数理统计之区间估计(ppt 50页)
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的点 x 为X的概率分布的上 分位数.
自由度为n1,n2的
F分布的上 分
位数 F (n1, n2 )
书末附有 分2 布、t 分布、F分布的上侧
分位数表，供使用. 需要注意的事项在教 材上有说明.
至于如何由标准正态分布函数表查表 求得分位数，若你对分布函数定义熟悉的 话，这个问题不难解决.
现在回到置信区间题目上来.
4. 对于给定的置信水平1 ，根据S(T, )
的分布，确定常数a, b，使得
P(a ≤S(T, )≤b)= 1 5. 对“a≤S(T, )≤b”作等价变形,得到如下 形式: P{ˆ1 ˆ2} 1
则[ˆ1,ˆ2 ]就是 的100(1 )％的置信区间.
可见，确定区间估计很关键的是要寻找
一个待估参数 和估计量T 的函数S(T, ), 且S(T,)的分布为已知, 不依赖于任何未知
在求置信区间时，要查表求分位数.
教材180页已经给出了概率分布的上侧分位数 （分位点）的定义，为便于应用，这里我们 再简要介绍一下.
设0< <1, 对随机变量X，称满足 P( X x )
的点 x 为X的概率分布的上 分位数.
设0< <1, 对随机变量X，称满足
P( X x )
的点 x 为X的概率分布的上 分位数.
也可简记为
X
n u 2
从例1解题的过程，我们归纳出求置 信区间的一般步骤如下:
1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间?
置信水平 1 是多少?
2. 寻找参数 的一个良好的点估计
T (X1,X2,…Xn)
3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数
S(T, ),且其分布为已知.
称S(T, )为枢轴量.
若我们能给出一个区间，在此区间 内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.
也就是说，我们希望确定一个区间，使我
们能以比较高的可靠程度相信它包含真参
数值.
湖中鱼数的真值
[• ]
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作1 ，这里 是一个
ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
可见，
对参数 作区间估计，就是要设法找出
两个只依赖于样本的界限(构造统计量)
ˆ1 ˆ1(X1,…Xn) ˆ2 ˆ2(X1,…Xn)
(ˆ1 ˆ2 )
一旦有了样本，就把 估计在区间[ˆ1,ˆ2 ]
内. 这里有两个要求:
1. 要求 以很大的可能被包含在区间[ˆ1,ˆ2 ]
内，就是说，概率P{ˆ1 ˆ2}要尽可能大.
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间
长度 ˆ2 ˆ1 尽可能短，或能体现该要求的其
它准则. 可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度.
二、置信区间的求法
例1 设X1,…Xn是取自N (, 2 )的样本， 2已知,
单个正态总体均值 和方差 2的区间估计.
一、 置信区间定义：
设 是 一个待估参数，给定 0,
若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量
ˆ1 ˆ1( X1, X2,, Xn),ˆ2 ˆ2( X1, X2,, Xn)
(ˆ1 ˆ2 ) 满足 P{ˆ1 ˆ2} 1
则称区间 [ˆ1,ˆ2 ]是 的置信水平（置信度、
置信概率）为 1 的置信区间.
求参数 的置信度为 1 的置信区间.
解： 选明确的问点题估,是计求为什么X参数的寻置找信未区知间参? 数的
取
U
X
置信水平是多少？一个良好估计.
~N(0, 1)
n
寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.
有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.
对于给定的置信水平(大概率), 根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平.
我们选取未知参数的某个估计量 ˆ，根 据置信水平1 ，可以找到一个正数 ，
使得 P{| ˆ | } 1 称 为ˆ 与 之间的误差限 . 只要知道 ˆ 的概率分布，确定误差限并不难.
由不等式 |ˆ | 可以解出 ： ˆ ˆ
这个不等式就是我们所求的置信区间.
下面我们就来正式给出置信区间的定义, 并通过例子说明求置信区间的方法.
引言
前面，我们讨论了参数点估计. 它 是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个 近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷 .
譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若 我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极 大似然估计为1000条. 实际上，N的真值可能大于1000条， 也可能小于1000条.
参数 (这样我们才能确定一个大概率区间).
而这与总体分布有关，所以，总体分布的 形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.
这里，我们主要讨论总体分布为正态 的情形. 若样本容量很大，即使总体分布 未知，应用中心极限定理，可得总体的近 似分布，于是也可以近似求得参数的区间 估计.
教材上讨论了以下几种情形：
对给定的置信水平1 ,
查正态分布表得 u 2,
使
P{|
X
n
|
u
2} 1
为什么 这样取？
对给定的置信水平1 ,
查正态分布表得 u 2,
使
P{|
X
n
|
u
2}
1
从中解得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P{X
n u 2
X
n
u
2}
1
P{X
n u 2
X
n u 2}
1
于是所求 的 置信区间为
[ X n u 2, X n u 2 ]
标准正态分布的
上 分位数 u
例如:
u0.05 1.645
u0.025 1.96
设0< <1, 对随机变量X，称满足
P( X x )
的点 x 为X的概率分布的上 分位数.
自由度为n的
2分布的上
分位数 2 (n)
例如:
02.025(3) 9.348
02.975(3) 0.216
设0< <1, 对随机变量X，称满足 P( X x )
很小的正数.
置信水平的大小是根据实际需要选定的.
例如，通常可取置信水平1 =0.95或0.9等.
根据一个实际样本，由给定的置信水平，我
们求出一个尽可能小的区间 [ˆ1,ˆ2 ]，使
P{ˆ1 ˆ2} 1
称区间 [ˆ1,ˆ2 ]为 的 置信水平为1 的
置信区间.
寻找置信区间的方法,一般是从确定 误差限入手.
自由度为n1,n2的
F分布的上 分
位数 F (n1, n2 )
书末附有 分2 布、t 分布、F分布的上侧
分位数表，供使用. 需要注意的事项在教 材上有说明.
至于如何由标准正态分布函数表查表 求得分位数，若你对分布函数定义熟悉的 话，这个问题不难解决.
现在回到置信区间题目上来.
4. 对于给定的置信水平1 ，根据S(T, )
的分布，确定常数a, b，使得
P(a ≤S(T, )≤b)= 1 5. 对“a≤S(T, )≤b”作等价变形,得到如下 形式: P{ˆ1 ˆ2} 1
则[ˆ1,ˆ2 ]就是 的100(1 )％的置信区间.
可见，确定区间估计很关键的是要寻找
一个待估参数 和估计量T 的函数S(T, ), 且S(T,)的分布为已知, 不依赖于任何未知
在求置信区间时，要查表求分位数.
教材180页已经给出了概率分布的上侧分位数 （分位点）的定义，为便于应用，这里我们 再简要介绍一下.
设0< <1, 对随机变量X，称满足 P( X x )
的点 x 为X的概率分布的上 分位数.
设0< <1, 对随机变量X，称满足
P( X x )
的点 x 为X的概率分布的上 分位数.
也可简记为
X
n u 2
从例1解题的过程，我们归纳出求置 信区间的一般步骤如下:
1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间?
置信水平 1 是多少?
2. 寻找参数 的一个良好的点估计
T (X1,X2,…Xn)
3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数
S(T, ),且其分布为已知.
称S(T, )为枢轴量.
若我们能给出一个区间，在此区间 内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.
也就是说，我们希望确定一个区间，使我
们能以比较高的可靠程度相信它包含真参
数值.
湖中鱼数的真值
[• ]
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作1 ，这里 是一个
ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
可见，
对参数 作区间估计，就是要设法找出
两个只依赖于样本的界限(构造统计量)
ˆ1 ˆ1(X1,…Xn) ˆ2 ˆ2(X1,…Xn)
(ˆ1 ˆ2 )
一旦有了样本，就把 估计在区间[ˆ1,ˆ2 ]
内. 这里有两个要求:
1. 要求 以很大的可能被包含在区间[ˆ1,ˆ2 ]
内，就是说，概率P{ˆ1 ˆ2}要尽可能大.
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间
长度 ˆ2 ˆ1 尽可能短，或能体现该要求的其
它准则. 可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度.
二、置信区间的求法
例1 设X1,…Xn是取自N (, 2 )的样本， 2已知,
单个正态总体均值 和方差 2的区间估计.
一、 置信区间定义：
设 是 一个待估参数，给定 0,
若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量
ˆ1 ˆ1( X1, X2,, Xn),ˆ2 ˆ2( X1, X2,, Xn)
(ˆ1 ˆ2 ) 满足 P{ˆ1 ˆ2} 1
则称区间 [ˆ1,ˆ2 ]是 的置信水平（置信度、
置信概率）为 1 的置信区间.
求参数 的置信度为 1 的置信区间.
解： 选明确的问点题估,是计求为什么X参数的寻置找信未区知间参? 数的
取
U
X
置信水平是多少？一个良好估计.
~N(0, 1)
n
寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.
有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.
对于给定的置信水平(大概率), 根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平.
我们选取未知参数的某个估计量 ˆ，根 据置信水平1 ，可以找到一个正数 ，
使得 P{| ˆ | } 1 称 为ˆ 与 之间的误差限 . 只要知道 ˆ 的概率分布，确定误差限并不难.
由不等式 |ˆ | 可以解出 ： ˆ ˆ
这个不等式就是我们所求的置信区间.
下面我们就来正式给出置信区间的定义, 并通过例子说明求置信区间的方法.
引言
前面，我们讨论了参数点估计. 它 是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个 近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷 .
譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若 我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极 大似然估计为1000条. 实际上，N的真值可能大于1000条， 也可能小于1000条.
参数 (这样我们才能确定一个大概率区间).
而这与总体分布有关，所以，总体分布的 形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.
这里，我们主要讨论总体分布为正态 的情形. 若样本容量很大，即使总体分布 未知，应用中心极限定理，可得总体的近 似分布，于是也可以近似求得参数的区间 估计.
教材上讨论了以下几种情形：
对给定的置信水平1 ,
查正态分布表得 u 2,
使
P{|
X
n
|
u
2} 1
为什么 这样取？
对给定的置信水平1 ,
查正态分布表得 u 2,
使
P{|
X
n
|
u
2}
1
从中解得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P{X
n u 2
X
n
u
2}
1
P{X
n u 2
X
n u 2}
1
于是所求 的 置信区间为
[ X n u 2, X n u 2 ]
标准正态分布的
上 分位数 u
例如:
u0.05 1.645
u0.025 1.96
设0< <1, 对随机变量X，称满足
P( X x )
的点 x 为X的概率分布的上 分位数.
自由度为n的
2分布的上
分位数 2 (n)
例如:
02.025(3) 9.348
02.975(3) 0.216
设0< <1, 对随机变量X，称满足 P( X x )
很小的正数.
置信水平的大小是根据实际需要选定的.
例如，通常可取置信水平1 =0.95或0.9等.
根据一个实际样本，由给定的置信水平，我
们求出一个尽可能小的区间 [ˆ1,ˆ2 ]，使
P{ˆ1 ˆ2} 1
称区间 [ˆ1,ˆ2 ]为 的 置信水平为1 的
置信区间.
寻找置信区间的方法,一般是从确定 误差限入手.