小学奥数教师版合辑-5-8-1进制的计算
1. 了解进制；2. 会将十进制数转换成多进制；3. 会将多进制转换成十进制；4. 会多进制的混合计算；5. 能够判断进制.一、数的进制1.十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
2.二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n ,我们有n 0=1。
3.k 进制：一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，．如二进位制的计数单位是02，12，22，，八进位制的计数单位是08，18，28，．4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式 1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=⨯+⨯++⨯+（）十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数 如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数． 5.k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
二、进制间的转换：一般地，十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数，一直除到被除数小于k 为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果． 如右图所示:知识点拨教学目标5-8-1.进制的计算模块一、十进制化成多进制【例1】把9865转化成二进制、五进制、八进制，看看谁是最细心的。
【考点】十进制化成多进制【难度】3星【题型】解答【解析】一定要强调两点（1）商到0为止，（2）自下而上的顺序写出来102(9865)(10011010001001)=105(9865)(303430)=108(9865)(23211)=【答案】102(9865)(10011010001001)=,105(9865)(303430)=,108(9865)(23211)=【巩固】852567(((=== ） ） ）；【考点】十进制化成多进制【难度】3星【题型】解答【解析】本题是进制的直接转化：852567(1067(4232(1000110111===）））；【答案】852567(1067(4232(1000110111===）））模块二、多进制转化成十进制【例2】将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？【考点】多进制转化成十进制【难度】3星【题型】解答【解析】根据二进制与十进制之间的转化方法，(11010.11)2 =1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75。
【答案】26.75例题精讲十进制二进制十六进制八进制【例 3】 同学们请将258(11010101),(4203),(7236)化为十进制数，看谁算的又快又准。
【考点】多进制转化成十进制 【难度】3星 【题型】解答【解析】765432102(11010101)1212021202120212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 128641641=++++213=32105(4203)45250535=⨯+⨯+⨯+⨯500503553=++=32108(7236)78283868=⨯+⨯+⨯+⨯3584128246=+++3742= 【答案】213,553,3742模块三、多进制转化成多进制【例 4】 二进制数XXXX1转化为8进制数是多少？【考点】多进制转化成多进制 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 根据二进制与八进制之间的转化方法推导出二八对照表：八进制数 01 2 3 4 5 6 7 二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111从后往前取三合一进行求解，可以得知()210101011110011010101101()825363255=【答案】()825363255【例 5】 将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。
【考点】多进制转化成多进制 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 在转换为高于9进制的数时，遇到大于9的数用字母代替，如：A 代表10、B 代表11、C 代表12、D 代表13……。
根据取四合一法，二进制11101001.1011转换为十六进制为E 9.B 。
【答案】E 9.B【例 6】 某数在三进制中为XX110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第1位数字是几? 【考点】多进制转化成多进制 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 由于32=9，所以由三进制化为9进制需要取二合一。
从后两个两个的取，取至最前边为12，用位值原理将其化为1×31+2×30=5，所以化为9进制数后第一位为5.【答案】5模块四、多进制混合计算【例 7】 ① 222(101)(1011)(11011)⨯-=________；② 2222(11000111(10101(11(-÷=））） ）；③88888(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)----=________；【考点】多进制混合计算 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 ① 对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制：2221010101010(101)(1011)(11011)(5)(11)(27)(28)(11100)⨯-=⨯-==； ② 可转化成十进制来计算： 222101010102(11000111(10101(11(199)(21)(3)(192)(11000000-÷=-÷==））））； 如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对22(10101(11÷））进行除法计算，只是每次借位都是2，可得222222(11000111(10101(11(11000111(111(11000000-÷=-=））））））；③十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方 法叫“凑整法”，在n 进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n ． 原式88888(63121)[(1247)(26531)][(16034)(1744)]=-+-+ 8888(63121)(30000)(20000)(13121)=--=；【答案】(1)、10(11100)，（2）、2(11000000），（3）、8(13121)【巩固】 ①在八进制中，1234456322--=________；②在九进制中，1443831237120117705766+--+=________．【考点】多进制混合计算 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 ①原式1234(456322)12341000234=-+=-=；②原式14438(31235766)(712011770)1443810000200004438=++-+=+-=．【答案】（1）、234，（2）、4438【例 8】 计算4710(3021)(605)()+= ； 【解析】 本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制比较适宜：32471010103021)(605)(34241)(675)(500)+=⨯+⨯++⨯+=(【答案】10(500)模块五、多进制的判断【例 9】 若(1030)140n =，则n =________．【考点】多进制的判断 【难度】5星 【题型】填空【解析】 若(1030)140n =，则33140n n +=，经试验可得5n =． 【答案】5【例 10】 在几进制中有413100⨯=？【考点】多进制的判断 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 利用尾数分析来解决这个问题：由于101010(4)(3)(12)⨯=，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位． 所以说进位制n 为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个． 但是式子中出现了4，所以n 要比4大，不可能是4，3，2进制．另外，由于101010(4)(13)(52)⨯=，因为52100<，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道10n <，那么n 不能是12． 所以，n 只能是6．【答案】6【例 11】 在几进制中有12512516324⨯=？【考点】多进制的判断 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10n <．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位． 所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3． 因为出现了6，所以n 只能是7．【答案】7【巩固】 算式153********⨯=是几进制数的乘法？ 【考点】多进制的判断 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520⨯=，但是现在为4，说明进走20416-=，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534253835043214⨯=<，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．【答案】8。
快速计算负数的二进制
快速计算负数的二进制
那啥是二进制呢？想象一下，咱们平常数数用的是0到9这十个数字，这叫十进制。
而二进制就只有0和1两个数字，就像开和关、对和错一样简单。
比如说，在二进制里，1就是1，2就变成了10 ，3呢就是11啦。
是不是有点神奇呀？
现在咱们来说说负数的二进制怎么算。
这就好比给数字穿上了一件特别的“衣服”。
咱们先来看个例子哈，比如说要算 -3的二进制。
第一步呀，咱们先不管它是负数，就先算3的二进制。
3用二进制表示就是11 。
这时候，咱们要找一个合适的“框框”来装它。
就像给它找个小房子住一样。
假设咱们用4位来表示，那3的二进制就是0011 。
为啥前面要加两个0呢？这就像给它补齐，让它住得舒服点儿，有个完整的小窝。
接下来，就是给这个数字变魔法啦！因为它是负数，所以要把所有的数字都反过来，0变成1，1变成0 。
那0011就变成了1100 。
这就好像是数字们在做游戏，换了个位置呢。
但是呢，这还没完哦！还得再加1 。
1100加上1 ，就变成了1101 。
恭喜你，这就是 -3的二进制啦！是不是像变魔术一样呀？
再举个例子哈，要是算 -5的二进制。
先算5的二进制，5用二进制表示是
101 。
咱们还是用4位来表示，那就是0101 。
然后把数字反过来，就变成了1010 。
最后再加1 ，就变成了1011 。
瞧， -5的二进制就这么轻松算出来啦！
现在你们也学会这个数字魔法了吧！快找几个负数来试试看，感受一下这个神奇的过程哦，说不定你会发现更多有趣的东西呢！。
小学奥数六年级上第5讲《进位制问题》教学课件
极限挑战
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例题6：一本书共有2013页，第一天看一页书，从第二天起，每天看的页数都是以前各天的 总和，如果直到最后剩下的不足以看一次时就一次看完，共需多少天? 分析：根据题目要求逐列出每天所看的页码数，不断总结计算直至得出最后答案. 答案：12天
巩固提升
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例题讲解
例题2：
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（1）把三进制数12120120110110121121改写成九进制，它从左向右数第1位数字是多少？
（2）(111011001)2=( )4=( )8 分析：三进制数化为九进制数，除了用前面说过的以十进制为桥梁进行转化，是否有更简
单巧妙的办法呢?
答案：
（1）5
六年级上第5讲
进位制问题
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知识树
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数学知识点
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1.知识精讲 3.极限挑战
2.例题讲解 4.巩固提升
数学知识点
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例题讲解
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练习4：在七进制中有三位数 abc ，化为九进制为 cba ，这个三位数在十进制中是多少？ 答案：248
极限挑战
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例题5：一个天平，物品必须放在左盘，砝码必须放在右盘，那么为了能称出1克到1000克， 至少需要多少个砝码? 分析：从最小的重量1，2，3，…克开始推理，注意已有砝码是可以累加在一起的. 答案：10个
练习3：(123)5×(123)5=( )5 答案：21234
奥数：小学奥数.进制的性质及应用(ABC级).学生版 (2)
一、 数的进制（1） 十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
（2） 二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n ,我们有n 0=1。
（3） k 进制：一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2， ，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ， ．如二进位制的计数单位是02，12，22， ，八进位制的计数单位是08，18，28， ．（4） k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=⨯+⨯++⨯+ （） 十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++ ； 二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++ ；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．（5） k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
二、 进制间的转换：知识结构进制的性质与应用一般地，十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数，一直除到被除数小于k 为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果． 如右图所示:1． 几进制就是逢几进一，借一当几。
小学奥数精讲第四讲 进位制与位值原理
第4讲 进位制与位值原理（二）同步练习： 1. 计算：102(2014)()= 210(101110)()=【答案】见解析【解析】倒取余数法：102(2014)(11111011110)=位值原理法：210(101110)(46)=2. 八进制的1234567化成四进制后，前两位是多少? 【答案】11【解析】先八进制化为二进制：一位变三位：82(1234567)(1010011100101110111)=；再把二进制化为四进制：两位合一位：24(1010011100101110111)(1103211313)=.可见，前两位为11.3. 在几进制中有12512516324⨯=? 【答案】7【解析】注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10<n ．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．因为出现了6，所以n 只能是7．4. 已知100(1)3=+-÷bab b a ，则b =_____. 【答案】7【解析】10110=+bab b a ;100(1)1001003+=+-÷b b a .得313300+=a b .（a ,b ）= (9,7)，b =7.5. 将6个灯泡排成一行，用○和●表示灯亮和灯不亮，下图是这一行灯的五种情况，分别表示五个数字：1，2，3，4，5．那么●○○●○●表示的数是______．【答案】26【解析】从图中数字1、2、4的表示可知：自右向左第一个灯亮表示1，第二个灯亮表示2，第三个灯亮表示4，第四个灯亮表示8，第五个灯亮表示16，第六个灯亮表示32．因此问题当中的表示168226++=54321●○○○●○○●○○●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●6. 在宇宙中有一个使用三进制的星球．小招移居到这个星球后更换身份证，要把年龄从十进制数变为三进制数表示．小招发现，只要在原来十进制年龄末尾添个“0”，就是三进制下的年龄．请问小招多少岁? 【答案】21岁【解析】①设小招为a 岁，得(10)(3)0=a a ，又10(3)(10)03033=⨯+⨯=a a a ，解得0=a ，不合题意，所以小招的年龄不可能是一位数．②设小招是ab 岁，由题意得：(10)(3)0=ab ab ．因为(10)10=+ab a b ，(3)0930193=⨯+⨯+⨯=+ab a b a b ，所以1093+=+a b a b ，即2=a b ． 又因为0ab 是三进制数，a ，b 都小于3，所以2=a ，1=b ．所以，小招为21岁． ③设小招为abc 岁，由题意有，(10)(3)0=abc abc ，因为(10)10010=++abc a b c ， 32(3)03332793=⨯+⨯+⨯=++abc a b c a b c ，所以100102793++=++a b c a b c ．即732+=a b c ．又a 、b 、c 都小于3，所以上述等式不成立． 综上可知小招的年龄是21岁．7. abcd ，abc ，ab ，a 依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足abcd -abc -ab -a = 1787，则这四位数=______或______. 【答案】2009或2010【解析】原式可表示成：8898991787+++=a b c d ，则知a 只能取：1或2，当1=a 时，b 无法取，故此值舍去.当2=a 时，0=b ，0=c 或1，d 相应的取9或0.所以这个四位数是：2009或2010.8. 十进制计算中,逢10必须进位,有保密员之间采用r 进位制方式计算,在他们的运算中: 10(166)(133)(24)-=r r ，则r =______.【答案】7【解析】(166)(133)(33)33247-==⨯+=⇒=r r r r r .9. 一个三位数A 的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是数A ，这个三位数A 是_____. 【答案】495【解析】设这个最大三位数为abc ，那么最小三位数为cba ，于是99()=-=-A abc cba a c ，三位数A 是99的倍数，所有可能值如下：198、297、396、495、594、693、792、891.代入题中检验，得A =495.10. 记号(75)k 表示k 进制的数，如果(70)k 在m 进制中表示为(56)m ,又m 、k 均小于等于10，求k 和m 的值.【答案】8,10==k m【解析】由于()()107077=⨯=k k k ,()()10565656=⨯+=+m m m ;所以567+=m k ,求得8,10==k m .深化练习11. 正整数3、5、6、15可以分别表示为121⨯+，2121⨯+，21212⨯+⨯，321212121⨯+⨯+⨯+，他们的上述表示(又称之为二进制)中1的个数分别是2，2，2，4，都是偶数，像3、5、6、15…这样的数，称为魔数，前10个魔数(从小到大)的和是______. 【答案】115【解析】魔数从小到大排列：11，101，110，1001，1010，1100，1111，10001，10010，10100，……，前10个有5个1在末位，5个1在倒数第二位，5个1在倒数第三位，4个1在倒数第4位，3个1在倒数第5位，和为2345152524232115⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＝.12. 四位数1234可通过下面的变换变成1541：现在有一个四位数，通过以上方法变换成3779，那么原来的这个四位数是______. 【答案】3271【解析】设原来这个四位数是，则有37++=a b ，79++=c d ，即11237+=a b ，11279+=c d ，解得3,2,7,1====a b c d ，所以原来这个四位数是3271.13. 一个人今年的年龄恰好等于他出生年的数字和，那么这个人今年的年龄是______. 【答案】5或23【解析】(1)设这个人的出生年为19ab ，根据题意19201719+++=-a b ab102017190010++=---a b a b化简得：112107+=a b .所以111072=-a b 因为9≤b ，所以111071889≥-=a .从而9≥a 推出9=a ，4=b .这个人的年龄为2017199423-=（岁）.(2)设这个人的出生年月为20ab ，根据题意 20201720+++=-a b ab ， 11215+=a b12==，a b .这个人的年龄为201720125-=（岁）.14. 四位数及其逆序数的和是35的倍数，求满足条件的四位数一共有多少个？ 【答案】238【解析】()()1001110+=+++abcd dcba a d b c ，可以知道+a d 是5的倍数，+b c 是7的倍数，其中a ，d 不为0，有5/10/15+=a d ，0/7/14+=b c ，(),a d 一共有17组，(),b c 一共有14组，那么一共有1714238⨯=.12+1+21541123415.a、b、c是0~9中不同的数字，用a、b、c共可组成六个数，如果其中五个数之和不小于2009，也不大于2012，那么另一个数是______.【答案】208【解析】这六个数的总和为222（a＋b＋c）.若a＋b＋c=10，那么六个数总和为2220，所求的数不小于208，不大于211，只有208满足条件；若a＋b＋c=11，那么六个数总和为2442，所求的数不小于430，不大于433，都不符合条件；若a＋b＋c=12，那么六个数总和为2664，所求的数不小于652，不大于655，都不符合条件；若a＋b＋c=13，那么六个数总和为2886，所求的数不小于874，不大于877，都不符合条件；若a＋b＋c≥14，那么六个数总和不小于3108，那么另一个数超过1000，不符合题意.综上可得，另一个数必是208.。
小学奥数专题-数的整除之四大判断法综合运用(二).教师版
5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用（二）教学目标1.了解整除的性质；2.运用整除的性质解题；3.整除性质的综合运用.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除,这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除,这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数,这个数一定是99的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除,那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a,c︱b,那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除,b又能被数c整除,那么a也能被c整除．即如果b∣a,c∣b,那么c∣a．用同样的方法,我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除,那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a,那么b∣a,c∣a．性质4如果数a能被数b整除,也能被数c整除,且数b和数c互质,那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a,c∣a,且(b,c)=1,那么bc∣a．例如：如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除,那么am也能被bm整除．如果b｜a,那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除,且数c能被数d整除,那么ac也能被bd整除．如果b｜a ,且d｜c ,那么bd｜ac；例题精讲模块一、11系列【例 1】以多位数142857为例,说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除.【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】142857110000041000021000810051071=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()()()()()110000114199992100118199511171=⨯-+⨯++⨯-+⨯++⨯-+⨯11000014999921001899511418275()()=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-+-+-因为根据整除性质1和铺垫知,等式右边第一个括号内的数能被11整除,再根据整除性质1,要判断142857能否被11整除,只需判断418275487125-+-+-=++-++()()能否被11整除,因此结论得到说明.【例 2】试说明一个4位数,原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数,那么它对应的反序数为6321,它们的和7557是11的倍数．【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】设原序数为abcd,则反序数为dcba,则abcd＋dcba100010010100010010()()a b c d d c b a=+++++++10011101101001=+++a b c d(),因为等式的右边能被11整除,所以abcd+dcba能被11整除1191101091=+++a b c d【例 3】一个4位数,把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】设这个4位数是abcd,则新的4位数是bcda.两个数的和为+=+++,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867是11的倍数,故正1001110011011abcd bcda a b c d确的答案为9867．【答案】9867模块二、7、11、13系列【例 4】以多位数142857314275为例,说明被7、11、13整除的规律.【考点】整除之7、11、13系列【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】142857314275142100000000085710000003141000275=⨯+⨯+⨯+142(10000000011)857(9999991)314(10011)275=⨯-+⨯++⨯-+=⨯-+⨯++⨯-+14210000000011428579999998573141001314275=⨯+⨯+⨯+-+-(14210000000018579999993141001)(857142275314)因为根据整除性质1和铺垫知,等式右边第一个括号内的数能被7、11、13整除,再根据整除性质1,要判断142857314275能否被7、11、13整除,只需判断857142275314-+-能否被7、11、13整除,因此结论得到说明.【例 5】已知道六位数20279□是13的倍数,求□中的数字是几？【考点】整除之7、11、13系列【难度】2星【题型】填空【解析】 根据一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、11或13整除的特点知道：27920=7-□□,7□是13的倍数,□是8的时候是13倍数,所以知道方格中填1。
【免费】【内部资料】5-7-1数值原理与数的进制-题库教师版
5-7位置原理与数的进制教学目标本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
知识点拨一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
进制间的转换：如右图所示。
5-7.位置原理与数的进制.题库教师版page 1 of 95-7.位置原理与数的进制.题库 教师版 page 2 of 9模块一、位置原理 【例 1】 某三位数abc 和它的反序数cba 的差被99除，商等于______与______的差；【解析】 本题属于基础型题型。
二进制负数计算方式
二进制负数计算方式
二进制负数计算方式是指在二进制数中表示负数，并进行加减乘除运算的方式。
在二进制数中，负数通常使用补码表示。
其计算方式如下：
1. 求补码
对于一个负数，其补码就是其对应正数的反码加1。
例如，-5的补码为11111011。
2. 加减运算
在二进制补码运算中，加法和减法的运算方式是相同的。
将两个补码的二进制位相加（或相减），并且舍弃最高位进位（或借位），得到的结果即为运算结果。
例如，-5+3的结果为-2，其补码为11111110。
3. 乘法运算
在二进制补码运算中，乘法运算需要注意乘积的位数。
将两个补码进行乘法运算，然后对乘积的低位进行截取即可得到正确结果。
例如，-5*3的结果为-15，其补码为11110001，对低4位进行截取即可得到正确的结果。
4. 除法运算
在二进制补码运算中，除法运算需要注意商和余数的符号。
将被除数和除数的补码进行除法运算，然后将商和余数的符号按照被除数和除数的符号规则确定即可得到正确结果。
例如，-5/3的商为-1，余数为-2，其补码分别为11111111和11111110，根据被除数和除数的符号规则，商为负数，余数为负数，即得到正确结果。
二进制负数计算方式是计算机运算中的基础知识，掌握其运算方式对于编写高效的计算机程序非常重要。
(教师版)小学奥数5-7-1 位值原理.专项检测题及答案解析
1. 利用位值原理的定义进行拆分2. 巧用方程解位值原理的题位值原理 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。
我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。
这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。
既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。
例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。
最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。
但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。
希望同学们在做题中认真体会。
1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a ×100000+b ×10000+c ×1000+d ×100+e ×10+f 。
3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x ，列方程解答模块一、简单的位值原理拆分【例 1】 一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。
这个两位数的各位数字的和是 。
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空例题精讲知识点拨教学目标5-7-1.位值原理【关键词】希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10。
5-6-1_余数问题.题库教师版.doc(可编辑修改word版)
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨一、带余除法的定义及性质一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是 a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当r = 0 时：我们称 a 可以被 b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当r ≠ 0 时：我们称 a 不可以被 b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有 a 本，这个 a 就可以理解为被除数，现在要求按照 b 本一捆打包，那么 b 就是除数的角色，经过打包后共打包了 c 捆，那么这个 c 就是商，最后还剩余 d 本，这个 d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中 4 个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。
例如：23，16 除以5 的余数分别是 3 和1，所以 23+16=39 除以5 的余数等于 4，即两个余数的和 3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。
例如：23，19 除以5 的余数分别是 3 和4，所以 23+19=42 除以5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数，即2.2.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以 c 所得的余数。
5-6 余数问题教学目标例如：23，16 除以5 的余数分别是 3 和1，所以23×16除以5 的余数等于3×1=3。
8-1-1智巧趣题题库教师版
8-1-1智巧趣题题库教师版智巧趣题教学目标1.挖掘孩子学习数学的兴趣.2.让孩子掌握各种趣题的不同思考方式．知识点拨知识点说明智巧趣题顾名思义，就是有趣的一类问题，但回答时要十分小心，稍有不慎，就可能落入“圈套”。
要想正确地解答这类题目，一是细心，善于观察，全面考虑各种情况；二是要充分运用生活中学到的知识；三是需要那么一点思考问题的灵气和非常规的思考方法。
本讲主要是通过数学趣题的研究学习引发学生学习奥数的兴趣，激发学生学习奥数的灵感，充分调动学生学习奥数的积极性。
智巧趣题主要依靠巧妙的构思而解决问题，其中包括火柴棍游戏、数的恰当排列、称量问题及直线或圆周形状的报数问题。
例题精讲【例1】用数字1，1，2，2，3，3拼凑出一个六位数，使两个1之间有1个数字，两个2之间有2个数字，两个3之间有3个数字。
【解析】312132231213【巩固】把一根线绳对折，对折，再对折，然后从对折后的中间处剪开，这根线绳被剪成了多少段？【解析】对折一次:2某2-1=3段对折二次:4某2-3=5段对折三次:8某2-7=9段.【例2】12345679999999999【解析】粗看起来，本题应该是利用了99999999910000000001这个知识点。
于是有：123456799999999991234567910000000001123456790000000001234567912 345678987654321注意12345679到这个数字的特殊性质，123456799111111111，可以得到123456799999999991234567991111111111111111111111111111234567898 7654321【例3】有10张，卡片分别标有从2开始的10个连续偶数。
如果将它们分成5组，每组两张，计算同组中两个偶数和分别得到①34，②22，③16，④30，⑤8。
那么每组中的两张卡片上标的数各是多少？【解析】10个连续偶数是:2,4,6,8,10,12,14,16,18,208-1.智巧趣题.题库教师版page1of98=2+616=4+1222=14+830=20+1034=16+18【例4】售货员把29个乒乓球分装在5个盒子里，使得只要顾客所买的乒乓个数小于30，他总可以恰好把其中的一盒或几盒卖出，而不必拆盒。