微积分(下册)主要知识点汇总

微积分(下册)主要知识点汇总一、第一换元积分法（凑微分法）：对于形如$\int g[\phi(x)]\phi'(x)dx$的积分，可以令$u=\phi(x)$，则$du=\phi'(x)dx$，将原式转化为$\int g(u)du$的形式，然后进行积分，最后再将$u$用$\phi(x)$表示回去，即可得到结果$\int g[\phi(x)]\phi'(x)dx=F[\phi(x)]+C$。

二、常用凑微分公式：1.积分类型换元公式：int x^\mu(x^\mu-1)f(x)dx=\int x^\mu d(x^{\mu-1})$$当$\mu\neq 1$时成立。

int x^3f(\ln x)dx=\int x^3d(\ln x)=\int x^3\frac{1}{x}dx$$int e^xf(e^x)dx=\int e^xd(e^x)=e^xf(e^x)$$int_a^b f(x)dx=\int_{\ln a}^{\ln b}f(e^t)e^tdt$$当$a,b>0$时成立。

int \frac{f(\sin x)\cos x}{\sqrt{1-\sin^2 x}}dx=\int f(\sin x)d(\cos x)$$int \frac{f(\cos x)\sin x}{\sqrt{1-\cos^2 x}}dx=-\int f(\cos x)d(\sin x)$$int \frac{f(\tan x)}{\cos^2 x}dx=\int f(\tan x)d(\tan x)$$int \frac{f(\cot x)}{\sin^2 x}dx=-\int f(\cot x)d(\cot x)$$int f(\arctan x)\frac{1}{1+x^2}dx=\int f(t)dt$$int f(\arcsin x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\int f(t)dt$$三、第二换元法：对于形如$\int f(x)dx=\intf[\psi(t)]\psi'(t)dt=F(t)+C=F[\phi(x)]+C$的积分，可以令$\psi(t)=x$，则$\psi'(t)dt=dx$，将原式转化为$\intf[\psi(t)]\psi'(t)dt$的形式，然后进行积分，最后再将$t$用$\phi(x)$表示回去，即可得到结果。

四、积分表续：4.3 分部积分法：分部积分公式：int u dv=uv-\int v du$$iint u v' dx=uv-\iint u'v dx$$分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数（或微分）的逆运算。

一般地，下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法（其中$m,n$都是正整数）：x^n\sin mx,\ e^nx\sin mx,\ x^n e^{-mx},\ x^n\arcsin mx$$x^n\cos mx,\ e^nx\cos mx,\ x^n\ln x,\ x^n\arccos mx,\x^n\arctan mx\text{ 等}$$5.1 定积分的概念：定积分是对函数在一个区间上的面积进行的精确计算。

具体地，设$f(x)$在区间$[a,b]$上有定义，则$f(x)$在$[a,b]$上的定积分为：int_a^b f(x)dx=\lim_{\Delta x\to 0}\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i$$其中$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，$\Delta x=\max\{\Deltax_i\}$，$x_i^*\in[x_{i-1},x_i]$。

5.2 定积分的性质：1.线性性质：$\int_a^b [f(x)+g(x)]dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^b g(x)dx$，$\int_a^b kf(x)dx=k\int_a^b f(x)dx$，其中$k$为常数。

2.区间可加性质：$\int_a^b f(x)dx+\int_b^c f(x)dx=\int_a^c f(x)dx$。

3.积分中值定理：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则存在$c\in(a,b)$，使得$\int_a^b f(x)dx=f(c)(b-a)$。

4.积分保号性：若$f(x)$在$[a,b]$上非负，则$\int_a^bf(x)dx\geq 0$。

5.积分中值不等式：若$f(x)$和$g(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)\geq g(x)$，则$\int_a^b f(x)dx\geq \int_a^b g(x)dx$。

a) 当$a<b$时，$\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^bf(x)dx$，其中$c$为$a$和$b$之间的任意常数。

b) 当$a>b$时，$\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx$。

c) $\int_a^b [f(x)\pm g(x)]dx=\int_a^b f(x)dx\pm\int_a^bg(x)dx$。

d) $\int_a^b kf(x)dx=k\int_a^b f(x)dx$，其中$k$为常数。

e) $\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx$，其中$c$为区间$[a,b]$上的任意常数。

f) 性质：$\int_a^b dx=x\big|_a^b=b-a$。

g) 推论1：若在区间$[a,b]$上$f(x)\leq g(x)$，则$\int_a^b f(x)dx\leq\int_a^b g(x)dx$。

h) 推论2：若在区间$[a,b]$上$f(x)\geq 0$，则$\int_a^bf(x)dx\geq 0$。

i) $\int_a^b f(x)dx\leq\int_a^b |f(x)|dx$，其中$a<b$。

j) 估值定理：设$M$和$m$分别是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的最大值和最小值，则$m(b-a)\leq\int_a^b f(x)dx\leq M(b-a)$。

k) 定积分中值定理：如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则在$[a,b]$上至少存在一个点$\xi$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)$。

二、积分上限的函数及其导数：$\Phi(x)=\int_a^x f(t)dt$。

定理2：若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则函数$\Phi(x)=\int_a^x f(t)dt$在$[a,b]$上可导，且$\Phi'(x)=f(x)$。

三、XXX—莱布尼茨公式：若函数$F(x)$是连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数，则$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$。

四、定积分的换元公式：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，函数$x=\phi(t)$满足条件：（1）$\phi(\alpha)=a$，$\phi(\beta)=b$，且$a\leq\phi(t)\leq b$；（2）$\phi(t)$在$[\alpha,\beta]$（或$[\beta,\alpha]$）上具有连续导数，则有$\int_a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f[\phi(t)]\phi'(t)dt$。

在应用定积分的换元公式时，要注意用$x=\phi(t)$把变量$x$换成新变量$t$时，积分限也要换成相应于新变量$t$的积分限，且上限对应于上限，下限对应于下限。

二、定积分的分部积分法分部积分法是求解定积分的一种常用方法。

其基本公式为：int_{a}^{b}u(x)v'(x)dx=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}u'(x)v(x)dx$或者int_{a}^{b}u(x)v'(x)dx=-\int_{a}^{b}v(x)du(x)+[u(x)v(x)]_{a}^{b}$其中，$u(x)$和$v(x)$是可导函数。

三、广义积分广义积分是指积分区间为无穷大或积分函数在某些点上无定义的积分。

对于无穷限的广义积分，有以下公式：int_{a}^{+\infty}f(x)dx=F(x)|_{a}^{+\infty}=lim_{t\rightarr ow +\infty}F(t)-F(a)$int_{-\infty}^{b}f(x)dx=F(x)|_{-\infty}^{b}=lim_{t\rightarrow -\infty}F(b)-F(t)$对于无界函数的广义积分，可以使用极限的方法进行求解。

四、定积分的几何应用定积分在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用。

其中，微元法是一个常用的方法，其主要步骤为：1）由分割写出微元，选取一个积分变量，并确定其变化区间。

2）由微元写出积分，表示总量。

在应用微元法解决实际问题时，需要注意所求总量关于区间应具有可加性，并且需要正确给出部分量的近似表达式，使得其可以近似等于微元。

在平面图形的面积计算中，可以使用直角坐标系下或极坐标系下的公式进行计算。

在极坐标系下，面积公式为$\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)d\theta$。

1.求解曲边扇形的面积公式为A = ∫[φ(θ)]dθ。

2.曲边扇形的面积微元为dA =。

3.旋转体是由一个平面图形绕平面内的一条直线旋转一周而成的立体，这条直线称为旋转轴。

4.旋转体的体积微元为dV = π[f(x)]dx，所求旋转体的体积为V =。

5.如果一个立体不是旋转体，但是知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算，体积微元为dV = A(x)dx，所求立体的体积为V =∫A(x)dx。

6.积分在经济分析中有着广泛的应用。

7.空间直角坐标系由x轴、y轴、z轴构成，它们相互垂直，统称为坐标轴。

8.空间两点间的距离公式为|M1M2| = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2]。

9.曲面是空间直角坐标系中的图形，方程F(x,y,z) = 0称为曲面的方程。

10.平面可以用三元一次方程Ax + By + Cz + D = 0来表示。

11.柱面是由某定直线和沿定曲线移动的直线形成的轨迹，定曲线称为柱面的准线，动直线称为柱面的母线。

12.二次曲面是由二次方程F(x,y,z) = 0所表示的曲面。

在空间直角坐标系中，我们可以使用平面截割法来研究曲面的形状。

这种方法通过一系列平行于坐标面的平面截割曲面，得到平面与曲面的交线（即截痕），并综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌。