于区间的分割是任意的，只要求分割的小区间的长度的最大者λ趋近于0，这样所有的小区间的长度才能都趋近于0，但有的时候为了解题的方便，我们选择将区间等份成n 份，这样只要2其中的使01→n

就可以了. 2）对每个小区间内i ξ的选取也是任意的，在解题中也可选取区间的左端点或是右端点.

3）求极限的时候，不是∞→n ，而是0→λ.

2．在微积分基本定理中，原函数不是唯一的，但我们只要选取其中的一个就可以了，一般情况下选那个不带常数的。因为)()()(])([)(a F b F x F c x F dx x f b a b a b a -==+=⎰.

3．利用定积分来求面积时，特别是位于x 轴两侧的图形的面积的计算，分两部分进行计算，然后求两部分的代数和.

三 、经典例题导讲

[例1]求曲线x y sin =与x 轴在区间]2,0[π上所围成阴影部分的面积S.

错解：分两部分，在]

,0[π⎰=π02sin xdx ，在[]ππ2,⎰-=π

π22sin x ，因此所求面积S 为 2+（-2）=0。 分析：面积应为各部分积分的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数。所以不应该将两部分直接相加。

正解：⎰=π0sin xdx S 422sin 2=+=+⎰ππxdx

[例2]用微积分基本定理证明

⎰⎰⎰+=b a b

c c a dx x f dx x f dx x f )()()(（b c a <<） 分析：即寻找)(x f 的原函数代入进行运算。

解；设)()(x f x F ='，则⎰⎰+b c c a dx x f dx x f )()(

=)()()()(c F b F a F c F -+- =)()(a F b F -

由微积分基本定理的逆运用可知：上式⎰=

b a dx x f )( 所以原式成立，即证。

注：该式可用来求分布在x 轴两侧的图形的积分。

[例3]根据等式求常数a 的值。

1）⎰->=a a

a dx x )0(182 2）⎰=a e x dx 3 分析：利用微积分基本定理，求出原函数代入a 求解 解：1）3183

)(333

33

2=⇒=--==⎰--a a a x dx x a a a a 2）443ln ln ln e a e a e a x x dx a e a e ±=⇒=⇒=-==⎰

[例4]某产品生产x 个单位时的边际收入)0(100200)(≥-

='x x x R （１） 求生产了50个单位时的总收入。

（２） 如果已生产了100个单位时，求再生产100个单位时的总收入。

分析：总收入为边际收入的积分和，求总收入既为求边际收入在规定时间内的定积分。由收入函数)(x R 和边际收入)(x R '的关系可得

（1）生产50个单位时的总收入为dx x R R ⎰'=500)()50(

=dx x ⎰-500)100

200( =99875 （2）已生产了100个单位时后，再生产100个单位时的总收入为⎰⎰=-='20010020010019850)100

200()(dx x dx x R 答：生产50个单位时的总收入为99875；生产了100个单位时后，再生产100个单位时的总收入为19850.

[例5]一个带电量为Q 的电荷放在x 轴上原点处，形成电场，求单位正电荷在电场力作用下沿x 轴方向从a x =处移动到b x =处时电场力对它所作的功。

分析：变力做功的问题就是定积分问题在物理方面的应用。

解：单位正电荷放在电场中，距原点x 处，电荷对它的作用力为2x

q k F = 在单位电荷移动的过程中，电场对它的作用力为变力。则根据课本对变力做功的分析可知

⎰-=⋅=b a b a kq dx x

q k W )11(2 答：电场力对它做的功为)11(b

a kq -。 [例6]一质点以速度)/(6)(2s m t t t V +-=沿直线运动。求在时间间隔)4,1(上的位移。

分析：变速求位移和变力求功一样都可以用定积分解决。 解：2131)62131()6()(412341241=+-=+-==⎰⎰t t t dt t t dt t v S 答：位移为m 2131。

四、典型习题导练 1.

=⎰321

dx x ( ) A.2131- B.2ln 3ln - C.3ln 2ln - D.3121- 2．⎰=π20cos xdx （ ）

A ．0 B.2 C.-2 D.4

3．⎰=-1

02)(dx x a x ，则=a 。