2.3.2抛物线的简单几何性质(2)

y
相离
O
x
相交
一个交点或 者两个交点
相切
2.3.2（二）
y
2
例1： 求过定点P（0，1）且与抛物线 公共点的直线有几条？
y
y 2x 只有一个

2
2x
3
A(0 , 1)
y =kx+1 y2=2x
O
x
2.3.2（二）
判断直线与抛物线位置关系的操作程序： 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行
的直线方程为 y＝4x＋m.
2 y＝4x 则 y＝4x＋m
⇒4x2－4x－m＝0.
①
设此直线与抛物线相切有 Δ＝0， 即 Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1. 1 将 m＝－1 代入①式，x＝ ，y＝1， 2 1 所求点的坐标为 ，1 . 2
y 2 8x
2.3.2（二）
2.3.2（二）
例 2：
抛物线y2=4x的焦点为F,
y
5
点M在抛物线上运动, A(2,2), 试求
|MA|+|MF|的最小值. 解 |MA|+|MF|
A1-143 Nhomakorabea2
A
O
1 2 3 4 5
1
x
-1
=|MA|+|MM1|
≥|AA1|=3 即 |MA|+|MF|的最小值为3.
M1
F
-2
-3
-4
M
-5
练一练·当堂检测、目标达成落实处
，
1 得 k＝ 或 k＝－1. 3 1 ∴直线方程为 y－2＝ (x＋3)或 y－2＝－(x＋3)， 3 即 x－3y＋9＝0 或 x＋y＋1＝0. 故所求直线有三条，其方程分别为 y＝2，x－3y＋9＝0，x＋y＋1＝0.
2.3.2（二）
例3
已知抛物线的方程为 y2＝4x，直线 l 过定点 P(－2,1)，
即y0 min
3 4
2.3.2（二）
1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程； 利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程. 2.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不 充分条件. 3.直线与抛物线的相交弦问题共有两类， 一类是过焦点的弦， 一类是不过焦点的弦.解决弦的问题， 大多涉及到抛物线的 弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线与抛物线 联立，转化为关于 x 或 y 的一元二次方程，然后利用根与 系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应 注意“点差法”的运用.
斜率为 k，k 为何值时，直线 l 与抛物线 y2＝4x：只有一个 公共点；有两个公共点；没有公共点？
解 由题意，设直线 l 的方程为 y－1＝k(x＋2). y－1＝kx＋2， 由方程组 2 y ＝4x，
可得 ky2－4y＋4(2k＋1)＝0. (1)当 k＝0 时，由方程①得 y＝1. 1 2 把 y＝1 代入 y ＝4x，得 x＝ . 4 1 这时，直线 l 与抛物线只有一个公共点4，1.
消去 x，整理得 ky2－4y＋8＋12k＝0 (1)当 k＝0 时，方程①化为－4y＋8＝0，即 y＝2， 此时过(－3,2)的直线方程为 y＝2，满足条件.
①
2.3.2（二）
(2)当 k≠0 时，方程①应有两个相等实根.
k≠0 由 Δ＝0
，
k≠0 即 16－4k8＋12k＝0
本 讲 栏 目 开 关
2.3.2（二）
2.设抛物线 y2＝8x 的准线与 x 轴交于点 Q， 若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是( C ) 1 1 A.－ ， B.[－2,2] 2 2 C.[－1,1] D.[－4,4] 解析 设直线方程为 y ＝k(x ＋ 2)，与抛物线方程联立，得
2° 由 Δ>0，得 2k2＋k－1<0， 1 解得－1<k< . 2 1 于是，当－1<k< ，且 k≠0 时，方程①有两个解，从而方程 2
组(*)有两个解.这时，直线 l 与抛物线有两个公共点.
2.3.2（二）
3° 由 Δ<0，即 2k2＋k－1>0， 1 解得 k<－1，或 k> . 2 1 于是，当 k<－1，或 k> 时，方程①没有实数解，从而方程 2
2.3.2（二）
练习 抛物线y2=4x上的
5
y
点M到准线距离为d, A(2,4),
试求|MA|+d的最小值.
-1
A
4
3
2
1
O
-1
1
2
3
4
5
F
x
-2
-3
-4
d
M
-5
2.3.2（二）
练习： 已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小
值。
解： 设A( x1, y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
2.3.2（二）
2.3.2 抛物线的简单几何性质(二)
2.3.2（二）
1.直线和椭圆的位置关系
y
相交:两个交点 相切:一个交点 相离:0个交点
F1 0
F2
x
2.3.2（二）
2.双曲线与直线的位置关系 Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O X
相离:0个交点
Y
相交:一个交点
O
X
2.3.2（二）
3.直线与抛物线位置关系
2 y ＝8x， y＝kx＋2，
本 讲 栏 目 开 关
消去 x 得到关于 y 的方程 ky2－8y＋16k＝0.
当 k＝0 时，上述方程有解，所以直线与抛物线有公共点； 当 k≠0 时，应有 Δ≥0，即 64－64k2≥0，
解得－1≤k≤1 且 k≠0.
综上，l 斜率的取值范围是[－1,1].
组(*)没有解.这时，直线 l 与抛物线没有公共点.
综上，我们可得
1 当 k＝－1，或 k＝ ，或 k＝0 时，直线 l 与抛物线只有一个 2 公共点； 1 当－1<k< ，且 k≠0 时，直线 l 与抛物线有两个公共点； 2 1 当 k<－1，或 k> 时，直线 l 与抛物线没有公共点. 2
2.3.2（二）
练习：
（ A）
2.3.2（二）
作业
2.3.2（二）
2.3.2
抛物线的简单几何性质(四)
本 讲 栏 目 开 关
研一研·题型解法、解题更高效
2.3.2（二）
题型一 例1
抛物线的标准方程
x2 y2 抛物线的顶点在原点， 对称轴是椭圆 ＋ ＝1 短轴所 4 9
本 讲 栏 目 开 关
在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的 方程及准线方程. x 2 y2 解 ∵椭圆 ＋ ＝1 短轴在 x 轴上， 4 9 ∴抛物线的对称轴为 x 轴， 设抛物线的标准方程为 y2＝2px 或 y2＝－2px (p>0)， p ∵抛物线的焦点到顶点的距离为 3，∴ ＝3，即 p＝6， 2 ∴抛物线的方程为 y2＝12x 或 y2＝－12x，准线方程分别为 x
＝－3 和 x＝3.
研一研·题型解法、解题更高效
2.3.2（二）
小结 求抛物线的标准方程要明确四个步骤：
(1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口)； (2)设方程(根据焦点和开口设出标准方程)； (3)找关系(根据条件列出关于 p 的方程)； (4)得出抛物线的标准方程.
本 讲 栏 目 开 关
1 AD BC 2( y0 ) 4
1 AF BF 2( y0 ) 4
p 1 y0 y0 , 2 4
A D
y
M F
2 MN AD BC , MN
B
o
N C
x
AD AF , BC BF
ABF中, AF BF AB 2
(| AF | | BF |) min 2
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 相切 <0 相离
相交（一个交点）
相交
2.3.2（二）
2.3.2（二）
2.3.2（二）
2.3.2（二）
跟踪训练 3
过点(－3,2)的直线与抛物线 y2＝4x 只有一个公
共点，求此直线方程.
解
显然，直线存在斜率 k，设其方程为 y－2＝k(x＋3)，
y－2＝kx＋3 由 2 y ＝4x
小结
直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛物线
方程联立得到的方程组解的个数 .注意直线斜率不存在和得 到的方程二次项系数为 0 的情况.
2.3.2（二）
3. 抛物线 y＝4x2 上一点到直线 y＝4x－5 的距离最短，则该 例4 ： 点坐标为 ( C ) A.(1,2) B.(0,0) 1 C.2，1 D.(1,4) 解析 因为 y＝4x2 与 y＝4x－5 不相交， 设与 y＝4x－5 平行

(*) ①
2.3.2（二）
(2)当 k≠0 时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k2＋k－1). 1° 由 Δ＝0，即 2k2＋k－1＝0， 1 解得 k＝－1，或 k＝ . 2 1 于是，当 k＝－1，或 k＝ 时，方程①只有一个解，从而方程 2
组(*)只有一个解.这时，直线 l 与抛物线只有一个公共点.