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《高数》数列极限课件PPT
定义与其他概念的关系
极限与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限 值等于该点的函数值，因此，函数的 连续性可以看作是极限的一种特殊情 况。
极限与可导性的关系
极限与积分的关系
积分是研究面积和体积的重要工具， 而积分的计算需要用到极限的概念。
可导性是指函数在某一点处的切线斜 率存在，而这个切线斜率可以通过函 数在该点的极限值来定义。
数列极限与其他数学概念的关系
数列极限与函数极限的关 系
函数极限是数列极限的一个特例，即当自变 量n趋于无穷大时，函数值趋于一个常数， 这个常数就是函数的极限值。函数极限和数 列极限有许多共同的性质和定理，如单侧极 限、连续性等。
数列极限与微积分学
微积分学中的许多概念都与数列极限有关， 如导数、定积分等。通过数列极限，我们可 以更好地理解这些概念的本质和性质。同时 ，微积分学中的许多问题也需要借助数列极
04
数列极限的应用
在数学分析中的应用
极限是数学分析的基本概念之一，数列极限在数学分析中有 着广泛的应用。通过研究数列极限，可以更好地理解函数的 变化趋势、导数和积分的定义和性质等。
数列极限在证明一些数学定理和推导数学公式中也有着重要 的作用。例如，利用数列极限可以证明实数的完备性定理、 级数收敛的判别法等。
数列极限的几何解释
数列极限的几何解释是通过图形直观 地理解数列收敛和发散的概念。在平 面坐标系中，我们可以绘制数列的图 像，通过观察图像的变化趋势来理解 数列的收敛性和发散性。
收敛数列的图像会趋近于一个固定的 点，而发散数列的图像则会远离这个 点。通过比较不同数列的图像，我们 可以更好地理解数列极限的性质和特 点。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理是数列极限存在的一个充分条件，它表明如果一个数列的项构成一个闭区 间套，则该数列收敛。
《高数》数列极限》课件
详细描述
几何级数是每一项都等于前一项乘以一个固 定比例的数列。数列极限的概念用于计算几 何级数的和，帮助我们了解这种数列的增长
趋势和规律。
05
数列极限的扩展知识
无穷级数的概念
要点一
无穷级数定义
无穷级数是无穷多个数按照一定顺序排列的数列，可以表 示为$sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中$a_n$是级数的项。
《高数》数列极限》ppt课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质与定理 • 数列极限的运算 • 数列极限的应用 • 数列极限的扩展知识
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当项数n无限增大时 ，数列的项无限趋近的数值。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序 性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在，则称该数列收敛。
单调有界定理
如果数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则 该数列收敛。
反例
举出一些不满足单调有界定理的数列，如无界且无周 期的数列等。
应用
单调有界定理在证明某些数学问题时具有重要应用， 如求函数的极值点等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
数列收敛的充要条件是对于任意 给定的正数$varepsilon$，存在 正整数$N$，使得当$n,m>N$时 ，有$|a_n - a_m|<varepsilon$ 。
幂级数求极限
幂级数求极限的方法
介绍如何利用幂级数的方法求极限，包 括将函数展开为幂级数，并利用幂级数 的性质求极限。
VS
举例说明
通过具体例子演示如何运用幂级数求极限 ，如求lim(x->0) (1+x)^1/x的极限值。
《高数基础知识》课件
05
CHAPTER
空间解析几何
空间直角坐标系是描述空。
空间直角坐标系
在空间直角坐标系中，点的位置可以用三个坐标来表示，这三个坐标分别对应于三个坐标轴。
点的坐标表示
在空间解析几何中，向量可以用三个坐标来表示，这三个坐标分别对应于三个坐标轴上的分量。
平面与直线的交点
如果一条直线和一个平面相交，那么它们的交点可以用直线和平面的方程联立求解得到。
平面与平面的交线
如果两个平面相交，那么它们的交线可以用两个平面的方程联立求解得到。
06
CHAPTER
多项式函数与插值法
多项式的定义
多项式是数学中一个基本概念，由一个或多个项通过加法或减法组合而成。
多项式的根
总结词
详细描述
总结词
掌握极限的四则运算法则，理解极限运算的基本方法
详细描述
极限的四则运算法则包括加减乘除和复合运算，是研究函数极限行为的基础。极限运算的基本方法包括利用极限的四则运算法则、等价无穷小替换、洛必达法则等，这些方法可以帮助我们求解各种极限问题，并进一步研究函数的性质和变化规律。
03
CHAPTER
样条插值法的应用
THANKS
感谢您的观看。
详细描述
总结词
高数的发展历程
详细描述
高数的发展可以追溯到17世纪，随着微积分学的发展，高数逐渐形成并完善。在18世纪和19世纪，高数的发展取得了巨大的进步，许多数学家如欧拉、高斯等都为高数的发展做出了杰出的贡献。
总结词
高数在日常生活和科学中的应用
详细描述
高数在日常生活和科学中有着广泛的应用。例如，在物理学中，高数被用于描述和解决力学、电磁学、光学等领域的问题；在经济学中，高数被用于研究金融、投资、贸易等问题；在工程学中，高数被用于设计、分析、优化各种系统和结构。
CHAPTER
空间解析几何
空间直角坐标系是描述空。
空间直角坐标系
在空间直角坐标系中，点的位置可以用三个坐标来表示，这三个坐标分别对应于三个坐标轴。
点的坐标表示
在空间解析几何中，向量可以用三个坐标来表示，这三个坐标分别对应于三个坐标轴上的分量。
平面与直线的交点
如果一条直线和一个平面相交，那么它们的交点可以用直线和平面的方程联立求解得到。
平面与平面的交线
如果两个平面相交，那么它们的交线可以用两个平面的方程联立求解得到。
06
CHAPTER
多项式函数与插值法
多项式的定义
多项式是数学中一个基本概念，由一个或多个项通过加法或减法组合而成。
多项式的根
总结词
详细描述
总结词
掌握极限的四则运算法则，理解极限运算的基本方法
详细描述
极限的四则运算法则包括加减乘除和复合运算，是研究函数极限行为的基础。极限运算的基本方法包括利用极限的四则运算法则、等价无穷小替换、洛必达法则等，这些方法可以帮助我们求解各种极限问题，并进一步研究函数的性质和变化规律。
03
CHAPTER
样条插值法的应用
THANKS
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详细描述
总结词
高数的发展历程
详细描述
高数的发展可以追溯到17世纪，随着微积分学的发展，高数逐渐形成并完善。在18世纪和19世纪，高数的发展取得了巨大的进步，许多数学家如欧拉、高斯等都为高数的发展做出了杰出的贡献。
总结词
高数在日常生活和科学中的应用
详细描述
高数在日常生活和科学中有着广泛的应用。例如，在物理学中，高数被用于描述和解决力学、电磁学、光学等领域的问题；在经济学中，高数被用于研究金融、投资、贸易等问题；在工程学中，高数被用于设计、分析、优化各种系统和结构。
高数导数与微分 ppt课件
(sec) tan x sec x
(csc) cot x cscx
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9
• 对数函数 • 指数函数
( log a
x)
1 x
log
a
e
(ln x) 1 (a e时) x
(a x ) a x ln a
(ex ) ex
ppt课件
10
导数的几何意义
• 函数 y = f(x)在点x0处的导数 f (x0) 表示曲 线 y = f(x)上点M（x0,f(x0)）的切线斜率 k,k = tan = f (x0 )
1处的连续性与可导性。
连续性 左极限=右极限=函数值
可导性 左导数=右导数
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17
第二节函数的和、差、积、商求导法则
一、函数的和、差、积、商的导数
定理2-2 （导数的四则运算的法则） 若函数u = u(x),v
= v(x)都是 x 的可导函数，则
（1）u v也是x的可导函数，且（u v） u v
导，且( y) 0 ，那么它的反函数 y f (x) 在对
应的区间内可导，且有
dy dx
1 dx
,
或f
(
x)
1
( y)
dy
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21
结论概括：反函数的导数等于它的原函数导 数的倒数 例2-21 求 y arcsinx 的导数 例2-22 求 y arctanx 的导数
ppt课件
22
基本初等函数的导数公式
lim y
x0 x
f (x0 x) f (x0 ) 存在，则称函数
x
y=
f(x)在点x0处可导，并称此极限为函数y =
f(x)在点x0处的导数，记做 f (x0) ，即
考研高数总复习函数的极限(讲义)PPT课件
无穷小是函数极限的必要条件，即如果函数在某点的极限存在，那么函数在该点的值必定是无穷小。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
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目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
高数课件PPT
算。
插值法的概念与应用
概念
插值法是一种数学方法，通过已知的 离散数据点，构造一个多项式函数， 使得该函数在已知数据点上的取值与 实际值相等。
应用
插值法在数学、物理、工程等领域有 广泛应用，如数据拟合、数值积分、 微分、求解方程等。
拉格朗日插值法与牛顿插值法
拉格朗日插值法
拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日多项式的插值方 法，通过构造一个拉格朗日多项式来逼近已知数据点 。该方法具有较好的数值稳定性和收敛性。
两个向量的点积等于它 们的模的乘积和它们夹 角的余弦值的乘积。
两个向量的叉积是一个 向量，其方向垂直于作 为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个 向量构成的平行四边形 的面积。
三个向量的混合积等于 它们构成的平行六面体 的体积。
两个向量的数量积等于 它们的模的乘积和它们 夹角的余弦值。
空间直角坐标系与向量的表示
详细描述
极限的运算规则包括极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等。这些规则能够帮助我们简化 极限的计算过程，提高计算的准确性和效率。在进行极限运算时，需要注意一些常见的错误，例如无 穷大与无穷小的混淆、未定式的误解等。
03
导数与微分
导数的定义与性质
导数的定义
01
导数描述了函数在某一点的斜率，即函数值随自变量变化的速
率。
单侧导数
02
在函数定义域的某一点，可以定义左侧或右侧的导数，表示函
数在该点的切线斜率。
导数的几何意义
03
导数在几何上表示函数图像在该点的切线斜率。
导数的运算规则
链式法则
对于复合函数的导数，链式法则是重要的运算规则，表示对复合 函数的内部函数求导后再乘以外部函数的导数。
插值法的概念与应用
概念
插值法是一种数学方法，通过已知的 离散数据点，构造一个多项式函数， 使得该函数在已知数据点上的取值与 实际值相等。
应用
插值法在数学、物理、工程等领域有 广泛应用，如数据拟合、数值积分、 微分、求解方程等。
拉格朗日插值法与牛顿插值法
拉格朗日插值法
拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日多项式的插值方 法，通过构造一个拉格朗日多项式来逼近已知数据点 。该方法具有较好的数值稳定性和收敛性。
两个向量的点积等于它 们的模的乘积和它们夹 角的余弦值的乘积。
两个向量的叉积是一个 向量，其方向垂直于作 为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个 向量构成的平行四边形 的面积。
三个向量的混合积等于 它们构成的平行六面体 的体积。
两个向量的数量积等于 它们的模的乘积和它们 夹角的余弦值。
空间直角坐标系与向量的表示
详细描述
极限的运算规则包括极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等。这些规则能够帮助我们简化 极限的计算过程，提高计算的准确性和效率。在进行极限运算时，需要注意一些常见的错误，例如无 穷大与无穷小的混淆、未定式的误解等。
03
导数与微分
导数的定义与性质
导数的定义
01
导数描述了函数在某一点的斜率，即函数值随自变量变化的速
率。
单侧导数
02
在函数定义域的某一点，可以定义左侧或右侧的导数，表示函
数在该点的切线斜率。
导数的几何意义
03
导数在几何上表示函数图像在该点的切线斜率。
导数的运算规则
链式法则
对于复合函数的导数，链式法则是重要的运算规则，表示对复合 函数的内部函数求导后再乘以外部函数的导数。
大一高数上_PPT课件_第一章
几个数集:
R表示所有实数构成的集合，称为实数集。
Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集。 子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集, 记 为AB（读作A包含于B）。 显然，N Z ，Z Q ，Q R 。
的上方。
y y=f(x) O x
y=K2
如果存在数 M,使对任一 xX，有 | f(x) |M， 则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在， 则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M ，总存在 x1X，使|f(x)|>M。 有界函数的图形特点： 函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M y 的之间。
高等数学研究的主要对象是函数，主要研 究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和 分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。 那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方 法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方 法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数 学的一个显著标志。 由于高等数学的研究对象和研究方法与初 等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出 以下显著特点：
周期函数的图形特点：
y
y=f(x)
-2l
-l
O
l
2l
x
四、反函数与复合函数
1. 反函数 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。 对于任一数值 yW，D上可以确定唯一数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按 照函数的定义就得到一个新的函数，这个 新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=f -1(y)。
什么样的函数存在反函数？
高数5pptppt课件
lim
?
x
3
sin(
x
3
)
[解] 作变换
x u,
则 x u
3
3
并且,当x 时, u 0
3Leabharlann 又 1 2cos x 1 2cos( u)
3
1 2(cos cos u sin sinu)
3
3
1 cos u 3 sinu
2024/3/30
13
1 cos x ( x) (高阶)
1 cos x 是x 的 2 阶无穷小量
2024/3/30
7
[例3]
tan x sin x
lim
x0
sin3 x
?
[解] lim tan x sin x x0 sin3 x
1 cos x
lim
x0
sin2 x
1 cos x
1 cos x
lim
x0
sin2 x
( x 2) 4
lim
x2 (2 x 1) 5
当x 2时,( x2 4)与(2x2 3x 2)是
同阶无穷小;( x2 4) ~ 4 (2x2 3x 2)
2024/3/30
5
5
[例2]
1 cos
lim
x0
x2
x
?
[解]
1 cos
lim
x0
x2
x
2 sin2
lim
x0
x2
x 2
一、无穷小量的比较
定义： 设 在 自 变 量 的 同 一 变 化过 程 中,
f ( x)与g( x)都 是 无 穷 小.
(1) 若 lim f ( x) A 0, 则 称 当x 时, x g( x)
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x 2 2) 2(2 2) 2 2
2x 1 3
6
3
.
10
【例 11】 若
lim
(
x2
1
-ax-b)=0,
求
a,b 的值。
x x 1
解：由于 x2 1 x 1 2 ，而 lim 2 0 ，所以
x 1
x 1 x x 1
原式= lim [(1-a)x-(b+1)]=0, 故 a=1,b= - 1。 x
(2)y (x 2)(4 x)
(3) y ln(x2 7x 12)
解：(1) x 2 (2) 2 x 4 (3) x<3 或 x>4 或表示为 x (,3) (4,)
Ex: f (x)
x 2 与 g(x)
x 1
x2
x 1 是否为同一函数？为什么？
.
3
【例 8】如图，三角形 ABC,底边 BC=b,高 AD=h,今在其中内
1 x
lim
x
sin 1
1 x
1
x
【例 7】lim arcsin x lim y 1
x0 x
y0 sin y
【例 8】证明：半径为 R 的圆的面积为R 2 。
证明：在圆内作内接正 n 边形，则其面积为
nR2
sin(
n
)
cos(
n
)
，
对其求极限，可得圆的面积为R2 。
.
14
1
【例 10】 lim (1 x) x e x0
【例 4】lim sin 3x 3 x0 sin 5x 5
解：因为 lim sin 3x 5x 3 3 x0 3x sin 5x 5 5
一般地有，lim sinx x0 sin x
【例
5】lim 1
cos
x
lim
2sin
2
(x) 2
1
x 0
x2
x0
x2
2
.
13
【例
6】 lim
x
x sin
(3) y ln(x2 7x 12)
解：(1) x 2 (2) 2 x 4 (3) x<3 或 x>4 或表示为 x (,3) (4,)
Ex: f (x)
x 2 与 g(x)
x 1
x2
x 1 是否为同一函数？为什么？
.
2
【例 2】求下列函数定义域
(1) y x2 1 x2 4
x 2
5x x2
2 4
，这可由 lim
x2
4
=0
及无穷大与无穷小的关系可得。
x2 5x 2
.
8
【例 4】
lim
x
4x3 3x4
2x 1
1
lim
x
4 x
2 x3
1 x4
3
1 x4
0
【例 5】
lim( 1 x1 1 x
1
3 x3
)
lim (x x11 x
2) x2
1
【例 6】
lim 1
【例 1】函数计算例子
1. 若 f (1) ( x 1)2，则 f (x) (1 x)2 xx
2. 若 f(x)=lnx，则有
(1).f(x)+f(y)=f(xy)
(2).f(x)-f(y)=f(x/y)
.
1
【例 2】求下列函数定义域
(1) y x2 1 x2 4
(2)y (x 2)(4 x)
销收入表示为台数 x 的函数。
解：
40x, F 4000 36(x 100),
4000 720,
0 x 100 100 x 120
x 120
.
6
Ex：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.函数
f
(x)
| x | sin( x x(x 1)(x
2) 2)2
在下列哪个区间内有界。
(A) (-1,0) (B) (0,1) (C) (1,2)
(D) (2,3)
2.设f(x)的定义域是[0,1]，求 f (x2 ) ，f(sinx)及f(x+1)的定义域。
3.设婴儿出生时体重平均为3000g，从出生至6个月，每月长600g,
从6个月后到12个月，每月长500g，试写出婴儿从出生到1岁其体
重与月龄的关系式并估计婴儿10个月时的体重。
3000 600x,0 x 6
解：|BC|=b, |AB|=a, |AM|= a2 x2 ,
|BM|=x ，|MC|=b-x ，0 x b
B
M
C
.
5
【例 10】设某产品年产 x 台，每台售价 40 元，当年产量在
100 以内可全销，当产量超过 100 时，经广告宣传可多售
20 台，每台广告费 4 元，若产量再高就销不出去，试将年
接一矩形 KLMN,其宽 LK=MN=x,试将矩形周长 P 和面积 S
表示为 x 的函数。
解：周长 P= 2 (xh+(h-x)b) , 0<x<h ;
A
h
面积
b
S=
(h-x)x , 0<x<h .
h
K
N
B LD M C
.
4
【例 9】有一工厂 A 与铁路的垂直距离为 a 公里，它的垂足 B 到火车站 C 的铁路长为 b 公里，工厂的产品必须经火车站 C 才能销往外地。已知汽车 运费是 m 元/吨公里，火车运费是 n 元/吨公里（n<m）,为使运费最省，想 在铁路上另修一个小站 M 作为转运站，那么运费的多少决定于 M 的地点。 试将运费 F 表为距离|BM|=x 的函数，如图（见下页）
【例 12】 lim x
x x
x 1
= lim x
1 1 x 1
1 1
x
.
11
【例 1】 证明： lim ( ... )
n n2 1
n2 n
证明：令原式为 yn ，则有
n
n2
n
yn
n
n2 1
又显然有
lim
n
n lim n
n2 n n n2 1
所以原极限为 。
.
12
【例 3】lim tan x 1 x0 x
(答案:1.A
3.
f
(x)
6600
500(x
.
6),6
x
12 ,f(10)=8600) 7
注：利用乘法法则，若 f(x) A,则( f (x))n An （n 为整数）。
【例 1】lim(3x2 2x 5) 13 x 2
【例
2】lim x 3
2x2 x 1 x2 5
20 4
5
【例
3】
lim
解：令
1 x
y
，原式=
lim (1
y
1)y y
e
【例
11】
lim (1
x
3)x x
e3
解：原式=
lim [(1
x
1 x
)
x 3
]3
e3 ，
3
一般化：
lim (1
x
a )bx x
eab
（公式：a,b 为实数）
.
15
【例
12】 lim (1
2)
x 3
2
e3
x x
而且，上述公式对 m,n 为任何实数均成立（以后证明）。
n
2
... n2
n
lim
n
1 2
n(n 1) n2
1 2
.
9
【例 7】
lim
n
(1 1 2
1 23
1 n(n
) 1)
?
解：
lim
n
(1
1 2
1 2
1 3
1 n
n
1
) 1
1
【例 8】lim x 4
2x 13 ? x2 2
解： 利用平方差公式，原式化为
原式=lim x 4
(2x 1 9)( (x 2 2)