《应用高等数学(第2版)》(胡桐春)638-6课件 第1课 学习应用高等数学
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高等数学(第二版)教学课件1-5
例如，y x2 ex , y arcsin(1 x2 ) 都是初等函数。但
x
需特别指出，分段函数不是初等函数。
微积分研究的主要对象是研究初等函数的性质。
第一章 函数及其基本性质
第五节 初等函数
一、基本初等函数 二、分段函数 三、初等函数
一、基本初等函数
下列函数称为基本初等函数。 （1）常数函数 y c （2）幂函数 y x , (为实数） （3）指数函数 y ax , (a 0, a 1) （4）对数函数 y log a x, (a 0, a 1) （5）三角函数 y sin x, y cosx, y tan x, y cot x
x, x 0
例1．画出
y
f
(
x)
x
20 Biblioteka 1 的图形。1, x 1
解： y f (x) 的值由三个不同的公式给出：当 x 0 时，y x ；当 0 x 1时，y x2 ；以及当 x 1 时，y 1 。该函数只是一个函数，其定义域是 整个实数集。
三、初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复 合运算所构成，并能用一个解析式表示的函数称 为初等函数。
y secx, y cscx
（6）反三角函数
y arcsinx, y arccosx, y arctanx, y arc cot x
二、分段函数
在研究某些问题时，函数在它的定义域内，其对应 关系并不总是能用一个数学表达式给出的。比如个 人所得税是按个人的收入不同分为不同的档次交纳 的，其相互关系不能用单一的数学表达式表示。汽 车行驶过程中从启动、加速、匀速、减速到停止， 整个过程其速度同样不能用一个数学表达式来表示。 通常我们把不能用一个数学表达式表示的函数称为 分段函数。
x
需特别指出，分段函数不是初等函数。
微积分研究的主要对象是研究初等函数的性质。
第一章 函数及其基本性质
第五节 初等函数
一、基本初等函数 二、分段函数 三、初等函数
一、基本初等函数
下列函数称为基本初等函数。 （1）常数函数 y c （2）幂函数 y x , (为实数） （3）指数函数 y ax , (a 0, a 1) （4）对数函数 y log a x, (a 0, a 1) （5）三角函数 y sin x, y cosx, y tan x, y cot x
x, x 0
例1．画出
y
f
(
x)
x
20 Biblioteka 1 的图形。1, x 1
解： y f (x) 的值由三个不同的公式给出：当 x 0 时，y x ；当 0 x 1时，y x2 ；以及当 x 1 时，y 1 。该函数只是一个函数，其定义域是 整个实数集。
三、初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复 合运算所构成，并能用一个解析式表示的函数称 为初等函数。
y secx, y cscx
（6）反三角函数
y arcsinx, y arccosx, y arctanx, y arc cot x
二、分段函数
在研究某些问题时，函数在它的定义域内，其对应 关系并不总是能用一个数学表达式给出的。比如个 人所得税是按个人的收入不同分为不同的档次交纳 的，其相互关系不能用单一的数学表达式表示。汽 车行驶过程中从启动、加速、匀速、减速到停止， 整个过程其速度同样不能用一个数学表达式来表示。 通常我们把不能用一个数学表达式表示的函数称为 分段函数。
《高等数学》(同济六版)教学课件★第1章.函数与极限(2)
跳跃间断点
左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
思考与练习
1. 讨论函数
x = 2 是第二类无穷间断点 .
间断点的类型.
2. 设
时
提示:
3. P65 题 3 , *8
为
连续函数.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
P65 题*8 提示:
显然
正根 .
二、 连续与间断
一、 函数
三、 极限
习题课
函数与极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义:
定义域
值域
图形:
( 一般为曲线 )
设
函数为特殊的映射:
其中
2. 特性
有界性 ,
单调性 ,
奇偶性 ,
周期性
3. 反函数
设函数
为单射,
反函数为其逆映射
4. 复合函数
给定函数链
则复合函数为
作业 P65 4 ; 5
备用题 确定函数
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
一、连续函数的运算法则
第九节
二、初等函数的连续性
连续函数的运算与
初等函数的连续性
第一章
定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.
在其定义域内连续
一、连续函数的运算法则
, 使
取
则
在
内连续,
存在, 则
必在
内有界.
上连续 , 且恒为正 ,
例5. 设
左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
思考与练习
1. 讨论函数
x = 2 是第二类无穷间断点 .
间断点的类型.
2. 设
时
提示:
3. P65 题 3 , *8
为
连续函数.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
P65 题*8 提示:
显然
正根 .
二、 连续与间断
一、 函数
三、 极限
习题课
函数与极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义:
定义域
值域
图形:
( 一般为曲线 )
设
函数为特殊的映射:
其中
2. 特性
有界性 ,
单调性 ,
奇偶性 ,
周期性
3. 反函数
设函数
为单射,
反函数为其逆映射
4. 复合函数
给定函数链
则复合函数为
作业 P65 4 ; 5
备用题 确定函数
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
一、连续函数的运算法则
第九节
二、初等函数的连续性
连续函数的运算与
初等函数的连续性
第一章
定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.
在其定义域内连续
一、连续函数的运算法则
, 使
取
则
在
内连续,
存在, 则
必在
内有界.
上连续 , 且恒为正 ,
例5. 设
《应用高等数学(第2版)》(胡桐春) 第5章 72矩阵的运算
| A || A || A | (2)3 8
感谢各位聆听
１、定义
一、矩阵的加法
注意只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行 加法运算.
例
一、矩阵的加法
2、 矩阵加法的运算规律
一、矩阵的加法
例1 设
求元素x,y,z.
解：根据矩阵相等和矩阵加法的定义有 5 1 x ，y 1 0，3 z 3
x 6，y 1，z 0
二、数与矩阵相乘
１、定义
设矩阵A (aij )mn，常数k乘以矩阵A的每一个元素而得到的矩阵 (kaij )mn ,称为数k与矩阵A的数乘矩阵，记为kA，即kA (kaij )mn. 特别地，当k 1时，kA就是A的负矩阵， A (aij )mn.
矩阵的运算
主讲人：
一、矩阵相等
定义 设矩阵A (aij )mn 与B (bij )mn，如果它们的对应元素相等，即aij bij 则称矩阵A与B相等，记为A = B.
注意：两个矩阵相等的前提是两者属于同型矩阵（行数与列数都相等）， 然后再看对应元素是否相等来判断两个矩阵是否相等．
一、矩阵的加法
0
1
1
2
1
2
A
(6)AO
2 1
40
2
0
0 0
0 0
0 0
O
(7)OA
0 0
02
0
1
4 2
0 0
0 0
O
(8)CAB
0 0
22
1
1
4 2
2
1
2 1
0 0
0
0
三、矩阵与矩阵相乘
２、矩阵乘法的运算规律
（其中 为数）;
四、矩阵的转置
感谢各位聆听
１、定义
一、矩阵的加法
注意只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行 加法运算.
例
一、矩阵的加法
2、 矩阵加法的运算规律
一、矩阵的加法
例1 设
求元素x,y,z.
解：根据矩阵相等和矩阵加法的定义有 5 1 x ，y 1 0，3 z 3
x 6，y 1，z 0
二、数与矩阵相乘
１、定义
设矩阵A (aij )mn，常数k乘以矩阵A的每一个元素而得到的矩阵 (kaij )mn ,称为数k与矩阵A的数乘矩阵，记为kA，即kA (kaij )mn. 特别地，当k 1时，kA就是A的负矩阵， A (aij )mn.
矩阵的运算
主讲人：
一、矩阵相等
定义 设矩阵A (aij )mn 与B (bij )mn，如果它们的对应元素相等，即aij bij 则称矩阵A与B相等，记为A = B.
注意：两个矩阵相等的前提是两者属于同型矩阵（行数与列数都相等）， 然后再看对应元素是否相等来判断两个矩阵是否相等．
一、矩阵的加法
0
1
1
2
1
2
A
(6)AO
2 1
40
2
0
0 0
0 0
0 0
O
(7)OA
0 0
02
0
1
4 2
0 0
0 0
O
(8)CAB
0 0
22
1
1
4 2
2
1
2 1
0 0
0
0
三、矩阵与矩阵相乘
２、矩阵乘法的运算规律
（其中 为数）;
四、矩阵的转置
《应用高等数学(第2版)》(胡桐春) 第2章 37微分的定义及微分的几何意义
微分的定义
微分的定义
由于函数的导数等于函数的微分与自变 量微分之比，因此导数也称微商.
例1 求函数 y x2 -1当 x 1, x 0.01时的增量 y及微分.
解: y [(1 0.01)2 1] (12 1) 0.0201
dy x2 1 x 2xx
故函数在 x 1, x 0.01 时的微分为
O
M
Pபைடு நூலகம்
T dy
NN
a
x x + x x
感谢各位聆听
微分的定义及几何意义
主讲人：
问题的提出 微分的定义 微分的几何意义
问题的提出
正方形金属薄片受热后面积的改变量。
一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长从
x0变到x0+ △x,问受热后,薄片的面积 改变了多少？
x0
x (x)2
x0x
x
S x02 x0x x0
问题的提出
分析：设金属片的边长为x0, 则面积为 : S= x02.
dy x1 21 0.01 0.02
x0.01
微分的几何意义
如图所示, PN=dx, NM=∆y, NT=PNtanα = f (x)dx,
所以dy=NT，
y
即函数y=f(x)的微分dy就是曲线
y=f (x)
y=f(x)在点P处切线的纵坐标在相 应处x的增量，而∆y就是曲线y=f(x) 的纵坐标在点x处的增量。
x0
x0x
x (x)2
x
S x02 x0x x0 (1) (2) (1) (2)
既容易计算又是较好的近似值
问题的提出
△S=A·△x+0(x)
前一部分是△x的线性函数，且A是与△x无关的常数。 同时A=2x0它是函数S=x2在x0处的导数值。
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多做各种类型的习题，以帮助进一步消化知识，还需要进行递进训练，参考教材的书后附有习题参考答案，学生可自行检查学习成果
期末这门课程的考核方式？
在文旌课堂APP或其他学习平台的考试功能中进行考核
所选教材的优势有哪些？
本书内容分基础篇、拓展篇和实践篇，每个章节的安排上由易到难，逐步深入。在叙述上浅显易懂，注重数学概念的直观解释和数学思想方法的渗透，定理的表述也自然、简明，可让学生无障碍学习
（2min）
【教师】清点上课人数，记录好考勤
【学生】班干部ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ请假人员及原因
养成好的出勤习惯
揭示课题
传授新知
（43min）
【教师】介绍应用高等数学
这门课程学什么？
这门课程主要介绍了高等职业院校工科类及经济类相关专业所必需的数学知识以及利用这些知识解决实际问题的数学思想方法。主要内容有函数、极限与连续，一元函数微分学，一元函数积分学，微分方程与拉普拉斯变换，线性代数，MATLAB数学实验等
【学生】总结回顾知识点
总结知识点，巩固印象
课后拓展
（2min）
【教师】布置课后作业，预习第一章第一节，登录文旌课堂或其他学习平台查看相关知识链接
【学生】完成课后任务
延展知识面，多学科交叉学习
教学反思
本次课是新生的第一节应用数学课，通过第一节课的介绍，学生对这门课程有了基础的印象，了解了该课程的教学内容，以及数学课程的定位和作用。提高了对数学的学习兴趣。要求学生遵守纪律，尊重他人，时刻牢记自己的初心，争做“四有新人”
通过课前的预热，让学生了解所学科目的大概方向，激发学生的学习欲望。
激趣导入
（8min）
☞教师可进行自我介绍，谈有关学习数学的经历和相关感受。
【教师】从自己的教学理念、专长和对学生的期望等多方面介绍自己。点一部分学生自我介绍
【学生】自我介绍
阐明数学课程本学期的教学内容、教学规律、学习特点和考核要求。
考勤
教学重难点
教学重点：阐明本课程对于专业的重要性
教学难点：激发学生学习应用数学的兴趣
教学方法
讲授法、问答法、讨论法
教学用具
电脑、投影仪、多媒体课件、教材
教学设计
课前准备→课前任务→激趣导入（8min）→考勤（2min）→揭示课题传授新知（43min）→期初小测（30min）→课堂小结（5min）→课后拓展（2min）
2．通过学习与思考了解微积分发展史和常用的数学软件
思政育人目标：
使学生了解本课程的意义和作用，引发学生对本课程的学习兴趣；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的
教学过程
主要教学内容及步骤
设计意图
课前准备
【教师】通过辅导员，和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒学生准备
【学生】准备好教材、笔和笔记本等学习用品
新课准备
课前任务
【教师】通过文旌课堂APP或其他学习平台，布置课前问答题：
《高等数学》这门课是研究什么的？与初等数学有什么联系和区别？
【学生】提前上网搜索了解，查阅资料，了解《高等数学》这门课是研究什么的？与初等数学有什么联系和区别？熟悉教材
《应用高等数学（第2版）》教案
课时分配表
章序
课程内容
课 时
备 注
1
函数、极限与连续
16
2
一元函数微分学
18
3
一元函数积分学
14
4
微分方程与拉普拉斯变换
12
5
线性代数
10
6
MATLAB数学实验
12
合计
82
第
课题
学习应用高等数学
课时
2课时（90 min）
教学目标
知识技能目标：
1．使学生了解本课程在人才培养方案中意义和作用
本书配备了大量的微课视频，学生可以随时随地扫描二维码进行观看，巩固知识，加深理解
【教师】提出问题
现在我来问问大家为什么要学数学？数学有用吗？
【学生】学生回答
【教师】进行总结
大家回答得都很好，数学跟我们的生活息息相关。
【教师】鼓励学生（学数学不易，但千万别放弃）
这门课的每一章都精心设计了相关知识点的建模应用，融入数学建模的思想和方法，能够充分体现数学知识在各领域的广泛应用
实际生活中几乎所有东西都和数学有关。只要是清朝之前没有，现在有的东西，或多或少都归功于数学的发展。大到飞机，卫星，火箭，小到手机，电脑都需要用到大量的数学。现代几乎没有什么东西是不需要使用高等数学的知识。但数学是隐藏起来的，比如你是用一个软件是不需要懂数学的，但做这个软件的人要懂数学。所以很多人看不到数学的作用，而实际上如果没有高等数学，现在的人类就还是古代那样，顶多只能用一些简单的机械工具，而且精度很低
培养目标？
主要培养目标是培养学生的基本运算能力，熟悉和明确最基本的重要概念，在专业课的学习以及工作实践中起到基础性和工具的作用；二是进一步培养学生的数学素质，以提高学生的思维能力和逻辑表达能力
怎样学？
通过每节课引例导入的知识点，带着求知的心态去学习
通过阅读趣味材料进行拓展，发现数学的魅力和奥妙，提升对数学的学习兴趣
让学生使学生了解本课程在人才培养方案中意义和作用；使学生了解学习数学的作用和必要性，以及学习数学的基本方法。
期初小测
（30min）
教师将文旌课堂APP或其他学习平台中的测试试卷打开并让学生加入考试
【教师】首先做一套试卷测试一下大家的基础
【学生】做期初测试卷
了解学生的数学基础。
课堂小结
（5min）
【教师】简要总结说课要点
期末这门课程的考核方式？
在文旌课堂APP或其他学习平台的考试功能中进行考核
所选教材的优势有哪些？
本书内容分基础篇、拓展篇和实践篇，每个章节的安排上由易到难，逐步深入。在叙述上浅显易懂，注重数学概念的直观解释和数学思想方法的渗透，定理的表述也自然、简明，可让学生无障碍学习
（2min）
【教师】清点上课人数，记录好考勤
【学生】班干部ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ请假人员及原因
养成好的出勤习惯
揭示课题
传授新知
（43min）
【教师】介绍应用高等数学
这门课程学什么？
这门课程主要介绍了高等职业院校工科类及经济类相关专业所必需的数学知识以及利用这些知识解决实际问题的数学思想方法。主要内容有函数、极限与连续，一元函数微分学，一元函数积分学，微分方程与拉普拉斯变换，线性代数，MATLAB数学实验等
【学生】总结回顾知识点
总结知识点，巩固印象
课后拓展
（2min）
【教师】布置课后作业，预习第一章第一节，登录文旌课堂或其他学习平台查看相关知识链接
【学生】完成课后任务
延展知识面，多学科交叉学习
教学反思
本次课是新生的第一节应用数学课，通过第一节课的介绍，学生对这门课程有了基础的印象，了解了该课程的教学内容，以及数学课程的定位和作用。提高了对数学的学习兴趣。要求学生遵守纪律，尊重他人，时刻牢记自己的初心，争做“四有新人”
通过课前的预热，让学生了解所学科目的大概方向，激发学生的学习欲望。
激趣导入
（8min）
☞教师可进行自我介绍，谈有关学习数学的经历和相关感受。
【教师】从自己的教学理念、专长和对学生的期望等多方面介绍自己。点一部分学生自我介绍
【学生】自我介绍
阐明数学课程本学期的教学内容、教学规律、学习特点和考核要求。
考勤
教学重难点
教学重点：阐明本课程对于专业的重要性
教学难点：激发学生学习应用数学的兴趣
教学方法
讲授法、问答法、讨论法
教学用具
电脑、投影仪、多媒体课件、教材
教学设计
课前准备→课前任务→激趣导入（8min）→考勤（2min）→揭示课题传授新知（43min）→期初小测（30min）→课堂小结（5min）→课后拓展（2min）
2．通过学习与思考了解微积分发展史和常用的数学软件
思政育人目标：
使学生了解本课程的意义和作用，引发学生对本课程的学习兴趣；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的
教学过程
主要教学内容及步骤
设计意图
课前准备
【教师】通过辅导员，和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒学生准备
【学生】准备好教材、笔和笔记本等学习用品
新课准备
课前任务
【教师】通过文旌课堂APP或其他学习平台，布置课前问答题：
《高等数学》这门课是研究什么的？与初等数学有什么联系和区别？
【学生】提前上网搜索了解，查阅资料，了解《高等数学》这门课是研究什么的？与初等数学有什么联系和区别？熟悉教材
《应用高等数学（第2版）》教案
课时分配表
章序
课程内容
课 时
备 注
1
函数、极限与连续
16
2
一元函数微分学
18
3
一元函数积分学
14
4
微分方程与拉普拉斯变换
12
5
线性代数
10
6
MATLAB数学实验
12
合计
82
第
课题
学习应用高等数学
课时
2课时（90 min）
教学目标
知识技能目标：
1．使学生了解本课程在人才培养方案中意义和作用
本书配备了大量的微课视频，学生可以随时随地扫描二维码进行观看，巩固知识，加深理解
【教师】提出问题
现在我来问问大家为什么要学数学？数学有用吗？
【学生】学生回答
【教师】进行总结
大家回答得都很好，数学跟我们的生活息息相关。
【教师】鼓励学生（学数学不易，但千万别放弃）
这门课的每一章都精心设计了相关知识点的建模应用，融入数学建模的思想和方法，能够充分体现数学知识在各领域的广泛应用
实际生活中几乎所有东西都和数学有关。只要是清朝之前没有，现在有的东西，或多或少都归功于数学的发展。大到飞机，卫星，火箭，小到手机，电脑都需要用到大量的数学。现代几乎没有什么东西是不需要使用高等数学的知识。但数学是隐藏起来的，比如你是用一个软件是不需要懂数学的，但做这个软件的人要懂数学。所以很多人看不到数学的作用，而实际上如果没有高等数学，现在的人类就还是古代那样，顶多只能用一些简单的机械工具，而且精度很低
培养目标？
主要培养目标是培养学生的基本运算能力，熟悉和明确最基本的重要概念，在专业课的学习以及工作实践中起到基础性和工具的作用；二是进一步培养学生的数学素质，以提高学生的思维能力和逻辑表达能力
怎样学？
通过每节课引例导入的知识点，带着求知的心态去学习
通过阅读趣味材料进行拓展，发现数学的魅力和奥妙，提升对数学的学习兴趣
让学生使学生了解本课程在人才培养方案中意义和作用；使学生了解学习数学的作用和必要性，以及学习数学的基本方法。
期初小测
（30min）
教师将文旌课堂APP或其他学习平台中的测试试卷打开并让学生加入考试
【教师】首先做一套试卷测试一下大家的基础
【学生】做期初测试卷
了解学生的数学基础。
课堂小结
（5min）
【教师】简要总结说课要点