河北衡水中学2017年高考数学(理科)押题卷

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2023年河北省衡水中学高考数学一模试卷【答案版】

2023年河北省衡水中学高考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M ＝{x |x ≤m }，N ＝{x |y =1√x 2−3x−4}，若M ∪N ＝R ，则实数m 的取值范围是（）A ．[﹣1，+∞）B ．[4，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]D ．（﹣∞，4]2．已知复数z 1，z 2，当z 1＝1+2i 时，z 2z 1z 1−z 1=z 1，则z 2＝（） A ．8+6iB ．8﹣6iC ．10+10iD ．10﹣10i3．在流行病学中，把每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长．当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散．而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径．假设某种传染病的基本传染数为R 0，1个感染者平均会接触到N 个新人（N ≥R 0），这N 人中有V 个人接种过疫苗（VN 称为接种率），那么1个感染者可传染的新感染人数为R 0N（N ﹣V ）．已知新冠病毒在某地的基本传染数R 0＝log 24√2，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（） A ．30%B ．40%C ．50%D ．60%4．已知角α的顶点是坐标原点，始边是x 轴的正半轴，终边是射线y ＝2x （x ≥0），则tan(2α+π4)=（） A ．17B ．−17C ．﹣7D ．−135．某新能源汽车生产公司，为了研究某生产环节中两个变量x ，y 之间的相关关系，统计样本数据得到如下表格：由表格中的数据可以得到y 与x 的经验回归方程为y =14x +a 据此计算，下列选项中残差的绝对值最小的样本数据是（） A ．（30，4.6）B ．（27，3）C ．（25，3）D ．（23，2.4）6．已知△ABC 中，A ＝120°，AB ＝3，AC ＝4，CM →=4MB →，AN →=NB →，则AC →⋅MN →=（） A ．−125B ．−75C ．−25D ．−157．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，过底边BC 的平面与上底面交于线段MN ，若截面BCMN 将三棱柱分成了体积相等的两部分，则MN BC=（）A ．√3−12B ．1−√32C ．3−√32D ．3−3√328．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =√3，b 2+c 2﹣bc ＝3，则△ABC 面积的取值范围是（） A ．(√32，3√34]B ．(√32，3√34)C ．(√34，3√34)D ．(√34，3√34]二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．某商店为了解该店铺商品的销售情况，对某产品近三年的产品月销售数据进行统计分析，绘制了折线统计图，如图．下列结论正确的有（）A ．该产品的年销量逐年增加B ．该产品各年的月销量高峰期大致都在8月C ．该产品2019年1月至12月的月销量逐月增加D ．该产品各年1月至6月的月销量相对于7月至12月波动性更小、变化更平稳 10．已知函数f （x ）的图像的对称轴方程为x ＝3，则函数f （x ）的解析式可以是（） A ．f(x)=x +1x+3 B ．f （x ）＝e x ﹣3+e 3﹣xC ．f （x ）＝x 4﹣18x 2D ．f （x ）＝|x 2﹣6x |11．红、黄、蓝被称为三原色，选取其中任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有红、黄、蓝颜料各两瓶，甲从六瓶颜料中任取两瓶，乙再从余下四瓶颜料中任取两瓶，两人分别进行等量调配，A 表示事件“甲调配出红色”，B 表示事件“甲调配出绿色”；C 表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（） A ．事件A 与事件C 是独立事件 B ．事件A 与事件B 是互斥事件 C ．P （C |A ）＝0D ．P （B ）＝P （C ）12．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）与直线l ：x ﹣y ﹣1＝0交于A ，B 两点，记直线l 与x 轴的交点E ，点E ，F 关于原点对称，若∠AFB ＝90°，则（） A ．2a 2+b 2＝a 2b 2B ．椭圆C 过4个定点 C ．存在实数a ，使得|AB |＝3D ．|AB |＜72三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量a →=（2，﹣3），b →=（﹣1，2），c →=（t ﹣2，3t ）．若向量c →与2a →+b →平行，则实数t 的值为． 14．分形几何学是法国数学家曼德尔勃罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．如图，正三角形ABC 的边长为4，取△ABC 各边的中点D ，E ，F 作第2个三角形，然后再取△DEF 各边的中点G ，H ，I 作第3个三角形，以此方法一直进行下去．已知△ABC 为第1个三角形，设前n 个三角形的面积之和为S n ，若S n ＞5√3，则n 的最小值为．15．如图，已知台体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的上、下底面均为长方形，且上、下底面中心的连线与底面垂直，上、下底面的距离为4．若AB ＝4√6，AD ＝4√2，A 1B 1＝4√3，则该台体的外接球的表面积为．16．在空间直角坐标系下，由方程x 2a 2+y 2b 2+z 2c 2=1（a ＞0，b ＞0，c ＞0）所表示的曲面叫做椭球面（或称椭圆面）．如果用坐标平面z ＝0，y ＝0，x ＝0分别截椭球面，所得截面都是椭圆（如图所示），这三个截面的方程分别为{x 2a 2+y 2b 2=1，z =0，{x 2a 2+z 2c 2=1，y =0，{y 2b 2+z 2c 2=1，x =0，，上述三个椭圆叫做椭球面的主截线（或主椭圆）．已知椭球面的轴与坐标轴重合，且过椭圆{x 29+y 216=1，z =0与点M （1，2，√23)，则这个椭球面的方程为．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知f(x)=Asin(ωx +φ)(|φ|＜π2)同时满足下列四个条件中的三个： ①f(π6)=1；②f(x)=Asin(ωx +φ)(|φ|＜π2)的图象可以由y ＝sin x ﹣cos x 的图象平移得到； ③相邻两条对称轴之间的距离为π2；④最大值为2．（1）请指出这三个条件，并说明理由；（2）若曲线y ＝f （x ）的对称轴只有一条落在区间[0，m ]上，求m 的取值范围．18．（12分）温室是以采光覆盖材料作为全部或部分围护结构材料，具有透光、避雨、保温、控温等功能，可在冬季或其他不适宜露地植物生长的季节供栽培植物的建筑，而温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它具有较好的保温性能，使人们在任何时间都可吃到反季节的蔬菜，深受大众喜爱．温室蔬菜生长和蔬菜产品卫生质量要求的温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量指标，其温室蔬菜产地环境质量等级划定如表所示．各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研，若确对其所影响的植物（生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标）或周围环境（地下水、地表水、大气等）有危害，方能确定为污染．某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛，共8个村发展温室蔬菜种植，对各村试验温室蔬菜环境产地质量监测得到的相关数据如下：（1）若从这8个村中随机抽取2个进行调查，求抽取的2个村应对土壤做进一步调研的概率；（2）现有一技术人员在这8个村中随机选取3个进行技术指导，记ξ为技术员选中村的环境空气等级为尚清洁的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）已知数列{a n }，{b n }满足a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ＝（n ﹣1）•2n +1+2（n ∈N *），{b n }是等比数列，且{1b n}的前n 项和B n ＝1−12n ．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设数列c n =1a n a n+1，{c n }的前n 项和为T n ，证明：T 2n ﹣T n ≤1a 2+b 2． 20．（12分）如图所示，A ，B ，C ，D 四点共面，其中∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB =12AD ，点P ，Q 在平面ABCD 的同侧，且P A ⊥平面ABCD ，CQ ⊥平面ABCD ．（1）若直线l ⊂平面P AB ，求证：l ∥平面CDQ ；（2）若PQ ∥AC ，∠ABP ＝∠DAC ＝45°，平面BPQ ∩平面CDQ ＝m ，求锐二面角B ﹣m ﹣C 的余弦值．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，直线l ：y ＝x ﹣1与双曲线C 交于A ，B 两点，点D （x 0，y 0）在双曲线C 上．（1）求线段AB 中点的坐标；（2）若a ＝1，过点D 作斜率为2x 0y 0的直线l ′与直线l 1：√2x ﹣y ＝0交于点P ，与直线l 2：√2x +y ＝0交于点Q ，若点R （m ，n ）满足|RO |＝|RP |＝|RQ |，求m 2+2x 02−2n 2−y 02的值．22．（12分）已知函数f （x ）=aln(x +I)−√x +2，其中a ∈R ．（1）当a=83时，求函数f（x）的单调区间；（2）当x≥0时，f（x）≤3a（sin x+cos x）恒成立，求实数a的取值范围．2023年河北省衡水中学高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M ＝{x |x ≤m }，N ＝{x |y =1√x 2−3x−4}，若M ∪N ＝R ，则实数m 的取值范围是（）A ．[﹣1，+∞）B ．[4，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]D ．（﹣∞，4]解：集合M ＝{x |x ≤m }，N ＝{x |y =1√x 2−3x−4}＝{x |x ＜﹣1或x ＞4}，∵M ∪N ＝R ， ∴m ≥4，∴实数m 的取值范围是[4，+∞）．故选：B ．2．已知复数z 1，z 2，当z 1＝1+2i 时，z 2z 1z 1−z 1=z 1，则z 2＝（） A ．8+6i B ．8﹣6iC ．10+10iD ．10﹣10i解：z 1＝1+2i ，则z 1⋅z 1=(1+2i)(1−2i)=5，故z 2z 1z 1−z 1=z 25−(1+2i)=z 24−2i=1+2i ，即z 2＝（4﹣2i ）（1+2i ）＝8+6i ．故选：A ．3．在流行病学中，把每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长．当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散．而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径．假设某种传染病的基本传染数为R 0，1个感染者平均会接触到N 个新人（N ≥R 0），这N 人中有V 个人接种过疫苗（VN 称为接种率），那么1个感染者可传染的新感染人数为R 0N（N ﹣V ）．已知新冠病毒在某地的基本传染数R 0＝log 24√2，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（） A ．30%B ．40%C ．50%D ．60%解：为了使1个感染者传染人数不超过1，只需R 0N（N ﹣V ）≤1，所以R 0⋅N−V N ≤1，即R 0(1−VN)≤1，因为R 0＝log 24√2=log 2252=2.5，所以2.5(1−VN )≤1，解得VN≥0.6=60%，则地疫苗的接种率至少为60%．故选：D ．4．已知角α的顶点是坐标原点，始边是x 轴的正半轴，终边是射线y ＝2x （x ≥0），则tan(2α+π4)=（） A ．17B ．−17C ．﹣7D ．−13解：角α的顶点是坐标原点，始边是x 轴的正半轴，终边是射线y ＝2x （x ≥0），由已知可设角α终边上一点P （1，2），则tan α＝2，所以tan2α=2tanα1−tan 2α=−43，可得tan(2α+π4)=tan2α+11−tan2α=−43+11−(−43)=−17．故选：B ．5．某新能源汽车生产公司，为了研究某生产环节中两个变量x ，y 之间的相关关系，统计样本数据得到如下表格：由表格中的数据可以得到y 与x 的经验回归方程为y =14x +a 据此计算，下列选项中残差的绝对值最小的样本数据是（） A ．（30，4.6）B ．（27，3）C ．（25，3）D ．（23，2.4）解：由表中数据可得x =15×（20+23+25+27+30）＝25，y =15×（2+2.4+3+3+4.6）＝3， y 关于x 的经验回归方程为y =14x +a ，可得3=14×25+a ，解得a ＝﹣3.25，故y 关于x 的经验回归方程为y =14x ﹣3.25，对于A ，当x ＝30时，y =14×30﹣3.25＝4.25，残差的绝对值为|4.6﹣4.25|＝0.35，对于B ，当x ＝27时，y =14×27﹣3.25＝3.5，残差的绝对值为|3.5﹣3|＝0.5，对于C ，当x ＝25时，y =14×25﹣3.25＝3，残差的绝对值为|3﹣3|＝0，对于D ，当x ＝23时，y =14×23﹣3.25＝2.5，残差的绝对值为|2.5﹣2.4|＝0.1．故选：C ．6．已知△ABC 中，A ＝120°，AB ＝3，AC ＝4，CM →=4MB →，AN →=NB →，则AC →⋅MN →=（）A ．−125B ．−75C ．−25D ．−15解：由题可得MN →=MB →+BN →=15CB →+12BA →=15（AB →−AC →）−12AB →=−310AB →−15AC →，所以AC →⋅MN →=AC →•（−310AB →−15AC →）=−310AB →⋅AC →−15（AC →）²=−310×3×4×（−12）−15×4²=−75，故选：B ．7．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，过底边BC 的平面与上底面交于线段MN ，若截面BCMN 将三棱柱分成了体积相等的两部分，则MN BC=（）A ．√3−12B ．1−√32C ．3−√32D ．3−3√32解：由题可知平面BMNC 与棱柱上底面分别交于A 1B 1，A 1C 1，则B 1C 1∥MN ，MN ∥BC ，显然ABC ﹣A 1MN 是三棱台，设△ABC 的面积为1，△A 1MN 的面积为S ，三棱柱的高为h ， ∴12•1•h =13h （1+S +√S ），解得√S =√3−12，由△A 1MN ∽A 1B 1C 1，可得MN BC=√S 1=√3−12．故选：A ．8．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =√3，b 2+c 2﹣bc ＝3，则△ABC 面积的取值范围是（） A ．(√32，3√34]B ．(√32，3√34)C ．(√34，3√34)D ．(√34，3√34]解：由于a =√3，b 2+c 2﹣bc ＝3，则cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，由于A ∈（0，π），所以A =π3，故外接圆的半径为R =12√3√32=1，所以S △ABC =12bcsinA =√34⋅2sinB ⋅2sin(2π3−B)=√34⋅4sinB ⋅(√32cosB +12sinB) =√34(2sin 2B +2√3sinBcosB) =√34(1−cos2B +√3sin2B)=√32sin(2B −π6)+√34，由于0＜B ＜π2，由于△ABC 为锐角三角形，所以π6＜B ＜π2，所以π6＜2B −π6≤5π6，故√32＜√32sin(2B −π6)+√34≤3√34，即√32＜S △ABC ≤3√34．故选：A ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．某商店为了解该店铺商品的销售情况，对某产品近三年的产品月销售数据进行统计分析，绘制了折线统计图，如图．下列结论正确的有（）A ．该产品的年销量逐年增加B ．该产品各年的月销量高峰期大致都在8月C ．该产品2019年1月至12月的月销量逐月增加D ．该产品各年1月至6月的月销量相对于7月至12月波动性更小、变化更平稳解：根据题意，依次分析选项：对于A ，该产品的年销量逐年增加，A 正确；对于B ，由折线图可知，该产品各年的月销量高峰期大致都在8月，B 正确；对于C ，2019年8月至9月，该产品销量减少，C 错误；对于D ，由折线图可知，该产品各年1月至6月的月销量相对于7月至12月波动性更小、变化更平稳，D 正确．故选：ABD ．10．已知函数f （x ）的图像的对称轴方程为x ＝3，则函数f （x ）的解析式可以是（） A ．f(x)=x +1x+3B ．f （x ）＝e x ﹣3+e 3﹣xC ．f （x ）＝x 4﹣18x 2D ．f （x ）＝|x 2﹣6x |解：f(x)=x +1x+3关于（3，﹣3）对称，不满足题意，所以A 不正确； f （x ）＝e x ﹣3+e 3﹣x ，因为f （6﹣x ）＝e 6﹣x ﹣3+e 3﹣（6﹣x ）＝e x ﹣3+e 3﹣x ＝f （x ），所以B 正确；函数f （x ）＝x 4﹣18x 2是偶函数，关于x ＝0对称，所以C 不正确；函数f （x ）＝|x 2﹣6x |满足f （6﹣x ）＝f （x ），所以D 正确；故选：BD ．11．红、黄、蓝被称为三原色，选取其中任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有红、黄、蓝颜料各两瓶，甲从六瓶颜料中任取两瓶，乙再从余下四瓶颜料中任取两瓶，两人分别进行等量调配，A 表示事件“甲调配出红色”，B 表示事件“甲调配出绿色”；C 表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（） A ．事件A 与事件C 是独立事件 B ．事件A 与事件B 是互斥事件 C ．P （C |A ）＝0D ．P （B ）＝P （C ）解：根据题意，A 事件两瓶均为红色颜料，C 事件为一瓶红色一瓶蓝色颜料，则事件A 发生事件C 必定不发生，∴P （AC ）＝0，P （A ）≠0，P （C ）≠0，P （C |A ）=P(AC)P(A)=0，故A ，C 不是独立事件，故A 错误，C 正确，若调出红色，需要两瓶颜料均为红色，若调出绿色，则需1瓶黄色和1瓶蓝色，此时调出红色和调出绿色不同时发生，故A ，B 为互斥事件，故B 正确， P （B ）=C 21⋅C 21C 62=415，若C 事件发生，则甲有三种情况， ①甲取两瓶黄色，则概率为C 22⋅C 21⋅C 21C 62⋅C 42=245，②甲取1瓶黄色和1瓶红色或1瓶黄色和1瓶蓝色，则概率为C 21⋅C 21⋅C 21×2C 62⋅C 42=845，③甲取1瓶红色1瓶蓝色，则概率为C 21⋅C 21C 62⋅C 42=245，则P （C ）=245+845+245=415，故D 正确．故选：BCD ． 12．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）与直线l ：x ﹣y ﹣1＝0交于A ，B 两点，记直线l 与x 轴的交点E ，点E ，F 关于原点对称，若∠AFB ＝90°，则（） A ．2a 2+b 2＝a 2b 2B ．椭圆C 过4个定点 C ．存在实数a ，使得|AB |＝3D ．|AB |＜72解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由{x 2a 2+y 2b 2=1，y =x −1，得（a 2+b 2）x 2﹣2a 2x +a 2﹣a 2b 2＝0，Δ＝4a 4﹣4（a 2+b 2）（a 2﹣a 2b 2）＝4a 2b 2（a 2+b 2﹣1）＞0，则a 2+b 2＞1， {x 1+x 2=2a 2a 2+b2，x 1⋅x 2=a 2−a 2b 2a 2+b 2，因为E （1，0），所以F （﹣1，0），又FA →⋅FB →=0，所以（x 1+1）（x 2+1）+y 1y 2＝（x 1+1）（x 2+1）+（x 1﹣1）•（x 2﹣1）＝2x 1x 2+2＝0，所以x 1⋅x 2=a 2−a 2b 2a 2+b2=−1，2a 2+b 2＝a 2b 2，故A 正确；所以1a 2+2b 2=1，即椭圆过定点T 1(1，√2)，T 2(1，−√2)，T 3(−1，√2)，T 4(−1，−√2)，故B 正确；|AB|=√2⋅|x 1−x 2|=√2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√2√(11+b2a2)2+1，由2a 2+b 2＝a 2b 2得b 2=2a 2a 2−1＞0，则a 2＞1，所以b 2a 2=2a 2−1，则有|AB |=2√2×√(11+2a 2−1)2+1，因为a 2＞1，所以|AB |的取值范围为(2√2，4)，故C 正确，D 错误．故选：ABC ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量a →=（2，﹣3），b →=（﹣1，2），c →=（t ﹣2，3t ）．若向量c →与2a →+b →平行，则实数t 的值为813．解：向量a →=（2，﹣3），b →=（﹣1，2），则2a →+b →=(3，−4)，∵向量c →与2a →+b →平行，c →=（t ﹣2，3t ），∴3×3t +4（t ﹣2）＝0，解得t =813．故答案为：813．14．分形几何学是法国数学家曼德尔勃罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．如图，正三角形ABC 的边长为4，取△ABC 各边的中点D ，E ，F 作第2个三角形，然后再取△DEF 各边的中点G ，H ，I 作第3个三角形，以此方法一直进行下去．已知△ABC 为第1个三角形，设前n 个三角形的面积之和为S n ，若S n ＞5√3，则n 的最小值为 3 ．解：根据题意，设第n 个三角形的面积为a n ，分析可得：第n +1个三角形的边长为第n 个三角形边长的一半，则a n +1=14a n ，而第一个三角形的面积a 1＝4×4×√34=4√3，故数列{a n }是首项为4√3，公比为14的等比数列，则前n 个三角形的面积之和为S n =4√3(1−14n )1−14=16√33（1−14n ），若S n ＞5√3，解可得n ＞2，故n 的最小值为3；故答案为：3．15．如图，已知台体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的上、下底面均为长方形，且上、下底面中心的连线与底面垂直，上、下底面的距离为4．若AB ＝4√6，AD ＝4√2，A 1B 1＝4√3，则该台体的外接球的表面积为 128π ．解：如图，连接A 1C 1，B 1D 1交于点O 1，连接AC ，BD 交于点O 2，由球的几何性质可知，台体外接球的球心O 在O 1O 2上，由题知长方形ABCD 与长方形A 1B 1C 1D 1相似，则有AB AD=A 1B 1A 1D 1，解得A 1D 1＝4，由题意可知，OO 2⊥平面ABCD ，OO 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， O 1O 2＝4，设O 2O ＝h ，∵B 1O 1=12√A 1B 12+A 1D 12=4，∴OB 12=OO 12+O 1B 12=（4﹣h ）2+42，同理可得BO 2=12√AB 2+AD 2=4√2，∴OB 2=OO 22+O 2B 2＝h 2+（4√2）2，设台体外接球O 的半径为R ，则有OB ＝OB 1＝R ，即（4﹣h ）2+42＝h 2+（4√2）2，解得h ＝0，则OB ＝O 2B ＝4√2，即该台体的外接球的半径R ＝4√2， ∴该台体的外接球的表面积为4πR 2＝128π．故答案为：128π．16．在空间直角坐标系下，由方程x 2a 2+y 2b 2+z 2c 2=1（a ＞0，b ＞0，c ＞0）所表示的曲面叫做椭球面（或称椭圆面）．如果用坐标平面z ＝0，y ＝0，x ＝0分别截椭球面，所得截面都是椭圆（如图所示），这三个截面的方程分别为{x 2a 2+y 2b 2=1，z =0，{x 2a 2+z 2c 2=1，y =0，{y 2b 2+z 2c 2=1，x =0，，上述三个椭圆叫做椭球面的主截线（或主椭圆）．已知椭球面的轴与坐标轴重合，且过椭圆{x 29+y 216=1，z =0与点M （1，2，√23)，则这个椭球面的方程为x 29+y 216+z 236=1 ．解：根据中心在原点、其轴与坐标轴重合的某椭球面的标准方程的定义，设此椭球面的标准方程为x 29+y 216+z 2c 2=1，∵椭球面过点M （1，2，√23)，将它的坐标代入椭球面的标准方程x 29+y 216+z 2c 2=1，得19+416+(√23)2c 2=1，∴c 2＝36， ∴椭球面的方程为x 29+y 216+z 236=1．故答案为：x 29+y 216+z 236=1．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知f(x)=Asin(ωx +φ)(|φ|＜π2)同时满足下列四个条件中的三个： ①f(π6)=1；②f(x)=Asin(ωx +φ)(|φ|＜π2)的图象可以由y ＝sin x ﹣cos x 的图象平移得到； ③相邻两条对称轴之间的距离为π2；④最大值为2．（1）请指出这三个条件，并说明理由；（2）若曲线y ＝f （x ）的对称轴只有一条落在区间[0，m ]上，求m 的取值范围．解：（1）对于条件②，y ＝sin x ﹣cos x =√2sin （x −π4），若函数f(x)=Asin(ωx +φ)(|φ|＜π2)的图象可以由y ＝sin x ﹣cos x 的图象平移得到，则f （x ）=√2sin （x +φ），由条件③相邻两条对称轴之间的距离为π2，可得f （x ）的最小正周期为π，可得ω＝2，与②矛盾；对于条件④最大值为2，可得A ＝2与②矛盾，故只能舍弃条件②，所以这三个条件为①③④．（2）由（1）可得f （x ）＝2sin （2x +φ），由条件①f(π6)=1，可得2sin （π3+φ）＝1，又|φ|＜π2，所以φ=−π6，所以f （x ）＝2sin （2x −π6），令2x −π6=π2+k π，k ∈Z ，可得x =π3+kπ2，k ∈Z ， k ＝﹣1时，x =−π6， k ＝0时，x =π3， k ＝1时，x =5π6，又曲线y ＝f （x ）的对称轴只有一条落在区间[0，m ]上，所以π3≤m ＜5π6，即m 的取值范围是[π3，5π6）．18．（12分）温室是以采光覆盖材料作为全部或部分围护结构材料，具有透光、避雨、保温、控温等功能，可在冬季或其他不适宜露地植物生长的季节供栽培植物的建筑，而温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它具有较好的保温性能，使人们在任何时间都可吃到反季节的蔬菜，深受大众喜爱．温室蔬菜生长和蔬菜产品卫生质量要求的温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量指标，其温室蔬菜产地环境质量等级划定如表所示．各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研，若确对其所影响的植物（生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标）或周围环境（地下水、地表水、大气等）有危害，方能确定为污染．某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛，共8个村发展温室蔬菜种植，对各村试验温室蔬菜环境产地质量监测得到的相关数据如下：（1）若从这8个村中随机抽取2个进行调查，求抽取的2个村应对土壤做进一步调研的概率；（2）现有一技术人员在这8个村中随机选取3个进行技术指导，记ξ为技术员选中村的环境空气等级为尚清洁的个数，求ξ的分布列和数学期望．解：（1）由题图知应对土壤做进一步调研的村有4个，记事件A＝“抽取2个村应对土壤做进一步调研“，则P(A)=C42C82=314，所以抽取两个村应对土壤做进一步调研的概率为314；（2）由题意知环境空气等级为尚清洁的村共5个，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）=C50C33C83=156，P（ξ＝1）=C51C32C83=1556，P（ξ＝2）=C52C31C83=1528，P（ξ＝3）=C53C30C83=528，ξ的分布列为所以E（ξ）=0×156+1×1556+2×1528+3×528=158．19．（12分）已知数列{a n}，{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+1+2（n∈N*），{b n}是等比数列，且{1b n }的前n项和B n＝1−12n．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列c n=1a n a n+1，{c n}的前n项和为T n，证明：T2n﹣T n≤1a2+b2．（1）解：因为数列{1b n }的前n项和B n＝1−12n，所以当n＝1时，1b1=B1=12，即b1＝2，当n＝2时，1b1+1b2=B2=34，所以b2＝4，故数列{b n}是首项为2，公比为2的等比数列，所以b n＝2•2n﹣1＝2n，因为a1b1+a2b2+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+1+2，所以当n ≥2时，a 1b 1+a 2b 2+…+a n ﹣1b n ﹣1＝（n ﹣2）•2n +2，两式相减得，a n b n ＝n •2n （n ≥2），又n ＝1时，a 1b 1＝2，满足上式，所以a n b n ＝n •2n （n ∈N *），因为b n ＝2n ，所以a n ＝n ．（2）证明：c n =1a n a n+1=1n(n+1)=1n −1n+1，所以T n ＝（1−12）+（12−13）+…+（1n−1n+1）＝1−1n+1=nn+1，所以T 2n ﹣T n =2n 2n+1−n n+1=n 2n 2+3n+1=12n+3+1n，要证T 2n ﹣T n ≤1a 2+b 2，需证12n+3+1n≤1a 2+b 2=12+4=16，需证2n +3+1n ≥6，即证2n +1n ≥3，因为f （n ）＝2n +1n在n ∈N *上单调递增，所以当n ＝1时，f （n ）＝2n +1n取得最小值3，所以2n +1n≥3恒成立，故命题得证．20．（12分）如图所示，A ，B ，C ，D 四点共面，其中∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB =12AD ，点P ，Q 在平面ABCD 的同侧，且P A ⊥平面ABCD ，CQ ⊥平面ABCD ．（1）若直线l ⊂平面P AB ，求证：l ∥平面CDQ ；（2）若PQ ∥AC ，∠ABP ＝∠DAC ＝45°，平面BPQ ∩平面CDQ ＝m ，求锐二面角B ﹣m ﹣C 的余弦值．（1）证明：因为P A ⊥平面ABCD ，CQ ⊥平面ABCD ，所以P A ∥CQ ，因为P A ⊂平面P AB ，CQ ⊄平面P AB ，所以CQ ∥平面P AB ，因为∠BAD ＝∠ADC ＝90°，所以AB ∥CD ，因为CD ∥平面P AB ，因为CQ ∩CD ＝C ，CD ⊂平面CDQ ，CQ ⊂平面CDQ ，所以平面CDQ ∥平面P AB ，直线l ⊂平面P AB ，所以l ∥平面CDQ ；（2）解：因为AP ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥AB ，AP ⊥AD ，又因为AB ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）可得P A ∥CQ ，又因为PQ ∥AC ，所以四边形APQC 为平行四边形，不妨取AB ＝1，由题意可得A （0，0，0），B （1，0，0），P （0，0，1），Q （2，2，1），D （0，2，0），所以BP →=（﹣1，0，1），BQ →=（1，2，1），设平面BPQ 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{BP →⋅n →=−x +z =0BQ →⋅n →=x +2y +z =0，令x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝1，则n →=（1，﹣1，1），易知AD ⊥平面CDQ ，则平面CDQ 的一个法向量为AD →=（0，2，0），所以cos ＜AD →，n →＞=AD →⋅n→|AD →|⋅|n →|=2×3=−√33．锐二面角B ﹣m ﹣C 的余弦值为√33．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，直线l ：y ＝x ﹣1与双曲线C 交于A ，B 两点，点D （x 0，y 0）在双曲线C 上．（1）求线段AB 中点的坐标；（2）若a ＝1，过点D 作斜率为2x 0y 0的直线l ′与直线l 1：√2x ﹣y ＝0交于点P ，与直线l 2：√2x +y ＝0交于点Q ，若点R （m ，n ）满足|RO |＝|RP |＝|RQ |，求m 2+2x 02−2n 2−y 02的值．解：（1）依题意，双曲线 C 的离心率e =c a =√1+b2a2=√3，则b 2＝2a 2，故双曲线 C 的方程为2x 2﹣y 2﹣2a 2＝0，联立{2x 2−y 2−2a 2=0y =x −1，得x 2+2x ﹣2a 2﹣1＝0，且Δ＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−2，x 1x 2=−2a 2−1，设线段AB 的中点为E （x ′，y ′），故x ′＝﹣1，将x ′＝﹣1代入直线l ：y ＝x ﹣1，得y ′＝﹣2，故线段AB 的中点坐标为（﹣1，﹣2）．（2）依题意，a ＝1，则双曲线 C 的方程为x 2−y 22=1，直线l ′：y −y 0=2x 0y 0(x −x 0)，又点D （x 0，y 0）在双曲线 C 上，所以x 02−y 022=1，故直线l ′的方程为x 0x −y 0y 2=1，由题可知，点O ，P ，Q 均不重合，由|RO |＝|RP |＝|RQ |易知R （m ，n ）为△OPQ 的外心，设P （x 3，y 3），Q （x 4，y 4），则√2x 3−y 3=0，即y 3=√2x 3，√2x 4+y 4=0，即y 4=−√2x 4，线段OP 的垂直平分线的方程为y −y32=−√22(x −x 32)，线段OQ 的垂直平分线的方程为y −y42=√22(x −x 42)，联立{y −y 32=−√22(x −x 32)y −y 42=√22(x −x 42)得{x =m =34(x 3+x 4)y =n =3√28(x 3−x 4)，联立{y 3=√2x 3x 0x 3−y 0y 32=1，得x 3=10−√22y 0，同理可得x 4=10+√22y 0，故x 3+x 4=10−√22y 010+√22y 0=2x 0x 02−12y 02=2x 0， x 3﹣x 4=10−22y 010+22y 0=√2yx 02−12y 02=√2y 0，故{m =34(x 3+x 4)n =3√28(x 3−x 4)，进一步得到{m =32x 0n =34y 0，即m 2−2n 2=94x 02−98y 02=94(x 02−y 022)=94，则m 2+2x 02−2n 2−y 02=94+2=174． 22．（12分）已知函数f （x ）=a2ln(x +I)−√x +2，其中a ∈R ．（1）当a =83时，求函数f （x ）的单调区间；（2）当x ≥0时，f （x ）≤3a （sin x +cos x ）恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）当a =83时，f （x ）=43ln （x +1）−√x +2的定义域为（﹣1，+∞），则f ′（x ）=43(x+1)12√x+2=8√x+2−3(x+2)+36(x+1)√x+2=−(3√x+2+1)(√x+2−3)6(x+1)√x+2，当1＜√x +2＜3时，即﹣1＜x ＜7时，f ′（x ）＞0，函数单调递增，当√x +2＞3时，即x ＞7时，f ′（x ）＜0，函数单调递减，所以函数f （x ）单调递增区间为（﹣1，7），单调递减区间为（7，+∞）；（2）证明：设g （x ）=3a （sin x +cos x ），由f （0）=−√2≤g （0）=3a ，解得a ≤−3√22或a ＞0， ①当a ＞0时，f （3）＝aln 2−√5，g （x ）=3√2a sin （x +π4），当x ∈（π4，5π4）时，g （x ）单调递减，所以g （3）＜g （11π12）=3√2a sin 7π6=−3√22a，若aln 2−√5＜−3√22a ，则aln 2+3√22a ＜√5，因为aln 2+3√22a ≥2√aln2⋅3√22a =√6√2ln2（当且仅当aln 2=3√22a 时等号成立），又因为√6√2ln2＞√5，所以−3√22a ＜aln 2−√5，此时f （x ）≤g （x ）不成立，即a ＞0不合题意，②当a ≤−3√22时，f （x ）为减函数，当x ∈[0，π4）时，f （x ）﹣g （x ）=a 2ln （x +1）−√x +2−3a （sin x +cos x ）≤−3√24ln （x +1）−√x +2+√2（sin x +cos x ），令h （x ）=−3√24ln （x +1）−√x +2+√2（sin x +cos x ），则h （0）＝0，所以h ′（x ）=−3√24(x+1)−12√x+2√2（cos x ﹣sin x ），此时h ′（0）＝0， h ″（x ）=3√24(x+1)24(x+2)3−√2（sin x +cos x ）=3√24(x+1)24(x+2)32sin （x +π4），当x ∈[0，π4）时，h ″（x ）单调递减，h ″（x ）≤h ″（0）＜0，所以h ′（x ）在[0，π4）上单调递减，又h ′（0）＝0，所以在[0，π4）上h ′（x ）≤0，所以h （x ）在[0，π4）上单调递减，又h （0）＝0，所以在[0，π4）上h （x ）≤0，即当x ∈[0，π4）时，f （x ）≤g （x ）恒成立，当x ∈[π4，+∞）时， f （x ）=a 2ln （x +1）−√x +2≤−3√24ln （x +1）−√x +2≤−3√24ln （π4+1）−√π4+2，又π4+1＞1.78＞√e ，π4+2＞2.78＞2.56＝1.62，所以f （x ）＜−3√24ln （√e ）−√2.56=−3√28−85＜−2， g （x ）≥3√2a ≥−2，所以当x ∈[π4，+∞）时，f （x ）≤g （x ）恒成立，故a 的取值范围为（﹣∞，−3√22]．。

高考一轮复习内容理科复习(201)

高考一轮总复习 ·数学[理] （创新版）
[结论探究] 若典例条件不变，则平面区域的面积是 ____6____．
解析由xx－－23＝ y＋04，＝0 得其交点坐标为(2,2)，交点到直线 x＋y＝0 的距离为 d＝ 42，故面积为12× 42×3 2＝6.
25 基础知识过关
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示．因为直线 x＋y－2＝0 与直线 x＋y＝0 平行，所以可行域内的点在直线 x＋y－2＝0 上的投影构成的线段的长|AB|
即为|CD|.易得 C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝
2＋12＋－2－12＝3 2.故选 C.
24 基础知识过关
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高考一轮总复习 ·数学ห้องสมุดไป่ตู้理] （创新版）
(2)(2017·天津高考 ) 设变量 x ， y 满足约束条件
2x＋y≥0，
x＋2y－2≥0，
x≤0，
则目标函数 z＝x＋y 的最大值为( )
y≤3，
2 A.3
B．1
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解析如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，则 m＞－1，
由xx＋－yy－＋22＝ m＝0，0，解得xy＝＝11－＋mm，，即 A(1－m,1＋m)．
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2024年高考数学专项突破数列大题压轴练(解析版)

数列大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n S 的前n 项和，已知2n n S T +=．(1)求证：数列{}n S 是等比数列；(2)求数列{}n na 的前n 项和n A ．2．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*1sin 3()cos cos n n n n c N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．3．（2023·湖南株洲·统考一模）数列{}n a 满足13a =，212n n n a a a +-=.(1)若21n bn a =+，求证：{}n b 是等比数列.(2)若1n nnc b =+，{}n c 的前n 项和为n T ，求满足100n T <的最大整数n .4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列{}n a 满足21n n n a xa ya ++=+()N n +∈，11a =，22a =，n S 为数列{}n a 前n 项和.(1)若2x =，1y =-，求n S 的通项公式；(2)若1x y ==，设n T 为n a 前n 项平方和，证明：214n n n T S S -<恒成立.5．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知数列{}n a 满足13a =，且12,1,n n na n a a n +⎧=⎨-⎩是偶数是奇数．(1)设221n n n b a a -=+，证明：{}3n b -是等比数列；(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求使得不等式2022n S >成立的n 的最小值．6．（2022春·河北衡水·高三校联考阶段练习）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，数列{}n c 满足()22221232341n c c c n c n +++++= ．2024年高考数学专项突破数列大题压轴练（解析版）(1)求出{}n a ，{}n c 的通项公式；(2)设数列()()1221log 1n n c n a +⎧⎫⋅+⎪⎪⎨⎬+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：516<n T ．7．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足36S =，2n n S n na =+，*n ∈N ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b ，{}n c ，{}n d 满足()21211n n n a b a +=+-，12121n n n n n c b b b b --= ，且2nn nc d n =⋅，求数列{}n d 的前n 项和n T ．8．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，()311421n n n T n +≤+--．9．（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）对于项数为m 的数列{}n a ，若满足：121m a a a ≤<<< ，且对任意1i j m ≤≤≤，i j a a ⋅与j ia a 中至少有一个是{}n a 中的项，则称{}n a 具有性质P ．(1)如果数列1a ，2a ，3a ，4a 具有性质P ，求证：11a =，423a a a =⋅；(2)如果数列{}n a 具有性质P ，且项数为大于等于5的奇数，试判断{}n a 是否为等比数列？并说明理由．10．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______.给出下列两个条件：条件①：数列{}n a 和数列{}1n S a +均为等比数列；条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记正项数列{}n b 的前n 项和为n T ，12b a =，23b a =，14n n n T b b +=⋅，求211(1)ni i i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑.11．（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足0n a ≠，*N n ∈.(1)若2210n n n a a ka ++=>且0n a >.（ⅰ）当{}lg n a 成等差数列时，求k 的值；（ⅱ）当2k =且11a =，4a =2a 及n a 的通项公式.(2)若21312n n n n a a a a +++=-，11a =-，20a <，[]34,8a ∈.设n S 是{}n a 的前n 项之和，求2020S 的最大值.12．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（n *∈N ），数列{}n b 满足2nn n b a =．(1)求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足()()131n nn n a c n λ--=-（λ为非零整数，n *∈N ），问是否存在整数λ，使得对任意n *∈N ，都有1n n c c +>．13．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，25a =，14n n n S S a +=++;{}n b 是等比数列，29b =，1330bb +=，公比1q >．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n a 和{}n b 的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求2012320T c c c c =++++ ．14．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11a =，当2n ≥时，22121n n a a n --=-，{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ；(2)数列{}n b 是等比数列，q 为数列{}n b 的公比，且13b q a ==，记21n n n nS a c b-+=，证明：122733n c c c ≤++⋅⋅⋅+<15．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，132n n S S +=+，数列{}n b 满足()1122,n n n b b b n++==，其中*n ∈N .(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n c 的等差数列，求数列{}n n b c 的前n 项和nT16．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知数列{}n a 的前n 项和为()+N 1=∈+n nS n n ，数列{}n b 满足11b =，且()1+N 2+=∈+nn n b b n b (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n b 的通项公式；(3)对于N n +∈，试比较1n b +与n a 的大小.17．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知{}12,32n n a a S =-是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若{}11,n n n n n a b b a a ++=的前n 项和为n T ，求证：14n T <.18．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习）已知正项数列{}n a满足)1,2n n a a n n -+-∈≥N ，11a =.数列{}n b 满足各项均不为0，14b =，其前n项的乘积112n n n T b -+=⋅.(1)求数列{}n a 通项公式；(2)设2log n n c b =，求数列{}n c 的通项公式；(3)记数列(){}1nn a -的前2m 项的和2m S ，求使得不等式21210m S c c c ≥+++L 成立的正整数m 的最小值.19．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知数列{}n a 满足2123n n n a a a ++=+，112a =，232a =．(1)证明：数列{}1n n a a ++为等比数列，求{}n a 的通项公式．(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*127N 4n S n n λ⎛⎫+≥-∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数λ的取值范围．20．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且112n n na T ++=(1)求数列{}{},n n ab 的通项公式；(2)数列{}n c 满足cos ,,n n na n n cb n π⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求21ni i c =∑.21．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知数列1:A a ，2a ，…，n a ，…满足10a =，11i i a a +=+（1,2,,,i n = ），数列A 的前n 项和记为n S ．(1)写出3S 的最大值和最小值；(2)是否存在数列A ，使得20221011S =如果存在，写出此时2023a 的值；如果不存在，说明理由．22．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，其前n 项和为(0)n n S S ≠，且21n n n n S a S a ++⋅=⋅.(1)若32S =，求3a 的值；(2)若1a a =，20232023a a =，求证：数列{}n a 是等差数列，并求其前n 项和.23．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列{}{},n n a b 满足222,1n n n n n a b a b +=-=.(1)求{}{},n n a b 的通项公式；(2)记数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：11121n n S n +≤-+-.24．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列{}n a 各项都不为0，12a =，24a =，{}n a 的前n 项和为n S ，且满足14n n n a a S +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12311231C C CC C n nn nnnn nn nb a a a a a --=+++⋅⋅⋅++，求数列112n n n n b b b ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 中11a =，其前n 项和记为n S ，且满足()()1232n n S S S n S ++⋅⋅⋅+=+．(1)求数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的通项公式；(2)设无穷数列1b ，2b ，…n b ，…对任意自然数m 和n ，不等式1m n m n nb b b m a +--<+均成立，证明：数列{}n b 是等差数列．26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n n n n BD a BA a BC --=++- ，记2nn n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求证：2221211154n b b b +++< ．27．（2022秋·湖北·高三校联考开学考试）已知数列{}n a 满足11a =，1n a +=中*N n ∈）(1)判断并证明数列{}n a 的单调性；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：20213522S <<．28．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{}2,4的一阶和数列是{}2,6,4，设n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求数列{}2,4的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想{}n S 的通项公式（无需证明）；(2)设()()()()331321log 3log 3n n n n S n b S S +-+=-⋅-，{}n b 的前m 项和m T ，若20252m T >，求m 的最小值29．（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）已知数列{}1,1,n n a a S =为数列{}n a 的前n 项和，且1(2)3n n S n a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：sin 0n n a a -<；(3)证明：212311111sin 1sin 1sin 1sin e n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．30．（2023·浙江温州·统考二模）设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，满足222n n n S a a =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式214na n a t ⎛⎫+ ⎪+⎝≥⎭对任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围；（3）设3ln(1)4n a n n b e +=（其中e 是自然对数的底数），求证：123426n n b b b b b b ++++<….数列大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）记n S为数列{}n a的前n项和，n T为S T+=．数列{}n S的前n项和，已知2n n(1)求证：数列{}n S是等比数列；(2)求数列{}n na的前n项和n A．2．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，24a =，且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*sin 3()cos cos n n c N b b =∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．3．（2023·湖南株洲·统考一模）数列{}n a 满足13a =，212n n n a a a +-=.(1)若21n bn a =+，求证：{}n b 是等比数列.(2)若1nnc b =+，{}n c 的前n 项和为n T ，求满足100n T <的最大整数n .4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列{}n a 满足21n n n a xa ya ++=+()N n +∈，11a =，22a =，n S 为数列{}n a 前n 项和.(1)若2x =，1y =-，求n S 的通项公式；(2)若1x y ==，设n T 为n a 前n 项平方和，证明：214n n n T S S -<恒成立.5．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知数列{}n a 满足13a =，且12,1,n n na n a a n +⎧=⎨-⎩是偶数是奇数．(1)设221n n n b a a -=+，证明：{}3n b -是等比数列；S>成立的n的最小值．(2)设数列{}n a的前n项和为n S，求使得不等式2022n6．（2022春·河北衡水·高三校联考阶段练习）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，数列{}n c 满足()22221232341n c c c n c n +++++= ．(1)求出{}n a ，{}n c 的通项公式；(2)设数列()()1221log 1n n c n a +⎧⎫⋅+⎪⎪⎨⎬+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：516<n T ．7．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足36S =，2n n S n na =+，*n ∈N ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b ，{}n c ，{}n d 满足()21211n n n a b a +=+-，12121n n n n n c b b b b --= ，且2nn nc d n =⋅，求数列{}n d 的前n 项和n T ．8．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，()311421n n n T n +≤+-．9．（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）对于项数为m 的数列{}n a ，若满足：121m a a a ≤<<< ，且对任意1i j m ≤≤≤，i j a a ⋅与j ia a 中至少有一个是{}n a 中的项，则称{}n a 具有性质P ．(1)如果数列1a ，2a ，3a ，4a 具有性质P ，求证：11a =，423a a a =⋅；(2)如果数列{}n a 具有性质P ，且项数为大于等于5的奇数，试判断{}n a 是否为等比数列？并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2){}n a 为等比数列，理由见解析10．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______.给出下列两个条件：条件①：数列{}n a 和数列{}1n S a +均为等比数列；条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记正项数列{}n b 的前n 项和为n T ，12b a =，23b a =，14n n n T b b +=⋅，求211(1)nii i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑.【答案】(1)12n n a -=(2)288n n+【分析】（1）选择条件①：先由{}1n S a +为等比数列结合等比中项列出式子，再设出等比数列{}n a 的公比，通过等比数列公式化简求值即可得出答案；选择条件②：先由1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=得出()()12121222212n n n n a a a n a n --++⋅⋅⋅+=-≥，两式做减即可得出()122n n a a n +=≥，再验证1n =时即可利用等比数列通项公式得出答案；（2）通过14n n n T b b +=⋅得出()1142n n n T b b n --⋅≥=，两式相减结合已知即可得出()1142n n b b n +--=≥，即数列{}n b 的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，将211(1)nii i i b b+=⎡⎤-⎣⎦∑转化即可得出答案.【详解】（1）选条件①：数列{}1n S a +为等比数列，()()()2211131S a S a S a ∴+=++，即()()2121123222a a a a a a +=++，11a = ，且设等比数列{}n a 的公比为q ，()()22222q q q ∴+=++，解得2q =或0q =（舍），1112n n n a a q --∴==，选条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+= ①，()()1212122212n n n n a a a n a n ---++⋅⋅⋅+=-≥∴，即()()12121222212n n n n a a a n a n --++⋅⋅⋅+=-≥ ②，由①②两式相减得：()()12221n n n n a na n a +=-≥-，即()122n n a a n +=≥，令1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=中1n=得出212a a =也符合上式，故数列{}n a 为首项11a =，公比2q =的等比数列，则1112n n n a a q --==，（2）由第一问可知，不论条件为①还是②，都有数列{}n a 为首项11a =，公比2q =的等比数列，即12n n a -=，11．（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足0n a ≠，*N n ∈.(1)若2210n n n a a ka ++=>且0n a >.（ⅰ）当{}lg n a 成等差数列时，求k 的值；（ⅱ）当2k =且11a =，4a =2a 及n a 的通项公式.(2)若21312n n n n a a a a +++=-，11a =-，20a <，[]34,8a ∈.设n S 是{}n a 的前n 项之和，求2020S 的最大值.12．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（n *∈N ），数列{}n b 满足2nn n b a =．(1)求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足()()131n nn n a c n λ--=-（λ为非零整数，n *∈N ），问是否存在整数λ，使得对任意n *∈N ，都有1n n c c +>．13．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，25a =，14n n n S S a +=++;{}n b 是等比数列，29b =，1330bb +=，公比1q >．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n a 和{}n b 的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求2012320T c c c c =++++ ．【答案】(1)43n a n =-，3nn b =(2)660【分析】（1）将14n n n S S a +=++移项作差可得{}n a 是等差数列，结合25a =可求出数列{}n a 的通项公式，将1,b q 代入等式计算，即可求出数列{}n b 的通项公式；（2）由2077a =可判断前20项中最多含有123,,b b b 三项，排除23b a =可确定前20项中14．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11a =，当2n ≥时，22121n n a a n --=-，{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ；(2)数列{}n b 是等比数列，q 为数列{}n b 的公比，且13b q a ==，记21n n n nS a c b -+=，证明：122733n c c c ≤++⋅⋅⋅+<15．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，132n n S S +=+，数列{}n b 满足()1122,n n n b b b n++==，其中*n ∈N .(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n c 的等差数列，求数列{}n n b c 的前n 项和nT【答案】(1)1*(2)3n n a n -=⋅∈N ，()*)1(n b n n n =+∈N (2)()*)121(3n n T n n =+-∈N 【分析】（1）由132n n S S +=+可得12)3(2n n S S n -=+≥，两式作差即可得数列{}n a 的递推关系，即可求通项，最后验证1a 是否符合即可；数列{}n b 利用累乘法即可求，最后验证1b 是否符合即可；（2）由题，由等差数列的性质得()11n n n a a n c +-=+，即可求出n c 的通项公式，最后利用错位相减法求n T 即可【详解】（1）由132n n S S +=+可得12)3(2n n S S n -=+≥，两式相减可得13(2)n n a a n +=≥，故数列{}n a 从第3项开始是以首项为2a ，公比3q =的等比数列.又由已知132n n S S +=+，令1n =，得213+2S S =，即12132a a a +=+，得21226a a =+=，故123)2(n n a n -=⋅≥；又12a =也满足上式，则数列{}n a 的通项公式为1*(2)3n n a n -=⋅∈N ；16．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知数列{}n a 的前n 项和为()+N 1=∈+n nS n n ，数列{}n b 满足11b =，且()1+N 2+=∈+nn n b b n b (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n b 的通项公式；(3)对于N n +∈，试比较1n b +与n a 的大小.17．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知{}12,32n n a a S =-是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若{}1,n n n a b b a a +=的前n 项和为n T ，求证：14n T <.18．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习）已知正项数列{}n a 满足)1,2n n a a n n -+-∈≥N ，11a =.数列{}n b 满足各项均不为0，14b =，其前n项的乘积112n n n T b -+=⋅.(1)求数列{}n a 通项公式；(2)设2log n n c b =，求数列{}n c 的通项公式；(3)记数列(){}1nn a -的前2m 项的和2m S ，求使得不等式21210m S c c c ≥+++L 成立的正整数m 的最小值.19．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知数列{}n a满足2123n n n a a a ++=+，112a =，232a =．(1)证明：数列{}1n n a a ++为等比数列，求{}n a 的通项公式．(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*127N 4n S n n λ⎛⎫+≥-∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数λ的取值范围．20．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且112n n na T ++=(1)求数列{}{},n n ab 的通项公式；(2)数列{}n c 满足cos ,,n n na n n cb n π⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求21ni i c =∑.21．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知数列1:A a ，2a ，…，n a ，…满足10a =，11i i a a +=+（1,2,,,i n = ），数列A 的前n 项和记为n S ．(1)写出3S 的最大值和最小值；(2)是否存在数列A ，使得20221011S =如果存在，写出此时2023a 的值；如果不存在，说明理由．22．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，其前n 项和为(0)n n S S ≠，且21n n n n S a S a ++⋅=⋅.(1)若32S =，求3a 的值；(2)若1a a =，20232023a a =，求证：数列{}n a 是等差数列，并求其前n 项和.23．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列{}{},n n a b 满足222,1n n n n n a b a b +=-=.(1)求{}{},n n a b 的通项公式；(2)记数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：11121n n S n +≤-+-.24．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列{}n a 各项都不为0，12a =，24a =，{}n a 的前n 项和为n S ，且满足14n n n a a S +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12311231C C CC C n nn nnnn nn nb a a a a a --=+++⋅⋅⋅++，求数列112n n n n b b b ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 中11a =，其前n 项和记为n S ，且满足()()1232n n S S S n S ++⋅⋅⋅+=+．(1)求数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的通项公式；(2)设无穷数列1b ，2b ，…n b ，…对任意自然数m 和n ，不等式1m n m n nb b b m a +--<+均成立，证明：数列{}n b 是等差数列．26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n n n n BD a BA a BC--=++- ，记2nn n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求证：22211154b b b +++< ．（2）由（1）可得：当1n =时，则1b 当2n ≥时，可得()(2211212n b n n=<-则222121111111114223nb b b ⎛+++=+-+- ⎝L 27．（2022秋·湖北·高三校联考开学考试）已知数列{}n a 满足11a =，1n a +=中*N n ∈）(1)判断并证明数列{}n a 的单调性；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：20213522S <<．⎫⎪⎪⎪28．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{}2,4的一阶和数列是{}2,6,4，设n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求数列{}2,4的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想{}n S 的通项公式（无需证明）；(2)设()()()()331321log 3log 3n n n n S n b S S +-+=-⋅-，{}n b 的前m 项和m T ，若20252m T >，求m 的最小值【答案】(1)230S =，384S =，133n n S +=+(2)7【分析】（1）根据123,,S S S 进行猜想，结合等比数列的知识进而求解，并进行推导.（2）利用裂项求和法求得m T ，由此列不等式，从而求得m 的最小值.【详解】（1）一阶和数列：{}2,6,4，对应112S =；二阶和数列：{}2,8,6,10,4，对应230S =；三阶和数列：{}2,10,8,14,6,16,10,14,4，对应384S =；故猜想136n n S S -=-，()1333n n S S --=-，所以数列{}3n S -是首项为139S -=，公比为3的等比数列，所以11393,33n n n n S S -+-=⋅=+.下面证明136n n S S -=-：设112124n m m S a a a a --=++++++ ，则()()()()1112112244n m m m m m S a a a a a a a a a --=+++++++++++++29．（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）已知数列{}1,1,n n a a S =为数列{}n a 的前n 项和，且1(2)3n n S n a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：sin 0n n a a -<；(3)证明：212311111sin 1sin 1sin 1sin e n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．30．（2023·浙江温州·统考二模）设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，满足222n n n S a a =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式214na n a t ⎛⎫+ ⎪+⎝≥⎭对任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围；（3）设3ln(1)4n a n nb e+=（其中e 是自然对数的底数），求证：123426n n b b b b b b ++++<….。

高考理科数学二轮分层特训卷：客观题专练 (9)

数列(9)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2019·河北衡水中学摸底]已知数列{a n }，若数列{3n －1a n }的前n 项和T n ＝15×6n －15，则a 5的值为( )A.815B.165 C ．16 D ．32 答案：C解析：通解 ∵T n ＝15×6n －15，∴n ≥2时，3n －1a n ＝T n －T n －1＝15×6n －15×6n －1＝6n －1，即a n ＝2n －1(n ≥2)，∴a 5＝16，故选C.优解 ∵T n ＝15×6n －15，∴34a 5＝T 5－T 4＝65－15－64－15＝64，∴a 5＝24＝16，故选C.2．[2019·重庆一中期末]已知数列{a n }满足a 1＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝2a n (n ≥2，n ∈N *)，则{a n }(n ≥2)的通项公式为a n ＝( )A ．2n －1B ．2n －2C ．2n ＋1－3 D ．3－2n 答案：B解析：∵S n ＝2a n (n ≥2，n ∈N *)，∴n ≥3时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥3)，易得a 2＝1，∴a n ＝2n －2(n ≥2)，故选B.3．[2019·天津一中月考]在各项均为正数的数列{a n }中，a 1＝2，a 2n ＋1－2a n ＋1a n －3a 2n ＝0，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＝242，则n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案：A解析：由a 2n ＋1－2a n ＋1a n －3a 2n ＝0，得(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋a n )＝0，即a n ＋1＝3a n 或a n ＋1＝－a n ，又{a n }各项均为正数，所以a n ＋1＝3a n .因为a 1＝2，a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，则由S n ＝2(1－3n )1－3＝242，解得n ＝5，故选A.4．[2019·湖北武汉部分重点中学联考]已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －1)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15 答案：A解析：依题意，得a 1＋a 2＋…＋a 10＝(a 1＋a 3＋…＋a 9)＋(a 2＋a 4＋…＋a 10)＝－(2＋8＋…＋26)＋(5＋11＋…＋29)＝－2＋262×5＋5＋292×5＝－70＋85＝15.故选A.5．[2019·湖北武汉武昌实验中学月考]两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画出点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中实心点的个数依次为5，9，14，20，…，这样的一组数被称为梯形数，记此数列为{a n }，则( )A ．a n ＋1＋a n ＝n ＋2B ．a n ＋1－a n ＝n ＋2C ．a n ＋1＋a n ＝n ＋3D ．a n ＋1－a n ＝n ＋3 答案：D 解析：由已知可得a 2－a 1＝4，a 3－a 2＝5，a 4－a 3＝6，…，由此可以得到a n ＋1－a n ＝n ＋3.故选D.6．[2019·湖北武汉一中月考]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝12n 2＋n ，则( )A ．a n ＝n ＋12 B ．a n ＝⎩⎨⎧ 12，n ＝1，n ＋12，n ≥2C ．a n＝2n －12 D ．a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，2n －12，n ≥2答案：A解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋n －⎣⎡⎦⎤12(n －1)2＋(n －1)＝n ＋12；当n ＝1时，a 1＝S 1＝12×12＋1＝32，符合上式．所以a n ＝n ＋12(n ∈N *)．故选A.7．[2019·甘肃酒泉五校联考]设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 3，a 5成等差数列，且S k ＝33，S k ＋1＝－63，其中k ∈N *，则k 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案：B解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 4，a 3，a 5成等差数列，得2a 3＝a 4＋a 5，即2a 1q 2＝a 1q 3＋a 1q 4.易知a 1≠0，q ≠0，所以q 2＋q －2＝0，解得q ＝1或q ＝－2.当q ＝1时，与S k ＝33，S k ＋1＝－63矛盾，舍去，所以q ＝－2.又S k ＝a 1(1－q k )1－q ＝33，S k ＋1＝a 1(1－q k ＋1)1－q ＝－63，所以k ＝5.故选B.8．[2019·山西河津二中月考]已知数列{a n }为12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，若b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和S n 为( )A.4nn ＋1 B.2n －2n ＋1C.nn ＋1 D.n －12(n ＋1) 答案：A解析：∵a n ＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2，∴b n ＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4nn ＋1.故选A.9．[2019·辽宁沈阳二中月考]已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n 为偶数，－n 2，n 为奇数，且b n＝a n ＋a n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b 200＝( )A ．－400B ．400C ．－200D ．200 答案：C解析：∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n 为偶数，－n 2，n 为奇数，且b n ＝a n ＋a n ＋1，∴n 为奇数时，b n ＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1，n 为偶数时，b n ＝n 2－(n ＋1)2＝－2n －1，∴b 1＋b 2＋…＋b 200＝(b 1＋b 3＋…＋b 199)＋(b 2＋b 4＋…＋b 200)＝100×(3＋399)2＋100×(－5－401)2＝－200.故选C.10．[2019·天津部分地区第三次联考]已知f (x )＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫x －12，数列{a n }满足a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)，则a 2 019＝( ) A ．1 009 B ．1 010 C ．2 019 D ．2 020 答案：B解析：因为f (x )＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫x －12，所以f (x )＋f (1－x )＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫x －12＋12＋sin ⎝⎛⎭⎫1－x －12＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫x －12－sin ⎝⎛⎭⎫x －12＝1.又数列{a n }满足a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)，所以a 2 019＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＋f ⎝⎛⎭⎫22 019＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0182 019＋f (1)＝1 010×1＝1 010.故选B. 11．[2019·河北邢台月考]在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n 2n 2－1·a n －1(n ∈N *，n ≥2)，记S n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2的前n 项和，若S n ＝4925，则n ＝( )A ．25B ．49C ．50D ．26 答案：B解析：设a n n 2＝b n ，∵a n ＝n 2n 2－1a n －1(n ≥2)，∴a nn 2＝a n －1(n －1)2·n －1n ＋1，∴b n ＝n －1n ＋1b n －1，b 1＝1，∴b n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝2n n ＋1，∴2n n ＋1＝4925，∴n ＝49.故选B.12．[2019·甘肃酒泉五校联考]在递减的等差数列{a n }中，a 1a 3＝a 22－4，若a 1＝13，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和S n 的最大值为( ) A.24143 B.1143 C.2413 D.613 答案：D解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则d <0，由a 1a 3＝a 22－4，a 1＝13，得13(13＋2d )＝(13＋d )2－4，解得d ＝－2或d ＝2(舍去)，所以a n ＝13－2(n －1)＝15－2n .因为1a n a n ＋1＝1(15－2n )(13－2n )＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －15－12n －13，所以S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－113－12n －13≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫－113－12×6－13＝613.故选D. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2019·湖北宜昌两校联考]已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2n ＋1－1，则数列{a n }的通项公式为____________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－(2n －1)＝2n ；当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－1＝3，不符合上式．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.14．[2019·吉林省实验中学模拟]设数列{a n }的通项公式为a n ＝n ·2n －1(n ∈N *)，则{a n }的前5项和为____________．答案：129 解析：∵a n ＝n ·2n －1(n ∈N *)，∴数列{a n }的前5项和为1＋4＋12＋32＋80＝129.15．[2019·湖北武汉十六中月考]已知数列{a n }满足：a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a na n －1是首项为2，公比为2的等比数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1log 2a n 的前n 项和为____________．答案：2nn ＋1解析：∵a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a na n －1是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n ＝2×22×23× (2)＝2n (n ＋1)2，∴1log 2a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1log 2a n 的前n 项和为2nn ＋1.16．[2019·山东济南四校联考]已知数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋1，则数列{a n }的通项公式为____________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2n ＋1，n ≥2解析：依题意知，12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋1，当n ≥2时，12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n －1a n －1＝2n －1，两式相减，得12n a n ＝2，即a n ＝2n ＋1(n ≥2)；当n ＝1时，12a 1＝2×1＋1，即a 1＝6，不符合上式．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.。

专题03 立体几何大题压轴练(原卷版)

【一专三练】专题03 立体几何大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD EFGH -中，点M 是正方体的中心，将四棱锥M BCGF -绕直线CG 逆时针旋转(0π)αα<<后，得到四棱锥M B CGF -'''．(1)若π2α=，求证：平面MCG //平面M B F '''；(2)是否存在α，使得直线M F ''⊥平面MBC ？若存在，求出α的值；若不存在，请说明理由．2．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）如下图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==．（1）求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值；（2）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，利用此定义求异面直线PB 与CD 之间的距离．3．（2023·湖南张家界·统考二模）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=︒，11AC A C ⊥，D 为线段1A C 上的动点，1AC BD ⊥.(1)求证：平面11ACC A ⊥平面ABC ；(2)若1AA AC ⊥，D 为线段1A C 的中点，22AC BC ==，求1B D 与平面1A BC 所成角的余弦值.4．（2023春·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）如图①，已知AB C 'V 是边长为2的等边三角形，D 是AB '的中点，DH B C ⊥'，如图②，将B DH 'V 沿边DH 翻折至BDH △.(1)在线段BC 上是否存在点F ，使得//AF 平面BDH ？若存在，求BF FC的值；若不存在，请说明理由；(2)若平面BHC 与平面BDA 所成的二面角的余弦值为13，求三棱锥B DCH -的体积.5．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，△PAD 为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PB BC ⊥．(1)求点A 到平面PBC 的距离；(2)E 为线段PC 上一点，若直线AE 与平面ABCD 求平面ADE与平面ABCD 夹角的余弦值．6．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3DAB π∠=，平面11BDD B ⊥平面ABCD ，点1,O O 分别为11,B D BD 的中点，1111,,O B A AB O BO ∠∠=均为锐角.(1)求证：1AC BB ⊥；(2)若异面直线CD 与1AA 1A ABCD -的体积为1，求二面角1B AA C --的平面角的余弦值.7．（2023·山西太原·统考一模）如图，四棱锥P ABCD -中，，AB CD AB AD ⊥∥，且24260，，AB AD CD PA PAB =====∠ ，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30，，E F 分别是BC 和PD 的中点.(1)证明：EF P 平面PAB ；(2)求平面PAB 与平面PAD 夹角的余弦值.8．（2023·江苏·统考一模）如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，ABC V 和ACD V 均为正三角形，4AC =，BE =.(1)在线段AC 上是否存在点F ，使得BF ∥平面ADE ?说明理由；(2)求平面CDE 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值.9．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）在三棱锥-P ABC 中，PA PB =，90BAC ∠=︒，M 为棱BC 的中点.(1)证明：AB PM ⊥；(2)若平面PAB ⊥平面ABC，PA PB ==2AB AC ==，E 为线段PC 上一点，2PE EC =，求点E 到平面PAM 的距离.10．（2023·云南·统考一模）如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E 是AC 与BD 的交点，AB AD =，60BAD ∠=︒．(1)记圆柱的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V ；(2)设点F 在线段AP 上，4,4PA PF PC CE ==，求二面角F CD P --的余弦值．11．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，E 是11A D 的中点，F 为线段BC 上一点，2AB =，11AA =，60BAD ∠=︒.(1)证明：当BF FC =时，⊥AE 平面DEF ；(2)是否存在点F ，使二面角A DE F --的余弦值为15若存在，请指出点F 的位置；若不存在，请说明理由.12．（2023春·重庆·高三重庆市长寿中学校校考期末）如图，在四棱台1111ABCD A B C D-中，底面为矩形，平面11AA D D ⊥平面11CC D D ，且1111112CC CD DD C D ====.（1）证明：AD ⊥平面11CC D D ；（2）若1A C 与平面11CC D D 所成角为3π，求二面角1C AA D --的余弦值.13．（2023秋·重庆璧山·高三校联考阶段练习）如图，已知圆柱的上，下底面圆心分别为11,,P Q AA C C 是圆柱的轴截面，正方形ABCD 内接于下底面圆Q ，12,AB AA k ==．(1)当k 为何值时，点Q 在平面PBC 内的射影恰好是△PBC 的重心；(2)若[]2,4k ∈，当平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角最大时，求该锐二面角的余弦值．14．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图1，,A D 分别是矩形11A BCD 上的点，1222AB AA AD ===，12DC DD =，把四边形11A ADD 沿AD 折叠，使其与平面ABCD 垂直，如图2所示，连接1A B ，1D C 得到几何体11ABA DCD -．(1)当点E 在棱AB 上移动时，证明：11D E A D ⊥；(2)在棱AB 上是否存在点E ，使二面角1D EC D --的平面角为π6？若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由．15．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）如图四棱锥,2,,S ABCD AC B D -=在以AC 为直径的圆上，SA ⊥平面π,,6ABCD DAC E ∠=为SC 的中点，(1)若π6BAC ∠=，证明：DE ⊥AB ；(2)当二面角D SC A --时，求点B 到平面SCD 距离的最大值.16．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）如图，在三棱台111ABC A B C -中，三棱锥111C A B C -，1AB C △的面积为4，112AB A B =，且1A A ⊥平面ABC ．(1)求点B 到平面1AB C 的距离；(2)若1BB BA =，且平面1AB C ⊥平面11ABB A ，求二面角11A B C A --的余弦值．17．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PAD ，//AD BC ，1AB BC PA ===，2AD =，30ADP ∠=︒，90BAD ∠=︒，E 是PD 的中点．(1)求证：PD PB ⊥；(2)若点M 在线段PC 上，异面直线BM 和CE 求面MAB 与面PCD 夹角的余弦值．18．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）如图，已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是平行四边形，且π3DAB ∠=，22,,AD AB BE PE P ===是线段AD 的中点，BE PC ⊥.(1)求证：PC ⊥平面BPE ；(2)下列条件任选其一，求二面角P EC B --的余弦值.①AE 与平面ABCD 所成的角为π4；②D 到平面EPC 注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分.19．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）如图，三棱锥E ABD -和F BCD -均为棱长为2的正四面体，且A ，B ，C ，D 四点共面，记直线AE 与CF 的交点为Q .(1)求三棱锥Q BDE -的体积；(2)求二面角A QD C --的正弦值.20．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，1,90,1,2AD BC ADC PAB BC CD AD E ∠∠=====∥ 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90 .(1)在直线PA 上找一点M ，使得直线//MC 平面PBE ，并求AM AP 的值；(2)若直线CD 到平面PBE ，求平面PBE 与平面PBC 夹角的正弦值.21．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD V 是正三角形，且平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，P为棱AD 的中点，四棱锥S ABCD -(1)若E 为棱SB 的中点，求证：//平面SCD ；(2)在棱SA 上是否存在点M ，使得平面PMB 与平面SAD 若存在，指出点M 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.22．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图所示，圆锥的高2PO =，底面圆O 的半径为R ，延长直径AB 到点C ，使得BC R =，分别过点A ，C 作底面圆O 的切线，两切线相交于点E ，点D 是切线CE 与圆O 的切点．(1)证明：平面PDE ⊥平面POD ；(2)若直线PE 与平面PBD ，求点A 到平面PED 的距离．23．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）异面直线1l 、2l 上分别有两点A 、B .则将线段AB 的最小值称为直线1l 与直线2l 之间的距离.如图，已知三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面PBC ，PB PC ⊥，点D 为线段AC 中点，1AP BP CP ===.点E 、F 分别位于线段AB 、PC 上（不含端点），连接线段EF .(1)设点M 为线段EF 中点，线段EF 所在直线与线段AC 所在直线之间距离为d ，证明：DM d > .(2)若AB PC k AE FC==()1k >，用含k 的式子表示线段EF 所在直线与线段BD 所在直线之间的距离.24．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图，在长方体ABCD FGHE -，平面ABCD 与平面BCEF 所成角为02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.(1)若AB BC =，求直线AH 与平面BCEF 所成角的余弦值（用cos θ表示）；(2)将矩形BCEF 沿BF 旋转θ度角得到矩形BFPQ ，设平面ABCD 与平面BFPQ 所成角为π02αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，请证明：2cos cos αθ=.25．（2023秋·福建宁德·高三校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，点P 在底面ABCD 内的投影恰为AC 中点，且BM MC =．(1)若2PC =，求证：PM ⊥面PAD ；(2)若平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为3π，求直线PM 与平面PCD 所成角的正弦值．26．（2023秋·山东烟台·高三山东省烟台第一中学校考期末）如图，在三棱台111ABC A B C -中，底面ABC V 是边长为2的正三角形，侧面11ACC A 为等腰梯形，且1111A C AA ==，D 为11A C 的中点．（1）证明：AC BD ⊥；（2）记二面角1A AC B --的大小为θ，2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求直线1AA 与平面11BB C C 所成角的正弦值的取值范围．27．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知直三棱柱111ABC A B C -，D 为线段11A B 的中点，E 为线段1CC 的中点，1AC CE ==，平面ABE ⊥平面11AA C C .(1)证明：AB AE ⊥；(2)三棱锥E ABD -的外接球的表面积为132π，求平面ADE 与平面BDE 夹角的余弦值.28．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图所示，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，120BCD ∠= ，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===.（1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）点M 在线段EF MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，试求cos θ的取值范围.29．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）如图所示，六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，1111,π3BAD AA BB CC DD ∠=∥∥∥，且1BB ⊥平面111111,,,(01),2ABCD AA CC AE AA CF CC DD BB λλλ===<≤= ，平面BEF 与平面ABCD的交线为l .(1)证明：直线l ⊥平面11B BDD ；(2)已知2EF =，三棱锥1B BDF -的体积1B BDF V -=1D F 与平面1BDD 所成角为θ，求sin θ的取值范围.30．（2023·江苏南通·二模）如图，在圆台1OO 中，11,A B AB 分别为上、下底面直径，且11//A B AB ，112AB A B =， 1CC 为异于11,AA BB 的一条母线．(1)若M 为AC 的中点，证明：1//C M 平面11ABB A ；(2)若13,4,30OO AB ABC ==∠=︒，求二面角1A C C O --的正弦值．。

高考满分数学压轴题21 导数中的构造函数(可编辑可打印)

近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，一下问题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结．【方法综述】以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“()()f x g x ±、()()f x g x 、()()f xg x ”等特征式、解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．方法总结：和与积联系：()()f x xf x '+，构造()xf x ； 22()()xf x x f x '+，构造2()x f x ；3()()f x xf x '+，构造3()x f x ；…………………()()nf x xf x '+，构造()n x f x ；()()f x f x '+，构造e ()x f x ．等等．减法与商联系：如()()0xf x f x ->'，构造()()f x F x x=； ()2()0xf x f x ->'，构造2()()f x F x x =；………………… ()()0xf x nf x ->'，构造()()nf x F x x =． ()()f x f x '-，构造()()e x f x F x =，()2()f x f x '-，构造2()()e x f x F x =，……………… ()()f x nf x '-，构造()()e nxf x F x =，奇偶性结论：奇乘除奇为偶；奇乘偶为奇。

（可通过定义得到）构造函数有时候不唯一，合理构造函数是关键。

给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。

【解答策略】类型一、巧设“()()y f x g x =±”型可导函数【例1】已知不相等的两个正实数x ，y 满足()2244log log x y y x -=-，则下列不等式中不可能成立的是导数中的构造函数（） A ．1x y <<B ．1y x <<C ．1x y <<D ．1y x <<【来源】广东省佛山市2021届高三下学期二模数学试题【答案】B【解析】由已知()2244log log x y y x -=-，因为2log 4x ＝log 2x ，所以原式可变形222log 4g 2lo x x y y =++令()222log f x x x =+，()24log g x x x =+，函数()f x 与()g x 均为()0,∞+上的增函数，且()()f x g y =，且()()11f g =，当1x >时，由()1f x >，则()1g y >，可得1y >，当1x <时，由()1f x <，则()1g y <，可得1y <，要比较x 与y 的大小，只需比较()g x 与()g y 的大小，()()()()222224log 2log 2log g x g y g x f x x x x x x x x -=-=+--=-+设()()222log 0h x x x x x =-+>，则()212ln 2h x x x '=-+()2220ln 2h x x ''=--<，故()h x '在()0+∞，上单调递减，又()2110ln 2h '=-+>，()1230ln 2h '=-+<，则存在()01,2x ∈使得()0h x '=，所以当()00,x x ∈时，()0h x '>，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '<，又因为()()()()010,10,412480h h x h h =>==-+=-<，所以当1x <时，()0h x <，当1x >时，()h x 正负不确定，故当1,1x y <<时，()0h x <，所以()()()1g x g y g <<，故1x y <<，当1,1x y >>时，()h x 正负不定，所以()g x 与()g y 的正负不定，所以,,111x y x y y x ><<>>>均有可能，即选项A ，C ，D 均有可能，选项B 不可能．故选：B ．【点睛】本题考查了不等关系的判断，主要考查了对数的运算性质以及对数函数性质的运用，解答本题的关键是要比较x 与y 的大小，只需比较()g x 与()g y 的大小，()()()()222log g x g y g x f x x x x -=-=-+，设()()222log 0h x x x x x =-+>，求导得出其单调性，从而得出,x y 的大小可能性．【举一反三】1．若实数a ，b 满足()221ln 2ln 1a b a b-+-≥，则a b +=（）A ．2B C ．2D ．【来源】浙江省宁波市镇海中学2021届高三下学期5月模拟数学试题【答案】C 【解析】()ln 1g x x x =--，1()1g x x'=-， ()0g x '>(1,)x ⇒∈+∞，()0g x '<⇒(0,1)x ∈， ∴()g x 在(0,1)x ∈单调递减，在(1,)x ∈+∞单调递增，∴()(1)1ln110g x g =--=，∴1ln 0x x x -≥>，恒成立，1x =时取等号，2211a b +-2221a b -21a b =-， 221ln ln(2)ln a a a bb b-=-， ()221ln 2ln 1a b a b-+-≥，∴2211ln(2)ln a a b b+-=-，又21ab =（不等式取等条件），解得：a b ==，2a b ∴+=，故选：C.2．（2020·河北高考模拟（理））设奇函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，且在(0,)+∞上2'()f x x <，若(1)()f m f m --331[(1)]3m m ≥--，则实数m 的取值范围为（）A ．11[,]22-B ．11(,][,)22-∞-⋃+∞C ．1(,]2-∞- D ．1[,)2+∞【答案】D【解析】由()()1f m f m -- ()33113m m ⎡⎤≥--⎣⎦得：3311(1)(1)()33f m m f m m ---≥-，构造函数31()()3g x f x x =-，2()()0g x f x x '=-<'故g （x ）在()0,+∞单调递减，由函数()f x 为奇函数可得g(x)为奇函数，故g(x)在R 上单调递减，故112m m m -≤⇒≥选D点睛：本题解题关键为函数的构造，由()2'f x x <要想到此条件给我们的作用，通常情况下是提示我们需要构造函数得到新函数的单调性，从而得不等式求解；3．（2020·山西高考模拟（理））定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()251,22x f x f ='>，则关于x 的不等式()13xxf e e <-的解集为（）A ．()20,eB ．()2,e +∞C ．()0,ln 2D ．(),2ln -∞【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()1F x f x x=+，利用已知条件求得()'0F x >，即函数()F x 为增函数，而()23F =，由此求得e 2x <，进而求得不等式的解集.【详解】构造函数()()1F x f x x =+，依题意可知()()()222110x f x F x f x x x-=-=''>'，即函数在()0,∞+上单调递增.所求不等式可化为()()1e e 3e x x x F f =+<，而()()12232F f =+=，所以e 2x <，解得ln 2x <，故不等式的解集为(),ln 2-∞.【点睛】本小题主要考查利用导数解不等式，考查构造函数法，考查导数的运算以及指数不等式的解法，属于中档题.题目的关键突破口在于条件()21x f x '>的应用.通过观察分析所求不等式，转化为()1e 3e x x f +<，可发现对于()()1F x f x x=+，它的导数恰好可以应用上已知条件()21x f x '>.从而可以得到解题的思路.4．（2020·河北衡水中学高考模拟（理））定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式23(2cos )2sin 22x f x +>的解集为( )A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】令11()()22g x f x x =--，则1()'()0'2g x f x =->， ()g x ∴在定义域R 上是增函数，且11(1)(1)022g f =--=，1(2cos )(2cos )cos 2g x f x x ∴=--23=(2cos )2sin 22x f x +-，∴23(2cos )2sin 022x f x +->可转化成()(2cos )1g x g >，得到2cos 1x >，又3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可以得到,33x ππ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭，故选D5．定义在()0+，∞上的函数()f x 满足()10xf x '-<，且(1)1f =，则不等式()()21ln 211f x x ->-+的解集是__________．【答案】()112，【解析】()()ln F x f x x =-，则()11()()xf x F x f x xx-=-='''，而()10xf x '-<，且0x >，∴()0F x '<，即()F x 在()0+，∞上单调递减，不等式()()21ln 211f x x ->-+可化为()()21ln 2111ln1f x x --->=-，即()()211F x F ->，故210211x x ->-<⎧⎨⎩，解得：112x <<，故解集为：()112，．类型二巧设“()()f x g x ”型可导函数【例】已知定义在R 上的图象连续的函数()f x 的导数是fx ，()()20f x f x +--=，当1x <-时，()()()()110x f x x f x '+++<⎡⎤⎣⎦，则不等式()()10xf x f ->的解集为（）A ．(1,1)-B ．(),1-∞-C ．1,D ．()(),11,-∞-⋃+∞【来源】2021年浙江省高考最后一卷数学（第七模拟）【答案】A【解析】当1x <-时，()()()()110x f x x f x '+++<⎡⎤⎣⎦，即有()()()10f x x f x '++>．令()()()1F x x f x =+，则当1x <-时，()()()()10F x f x x f x ''=++>，故()F x 在(),1-∞-上单调递增．∵()()()()()()22121F x x f x x f x F x --=--+--=---=⎡⎤⎣⎦， ∴()F x 关于直线1x =-对称，故()F x 在()1,-+∞上单调递减，由()()10xf x f ->等价于()()()102F x F F ->=-，则210x -<-<，得11x -<<． ∴()()10xf x f ->的解集为(1,1)-．故选：A. 【举一反三】1．（2020锦州模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，若(2)0f =，则不等式()0xf x >的解集为（）A ．{20 x x -<<或}02x <<B ．{ 2 x x <-或}2x >C ．{20 x x -<<或}2x >D ．{ 2 x x <-或}02x <<【答案】D ．【解析】令()()F x xf x =，则()F x 为奇函数，且当0x <时，()()()0F x f x xf x '+'=<恒成立，即函数()F x 在()0-，∞，()0+，∞上单调递减，又(2)0f =，则(2)(2)0F F -==，则()0xf x >可化为()(2)F x F >-或()(2)F x F >，则2x <-或02x <<．故选D ．2．（2020·陕西高考模拟）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x ∈R 满足'()()0f x f x +<，则下列结论正确的是（）A ．23(2)(3)e f e f >B ．23(2)(3)e f e f <C ．23(2)(3)e f e f ≥D ．23(2)(3)e f e f ≤【答案】A【解析】令()()xg x e f x = ，则()(()())0xg x e f x f x '+'=<，所以(2)(3),g g > 即()()2323e f e f >，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x <'构造()()xf xg x e=，()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 3．（2020·海南高考模拟）已知函数()f x 的导函数'()f x 满足()(1)'()0f x x f x ++>对x ∈R 恒成立，则下列判断一定正确的是（） A ．(0)02(1)f f << B ．0(0)2(1)f f << C ．02(1)(0)f f << D ．2(1)0(0)f f <<【答案】B【解析】由题意设()()()1g x x f x =+，则()()()()'1'0g x f x x f x =++>，所以函数()g x 在R 上单调递增，所以()()()101g g g -<<，即()()0021f f <<．故选B ． 4．（2020·青海高考模拟（理））已知定义在上的函数满足函数的图象关于直线对称，且当成立（是函数的导数），若，则的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】令，则当，因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，即为偶函数，为奇函数，因此当，即为上单调递减函数，因为，而，所以，选A.5.（2020南充质检）()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21()2()0x f x xf x '++<，且(2)0f =，则不等式()0f x <的解集是（）A ．()()22--+，，∞∞ B ．()()2002-，，C ．()()202-+，，∞D ．()()202--，，∞ 【答案】C ．【解析】构造函数()2()1()g x x f x =+，则()2()1()g x x f x ''=+．又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()2()1()g x x f x =+为奇函数，且当0x >时，()2()1()2()0g x x f x xf x ''=++<，()g x 在()0+，∞上函数单减， ()0()0f x g x <⇒<．又(2)0g =，所以有()0f x <的解集()()202-+，，∞．故选C ．点睛：本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则及构造函数解不等式，属于难题．求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”以构造恰当的函数；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造合适的函数．6．（2020荆州模拟）设函数()f x '是奇函数()f x (x ∈R )的导函数，当0x >时，1ln ()()x f x f x x '<-，则使得()21()0x f x ->成立的x 的取值范围是（）A ．()()1001-，，B ．()()11--+，，∞∞C ．()()101-+，，∞D ．()()101--，，∞ 【答案】D.【解析】设()ln ()g x x f x =，当0x >时，1()()ln ()0g x f x xf x x'=+<'，()g x 在()0+，∞上为减函数，且(1)0g =，当()01x ∈，时，()0g x >，ln 0x <∵，()0f x <∴，2(1)()0x f x ->；当()1x ∈+，∞时，()0g x <，ln 0x >∵，()0f x <∴，()21()0x f x -<， ∵()f x 为奇函数，∴当()10x ∈-，时，()0f x >，()21()0x f x -<；当()1x ∈--，∞时，()0f x >，()21()0x f x ->．综上所述：使得()21()0x f x -<成立的x 的取值范围是()()101--，，∞ 【点睛】构造函数，借助导数研究函数单调性，利用函数图像解不等式问题，是近年高考热点，怎样构造函数，主要看题目所提供的导数关系，常见的有x 与()f x 的积或商，2x 与()f x 的积或商，e x 与()f x 的积或商，ln x 与()f x 的积或商等，主要看题目给的已知条件，借助导数关系说明导数的正负，进而判断函数的单调性，再借助函数的奇偶性和特殊点，模拟函数图象，解不等式．7．（2020·河北高考模拟）已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足(1)()'()0x f x xf x ++>，则（） A ．()0f x > B ．()0f x < C ．()f x 为减函数 D ．()f x 为增函数【答案】A【解析】令()e [()]x g x xf x =，则由题意，得()e [(1)()()]0xg x x f x xf x '+'=+>，所以函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，又因为(0)0g =，所以当0x >时，()0>g x ，则()0f x >，当0x <时，()0<g x ，则()0f x >，而()()()1'0x f x xf x ++>恒成立，则(0)0f >；所以()0f x >；故选A.点睛：本题的难点在于如何利用()()()1'0x f x xf x ++>构造函数()e [()]xg x xf x =。

数学-22届高考数学精品微专题：中点弦问题

2022届高考数学精品微专题：中点弦问题一、常用结论1.椭圆中点弦问题结论（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x 为例）（1）如图，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22ab k k AB OE -=⋅;（证明：用点差法）（2）注意：若焦点在y 轴上的椭圆)0(12222>>=+b a a y b x ，则22ba k k AB OE -=⋅.2.双曲线中点弦结论（以焦点在x 轴的双曲线方程12222=-by a x 为例）图1 图2（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅; （2）注意：若焦点在y 轴上的双曲线12222=-bx a y ，则22b a k k AB OE =⋅3.抛物线中点弦结论（1）在抛物线)0(22≠=p px y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则p y k MN =⋅0. 即：0y p k =（2）同理可证，在抛物线)0(22≠=p py x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.即：px k 0=二、典例【选填+解答题】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（） A ．2 B ．2-C ．12-D ．12【答案】C【分析】先根据已知得到222a b =，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得222222242,4()2,22c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=.设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b b x x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-.2.【2014年江西卷（理15）】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为【解析】由椭圆中点弦性质可得1222-=-=⋅e a b k k AB OM ，则⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⨯-1011212e e，故e =．3.【2013全国卷1理科】已知椭圆E ：(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．B ．C ．D ．【解析】22a b k k AB MF -=⋅，得22)1(13)1(0ab -=-⨯---，∴=，又9==，解得=9，=18， ∴椭圆方程为，故选D ．(1,1)M 12-C 22221(0)x y a b a b +=>>,A B M AB C 2222=1x y a b+22=14536x y +22=13627x y +22=12718x y +22=1189x y +22b a 122c 22a b -2b 2a 221189x y +=4.（2018全国卷Ⅲ第一问）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：22143x y +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m >．证明：12k <-．【答案】证明见解析．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=，上述两式相减，则4322-=-=⋅a b k k AB OM ．由题设知1212x x +=，122y y m +=，故43-=⋅m k ，于是34k m=-．由⎪⎩⎪⎨⎧<+>134102m m 得302m <<，故12k <-．5.（2020年湖北高二期末）如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为ABCD ．23【答案】B【解析】方法1：设直线AB 方程为y x n =-+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22221x y a b y x n ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得：22222222()20a b x a nx a n a b +-+-=， ∴212222a nx x a b+=+，12122()y y n x x +=-+，设(,)M x y ， ∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+， ∴12121212122()21OMy y n x x y n k x x x x x x x +-+====-+++22222113a b b a a +=-==，∴2222223c a b a a -==，∴c e a ==．故选B ．方法2：（秒杀解）⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-⇒-=-=⋅1031112222e e e a b k k OM AB ，得36=e ．故选B ．6.【2019一中月考】直线与椭圆：相交于两点，设线段的中点为，则动点的轨迹方程为（）D7．已知椭圆2217525+=y x 的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为（） A ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】C 【分析】由题意知：斜率为3的弦中点01(,)2M y ，设弦所在直线方程3y x b =+，结合椭圆方程可得122b x x +=-即可求b ，进而求M 的坐标. 【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，:3AB y x b =+，则将3y x b =+代入椭圆方程，整理得：22126750x bx b ++-=，∴22123648(75)02b b b x x ⎧∆=-->⎪⎨+=-⎪⎩，而121x x =+，故2b =-， ∴:32AB y x =-，又01(,)2M y 在AB 上，则012y =-，故选：C)(4R m m x y ∈+=C 12322=+y x B A ,AB M M 16.+-=x y A 6.xy B -=)33(16.<<-+-=x x y C )526526(6.<<--=x x y D8．（2020·四川成都市·成都七中）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为（1，1-），则G 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的标准方程，两式作差可得AB k 22b a =，由22b a =12，9=2c =22a b -，即可求解.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=，①2222221x y a b +=，②①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a ，又ABk =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，9．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中）已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（） A ．43-B ．43C ．34-D ．34【答案】C【分析】设出椭圆方程，设出A B C ，，的坐标，通过点差法转化求解斜率，然后推出结果即可．【详解】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y -+-+=-，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +-=-+-，134OD AB k k =-，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k k =-=-，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=-++=-，10．（2020·广东广州市·执信中学）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，ABC ∆的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0．O 为坐标原点，则（）A ．22:1:2a b =B ．直线AB 与直线OD 的斜率之积为2-C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为12-D ．若直线OD ，OE ，OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++的值为2- 【答案】CD【分析】由题意可得：222a b =．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．利用点差法即可得出11·2OD k k =-，21·2OE k k =-，31·2OF k k =-，即可判断．【详解】椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>∴222112b e a =-=，222a b ∴=，故A 错；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减可得：21212212121·2y y y y b x x x x a +-=-=-+-．11·2OD k k ∴=-，同理21·2OE k k =-，31·2OF k k =-，故B 错，C 正确．又1231112()2OD OE OF k k k k k k ++=-++=-，11．（2020·广东广州市·执信中学）已知直线L 与双曲线22221()00a x y a bb >-=>，相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，若直线L 的斜率为1k ，OM 的斜率为2k ，且122k k =，则双曲线渐近线的斜率等于（） A．2±B ．2± C．D ．12±【答案】C【详解】设()()1122,,,,(,)A x y B x y M x y ，则12122,2x x x y y y +=+=，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得：()()()()222221221212222211110,220x x y y x x x a a y y y b b---=-⨯--⨯=，∵直线L 的斜率为()110k k ≠，直线OM 的斜率为2k ，212211222y y y b k x x a k x -=⋅==-∴，则ba=12．（2020·四川成都市·成都七中）过点(1,4)P 作直线l 交双曲线2214x y -=于A ，B 两点，而P 恰为弦AB 的中点，则直线l 的斜率为（）. A ．116- B ．-1 C ．116D ．1【答案】C【分析】根据P 为AB 的中点，利用点差法，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减求解. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，因为P 为AB 的中点，则12121242x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以121228x x y y +=⎧⎨+=⎩，将A 、B 代入双曲线2214x y -=得，221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得：()()22221212104y y x x ---=，整理得：1212121214y y x x x x y y -+=⋅-+，所以12121214816ABy y k x x -==⨯=-.13．（2021·全国高二）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（） A ．2 BC ．3 D．2【答案】A【详解】设()()1122,,,B x y D x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-+-=整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x -+=-+，而12121BD y y k x x --==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a-=，可得2c e a ==．14．（2020·广州市天河中学）已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB的中点为(M -，则E 的方程为（）A ．22145x y -=B ．22163x y -=C ．22154x y -=D ．22136x y -=【答案】B【详解】设双曲线E 的标准方程为22221x y a b-=，由题意知：3c =，即229a b +=①，设()11,A x y ，()22,B x y ， AB的中点为(M -，124x x ∴+=-，12y y +=，又A ，B 在双曲线上，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得：22221212220x x y y a b ---=，即()()()()1212121222x x x x y y y y a b-+-+=，即()()22212122212125ABb x x y y k x x a y y a +-====--+，又M F ABM F y y kx x -===-，即2255a -=-，解得：222ab =②，由①②解得：26a =，23b =，∴双曲线的标准方程为：22163x y -=.15．（2019·陕西高考模拟）双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（） A.20x y --= B.2100x y +-= C.20x y -= D.280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=，即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯， ∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=．故选：C16．（2020·河南周口市·高三）已知双曲线2218y x -=上有三个点A ，B ，C 且AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，用字母k 表示斜率，若8OD OE OF k k k ++=-（点O 为坐标原点，且OD k ，OE k ，OF k 均不为零），则111AB BC ACk k k ++=________. 【答案】-1【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=，221118y x -=，222218y x -=,两式相减得()()()()121212128y y y y x x x x +--+=，整理可得0121208y x x y y x -=-，即18OD AB k k =，同理得18OE BC k k =，18OF AC k k =.因为8OD OE OF k k k ++=-，所以1111AB BC ACk k k ++=-.17．（2020·全国高二课时练习）双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点分别为F ，圆M 的方程为()22252x y b -+=.若直线l 与圆M 相切于点()4,1P ，与双曲线C 交于A ，B 两点，点P 恰好为AB 的中点，则双曲线C 的方程为________.【答案】2214x y -=【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的斜率为k ，则10145k -⋅=--，所以1k =，()22224512b =-+=，即21b =，则2211221x y a b -=，2222221x y a b -=.两式相减，得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+= 则()()222121222212128412b x x y y b b k x x a y y a a +-=====-+，即24a =，所以双曲线C 的方程为2214x y -=.18．（2017·河北衡水中学高考模拟）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A.22134x y -= B.22143x y -= C.22152x y -= D.22125x y -= 【答案】D【解析】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由2211221x y a b -=且2222221x y a b-=，得()()12122x x x x a +-=()()12122y y y y b +-，2223a ⨯-=（）2523b ⨯-（），即2225a b=，联立227a b +=，解得22a =，25b =，故所求双曲线的方程为22125x y -=．故选D ．19.已知双曲线的左焦点为，过点F 且斜率为1的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点，则双曲线C 的离心率为（） A.B.C. D. 2【答案】D 【解析】【分析】设线段AB 的中点坐标为，根据求出线段的中点坐标，用点差法求出关系，即可求解【详解】设线段AB 的中点坐标为，则有，设，代入双曲线方程有，两式相减得， 2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>(,0)F c -(2,0)Pc()00,M x y 11,1,MF MP k k ==-AB M ,a c ()00,x y 0000112y x c y x c⎧=⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩0,2c x ⇒=032y c =1122(,),(,)A x y B x y 2222112222221,1x y x y a b a b-=-=可得，即， .故选:D.20．直线l 过点(1,1)P 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（） A ．2B ．2-C ．12D ．12- 【答案】A【分析】利用点差法，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减，利用中点坐标求直线的斜率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212124y y x x -=-，即()()()1212124y y y y x x +-=-，当12x x ≠时，()1212124y y y y x x -+=-，因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =，解得：2k =故选：A21．（2019秋•湖北月考）斜率为k 的直线l 过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点P（x 0，y 0）为AB 中点，则ky 0为（）A ．定值B ．定值pC ．定值2pD ．与k 有关的值【分析】设直线方程与抛物线联立得纵坐标之和，进而的中点的纵坐标，直接求出ky 0的值为定值．【解答】解：显然直线的斜率不为零，抛物线的焦点（，0），1212121222()()()()1x x x x y y y y a b -+-+-=002210x y a b -⋅=2213,a b=223b a =2,c a ∴=2e =设直线l 为：x ＝my +，且k ＝，A （x ，y ），B （x '，y '），直线与抛物线联立得：y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，y +y '＝2pm ，所以由题意得：y 0＝＝pm ，所以ky 0＝•pm ＝p ，故选：B ．22．过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______.解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m . 由m y k AB =⋅0得：4=AB k .∴AB 所在的直线方程为)4(41-=-x y ，即0154=--y x .23．设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+-=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+-=x y 上，∴253210=+-=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(125-⋅=-x y ，即02=+-y x .24．ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)，ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________．【答案】4x ＋4y ＋5＝0【分析】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，先求出点M 的坐标，再求出直线BC 的斜率，即得解.【详解】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知1(,0)2G ，则12122132203x x y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩从而12012012412x x x y y y +⎧==-⎪⎪⎨+⎪==-⎪⎩，即1(,1)4M --，又2211222,2y x y x ==，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率1212120022112BC y y k x x y y y y -=====--+ 故直线BC 的方程为y －(－1)＝1()4x -+，即4x ＋4y ＋5＝0.故答案为：4x ＋4y ＋5＝025．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度. 【答案】（1）2212y x -=；（2【分析】（1）根据双曲线的定义c =a =（2）先根据点差法求直线l 的方程，再根据弦长公式即可求出.【详解】（1）双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为则a =c =，而222321b c a =-=-=， ∴双曲线C 的标准方程2212y x -=；（2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有122x x +=，122y y +=，又221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x -+=-+， ∴12122y y x x --=， ∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，由222122y x y x =-⎧⎨-=⎩，即22410x x --=，可得1212x x =-，则MN ===26．已知直线l 与抛物线2:5C y x =交于,A B 两点．（1）若l 的方程为21y x =-，求AB ；（2）若弦AB 的中点为()6,1-，求l 的方程．【答案】（1）4；（2）52280x y +-=. 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解；（2）利用点差法求出直线斜率，即可求出直线方程.【详解】设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ．（1）联立25,21,y x y x ⎧=⎨=-⎩得24910,0x x -+=∆>，因此121291,44x x x x +==，故||4AB ===．（2）因为,A B 两点在C 上，所以2112225,5,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减，得()2221215y y x x -=-，因为12122y y +=-⨯=-，所以212112552AB y y k x x y y -===--+，因此l 的方程为5(1)(6)2y x --=--，即52280x y +-=．。

河北省衡水中学2020-2021学年第二次联考数学(理科)试卷(全国Ⅱ) (解析版)

2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（理科）（全国Ⅱ）一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5} 2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（）A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D．3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（）A．B．C．D．14．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B．C．D．或5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．138．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法：①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期；③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．49．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（）A．B．C．3D．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（）A．B．C．D．11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．﹣1B．0C．1009D．101112．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．c＞d＞b＞a D．c＞d＞a＞b二、填空题（共4小题）.13．若向量，满足＝（cosθ，sinθ）（θ∈R），||＝2，则|2﹣|的取值范围为．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为．15．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a3是a1与a9的等比中项，则的值为．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD+AA1＝2，E为棱C1D1上任意一点，给出下列四个结论：①BD1与AC不垂直；②长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积最小为3π；③E到平面A1B1D的距离的最大值为；④长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，△ABD为等边三角形，BD＝2，AC ＝，BC＝1．（1）求∠CBD的大小；（2）求△ADE的面积．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．19．如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD∥BC，AB ＝AD，BC＝2AD，P为CF的中点．（1）证明：DP∥平面ABFE；（2）求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．20．已知曲线C的方程为．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．21．已知函数f（x）＝x+alnx，g（x）＝x2e x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝2时，方程g（x）＝mf（x）有两个实根，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+b|，a，b∈R．（1）当a＝4，b＝1时，求不等式f（x）≤9的解集；（2）当ab＞0时，f（x）的最小值为1，证明：|+|≥．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5}解：由题意得∁U B＝{1，3，5}，所以A∩∁U B＝{5}．故选：A．2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（）A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D．解：由sinα＞0，cosα＜0，可得α∈（2kπ+，2kπ+π），k∈Z，对于A，可得sin2α＝2sinαcosα＜0，错误；对于B，当α∈（2kπ+，2kπ+π），k∈Z时，cosα∈（﹣1，0），此时cos2α＝2cos2α﹣1∈（﹣1，1），错误；对于C，因为∈（kπ+，kπ+），k∈Z，可得，正确；对于D，因为∈（kπ+，kπ+），k∈Z，当k为偶数时，可得sin＞0，错误；故选：C．3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（）A．B．C．D．1解：因为z＝a+（a﹣1）i，所以，所以|z|的最小值为，故选：B．4．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B．C．D．或解：过点（0，1）和（2，1），半径为的圆的圆心（1，﹣1）或（1，3）．过点（0，1），（2，1）且半径为的圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝5或（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5，则圆心到直线y＝2x﹣1的距离为或，则弦长＝．故选：B．5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．解：设该四棱锥为P﹣ABCD，则由题意可知四棱锥P﹣ABCD满足底面ABCD为矩形，则：平面PDC⊥平面ABCD，且PC＝PD＝3，AB＝4，AD＝2．如图，过点P作PE⊥CD，则PE⊥平面ABCD，连接AE，可知∠PAE为直线PA与平面ABCD 所成的角，则，，所以．故选：C．6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．解：双曲线的焦点F（c，0）到渐近线bx±ay＝0的距离为，解得，所以．又c2＝a2+b2，所以b2＝3a2．因为点在双曲线上，所以，所以a2＝3，b2＝9，所以双曲线的方程为．故选：D．7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．13解：由12∧m＝1100∧n＝0001，可得n＝1101，表示成十进制为13，所以m＝13．故选：D．8．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法：①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期；③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：因为f（2+x）＝f（2﹣x），所以f（4+x）＝f（﹣x），因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝﹣f（x），所以f（8+x）＝﹣f（x+4）＝f（x），所以8为f（x）的一个周期，故②正确；由f（8+x）＝f（x）可得f（8﹣x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（8﹣x）+f（x）＝0，故①正确；为奇函数满足f（x）+f（﹣x）＝0，且一条对称轴为直线x＝2，故③正确；由f（x）为奇函数且定义域为R知，f（0）＝0，又f（x）为周期函数，所以f（x）有无数个零点，故④正确．故选：D．9．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（）A．B．C．3D．解：设球O的半径为R，由球的体积为可得，，解得R＝2．因为三棱锥P﹣ABC的高h为1，所以球心O在三棱锥外．如图，设点O1为△ABC的外心，则OO1⊥平面ABC．在Rt△AO1O中，由，且OO1＝R﹣h＝1，得．因为△ABC为等边三角形，所以，所以．故选：C．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（）A．B．C．D．解：抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为，第n次由甲掷有两种情况：一是第n﹣1由甲掷，第n次由甲掷，概率为，二是第n﹣1次由乙掷，第n次由甲掷，概率为．这两种情况是互斥的，所以，即，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．故选：A．11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．﹣1B．0C．1009D．1011解：由题意得a1＝﹣1，a2＝0，a3＝3，a4＝﹣2，a5＝5，a6＝4，a7＝5，a8＝﹣2，a9＝﹣7，a10＝0，a11＝﹣1，a12＝0，…∴数列{a n}为周期数列，且周期为10，因为S10＝5，所以S2021＝5×202+（﹣1）＝1009，故选：C．12．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．c＞d＞b＞a D．c＞d＞a＞b解：因为，所以a＜b．因为函数f（x）＝e x ln|x|在区间（0，+∞）上单调递增，所以b，c，d中b最小．构造函数g（x）＝x﹣elnx，则，当x≥e时，g'（x）≥0，所以g（x）在区间[e，+∞）上单调递增，所以g（3）＝3﹣eln3＞g（e）＝0，所以3＞eln3．所以e3＞3e，所以d＞c，所以d＞c＞b＞a．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若向量，满足＝（cosθ，sinθ）（θ∈R），||＝2，则|2﹣|的取值范围为[0，4]．解：，，设与的夹角为α，则：，∵α∈[0，π]，∴0≤8﹣8cosα≤16，∴，∴的取值范围为[0，4]．故答案为：[0，4]．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为48．解：按乙到达的名次顺序进行分类：乙第二个到达有A21A22＝4种，乙第三个到达有A21A21A22＝8种，乙第四个到达有A32A22＝12种，乙最后到达有A44＝24种，所以不同的情况种数为4+8+12+24＝48．故答案为：48．15．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a3是a1与a9的等比中项，则的值为3n或（3n2+3n）．解：设等差数列{a n}的公差为d，由a2＝3，可得a1+d＝3，①由a3是a1与a9的等比中项，可得a32＝a1a9，即（a1+2d）2＝a1（a1+8d），化为da1＝d2，②由①②可得a1＝d＝或a1＝3，d＝0，当a1＝3，d＝0时，＝a2+a4+…+a2n＝3+3+…+3＝3n；当a1＝d＝时，＝a2+a4+…+a2n＝3+6+…+3n＝（3n2+3n）．故答案为：3n或（3n2+3n）．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD+AA1＝2，E为棱C1D1上任意一点，给出下列四个结论：①BD1与AC不垂直；②长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积最小为3π；③E到平面A1B1D的距离的最大值为；④长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为②③④．解：对于①，当长方体为正方体时，BD1⊥AC，故①错误；对于②，如图，设AD＝x，则AA1＝2﹣x（0＜x＜2），所以，当x＝1时，BD1的最小值为，即长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的直径为，所以外接球表面积的最小值为3π，故②正确；对于③，设点E到平面A1B1D的距离为h，如图，由，可得，所以由②可知，，其中，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时等号成立，，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时等号成立，所以，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时，等号成立，故③正确；对于④，该长方体的表面积为S＝2x+2x（2﹣x）+2（2﹣x）＝4+4x﹣2x2＝﹣2（x﹣1）2+6，当x＝1时，S的最大值为6，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，△ABD为等边三角形，BD＝2，AC＝，BC＝1．（1）求∠CBD的大小；（2）求△ADE的面积．解：（1）在△ABC中，，由余弦定理得．因为0＜∠ABC＜π，所以，所以．（2）由知，BC∥AD，所以△BCE∽△DAE，所以，所以DE＝2BE．因为BD＝2，所以．所以．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．解：用A i表示第i位同学选择A组合，用B i表示第i位同学选择B组合，用∁i表示第i 位同学选择C组合，i＝1，2，3．由题意可知，A i，B i，∁i互相独立，且．（1）三位同学恰好选择不同组合共有种情况，每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的概率为：．（2）由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且η~B(3,)，所以，，，，所以η的分布列为η0123P所以．19．如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD∥BC，AB ＝AD，BC＝2AD，P为CF的中点．（1）证明：DP∥平面ABFE；（2）求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取BF的中点Q，连接PQ，AQ．因为P，Q为CF，BF的中点，所以PQ∥BC，且．又因为AD∥BC，BC＝2AD，所以PQ∥AD，且PQ＝AD，所以四边形ADPQ为平行四边形，所以DP∥AQ．又AQ⊂平面ABFE，DP⊄平面ABFE，所以DP∥平面ABFE．（2）解：因为平面ABCD⊥平面BAEF，平面ABCD∩平面BAEF＝AB，FB⊥AB，FB⊂平面BAEF，所以FB⊥平面ABCD．又BC⊂平面ABCD，所以FB⊥BC．又AB⊥FB，AB⊥BC，所以以B为坐标原点，分别以BA，BC，BF所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝2，则．设平面DEF的一个法向量为，则，令z＝1，得．易知平面BCF的一个法向量为，所以．所以平面DEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为．20．已知曲线C的方程为．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．【解答】（1）解：由可知，点（x，y）到点（﹣1，0），（1，0）的距离之和为4，且4＞2，根据椭圆的定义可知，曲线C为焦点在x轴上的椭圆．设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则2a＝4，2c＝2，所以曲线C的离心率为．（2）证明：设椭圆的短轴长为2b，由（1）可得b2＝a2﹣c2＝3，所以曲线C的方程为，则F（1，0）．由题意可知，动直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由,得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，所以．设AB的中点为Q（x0，y0），则，．当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为，令y＝0，得，所以，＝＝，所以．当k＝0时，l的方程为y＝0，此时，．综上，为定值．21．已知函数f（x）＝x+alnx，g（x）＝x2e x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝2时，方程g（x）＝mf（x）有两个实根，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）＝x+alnx，a∈R，所以，①当a≥0时，f'（x）＞0在区间（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；②当a＜0时，令f'（x）＞0，得x＞﹣a，令f'（x）＜0，得0＜x＜﹣a，所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a）；综上：当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a）；（2）方程g（x）＝mf（x）有两个实根，即关于x的方程x2e x﹣m（x+2lnx）＝0有两个实根，即函数h（x）＝x2e x﹣m（x+2lnx）有两个零点，又h（x）＝x2e x﹣m（x+2lnx）＝e x+2lnx﹣m（x+2lnx），令t＝x+2lnx，由（1）得t是关于x的单调递增函数，且t∈R，所以只需函数u（t）＝e t﹣mt有两个零点，令u（t）＝0，得，令，则，易知当t∈（﹣∞，1）时，φ（t）单调递增，当t∈（1，+∞）时，φ（t）单调递减，所以当t＝1时，φ（t）取得最大值，又因为当t＜0时，φ（t）＜0，当t＞0时，φ（t）＞0，φ（0）＝0，则函数的图象如图所示：所以当，即m∈（e，+∞）时，函数h（x）有两个零点，所以实数m的取值范围为（e，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．解：（1）由（α为参数），消去参数α，得曲线C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4,由，得，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x﹣y＝b，所以曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣b＝0．（2）设P（1+2cosα，1﹣2sinα），因为点P到直线x﹣y﹣b＝0的距离为1，所以，化简得①．若关于α的方程①有解，则曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，所以②，或③由②得，由③得，所以b的取值范围为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+b|，a，b∈R．（1）当a＝4，b＝1时，求不等式f（x）≤9的解集；（2）当ab＞0时，f（x）的最小值为1，证明：|+|≥．【解答】（1）解：由题意得f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，当x≥2时，原不等式可化为3x﹣3≤9，解得x≤4，故2≤x≤4；（1分）当﹣1≤x＜2时，原不等式可化为5﹣x≤9，解得x≥﹣4，故﹣1≤x＜2；当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣3x+3≤9，解得x≥﹣2，故﹣2≤x＜﹣1．综上，不等式f（x）≤9的解集为[﹣2，4]．（2）证明：因为≥＝，且ab＞0，高中数学资料群734924357所以，当且仅当或时等号成立，高中数学资料群734924357。

2023年河北省衡水市桃城区河北衡水中学高考数学一模试卷+答案解析(附后)

2023年河北省衡水市桃城区河北衡水中学高考数学一模试卷1. 已知集合，，若，则实数m的取值范围是( )A. B. C. D.2. 已知复数，，当时，，则( )A. B. C. D.3. 在流行病学中，把每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长.当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散.而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径.假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者平均会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗称为接种率，那么1个感染者可传染的新感染人数为已知新冠病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为( )A. B. C. D.4. 已知角的顶点是坐标原点，始边是x轴的正半轴，终边是射线，则( )A. B. C. D.5. 某新能源汽车生产公司，为了研究某生产环节中两个变量x，y之间的相关关系，统计样本数据得到如下表格：x12023252730yi233由表格中的数据可以得到y与x的经验回归方程为据此计算，下列选项中残差的绝对值最小的样本数据是( )A. B. C. D.6.已知中，，，，，，则( )A. B. C. D.7. 已知正三棱柱，过底边BC的平面与上底面交于线段MN，若截面BCMN 将三棱柱分成了体积相等的两部分，则( )A. B. C. D.8. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的取值范围是( )A. B. C. D.9. 某商店为了解该店铺商品的销售情况，对某产品近三年的产品月销售数据进行统计分析，绘制了折线统计图，如图.下列结论正确的有( )A. 该产品的年销量逐年增加B. 该产品各年的月销量高峰期大致都在8月C. 该产品2019年1月至12月的月销量逐月增加D. 该产品各年1月至6月的月销量相对于7月至12月波动性更小、变化更平稳10. 已知函数的图像的对称轴方程为，则函数的解析式可以是( )A. B.C. D.11. 红、黄、蓝被称为三原色，选取其中任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各两瓶，甲从六瓶颜料中任取两瓶，乙再从余下四瓶颜料中任取两瓶，两人分别进行等量调配，A表示事件“甲调配出红色”，B表示事件“甲调配出绿色”；C表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是( )A. 事件A与事件C是独立事件B. 事件A与事件B是互斥事件C. D.12. 已知椭圆C：与直线l：交于A，B两点，记直线l与x轴的交点E，点E，F关于原点对称，若，则( )A. B.椭圆C过4个定点C. 存在实数a，使得D.13. 已知向量，，若向量与平行，则实数t的值为______ .14. 分形几何学是法国数学家曼德尔勃罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.如图，正三角形ABC的边长为4，取各边的中点D，E，F作第2个三角形，然后再取各边的中点G，H，I作第3个三角形，以此方法一直进行下去.已知为第1个三角形，设前n个三角形的面积之和为，若，则n的最小值为______ .15. 如图，已知台体的上、下底面均为长方形，且上、下底面中心的连线与底面垂直，上、下底面的距离为若，，，则该台体的外接球的表面积为______ .16. 在空间直角坐标系下，由方程所表示的曲面叫做椭球面或称椭圆面如果用坐标平面，，分别截椭球面，所得截面都是椭圆如图所示，这三个截面的方程分别为，上述三个椭圆叫做椭球面的主截线或主椭圆已知椭球面的轴与坐标轴重合，且过椭圆与点，则这个椭球面的方程为______ .17. 已知同时满足下列四个条件中的三个：①；②的图象可以由的图象平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为；④最大值为请指出这三个条件，并说明理由；若曲线的对称轴只有一条落在区间上，求m 的取值范围.18. 温室是以采光覆盖材料作为全部或部分围护结构材料，具有透光、避雨、保温、控温等功能，可在冬季或其他不适宜露地植物生长的季节供栽培植物的建筑，而温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它具有较好的保温性能，使人们在任何时间都可吃到反季节的蔬菜，深受大众喜爱.温室蔬菜生长和蔬菜产品卫生质量要求的温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量指标，其温室蔬菜产地环境质量等级划定如表所示.环境质量等级土壤各单项或综合质量指数灌溉水各单项或综合质量指数环境空气各单项或综合质量指数等级名称1清洁2尚清洁3超标各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研，若确对其所影响的植物生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标或周围环境地下水、地表水、大气等有危害，方能确定为污染.某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛，共8个村发展温室蔬菜种植，对各村试验温室蔬菜环境产地质量监测得到的相关数据如下：若从这8个村中随机抽取2个进行调查，求抽取的2个村应对土壤做进一步调研的概率；现有一技术人员在这8个村中随机选取3个进行技术指导，记z为技术员选中村的环境空气等级为尚清洁的个数，求的分布列和数学期望.19. 已知数列，满足…，是等比数列，且的前n项和求数列，的通项公式；设数列，的前n项和为，证明：20. 如图所示，A，B，C，D四点共面，其中，，点P，Q在平面ABCD的同侧，且平面ABCD，平面若直线平面PAB，求证：平面CDQ；若，，平面平面，求锐二面角的余弦值.21. 已知函数，其中当时，求函数的单调区间；当时，恒成立，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合，或，，，实数m的取值范围是故选：求出集合N，由，得到，由此能求出实数m的取值范围．本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：，则，故，即故选：根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：为了使1个感染者传染人数不超过1，只需，所以，即，因为，所以，解得，则地疫苗的接种率至少为故选：由题意，列出不等式，利用对数的运算性质求出，代入不等式中求解，即可得到答案．本题考查了函数的实际应用问题，解题的关键是正确理解题意，列出不等式，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：角的顶点是坐标原点，始边是x轴的正半轴，终边是射线，由已知可设角终边上一点，则，所以，可得故选：由题意利用任意角的三角函数的定义求得的值，利用二倍角的正切公式可求的值，进而利用两角和的正切公式即可求解．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正切公式，两角和的正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由表中数据可得，，y关于x的经验回归方程为，可得，解得，故y关于x的经验回归方程为，对于A，当时，，残差的绝对值为，对于B，当时，，残差的绝对值为，对于C，当时，，残差的绝对值为，对于D，当时，，残差的绝对值为故选：由表中数据可得、，写出y关于x的经验回归方程，再利用回归方程求出y关于x的经验值，计算残差的绝对值即可得出结论．本题主要考查了线性回归方程和残差的应用问题，是基础题．6.【答案】B【解析】解：由题可得，所以²²，故选：根据向量的线性运算，可得，根据数量积公式，代入计算，即可得到答案．本题考查平面向量数量积的运算性质，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：由题可知平面BMNC与棱柱上底面分别交于，，则，，显然是三棱台，设的面积为1，的面积为S，三棱柱的高为h，，解得，由∽，可得故选：利用棱柱，棱台的体积公式结合条件即可求解．本题考查棱台的体积，考查学生的运算能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：由于，，则，由于，所以，故外接圆的半径为，所以，由于，由于为锐角三角形，所以，所以，故，即故选：直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.【答案】ABD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，该产品的年销量逐年增加，A正确；对于B，由折线图可知，该产品各年的月销量高峰期大致都在8月，B正确；对于C，2019年8月至9月，该产品销量减少，C错误；对于D，由折线图可知，该产品各年1月至6月的月销量相对于7月至12月波动性更小、变化更平稳，D正确．故选：根据题意，由折线图依次分析选项，综合可得答案．本题考查统计图中的分析，涉及折线图的应用，属于基础题．10.【答案】BD【解析】解：关于对称，不满足题意，所以A不正确；，因为，所以B正确；函数是偶函数，关于对称，所以C不正确；函数满足，所以D正确；故选：利用函数的图象的对称性，判断选项即可．本题考查函数的对称性的应用，是基础题．11.【答案】BCD【解析】解：根据题意，A事件两瓶均为红色颜料，C事件为一瓶红色一瓶蓝色颜料，则事件A 发生事件C必定不发生，，，，，故A，C不是独立事件，故A错误，C正确，若调出红色，需要两瓶颜料均为红色，若调出绿色，则需1瓶黄色和1瓶蓝色，此时调出红色和调出绿色不同时发生，故A，B为互斥事件，故B正确，，若C事件发生，则甲有三种情况，①甲取两瓶黄色，则概率为，②甲取1瓶黄色和1瓶红色或1瓶黄色和1瓶蓝色，则概率为，③甲取1瓶红色1瓶蓝色，则概率为，则，故D正确．故选：根据独立事件和互斥事件的概念判断AB，根据条件概率公式判定C，求出B，C事件的概率判断本题考查排列组合、独立事件、互斥事件、条件概率等基础知识，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：设，由得，，则，因为，所以，又，所以，所以，，故A正确；所以，即椭圆过定点，，故B正确；，由得，则，所以，则有，因为，所以的取值范围为，故C正确，D错误．故选：联立椭圆与直线方程，根据直线与椭圆的位置关系逐项求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系．13.【答案】【解析】解：向量，，则，向量与平行，，，解得故答案为：根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解．本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．14.【答案】3【解析】解：根据题意，设第n个三角形的面积为，分析可得：第个三角形的边长为第n个三角形边长的一半，则，而第一个三角形的面积，故数列是首项为，公比为的等比数列，则前n个三角形的面积之和为，若，解可得，故n的最小值为3；故答案为：根据题意，设第n个三角形的面积为，分析可得数列是首项为，公比为的等比数列，由此可得的表达式，解可得答案．本题考查数列的应用，涉及等比数列的求和以及归纳推理的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：如图，连接，交于点，连接AC，BD交于点，由球的几何性质可知，台体外接球的球心O在上，由题知长方形ABCD与长方形相似，则有，解得，由题意可知，平面ABCD，平面，，设，，，同理可得，，设台体外接球O的半径为R，则有，即，解得，则，即该台体的外接球的半径，该台体的外接球的表面积为故答案为：连接，交于点，连接AC，BD交于点，由球的几何性质可知，台体外接球的球心O在上，设，进而可得，求解即可．本题考查空间几何体的外接球的表面积，考查转化能力，属中档题．16.【答案】【解析】解：根据中心在原点、其轴与坐标轴重合的某椭球面的标准方程的定义，设此椭球面的标准方程为，椭球面过点，将它的坐标代入椭球面的标准方程，得，，椭球面的方程为故答案为：类比求曲线方程的方法，我们可以用坐标法，求空间坐标系中椭球面的方程．只需求出椭球面的长轴长，中轴长，短轴长，类比在平面直角坐标系中椭圆标准方程的求法，易得椭球面的方程．本题考查合情推量，由于空间直角坐标系中椭球面标准方程与平面直角坐标系中椭圆标准方程相似，故我们可以利用求平面曲线方程的办法求解，属中档题．17.【答案】解：对于条件②，，若函数的图象可以由的图象平移得到，则，由条件③相邻两条对称轴之间的距离为，可得的最小正周期为，可得，与②矛盾；对于条件④最大值为2，可得与②矛盾，故只能舍弃条件②，所以这三个条件为①③④．由可得，由条件①，可得，又，所以，所以，令，，可得，，时，，时，，时，，又曲线的对称轴只有一条落在区间上，所以，即m的取值范围是【解析】本题主要考查由的部分图象确定其解析式，三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．由条件②可得，由条件③可得，由条件④可得，推出条件②与③④都矛盾，从而可得结论；由及条件①可求得的解析式，从而可求得的对称轴，结合题意即可求得m的取值范围．18.【答案】解：由题图知应对土壤做进一步调研的村有4个，记事件“抽取2个村应对土壤做进一步调研“，则，所以抽取两个村应对土壤做进一步调研的概率为；由题意知环境空气等级为尚清洁的村共5个，的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，的分布列为0123P所以【解析】利用古典概型概率计算方法求解；确定出的所有可能取值，再分别求出对应概率，列出分布列并求出期望．本题考查统计图、古典概型、超几何分布的知识与方法，属于中档题．19.【答案】解：因为数列的前n项和，所以当时，，即，当时，，所以，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，因为…，所以当时，…，两式相减得，，又时，，满足上式，所以，因为，所以证明：，所以…，所以，要证，需证，需证，即证，因为在上单调递增，所以当时，取得最小值3，所以恒成立，故命题得证．【解析】在中，分别令和，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，从而知，再利用的方法，求得，进而知；裂项求和得，再采用分析法，结合函数的单调性，即可得证．本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握利用求通项公式，裂项求和法等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以，因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，因为，所以，因为平面PAB，因为，平面CDQ，平面CDQ，所以平面平面PAB，直线平面PAB，所以平面CDQ；解：因为平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，，又因为，以A为坐标原点，AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，由可得，又因为，所以四边形APQC为平行四边形，不妨取，由题意可得，，，，，所以，，设平面BPQ的一个法向量为，则，令，则，，则，易知平面CDQ，则平面CDQ的一个法向量为，所以，锐二面角的余弦值为【解析】通过证明平面平面PAB，可证平面CDQ；以A为坐标原点，AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面BPQ，平面CDQ的一个法向量，利用向量法可求锐二面角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，属中档题．21.【答案】解：当时，的定义域为，则，当时，即时，，函数单调递增，当时，即时，，函数单调递减，所以函数单调递增区间为，单调递减区间为；证明：设，由，解得或，①当时，，，当时，单调递减，所以，若，则，因为当且仅当时等号成立，又因为，所以，此时不成立，即不合题意，②当时，为减函数，当时，，令，则，所以，此时，，当时，单调递减，，所以在上单调递减，又，所以在上，所以在上单调递减，又，所以在上，即当时，恒成立，当时，，又，，所以，，所以当时，恒成立，故a的取值范围为【解析】当时，的定义域为，求导，分析的符号，的单调性．利用端点值确定a的必要性区间，利用三角函数的分界性，分区间讨论，利用放缩和估值法，讨论a的范围，进而可求．本题考查导数的综合应用，考查了不等式的恒成立求解参数范围，体现了分类讨论及转化思想的应用，属于中档题．。

【2020年高考必备】全国版高考数学必刷题：第八单元三角恒等变换与解三角形

第八单元三角恒等变换与解三角形考点一三角恒等变换1.(2017年江苏卷)若tan-=,则tanα=.【解析】tanα=tan-=--==.【答案】2.(2016年全国Ⅱ卷)若cos-α=,则sin2α=().A.B.C.- D.-【解析】因为cos-α=,所以sin2α=cos-2α=cos2-α=2cos2-α-1=2×-1=-.【答案】D3.(2015年全国Ⅰ卷)sin20°cos10°-cos160°sin10°=().A.-B.C.-D.【解析】sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=,故选D.【答案】D4.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,则cos(α-β)=.【解析】由题意知α+β=π+2kπ(k∈Z),∴β=π+2kπ-α(k∈Z),sinβ=sinα,cosβ=-cosα.又sinα=,∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1=2×-1=-.【答案】-考点二解三角形5.(2016年全国Ⅲ卷)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=().A. B. C.- D.-【解析】设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由题意得S△ABC=×a×a=ac sin B,∴c= a.由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=a2+a2-2×a×a×=a2,∴b= a.∴cos A=-=-=-.【答案】C6.(2016年全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.【解析】因为A,C为△ABC的内角,且cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=,所以sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=×+×=.又a=1,所以由正弦定理得b===×=.【答案】7.(2017年山东卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin A cos C+cos A sin C,则下列等式成立的是().A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A【解析】∵等式右边=sin A cos C+(sin A cos C+cos A sin C)=sin A cos C+sin(A+C)=sin A cos C+sin B,等式左边=sin B+2sin B cos C,∴sin B+2sin B cos C=sin A cos C+sin B.由cos C>0,得sin A=2sin B.由正弦定理得a=2b.故选A.【答案】A8.(2017年浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.【解析】依题意作出图形,如图所示,sin∠DBC=sin∠ABC.由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,则sin∠ABC=,cos∠ABC=.所以S△BDC=BC·BD·sin∠DBC=×2×2×=.因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-=-=,所以CD=.由余弦定理,得cos∠BDC==.【答案】9.(2016年江苏卷)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin B sin C,则tan A tan B tan C的最小值是.【解析】在锐角三角形ABC中,∵sin A=2sin B sin C,∴sin(B+C)=2sin B sin C,∴sin B cos C+cos B sin C=2sin B sin C,等号两边同时除以cos B cos C,得tan B+tan C=2tan B tan C.∴tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=-=-.①∵A,B,C均为锐角,∴tan B tan C-1>0,∴tan B tan C>1.由①得tan B tan C=-.又由tan B tan C>1,得->1,∴tan A>2.∴tan A tan B tan C=-=---=(tan A-2)+-+4≥2+4=8,当且仅当tan A-2=-,即tan A=4时取等号.故tan A tan B tan C的最小值为8.【答案】810.(2017年全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.【解析】(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去)或cos B=.故cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac,又S△ABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6,得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4.所以b=2.11.(2017年全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.【解析】(1)由已知可得tan A=-,所以A=.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4c cos,即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4.(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.又△ABC的面积为S=×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为.12.(2017年全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.【解析】(1)由题设得ac sin B=,即c sin B=.由正弦定理得sin C sin B=,故sin B sin C=.(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-,即cos(B+C)=-,所以B+C=,故A=.由题意得bc sin A=,a=3,所以bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9.由bc=8,得b+c=.故△ABC的周长为3+.高频考点:两角和与差的正弦、余弦公式,正弦和余弦的倍角公式,解三角形.命题特点:1.两角和与差的正弦、余弦公式的考查是高考热点,要么单独命题,要么与三角函数的性质或解三角形相结合考查;倍角公式也是如此.2.对于三角恒等变换内容的考查通常以容易题和中档题为主.3.解三角形是高考的必考内容,一般出现在解答题的第17题.作为解答题考查难度不是很大,但作为选择题或填空题考查,有难有易.§8.1三角恒等变换一两角和与差的余弦、正弦、正切公式Cα-β:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;Cα+β:cos(α+β)=;Sα-β:sin(α-β)=;Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;Tα-β:tan(α-β)=-;Tα+β:tan(α+β)=.二二倍角公式sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α==;tan2α=.三辅助角公式函数f(α)=a cosα+b sinα(a,b为常数),可以化为f(α)=sin(α+φ)其中或f(α)=cos(α-φ)其中.-cos105°sin75°的值为.函数f(x)=2sin x(sin x+cos x)的最小值为.=,则tan-=().若-A.-2B.2C.-D.若α+β=,求(1-tanα)(1-tanβ)的值.知识清单一、cosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ-cosαsinβ二、2cos2α-11-2sin2α基础训练1.【解析】cos75°cos15°-cos105°sin75°=cos75°cos15°+sin15°sin75°=cos60°=.【答案】2.【解析】f(x)=2sin2x+2sin x cos x=2×+sin2x=sin2x-cos2x+1 =2sin-+1≥-1.【答案】-13.【解析】由-=,等式左边分子、分母同时除以cosα得-=,解得tanα=-3,则tan-=-=2.【答案】B4.【解析】∵-1=tan=tan(α+β)=,∴tanαtanβ-1=tanα+tanβ.∴1-tanα-tanβ+tanαtanβ=2,即(1-tanα)(1-tanβ)=2.题型一三角函数式的化简、求值问题【例1】若tan cos=sin-m sin,则实数m的值为().A.2B.C.2D.3【解析】由tan cos=sin-m sin,得sin cos=cos sin-m sin cos,则m sin=sin-,解得m=2.【答案】A.【变式训练1】=.【解析】原式=-===-=-=-4.【答案】-4题型二角的变换【例2】已知tan(α-β)=,tanβ=-,则tan2α=.【解析】∵tanα=tan[(α-β)+β]=--=-=,∴tan2α===.【答案】在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,若角的范围是【变式训练2】已知α,β为锐角,cosα=,sin(α-β)=,则β的大小为.【解析】∵α,β为锐角,又sin(α-β)=,∴0<β<α<,∴cos(α-β)=.∵cosα=,∴sinα=,∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=,则β=.【答案】题型三三角变换的简单应用【例3】已知函数f(x)=2sin2+(sin2x-cos2x),x∈.(1)求f的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)若不等式|f(x)-m|<2恒成立,求实数m的取值范围.【解析】因为f(x)=2sin2+(sin2x-cos2x),所以化简得f(x)=1-cos-cos2x=2sin-+1,x∈.(1)f=2sin-+1=2sin+1=3.(2)当2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z)时,即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).因为x∈,所以f(x)的单调递增区间为,同理f(x)的单调递减区间为.(3)若不等式|f(x)-m|<2恒成立,即m>f(x)-2或m<f(x)+2恒成立,则m>2sin--1或m<2sin-+3恒成立.因为x∈,所以2sin-∈[1,2].当m>2sin--1时,只需满足m大于2sin--1的最大值1,即m>1;当m<2sin-+3时,只需满足m小于2sin-+3的最小值4,即m<4.综上所述,实数m的取值范围是1<m<4.【变式训练3】已知函数f(x)=cos x-sin2x,x∈R.(1)求f(x)在上的最大值和最小值;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,且g=,g-=-,求的值.【解析】f(x)=cos x-sin2x=2sin x cos x+cos2x-sin2x=sin2x+cos2x=2sin.(1)∵0≤x≤,∴≤2x+≤,∴≤sin≤1,则1≤f(x)≤2,∴f(x)max=2,f(x)min=1.(2)由(1)得g(x)=2sin2x,∴g=2sin(α+β)=,g-=2sin(α-β)=-,解得即-两式相除得=-.方法利用三角函数的“三变”进行化简求值“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.【突破训练】2sin50°cos10°+sin20°(1+tan10°)=().A.1B.C.D.2【解析】原式=2sin50°cos10°+sin10°cos10°·=2sin50°cos10°+2sin10°=2sin50°cos10°+2sin10°cos(60°-10°)=2sin50°cos10°+2sin10°cos50°=2sin60°=.【答案】C1.(2017江西师大附中三模)已知cosα-sinα=,则sin2α的值为().A.B.- C.D.-【解析】∵cosα-sinα=,∴1-sin2α=,∴sin2α=.【答案】C2.(2017衡水中学三模)已知sin=,则cos(π-2α)的值为().A.B.- C.D.-【解析】因为sin=-cosα,所以cosα=-.所以cos(π-2α)=-cos2α=-2cos2α+1=.【答案】A3.(2017泸州四诊)已知sin-=,则cos+2α=().A.-B.C.-D.【解析】sin-=sin-=cos=,则cos=cos2=2cos2-1=-.【答案】C4.(2017德阳二模)若α∈,且sin2α+cos2α=,则tan的值为().A.-3B.C.-2D.-3【解析】∵α∈,且sin2α+cos2α=,∴sin2α+cos2α-sin2α=,∴cos2α=,∴cosα=,∴tanα=,∴tan=-3.【答案】D5.(2017湖南考前演练)若tanαtanβ=3,且sinαsinβ=,则cos(α-β)的值为().A.-B.C.D.1【解析】由题意可知sinαsinβ=3cosαcosβ,因为sinα·sinβ=,所以cosαcosβ=,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=,故选C.【答案】C6.(2017九江一模)cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值为.【解析】cos275°+cos215°+cos75°cos15°=sin215°+cos215°+sin15°cos15°=1+sin30°=.【答案】7.(2017广西二模)若θ∈,sin2θ=,则cosθ=.【解析】∵θ∈,∴2θ∈.∴cos2θ=-=-,则2cos2θ-1=-,∴cosθ=.【答案】8.(2017山东二模)已知cos-=,α∈,则=.【解析】∵cos-=,α∈,∴sin-=,即cosα-sinα=,∴=-=cosα-sinα=.【答案】9.(2017佛山二模)已知α,β为锐角,且tanα=,cos(α+β)=,则cos2β=().A.B.C.D.【解析】∵α,β∈,∴α+β∈(0,π).∵cos(α+β)=,∴sin(α+β)=.∵tanα=,∴sinα=,α=.∴cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα==.∴cos2β=2cos2β-1=2×-1=,故选C.【答案】C10.(2017湖南师大附中月考)设△ABC的三个内角分别为A,B,C,且tan A,tan B,tan C,2tan B依次成等差数列,则sin2B=().A.1B.-C.D.±【解析】由题意得tan C=tan B,tan A=tan B,所以△ABC为锐角三角形.又tan A=-tan(C+B)=-=-=tan B,得tan B=2,所以sin2B=2sin B cos B===.【答案】C11.(2017淮北一中押题)已知α,β∈,cos(α+β)=,cos-=-,则sin=().A.B.-C.-D.【解析】因为α,β∈,则α+β∈,β-∈,所以sin(α+β)=-,sin-=,所以sin=sin--=sin(α+β)cos--cos(α+β)sin-=-×--×=-.【答案】B12.(2017长沙模拟)在锐角△ABC中,B>,sin=,cos-=,则sin(A+B)=.【解析】∵sin=,∴cos=±,∵cos=-<cos120°,∴A+>⇒A>(舍去),∴cos=.由cos-=得sin-=,∴sin(A+B)=sin-=sin cos-+cos sin-=×+×=.【答案】13.(2016株洲三模)已知tanα=,m sinαcosα=.(1)若cos-=,求cos的值;(2)设函数f(x)=cos+sin2x,求函数f(x)的单调递减区间.【解析】∵m sinαcosα===,tanα=,∴=,得m=2.(1)∵cos-=,∴cos=cos-=-cos-=-.(2)∵f(x)=cos+sin2x=cos2x+sin2x=sin,由+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),∴函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).§8.2解三角形一正弦定理和余弦定理1.正弦定理:===2R,其中R是三角形外接圆的半径.正弦定理可以变形为(1)a∶b∶c=;(2)a=,b=,c=;(3)sin A=,sin B=,sin C=.2.余弦定理:a2=,b2=,c2=.余弦定理可以变形为cos A=-,cos B=-,cos C=-.二面积公式S△ABC=ab sin C=bc sin A=ac sin B==(a+b+c)r(r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r.在△ABC中,∠A=,AB=2,且△ABC的面积为,则边AC的长为().A.1B.C.2D.1在△ABC中,a2+b2-c2=3ab sin C,则tan C等于().A.B.C.D.在△ABC中,sin A=,a=8,b=6,则角B等于().A.60°B.150°C.60°或120°D.60°或150°知识清单一、1.(1)sin A∶sin B∶sin C(2)2R sin A2R sin B2R sin C2.b2+c2-2bc cos A a2+c2-2ac cos B a2+b2-2ab cos C基础训练1.【解析】∵S△ABC=AB·AC sin A,∴AC=,则AC=1.【答案】A2.【解析】a2+b2-c2=3ab sin C⇒-=cos C=sin C⇒tan C=.【答案】C3.【解析】由正弦定理得=,则sin B=.∵a<b,∴B=60°或B=120°.【答案】C题型一利用正弦定理求解三角形【例1】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2sin A=a cos B,b=,c=2,求sin C.【解析】∵2sin A=a cos B,=,b=,∴2sin B=cos B,即tan B=,∴sin B=.∵c=2,∴sin C==.【变式训练1】在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(2b-c)cos A=a cos C,求sin A.【解析】由(2b-c)cos A=a cos C,得2b cos A=c cos A+a cos C,即2sin B cos A=sin C cos A+sin A cos C,则2sin B cos A=sin(A+C)=sin B,所以cos A=,则sin A=.题型二利用余弦定理求解三角形【例2】在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且=-.(1)求角B的大小;(2)若b=,a+c=4,求ac的值.【解析】(1)由=-及正弦定理,得=-,∴ac+a2=b2-c2,∴a2+c2-b2=-ac.由余弦定理得cos B=-=-=-.又B为△ABC的内角,∴B=.(2)将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2ac cos B,得b2=(a+c)2-2ac-2ac cos B,∴13=16-2ac,∴ac=3.【变式训练2】在△ABC中,D是边AC的中点,且AB=AD=1,BD=.(1)求cos A的值;(2)求BC的长.【解析】(1)在△ABC中,AB=AD=1,BD=,∴cos A=-==.(2)由(1)知,cos A=,且0<A<π,∴sin A==.∵D是边AC的中点,∴AC=2AD=2.在△ABC中,cos A=-=-=,解得BC=.题型三正弦定理、余弦定理的综合应用【例3】(2017孝义考前训练)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2ac sin B=a2+b2-c2.(1)求角C的大小;(2)若b sin(π-A)=a cos B,且b=,求△ABC的面积.【解析】(1)由2ac sin B=a2+b2-c2,得=-,∴=cos C,∴tan C=,∴C=.(2)由b sin(π-A)=a cos B,∴sin B sin A=sin A cos B,∴sin B=cos B,∴B=.由正弦定理=,可得=,解得c=1,∴S△ABC=bc sin A=××1×sin A=sin(π-B-C)=sin=.在已知关系式中,既含有边又含有角,通常的思路是将角都化成边或将边都化成角,再结合正、余弦定理【变式训练3】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.(1)若c=2,C=,且△ABC的面积为,求a,b的值;(2)若sin C+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC的形状.【解析】(1)∵c=2,C=,∴由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C得a2+b2-ab=4.∵△ABC的面积为,∴ab sin C=,∴ab=4.联立方程组-解得(2)由sin C+sin(B-A)=sin2A,得sin(A+B)+sin(B-A)=2sin A cos A,即2sin B cos A=2sin A cos A,∴cos A·(sin A-sin B)=0,∴cos A=0或sin A-sin B=0.当cos A=0时,∵0<A<π,∴A=,∴△ABC为直角三角形;当sin A-sin B=0时,得sin B=sin A,由正弦定理得a=b,即△ABC为等腰三角形.综上所述,△ABC为等腰三角形或直角三角形.方法数学建模——实际应用能力实际问题经抽象概括后,如果已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;如果已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解可用正弦定理或余弦定理直接求解的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.【突破训练】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔顶的最大仰角为30°,求塔高.【解析】如图所示,AB为塔高,CD=40,此时∠DBF=45°,过点B作BE⊥CD于点E,则∠AEB=30°.在△BCD中,CD=40(米),∠BCD=30°,∠DBC=135°,由正弦定理,得=,所以BD==20(米),∠BDE=180°-135°-30°=15°.在Rt△BED中,BE=BD sin15°=20×-=10(-1)(米).在Rt△ABE中,∠AEB=30°,所以AB=BE tan30°=(3-)(米).故所求的塔高为(3-)米.1.(2017衡水中学押题卷)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=16,则△ABC的面积为().A.2B.4C.6D.8【解析】由题意有b2+c2-a2=bc,∴cos A=-=,sin A==,则△ABC的面积为S=bc sin A=4.【答案】B2.(2017广丰二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a cos A=2b sin B,则sin A cos A+2cos2B等于().A.-1B.-C.D.2【解析】∵a cos A=2b sin B,∴sin A cos A=2sin B sin B,即sin A cos A-2sin2B=0,∴sin A cos A-2(1-cos2B)=0,∴sin A cos A+2cos2B=2.【答案】D3.(2016郑州一测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=,则cos B=().A.-B.C.-D.【解析】由正弦定理,得=,∴=,∴tan B=,又0<B<π,∴B=,∴cos B=.【答案】B4.(2017龙泉二模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=,且a2-c2=2b,则b等于().A.1B.2C.3D.4【解析】由=得a cos C=3c cos A,则a·-=3c·-,整理得2(a2-c2)=b2.又a2-c2=2b,∴4b=b2,解得b=4或b=0(舍去).【答案】D5.(2017甘肃二诊)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列条件中,能使得△ABC的形状唯一确定的是().①a=1,b=2,c∈Z;②A=150°,a sin A+c sin C+a sin C=b sin B;③a=,b=2,A=30°;④C=60°,cos A sin B cos C+cos(B+C)cos B cos C=0.A.①③B.①②③C.①②D.②③④【解析】②中,由正弦定理可知a2+c2+ac=b2,∴cos B=-=-,此时A=150°,B=135°,三角形无解.④中,-cos(B+C)sin B cos C+cos(B+C)cos B cos C=0,∴cos(B+C)cos C(cos B-sin B)=0,则B=45°或B+C=90°,B=30°,三角形的解不唯一.排除②④两种说法,只有选项A符合题意.【答案】A6.(2017徐州质检)江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则这两条船相距m.【解析】如图,OA为炮台,M,N为两条船的位置,∠AMO=45°,∠ANO=60°,OM==30m,ON===10m.∴MN==10m.【答案】107.(2017重庆二诊)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,则C=.【解析】由余弦定理得,c2=a2+b2-2ab cos C,又ab sin C=-,,ab sin C=,tan C=,即C=30°.【答案】30°8.(2017娄底二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b=4,c=5,且B=2C,点D为边BC上的一点,且CD=3,则△ADC的面积为.【解析】由正弦定理得==,可得cos C=,△ADC=CD·AC sin C=×3×4×=6.【答案】69.(2017山西二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=().A.B.C.D.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=2b2(1-cos A),∴2b2(1-sin A)=2b2(1-cos A),∴sin A=cos A,即tan A=1,又0<A<π,∴A=.【答案】C10.(2017广安二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=,则cos B的值为().A.B.C.- D.-【解析】由正弦定理可得==,结合已知=,故有sin B=2sin cos=sin,解得cos=.因为0<B<π,可得0<<,所以=,解得B=,所以cos B=cos=-,故选C.【答案】C11.(2017重庆月考)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=1,AC=2,BD=2,∠ACD=60°,则AD=().A.2B.C.D.13-6【解析】由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos60°,解得BC=,则AC2=AB2+BC2,故BC⊥AB,又AB∥CD,所以BC⊥CD.在Rt△BCD中,CD=-==3.在△ACD中,由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CD cos60°=7,所以AD=.【答案】B12.(2017马鞍山三模)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(c+b)(sin C-sin B)=a(sin A-sin B).若c=2,则a2+b2的取值范围是.【解析】由正弦定理得(c+b)(c-b)=a(a-b)⇒c2-b2=a2-ab,所以cos C=-=,解得C=,则===4,-所以a=4sin A,b=4sin-,所以a2+b2=16sin2A+16sin2--=16×+16×=16-8-=16-8cos.因为△ABC是锐角三角形,所以A∈,所以2A+∈,所以cos∈--,所以a2+b2=16-8cos∈(20,24].【答案】(20,24]13.(2017漳州质检)如图所示,已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中b≠c,且b cos B=c cos C,延长线段BC到点D,使得BC=4CD=4,∠CAD=30°.(1)求证:∠BAC是直角.(2)求tan∠ADC的值.【解析】(1)因为b cos B=c cos C,由正弦定理,得sin B cos B=sin C cos C,所以sin2B=sin2C,又b≠c,所以2B=π-2C,所以B+C=,所以A=90°,即∠BAC是直角.(2)设∠ADC=α,CD=1,BC=4,在△ABC中,因为∠BAC=90°,∠ACB=30°+α,所以cos(30°+α)=,所以AC=4cos(30°+α).在△ADC中,=,即==2,所以AC=2sinα,所以2cos(30°+α)=sinα,即2-=sinα,整理得cosα=2sinα,所以tanα=,即tan∠ADC=.。

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河北衡水中学2017年高考数学（理科）押题卷必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()()13lg 21|,|132x M x f x N x x x -⎧⎫-⎧⎫===>⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭，则集合M N 等于（）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．()1,+∞ C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭2. z C ∈，若12z z i -=+，则1zi+等于（） A ．7144i + B ．7144i - C ．1144i -- D ．1144i -+3.数列{}n a 为正项等比数列，若33a =，且()1123,2n n n a a a n N n +-=+∈≥，则此数列的前5项和5S 等于（） A ．1213B ．41C ．1193D ．24194. 已知1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以线段12F F 为边作正三角形12F MF ，如果线段1MF 的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率e 等于（） A ．23 B ．22 C. 6 D ．25.在ABC ∆中，“sin sin cos cos A B B A -=- ”是“A B =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是（）A ．()12,20B ．()12,18 C. ()18,20 D ．()8,187.如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是233，则其底面周长为（）A ．()231+ B ．()251+ C. ()222+ D ．53+8.20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“31x +”猜想.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输出n 的值为8，则输入正整数m 的所有可能值的个数为（）A ．3B ． 4 C. 6 D ．无法确定9.632243ax x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为16，则展开式中3x 项的系数为（）A ．1172 B ． 632C. 57 D ．33 10. 数列{}n a 为非常数列，满足：39511,48a a a +==，且1223111nn n aa a a a a n aa +++++= 对任何的正整数n 都成立，则1250111a a a ++的值为（） A ．1475 B ．1425 C. 1325 D ．127511.已知向量,,αβγ 满足()()()1,2,αααβαγβγ=⊥--⊥-，若172β=，γ的最大值和最小值分别为,m n ，则m n +等于（）A ．32 B ．2 C. 52 D ．15212.已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．1ln 6,ln 23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．1ln 6,ln 23⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：价格x8.5 9 9.5 10 10.5销售量y 12 11976由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是ˆˆ3.2y x a =-+，则ˆa= ． 14.将函数()3sin 2cos2f x x x =-的图象向右平移m 个单位（0m >），若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是．15.已知两平行平面αβ、间的距离为23，点A B α∈、，点C D β∈、，且4,3AB CD ==，若异面直线AB 与CD 所成角为60°，则四面体ABCD 的体积为．16.已知A B 、是过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足23,3OAB AB FB S AB ∆==，则AB 的值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，已知ABC ∆关于AC 边的对称图形为ADC ∆，延长BC 边交AD 于点E ，且5,2AE DE ==，1tan 2BAC ∠=.（1）求BC 边的长；（2）求cos ACB ∠的值.18.如图，已知圆锥1OO 和圆柱12O O 的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆1O 半径为5r =，OA 为圆锥的母线，AB 为圆柱12O O 的母线，D E 、为下底面圆2O 上的两点，且6, 6.4DE AB ==，52AO =，AO AD ⊥.（1）求证：平面ABD ⊥平面ODE ；（2）求二面角B AD O --的正弦值．19.如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为X ．（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；（2）求X 的分布列和数学期望．20.如图，已知6,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上的点，且225a b +=，过点P 的动直线与圆222:1F x y a +=+相交于A B 、两点，过点P 作直线AB 的垂线与椭圆E 相交于点Q ．（1）求椭圆E 的离心率；（2）若23AB =，求PQ ．21. 已知函数()()()()11,2x x xax b e f x a R g x b R e e x e --=∈=+∈+，其中e 为自然对数的底数．（参考数据：112427.39 1.28, 1.65e e e ≈≈≈，）（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =时，函数()()2y f x g x =+有三个零点，分别记为()123123x x x x x x <<、、，证明：()12243x x -<+<．选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，以坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系Ox ，曲线E 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线1l 与曲线E 相交于A B 、两点，过点P 的直线2l 与曲线E 相交于C D 、两点，且12l l ⊥．（1）平面直角坐标系中，求直线1l 的一般方程和曲线E 的标准方程；（2）求证：22AB CD +为定值． 23.选修4-5：不等式选讲已知实数a b 、满足223a b ab +-=．（1）求a b -的取值范围；（2）若0ab >，求证：2211344a b ab++≥．试卷答案一、选择题1-5:DAADB 6-10: ACBAB 11、12：CC二、填空题13. 39.4 14.6π 15. 6 16. 92三、解答题17.解：（1）因为1tan 2BAC ∠=，所以22tan 4tan 1tan 3BAC BAE BAC ∠∠==-∠，所以3cos 5BAE ∠=．因为527AB AD AE DE ==+=+=，所以2222cos 49254232BE AB AE AB AE BAE =+-∠=+-= ，所以42BE =，又75BC AB CE AE ==，所以723BC =．（2）由（1）知42BE =，所以2224932252cos 222742AB BE AE B AB BE +-+-===⨯⨯ ，所以2sin 2B =，因为1tan 2BAC ∠=，所以525sin ,cos 55BAC BAC ∠=∠=，所以()cos cos ACB BAC B ∠=-∠+2522510sin sin cos cos 252510B BAC B BAC =∠-∠=⨯-⨯=-． 18.解：（1）依题易知，圆锥的高为()225255h =-=，又圆柱的高为 6.4,AB AO AD =⊥，所以222OD OA AD =+，因为AB BD ⊥，所以222AD AB BD =+，连接1122OO O O DO 、、，易知12O O O 、、三点共线，22OO DO ⊥，所以22222OD OO O D =+，所以()()22222222222 6.455526.464BD OO O D AO AB =+--=++--=，解得8BD =，又因为6DE =，圆2O 的直径为10，圆心2O 在BDE ∠内，所以易知090BDE ∠=，所以DE BD ⊥．因为AB ⊥平面BDE ，所以DE AB ⊥，因为AB BD B = ，所以DE ⊥平面ABD ．又因为DE ⊂平面ODE ，所以平面ABD ⊥平面ODE ．（2）如图，以D 为原点，DB 、DE 所在的直线为x y 、轴，建立空间直角坐标系．则()()()()0,0,0,8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4D A B O ．所以()()()8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4DA DB DO ===，设平面DAO 的法向理为(),,u x y z =，所以8 6.40,4311.40DA u x z DO u x y z =+==++=，令12x =，则()12,41,15u =- ．可取平面BDA 的一个法向量为()0,1,0v =，所以4182cos ,10582u v u v u v ===，所以二面角B AD O --的正弦值为3210． 19.解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有339⨯=个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第()*i i N ∈次划拳小华赢”为i A ；事件“第i 次划拳小华平”为i B ；事件“第i 次划拳小华输”为i C ，所以()()()3193i i i P A P B P C ====．因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；其概率为()()()()()()212122124781p A P B P C P B P C P A P B =+=，第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为()()()()()()()()()()()()3221233123421234529243p P B P B P C A P A P B P C P C A P A P C P A P C P C =++=所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为127295081243243p p p =+=+=．（2）依题可知X 的可能取值为2、3、4、5，()()()()()4123412522381P X P A P C P A P C ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()2121222239P X P A P A ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()()()()123123123322P X P A P B P A P B P A P A P B P B P B ==++ ()()()()()()()()()()()()12312312312322213227P A P B P B P B P A P B P B P B P A P C P A P A ++++=()()()()224152381P X P X P X P X ==-=-=-==，所以X 的分布列为：X 2 3 4 5P29 1327 2281 281所以X 的数学期望为：()2132222512345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．20.解：（1）依题知2222611,5,04a b a b a b+=+=>>，解得223,2a b ==，所以椭圆E 的离心率22232233a b e a --===；（2）依题知圆F 的圆心为原点，半径为2,23r AB ==，所以原点到直线AB 的距离为2222232122AB d r ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为点P 坐标为6,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率存在，设为k ．所以直线AB 的方程为612y k x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，即6102kx y k --+=，所以261211k d k-==+，解得0k =或26k =．①当0k =时，此时直线PQ 的方程为62x =，所以PQ 的值为点P 纵坐标的两倍，即212PQ =⨯=；②当26k =时，直线PQ 的方程为161226y x ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，将它代入椭圆E 的方程2132x y 2+=，消去y 并整理，得234106210x x --=，设Q 点坐标为()11,x y ，所以16106234x +=，解得17634x =-，所以211630121726PQ x ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭．21.解：（1）因为()1x x ax x f x ae e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭的定义域为实数R ，所以()1x x f x ae e -⎛⎫'=⎪⎝⎭． ①当0a =时，()0f x =是常数函数，没有单调性．②当0a <时，由()0f x '<，得1x <；由()0f x '>，得1x >．所以函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增． ③当0a >时，由()0f x '<得，1x >；由()0f x '>，得1x <，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递减，在(),1-∞上单调递增．（2）因为()()1,20a f x g x =+=，所以121202x x xx b e e e x e--++=+，即1111221022x x x x x x x e x b b x e e x e e e ----++=++=++．令12x x t e e -=+，则有10t e b t-++=，即()210t b e t +-+=．设方程()210t b e t +-+=的根为12t t 、，则121t t = ，所以123x x x 、、是方程()()121122*,**x x x xt e t e e e --=+=+ 的根．由（1）知12x xt e e -=+在(),1-∞单调递增，在()1,+∞上单调递减．且当x →-∞时，t →-∞，当x →+∞时，()max ,12t e t t e →==+，如图，依据题意，不妨取22e t e <<+，所以121112t e t e<=<+，因为315122244111110,112422t e e e e t e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+<-=-+=-+> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，易知201x <<，要证()12243x x -<+<，即证11124x -<<-．所以()1111024t t x t e ⎛⎫⎛⎫-<<<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()y t x =在(),1-∞上单调递增，所以11124x -<<-，所以()12243x x -<+<． 22.解：（1）因为直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，当090α=时，直线1l 垂直于x 轴，所以其一般方程为10x -=，当090α≠时，直线1l 的斜率为tan α，所以其方程为()1tan 1y x α+=-，即一般方程为()tan tan 10x y αα---=．因为E 的极坐标方程为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以224x y x +=．所以曲线E 的标准方程为()2224x y -+=．（2）设直线1l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），代入曲线E 的标准方程为()2224x y -+=，可得()()221cos 21sin 4t t αα+-+-+=，即()22cos sin 20t t αα-+-=，则()12122cos sin ,2t t t t αα+=+=-，所以()()()222212121244cos sin 8124sin AB t t t t t t ααα=-=+-=++=+2，同理2124sin 2124sin 22CD παα⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，所以22124sin 2124sin 224AB CD αα+=++-=．23.解：（1）因为223a b ab +-=，所以2232a b ab ab +=+≥． ①当0ab ≥时，32ab ab +≥，解得3ab ≤，即03ab ≤≤；②当0ab <时，32ab ab +≥-，解得 1ab ≥-，即10ab -≤<，所以13ab -≤≤，则034ab ≤-≤，而()2222323a b a b ab ab ab ab -=+-=+-=-，所以()204a b ≤-≤，即22a b -≤-≤；（2）由（1）知03ab <≤，因为2222224113444344a b a b ab a b ab +++-=-+ 2222222343333111113304442ab a b ab a b ab a b ab ab +⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2ab =时取等号，所以 2211344a b ab++≥ ．。