一次函数最值问题(1)
求函数最值问题常用的10种方法
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
最值问题归纳
最值问题是初中数学的重要内容，是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，无论是代数题还是几何题都有最值问题。
数形结合的思想贯穿始终。
一、代数中的最值问题1、代数求最值方法 ①利用一次函数的增减性一次函数(0)y kx b k =+≠的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；实际问题中，当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
1、某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？②配方法，利用非负数的性质2、（1）求二次三项式223x x -+的最小值（2）设a 、b 为实数，那么222a ab b a b ++--的最小值为_______。
③判别式法3、（1）求2211x x x x -+++的最大值与最小值。
（2）,x y 为实数且x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。
④零点区间讨论法4、求函数|1||4|5y x x =--+-的最大值。
⑤基本不等式性质222()020a b a ab b -≥∴-+≥即222a b ab +≥，仅当a b =时，等号成立由此可推出222a b ab +≤(0,0)2a ba b +≤≥≥⑥夹逼法通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为夹逼法。
5、不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高h 为整数，那么此高h 的最大值可能为________。
⑦二次函数模型（中考第23题，应用题）该题基本来自课本3个探究例题不断的变化、加深：探究1：商品定价 探究2：磁盘计算（含圆） 探究3：拱桥问题 变化趋势：前几年武汉中考主要考查经济类问题，求最经济、最节约和最高效率等这种类型的考题（探究1的演变）；近2年变化为建立函数模型解决实际问题（探究2、3的演变），即利用二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值。
函数最值问题
专题：函数最值问题函数最值问题遍及中学数学各个内容的方方面面，同时在我们的生活实践中也有着广泛的应用，是中学数学的重要内容之一．由于利用中学数学的思想方法去解决函数最值问题，涉及数学许多知识与方法，要求考生要有扎实的数学基本功及良好的数学思维能力，因此，函数最值问题一直是新课标高考的一个 重要的热点问题，在新课标高考中占有极其重要的地位．下面就该问题的常用解法：一、定义法函数最值的定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M ，满足：①对任意I x ∈，都有M x f ≤)(，②存在I x ∈0，使得M x f =)(0，则称M 为函数)(x f y =的最大值； （如果存在实数N ，满足：对任意I x ∈，都有N x f ≥)(，②存在I x ∈0，使得N x f =)(0，则称N 为函数)(x f y =的最小值．）我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值的相关问题．例1：设函数)(x f y =的定义域为R ，有下列三个命题：① 若存在常数M ，使得对任意R x ∈，有M x f <)(，则M 是函数)(x f y =的最大值； ② 若存在R x ∈0，使得对任意R x ∈，且0x x ≠，有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f y =的最大值；③ 若存在R x ∈0，使得对任意R x ∈，有)()(0x f x f ≤，则)(0x f 是函数)(x f y =的最大值． 这些命题中，真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如c x bf x af x F ++=)()()(2的函数的最值问题，可以考虑用配方法．三、换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．四、函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现．解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性．这一点处理好了，以下的问题就容易了．一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间],[n m 上的最值：若函数)(x f 在],[n m 上单调递增，则，，)()()()(max min n f x f m f x f ==；若函数)(x f 在],[n m 上单调递减，则)()(min n f x f =，)()(max m f x f =；若函数)(x f 在],[n m 上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理．五、判别式法把函数转化为x 的二次方程0),(=y x F ，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得函数的最值．判别式法多用于求形如gfx ex c bx ax y ++++=22(g a ,不同时为0)的分式函数的最值． 例5：求函数434322+++-=x x x x y 的最大值和最小值．点评：判别式法的应用，对转化的(y －1)x 2＋(3y ＋3)x ＋4y －4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次项系数为0时，要另行讨论，对本题若y －1＝0，即y ＝1，有(3＋3)x ＋4－4＝0，所以x ＝0.一般来说，利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x 2＋h(y)x ＋φ(y)＝0(g(y)≠0)的判别式Δ≥0去求解，要注意验证g(y)＝0时y 的值对应的x 的值是否是函数定义域内的值，若是，则使g(y)＝0的y 的值在函数的值域内，否则相反．六、平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．例6：已知函数31++-=x x y 的最大值为M ，最小值为m ，则M m 的值为 ( ) A.14B.12C.22D.32 分析：对于形如cx b cx a y ++-=的无理函数的最值问题，可以利用平方法将问题化为函数))((2)(2cx b cx a b a y +-++=的最值问题，这只需利用二次函数的最值即可求得．七、数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，又可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径．因此，在学习中，我们对这种方法要细心研读，认真领会，并正确地应用到相关问题的解决之中．例7：对R b a ∈,，记⎩⎨⎧<≥=b a b b a a b a ,,},m ax {，函数R x x x x f ∈-+=},2,1max{)(的最小值是________．。
一次函数的最大值和最小值
若直线 l 1 : A 1 x + B 1 y + C1 = 0 与直线 l 2 : A 2 x + B 2 y + C2 = 0 相交于 P , 则 l 1 与 l 2 的线性组合 (λ,μ ∈R , 且不全 为零) l 3 : λ( A 1 x + B1 y + C1 ) + μ( A 2 x + B 2 y + C2 ) = 0 表示过 P 点的所有直线 , 称为过 P 点的直线系方 程. 特别地 , 当 λ = 0 时 , l 3 成为 l 2 ; 当 μ = 0 时 , l 3 成为 l 1 . 对于 l 1 , l 2 以外的直线 , 我们往往只在 l 3 中
S △B′ , C′ D′
而 △B′ C′ D′ 只是 △B′ CD′ 的一部分 , 由计算易得
S △B′ CD′=
1 μ ). ab (λ+ μ - λ 2
因此 ,
1 μ ). ab (λ+ μ - λ 2 ②设 R = D , 则不论 P 和 Q 为 A , B′ , C′ , D′ 中
S △PQR ≤
假定 n 为偶数 , 那么从上式导出 S ≥一方面 , 若取 x 1 = x 2 = …= x 2 = 1 , x 2
n n
.另
+1
= x2
+2
=
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的最大值和最小值总是在区间 [α,β] 的某一个端点 处取到 . 假如 a = 0 , 那么 y = 常数 b , y 在整个实轴上处 处取到最大值和最小值 . 我们 以 f ( x ) 表 示 ax + b , 以 max f ( x ) 和
初三数学一次函数(一)专项训练及答案解析
初中数学专项训练：一次函数（一）一、选择题1．如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x 分，离出发地的距离为y 千米；②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x 分，桶内的水量为y 升；③矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，动点P 从点A 出发，依次沿对角线AC 、边CD 、边DA 运动至点A 停止，设点P 的运动路程为x ，当点P 与点A 不重合时，y=S △ABP ；当点P 与点A 重合时，y=0．其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为A ．0B ．1C ．2D ．32．某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人离家的距离y 与时间x 的关系的大致图象是A ．B ．C ．D ．3．对于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），定义一种运算：()()1212A B x x y y ⊕=+++．例如，A （－5，4），B （2，﹣3），()()A B 52432⊕=-++-=-．若互不重合的四点C ，D ，E ，F ，满足C D D E E F F D ⊕=⊕=⊕=⊕，则C ，D ，E ，F 四点【 】A ．在同一条直线上B ．在同一条抛物线上C ．在同一反比例函数图象上D ．是同一个正方形的四个顶点4．甲、乙两辆摩托车同时从相距20km 的A ，B 两地出发，相向而行．图中l 1，l 2分别表示甲、乙两辆摩托车到A 地的距离s （km ）与行驶时间t （h ）的函数关系．则下列说法错误的是A. 乙摩托车的速度较快B. 经过0.3小时甲摩托车行驶到A ，B 两地的中点C. 经过0.25小时两摩托车相遇D. 当乙摩托车到达A 地时，甲摩托车距离A 5．把直线y x 3=-+向上平移m m 的取值范围是A ．1＜m ＜7B ．3＜m ＜4C ．m ＞1D ．m ＜46．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从点B 出发，沿BADC 方向运动至点C 处停止，设点E 运动的路程为x ，△BCE 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则当x=7时，点E 应运动到A ．点C 处B ．点D 处C ．点B 处D ．点A 处7．已知函数y kx b =+的图象如图所示，则一元二次方程2x x k 10++-=根的存在情况是A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定8．某仓库调拨一批物资，调进物资共用8小时，调进物资4小时后同时开始调出物资（调进与调出的速度保持不变）．该仓库库存物资m （吨）与时间t （小时）之间的函数关系如图所示．则这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是A 、8.4小时B 、8.6小时C 、 8.8小时D 、9小时9．“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行，童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利回到家。
八年级数学一次函数之轴对称最值问题(人教版)(专题)(含答案)
一次函数之轴对称最值问题（人教版）（专题）一、单选题(共7道，每道15分)1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，点B(-2，1)，在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标( )A.(0，0)B.(0，1)C.(0，-1)D.(-1，0)答案：D解题思路：1.思路分析：2.解题过程：如图，作点A关于x轴的对称点C，连接BC，则直线BC与x轴的交点即为使点P到A，B两点的距离之和最小的点．设点B，C所在直线的表达式是y=kx+b，∵B(-2，1)，C(2，-3)，在直线y=kx+b上，∴，∴，∴，∴当y=0时，x=-1，∴图象与x轴交于点(-1，0)．故选D．试题难度：三颗星知识点：略2.已知点M(1，2)和点N(5，6)，点P是y轴上的一个动点，当△PMN的周长最小时，点P 的坐标是( )A.(0，)B.(0，1)C.(，0)D.(-1，0)答案：A解题思路：1.思路分析：C△PMN=PM+PN+MN，MN的长度固定，可转化为PM+PN最小2.解题过程：如图，作点M关于y轴的对称点M′，连接M′N，则直线M′N与y轴的交点即为使PM+PN最小的点．设点M′，N所在直线的表达式是y=kx+b，∵M′(-1，2)，N(5，6)在直线y=kx+b上，∴，∴，∴，∴当x=0时，y=，∴图象与y轴交于点(0，)．故选A．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，已知A（1，3），B（5，1），长度为2的线段PQ在x轴上平行移动，当AP+PQ+QB 的值最小时，点P的坐标为( )A. B.C.（1，0）D.（5，0）答案：B解题思路：1．思路分析2．解题过程通过题意可知，PQ的长固定，所以若要AP+PQ+QB的值最小，则AP+BQ最小即可．如图，BQ向左平移两个单位到，此时就转化为要求即可．作出点关于x轴的对称点，此时连接，与x轴的交点即为所求的点P．根据题意可得，点的坐标为(3，-1)，∴的直线解析式为：，∴点P的坐标为．故选B试题难度：三颗星知识点：略4.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．若E，F为边OA上的两个动点，且EF=2，则当四边形CDEF的周长最小时，点F的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：1．思路分析2．解题过程通过题意可知，EF和CD的长固定，所以若要四边形CDEF的周长最小，则DE+CF最小即可．如图，CF向左平移两个单位到，此时就转化为要求即可．作出点D关于x轴的对称点，此时连接，与x轴的交点即为点E．根据题意可得，点的坐标为(1，4)，点的坐标为(0，-2)，∴的直线解析式为：，∴点E的坐标为，∴点F的坐标为．故选B试题难度：三颗星知识点：略5.如图，当四边形PABN的周长最小时，a的值为( )A. B.1C.2D.答案：A解题思路：1．思路分析2．解题过程通过题意可知，PN和AB的长固定，且PN=2，所以若要四边形PABN的周长最小，则AP+BN最小即可．如图，BN向左平移两个单位到，此时就转化为要求即可．作出点关于x轴的对称点，此时连接，与x轴的交点即为点P．根据题意可得，点的坐标为(2，-1)，∴的直线解析式为：，∴点P的坐标为，∴．故选A试题难度：三颗星知识点：略6.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（3，-4），在x轴上有一点P，当的值最大时，点P的坐标是( )A. B.（0，0）C.（-1，0）D.（3，0）答案：C解题思路：1．思路分析2．解题过程故选C试题难度：三颗星知识点：略7.如图，已知直线是第一、三象限的角平分线，A，B两点的坐标分别为，B(1，2)，在直线上找一点P，使的值最大，则此时点P的坐标是( )A.（-1，-1）B.C.（-2，-2）D.答案：A解题思路：1．思路分析2．解题过程故选A试题难度：三颗星知识点：略第11页共11页。
二元一次函数最值问题
二元一次函数最值问题二元一次函数最值问题_【八上数学】函数、一次函数必考知识点(上)-csdn博客一、知识概念1、常量与变量在某一变化过程中，数值保持不变的量叫常量．在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫变量．2、自变量与因变量，函数一般地，设在一个变化的过程中，有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，我们称y是x的函数，其中，x是自变量，y是因变量．3、函数的三种表示方法(1)列表法：具体地反映了函数与自变量的数值对应关系．(2)图象法：直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律．(3)解析法：准确地反映了函数与自变量之间的数量关系．4、一次函数和正比例函数一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的函数，叫做一次函数，y是x的一次函数，当b＝0，即y＝kx(k为常数且k≠0)时，称y是x的正比例函数．正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数．5、待定系数法求一次函数关系式过程(1)设函数表达式y＝kx＋b；(2)根据已知条件列出关于k，b的方程(组)；(3)解方程(组)；(4)把求出的k，b值代回到表达式中．二、典型例题1、函数相关概念2、函数表示及自变量取值范围3、一次函数的概念及判定4、待定系数法运用例1：若y与x－1成正比例，且x＝2时，y＝6，则x＝－2时，y＝___．分析：我们可以设y＝k(x－1)，把x＝－2，y＝6代入，也可直接把(－2，6)代入，求得k的值，得函数的关系式，再把x＝－2代入，求得y的值．【互动必读】一文教你查询往期文章、直接下载！【重难突破】九上圆中最值问题汇编【网红模型】“对称问题”涉及的16个必考点全梳理【八上数学】全等三角形16个必考点全梳理【中考数学】三角形面积综合探究【七上数学】《有理数》月考好题精选【八上数学】等腰三角形五大考点，必须收藏！【干货汇总】一文搞定相似三角形基本模型【八上数学】《线段、角的轴对称性》必会书写格式！【初三数学】2020中考好题精选【九上数学】一文搞定“圆”中最常用12条结论【必读】很重要！各年级首次月考最实用应对方案【干货整理】涉及三角形的20个必考点全覆盖【最值系列】隐圆(2)定边对定角【专题突破】一文搞定初中数学网格问题【七上数学】《有理数》全章16个必考点全梳理！【压轴专题】图形的运动——翻折【八上数学】《轴对称》最全知识点汇总【七上数学】新学期21个必考知识点，必备！【初中数学】12张表汇齐全部重点知识，超实用！【八上数学】全等辅助线—截长补短&半角【七上数学】有理数运算典型易错题分析(下)【最值系列】隐圆(1)定点定长型【干货分享】初中数学常见解题方法梳理【九上数学】圆中的辅助线--直角、直径的互化【七上数学】有理数运算典型易错题分析(上)【干货】怎样帮助初一新生快速适应初中学习?【解题分享】巧借“对称变换”，妙解最值问题【模型突破】利用辅助圆求解动点最值问题【模型必读】相似模型全梳理，附送20道绝妙好题【中考热点】定角定高模型初探【最值模型】两点之间，线段最短！(1)【中考压轴】因动点产生的三角形相似问题【三周年特辑】对一道二次函数压轴题的探究！【考前突破】中考易错考点全整理【专题提升】几何综合图形关系的再探究【中考2020】“线段最值”系列之——轨迹思想【专题突破】特殊三角形必考解题策略汇编【专题突破】几何最值问题12小类模型全梳理【好题欣赏】由一道比例定值题引发的联想【中考2020】初中数学常见几何模型解析完整版【中考真题】函数交点问题全解析【解题探究】一类线段最值问题的本源解法——斜大于直【中考必读】几何线段最值求法大全【中考数学】中考专题复习指导兼谈核心素养命题【中考压轴】最短路径问题2【中考压轴】最短路径问题(1)。
求函数最值的10种方法
【例 1】设函数 f(x)的定义域为 R，有下列三个命 题： ① 若存在常数 M ，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤M ，
则 M 是函数 f(x)的最大值；
② 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，且 x≠x0，有 f(x)<f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的最大值；
③ 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤f(x0)，
x 没有最大值，也没有最小值．
二、配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F (x)＝ af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配 方法．
【例 2】 已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R， a≠0)，求函数 y 的最小值．
分析 将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量 ex＋e－x的二次函数．
＝3,
xz 4xz
y2 当且仅当x＝3z时取“＝”．故 的最小值为3.故填3.
xz
点评 本题是三元分式函数的最值问题，一般地，可将 这类函数问题转化为二元函数问题加以解决．在利用 均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三 相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方， 容易产生失误．
五、函数单调性法 先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调 性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方 法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必 考的，且多在解答题中的某一问中出现．
一、定义法 函数最值的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义 域为I，如果存在实数M ，满足：①对任意x∈I，都 有f(x)≤M ，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ，则称M 为
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值． 我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值 的相关问题．
专题10 一次函数的实际应用中最值问题(学生版) -2021年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练
备战2021年中考复习重难点与压轴题型专项训练专题10一次函数的实际应用中最值问题【专题训练】一、解答题1．(2020·四川广安市·中考真题)某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．(两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变)(1)A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？(2)若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W 与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．2．(2020·山东济南市·中考真题)5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．(1)营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？(2)若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？3．(2020·四川中考真题)推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．(1)甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？(2)现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．4．(2020·云南中考真题)众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：现安排上述装好物资的20辆货车(每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资)中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．(1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？(2)求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；(3)若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．5．(2020·山东烟台市·中考真题)新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售A，B两种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中A，B两种型号口罩所获利润之比为2：3．已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍．(1)求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；(2)该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍，设购进A型口罩m只，这10000只口罩的销售总利润为W元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？6．(2020·广西中考真题)倡导垃圾分类，共享绿色生活.为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A 型和B 型两款垃圾分拣机器人，已知2台A 型机器人和5台B 型机器人同时工作2h 共分拣垃圾3.6吨，3台A 型机器人和2台B 型机器人同时工作5h 共分拣垃圾8吨．(1)1台A 型机器人和1台B 型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？(2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A 型和B 型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨.设购买A 型机器人a 台104()5a ≤≤，B 型机器人b 台，请用含a 的代数式表示b ；(3)机器人公司的报价如下表：在(2)的条件下，设购买总费用为w 万元，问如何购买使得总费用w 最少？请说明理由．7．(2020·广东深圳市·中考真题)端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．(1)肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？(2)由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？8．(2020·黑龙江鹤岗市·中考真题)某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．(1)该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案．(3)在(2)的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．9．(2020·湖北荆州市·中考真题)为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下：(单位：吨)(1)求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨？(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；<≤且m为整数)，按(2)中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元，求m的最小值．(3)当每吨运费降低m元，(0m1510．(2020·甘肃天水市·中考真题)天水市某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．(1)A 种商品每件的进价和B 种商品每件的进价各是多少元？(2)商店计划用不超过1560元的资金购进A 、B 两种商品共40件，其中A 种商品的数量不低于B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ (3)“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A 种商品售价优惠()1020m m <<元，B 种商品售价不变，在(2)的条件下，请设计出m 的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．11．(2020·湖北咸宁市·中考真题)5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．(1)求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？(2)如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m 盒(m 为正整数)，则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m 的代数式表示．(3)在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按(2)中的配套方案购买，共支付w 元，求w 关于m 的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？12．(2020·湖北孝感市·中考真题)某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品．已知1kg乙产品的售价比1kg 甲产品的售价多5元，1kg丙产品的售价是1kg甲产品售价的3倍，用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍．(1)求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元？(2)电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种农产品搭配销售共40kg，其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍，且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的3倍．请你帮忙计算，按此方案购买40kg农产品最少要花费多少元？13．(2020·黑龙江牡丹江市·中考真题)某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：(1)A，B两种书包每个进价各是多少元？(2)若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？(3)该商场按(2)中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，A种，B种书包各有几个？14．(2020·湖南怀化市·中考真题)某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．(1)设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．(2)若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．15．(2020·四川达州市·中考真题)某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．(1)求表中a的值；(2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？16．(2020·四川泸州市·中考真题)某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．(1)如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？(2)若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？17．(2020·山东济宁市·中考真题)为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少?18．(2020·山东聊城市·中考真题)今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B 种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．(1)求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？(2)如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．19．(2020·贵州铜仁市·中考真题)某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的90%，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个．(1)问每一个篮球、排球的进价各是多少元？(2)该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元．若该批篮球、排球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？20．(2020·贵州遵义市·中考真题)为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：(1)求甲、乙两种型号水杯的售价；(2)第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种号水杯a个，利润为w元，写出w与a的函数关系式，并求出第三月的最大利润．21．(2020·浙江温州市·中考真题)某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进单批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．(1)4月份进了这批T恤衫多少件？(2)4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．①用含a的代数式表示b；②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．。
专题01 一次函数 压轴题(十大题型)(原卷版)
(1)OC 的长为______，OD 的长为______；(2)如图，点()1,M a -是线段CD 上一点，连接OM ，作ON 并判断MON △的形状；(3)如备用图，若点()1,E b 为直线AB 上的点，点P 为y 轴上的点，是以点E 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时(1)求直线CD 的函数表达式和点D 的坐标；(2)点P 为线段DE 上的一个动点，连接BP ．①若直线BP 将ACD 的面积分为7:9两部分，试求点②点P 是否存在某个位置，将BPD △沿着直线BP 翻折，使得点在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．题型2：取值范围问题(1)求点A 的坐标；(2)若点C 在第二象限，ACD ①求点C 的坐标；②直接写出不等式组4x kx +>③将CAD 沿x 轴平移，点C(1)求点C 的坐标及直线BC 的表达式；(2)在点E 运动的过程中，若△DEF 的面积为5，求此时点(3)设点E 的坐标为（0，m ）；①用m 表示点F 的坐标；②在点E 运动的过程中，若△DEF 始终在△ABC 的内部（包括边界）题型3：最值问题5．已知一次函数()134502y kx k k =++≠．的坐标为(),a a ，求CM MP +的最小值．6．如图1，在平面直角坐标系xoy 中，直线1:1l y x =+与x 轴交于点A ，直线2:33l y x =-与x 轴交于点B ，与1l 相交于C 点，过x 轴上动点(),0E t 作直线3l x ⊥轴分别与直线1l 、2l 交于P 、Q 两点．(1)①请直接写出点A ，点B ，点C 的坐标：A ______，B ______，C ______．②若2PQ =，求t 的值；(2)如图2，若E 为线段AB 上动点，过点P 作直线PF PQ ⊥交直线2l 于点F ，求当t 为何值时，PQ PF -最大，并求这个最大值．题型4：旋转问题7．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象交y 轴于点()0,1A -，交x 轴交于点B ，且2OB OC OA ==，过点C 作y 轴的垂线，交直线AB 于点D ．(1)求点D 的坐标；(2)点E 是线段CD 上一动点，直线BE 与y 轴交于点F ．①若BDF V 的面积为8，求点F 的坐标；②如图2，当点F 在y 轴正半轴上时，将直线BF 绕点B 顺时针旋转45︒后的直线与线段CD 交于点M ，连接FM ，若1OF MF =+，求线段MF 的长．备用图(1)求直线1l 的表达式；(2)过M 作y 轴的平行线，分别交直线1l ，直线2l 于点D ，E ，连接DE ，①当3m =时，求DE 的长；(1)求n 的值及直线2l 的表达式；(2)在直线2l 上是否存在点E ，使BO ABE A S S =△△若存在，则求出点(3)如图2，点P 为线段AD 上的一个动点，一动点H(1)求直线AB 的表达式；(2)由图象直接写出关于x 的不等式102x kx b <<+的解集；(3)如图②所示，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt BPM 直线MA 交y 轴于点Q ．当点P 在x 轴上运动时，线段OQ 的长度是否发生变化？若不变，求出线段长度；若变化，求线段OQ 的取值范围．题型6：定值问题11．如图1所示，直线l ：10y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于(1)若点D坐标为(12，3)．①求直线BC的函数关系式；②若Q为RS中点，求点P坐标．(2)在点P运动的过程中，PQCR的值是否变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．题型7：新定义题型13．函数图象是研究函数的重要工具，类比一次函数的学习，表是探究过程中的部分信息：x…2-1-01232y x=-…4a2-14(1)a的值为______；(2)在图中画出该函数的图象；(3)结合函数的图象，解决下列问题：①下列说法正确的是：______．（填所有正确选项）A．函数图像关于x轴对称x=时，函数有最小值，最小值为B．当0x>时，y随x的增大而增大C．当0③若12x -≤≤，则y 的取值范围为【拓展提升】18．对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的数”．例如：对于函数12y x =和231y x =-，则函数1y ，2y 的“和函数”3y =(1)已知函数1y x =和2=y ①写出3y 的表达式，并求出当②函数1y ，2y 的图象如图①所示，则．．．．(2)已知函数4y x =和5y =，这两个函数的“和函数”记为6y ．按照上图的速度步行前往学校，记录下小东10天到达学校所用的时间，如表．上学日期4号5号6号7号8号11号到达学校所用时间（单位：min）2524.825.324.925.124.8某天早上7：20，小东按照上表的速度步行上学．t（0＜t≤10）分钟后，小明骑自行车以从小区出发，沿着相同的路线上学．骑行7分钟后，自行车因零件损坏无法继续骑行，小明只好将自行车停在路边非机动车停靠点（停车时间忽略不计），改用步行前往学校．为了赶时间，小明的步行速度不小于。
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一次函数经典复习题
含山县张公初级中学
卢 国 剑
一次函数最值问题
“一次函数最值问题”既是一次函数的具体应用,更是中考的热点.何时获得最大利润?最大利润是多少?这是
一个现实生活中的最值问题.在解题过程中,需将实际问题转化为数学问题,构建目标函数,通过一次函数的增减性
可使问题得以解决.现就08年中考试题中运用一次函数知识取得最大(小)值问题,精选几例析解如下,供同学们鉴
赏：
例1(2008年山东省临沂市中考题) 某商场欲购进A、B两种品牌的饮料500箱，此两种饮料每箱的进价和
售价如下表所示。设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元.
⑴求y关于x的函数关系式？
⑵如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润。（注：
利润＝售价－成本）
分析: (1)购进A、B两种品牌的饮料共500箱，购进A种饮
料x箱，则购进B种饮料(500-x)箱;根据A、B两种品牌饮料的进
价和售价及利润＝售价－成本,易得总利润y(元) 关于x(箱)之间的
函数关系式.
(2)根据不等式知识求得x的取值范围,再根据一次函次性质求得总利润y(元)的最大值.
解: ⑴y＝（63－55）x＋（40－35）（500－x）
＝3x＋2500. 即y＝3x＋2500（0≤x≤500），
⑵由题意，得55x＋35（500－x）≤20000，
解这个不等式，得x≤125，即x可取得的最大值为125.
对于函数y＝3x＋2500, 当x取得最大值时,函数y也取得最大值.
因此当x＝125时,y最大值＝3×125＋2500＝2875(元),
所以购进A、B两种饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润,为2875元.
评注:①销售利润=售价－进价;②解不等式求得x的取值范围;③函数y＝3x＋2500,是增函数,即y随x的增
大而增大,所以当x取得最大值时,函数y也取得最大值.
例2(2008年山东省潍坊市中考题) 为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校准备对校园中30亩空地进行
绿化．绿化采用种植草皮与种植树木两种方式，要求种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩．并且种植草皮
面积不少于种植树木面积的32．已知种植草皮与种植树木每亩的费用分别为8000元与12000元．
（1）种植草皮的最小面积是多少？
（2）种植草皮的面积为多少时绿化总费用最低？最低费用为多少？
2
分析:(1)根据种植草皮面积不少于种植树木面积的32,通过解不等式可以求得种植草皮的最小面积;(2)建立一
次函数,根据一次函数的增减性,求得绿化总费用最低值.
解:(1)设种植草皮面积为x亩,则种植树木面积为(30-x)亩,
由x≥)30(23x,解得x≥18,即种植草皮的最小面积为18亩.
(2)3600004000)30(120008000xxxS
因为种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩．所以x的取值范围为10≤x≤20.
所以当x取最大值20时,函数280000360000204000最小值S
即当种植草皮的面积为20亩时绿化总费用最低,最低费用为280000元.
评注:函数3600004000xS为减函数,当自变量x取得最大值时,函数S有最小值,即费用最低,最低费
用为280000元,
例3(2008年山东省泰安市中考题) 某厂工人小王某月工作的部分信息如下：
信息一：工作时间：每天上午8∶00~12∶00，下午14∶00~18∶00，每月25天；
信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．生产产品件数与所用时间
之间的关系见下表：
生产甲产品件数（件） 生产乙产品件数（件） 所用
总时间（分）
10 10 350
30 20 850
信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？
（2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？
分析:(1)通过解方程组可以求得生产甲、乙两种产品1件各需多少时间.
(2)建立一次函数关系,根据一次函数的增减性,可使问题获解.
解：（1）设生产一件甲种产品需x分钟，生产一件乙种产品需y分钟，由题意得：
10103503020850xyxy 即353285xyxy 解这个方程组得：1520xy
即生产一件甲产品需要15分钟，生产一件乙产品需要20分钟．
（2）设生产甲种产品共用了x分钟，生产乙种产品需用(25860)x分钟，则生产甲种产品15x件，生产
乙种产品2586020x件．
258601.52.81520xxw总额120000.12.820xx
3
0.116800.14xx0.041680x
又6015x≥，得900x≥
由一次函数的增减性，当x取最小值,即900x时w取得最大值，
此时0.0490016801644w（元）
这时甲生产了9006015（件），乙生产了25860900120009005552020（件）
即小王该月最多能得到1644元,此时生产甲、乙两种产品分别为60件和555件.
评注:这是一道信息给予题,关键是理解题意,从中获取正确的信息.