数理统计之区间估计(ppt 50页)
若我们能给出一个区间，在此区间 内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.
也就是说，我们希望确定一个区间，使我
们能以比较高的可靠程度相信它包含真参
数值.
湖中鱼数的真值
[• ]
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作1 ，这里 是一个
参数 (这样我们才能确定一个大概率区间).
而这与总体分布有关，所以，总体分布的 形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.
这里，我们主要讨论总体分布为正态 的情形. 若样本容量很大，即使总体分布 未知，应用中心极限定理，可得总体的近 似分布，于是也可以近似求得参数的区间 估计.
教材上讨论了以下几种情形：
的点 x 为X的概率分布的上 分位数.
自由度为n1,n2的
F分布的上 分
位数 F (n1, n2 )
书末附有 分2 布、t 分布பைடு நூலகம்F分布的上侧
分位数表，供使用. 需要注意的事项在教 材上有说明.
至于如何由标准正态分布函数表查表 求得分位数，若你对分布函数定义熟悉的 话，这个问题不难解决.
现在回到置信区间题目上来.
对给定的置信水平1 ,
查正态分布表得 u 2,
使
P{|
X
n
|
u
2} 1
为什么 这样取？
对给定的置信水平1 ,
查正态分布表得 u 2,
使
P{|
X
n
|
u
2}
1
从中解得
P{X
n u 2
X
n
u
2}
1
P{X
n u 2
X
n u 2}
1
于是所求 的 置信区间为
[ X n u 2, X n u 2 ]
也可简记为
X
n u 2
从例1解题的过程，我们归纳出求置 信区间的一般步骤如下:
1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间?
置信水平 1 是多少?
2. 寻找参数 的一个良好的点估计
T (X1,X2,…Xn)
3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数
S(T, ),且其分布为已知.
称S(T, )为枢轴量.
标准正态分布的
上 分位数 u
例如:
u0.05 1.645
u0.025 1.96
设0< <1, 对随机变量X，称满足
P( X x )
的点 x 为X的概率分布的上 分位数.
自由度为n的
2分布的上
分位数 2 (n)
例如:
02.025(3) 9.348
02.975(3) 0.216
设0< <1, 对随机变量X，称满足 P( X x )
单个正态总体均值 和方差 2的区间估计.
引言
前面，我们讨论了参数点估计. 它 是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个 近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷 .
譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若 我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极 大似然估计为1000条. 实际上，N的真值可能大于1000条， 也可能小于1000条.
内，就是说，概率P{ˆ1 ˆ2}要尽可能大.
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间
长度 ˆ2 ˆ1 尽可能短，或能体现该要求的其
它准则. 可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度.
二、置信区间的求法
例1 设X1,…Xn是取自N (, 2 )的样本， 2已知,
ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
可见，
对参数 作区间估计，就是要设法找出
两个只依赖于样本的界限(构造统计量)
ˆ1 ˆ1(X1,…Xn) ˆ2 ˆ2(X1,…Xn)
(ˆ1 ˆ2 )
一旦有了样本，就把 估计在区间[ˆ1,ˆ2 ]
内. 这里有两个要求:
1. 要求 以很大的可能被包含在区间[ˆ1,ˆ2 ]
求参数 的置信度为 1 的置信区间.
解： 选明确的问点题估,是计求为什么X参数的寻置找信未区知间参? 数的
取
U
X
置信水平是多少？一个良好估计.
~N(0, 1)
n
寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.
有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.
对于给定的置信水平(大概率), 根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平.
很小的正数.
置信水平的大小是根据实际需要选定的.
例如，通常可取置信水平1 =0.95或0.9等.
根据一个实际样本，由给定的置信水平，我
们求出一个尽可能小的区间 [ˆ1,ˆ2 ]，使
P{ˆ1 ˆ2} 1
称区间 [ˆ1,ˆ2 ]为 的 置信水平为1 的
置信区间.
寻找置信区间的方法,一般是从确定 误差限入手.
一、 置信区间定义：
设 是 一个待估参数，给定 0,
若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量
ˆ1 ˆ1( X1, X2,, Xn),ˆ2 ˆ2( X1, X2,, Xn)
(ˆ1 ˆ2 ) 满足 P{ˆ1 ˆ2} 1
则称区间 [ˆ1,ˆ2 ]是 的置信水平（置信度、
置信概率）为 1 的置信区间.
4. 对于给定的置信水平1 ，根据S(T, )
的分布，确定常数a, b，使得
P(a ≤S(T, )≤b)= 1 5. 对“a≤S(T, )≤b”作等价变形,得到如下 形式: P{ˆ1 ˆ2} 1
则[ˆ1,ˆ2 ]就是 的100(1 )％的置信区间.
可见，确定区间估计很关键的是要寻找
一个待估参数 和估计量T 的函数S(T, ), 且S(T,)的分布为已知, 不依赖于任何未知
在求置信区间时，要查表求分位数.
教材180页已经给出了概率分布的上侧分位数 （分位点）的定义，为便于应用，这里我们 再简要介绍一下.
设0< <1, 对随机变量X，称满足 P( X x )
的点 x 为X的概率分布的上 分位数.
设0< <1, 对随机变量X，称满足
P( X x )
的点 x 为X的概率分布的上 分位数.
我们选取未知参数的某个估计量 ˆ，根 据置信水平1 ，可以找到一个正数 ，
使得 P{| ˆ | } 1 称 为ˆ 与 之间的误差限 . 只要知道 ˆ 的概率分布，确定误差限并不难.
由不等式 |ˆ | 可以解出 ： ˆ ˆ
这个不等式就是我们所求的置信区间.
下面我们就来正式给出置信区间的定义, 并通过例子说明求置信区间的方法.
也就是说，我们希望确定一个区间，使我
们能以比较高的可靠程度相信它包含真参
数值.
湖中鱼数的真值
[• ]
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作1 ，这里 是一个
参数 (这样我们才能确定一个大概率区间).
而这与总体分布有关，所以，总体分布的 形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.
这里，我们主要讨论总体分布为正态 的情形. 若样本容量很大，即使总体分布 未知，应用中心极限定理，可得总体的近 似分布，于是也可以近似求得参数的区间 估计.
教材上讨论了以下几种情形：
的点 x 为X的概率分布的上 分位数.
自由度为n1,n2的
F分布的上 分
位数 F (n1, n2 )
书末附有 分2 布、t 分布பைடு நூலகம்F分布的上侧
分位数表，供使用. 需要注意的事项在教 材上有说明.
至于如何由标准正态分布函数表查表 求得分位数，若你对分布函数定义熟悉的 话，这个问题不难解决.
现在回到置信区间题目上来.
对给定的置信水平1 ,
查正态分布表得 u 2,
使
P{|
X
n
|
u
2} 1
为什么 这样取？
对给定的置信水平1 ,
查正态分布表得 u 2,
使
P{|
X
n
|
u
2}
1
从中解得
P{X
n u 2
X
n
u
2}
1
P{X
n u 2
X
n u 2}
1
于是所求 的 置信区间为
[ X n u 2, X n u 2 ]
也可简记为
X
n u 2
从例1解题的过程，我们归纳出求置 信区间的一般步骤如下:
1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间?
置信水平 1 是多少?
2. 寻找参数 的一个良好的点估计
T (X1,X2,…Xn)
3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数
S(T, ),且其分布为已知.
称S(T, )为枢轴量.
标准正态分布的
上 分位数 u
例如:
u0.05 1.645
u0.025 1.96
设0< <1, 对随机变量X，称满足
P( X x )
的点 x 为X的概率分布的上 分位数.
自由度为n的
2分布的上
分位数 2 (n)
例如:
02.025(3) 9.348
02.975(3) 0.216
设0< <1, 对随机变量X，称满足 P( X x )
单个正态总体均值 和方差 2的区间估计.
引言
前面，我们讨论了参数点估计. 它 是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个 近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷 .
譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若 我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极 大似然估计为1000条. 实际上，N的真值可能大于1000条， 也可能小于1000条.
内，就是说，概率P{ˆ1 ˆ2}要尽可能大.
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间
长度 ˆ2 ˆ1 尽可能短，或能体现该要求的其
它准则. 可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度.
二、置信区间的求法
例1 设X1,…Xn是取自N (, 2 )的样本， 2已知,
ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
可见，
对参数 作区间估计，就是要设法找出
两个只依赖于样本的界限(构造统计量)
ˆ1 ˆ1(X1,…Xn) ˆ2 ˆ2(X1,…Xn)
(ˆ1 ˆ2 )
一旦有了样本，就把 估计在区间[ˆ1,ˆ2 ]
内. 这里有两个要求:
1. 要求 以很大的可能被包含在区间[ˆ1,ˆ2 ]
求参数 的置信度为 1 的置信区间.
解： 选明确的问点题估,是计求为什么X参数的寻置找信未区知间参? 数的
取
U
X
置信水平是多少？一个良好估计.
~N(0, 1)
n
寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.
有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.
对于给定的置信水平(大概率), 根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平.
很小的正数.
置信水平的大小是根据实际需要选定的.
例如，通常可取置信水平1 =0.95或0.9等.
根据一个实际样本，由给定的置信水平，我
们求出一个尽可能小的区间 [ˆ1,ˆ2 ]，使
P{ˆ1 ˆ2} 1
称区间 [ˆ1,ˆ2 ]为 的 置信水平为1 的
置信区间.
寻找置信区间的方法,一般是从确定 误差限入手.
一、 置信区间定义：
设 是 一个待估参数，给定 0,
若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量
ˆ1 ˆ1( X1, X2,, Xn),ˆ2 ˆ2( X1, X2,, Xn)
(ˆ1 ˆ2 ) 满足 P{ˆ1 ˆ2} 1
则称区间 [ˆ1,ˆ2 ]是 的置信水平（置信度、
置信概率）为 1 的置信区间.
4. 对于给定的置信水平1 ，根据S(T, )
的分布，确定常数a, b，使得
P(a ≤S(T, )≤b)= 1 5. 对“a≤S(T, )≤b”作等价变形,得到如下 形式: P{ˆ1 ˆ2} 1
则[ˆ1,ˆ2 ]就是 的100(1 )％的置信区间.
可见，确定区间估计很关键的是要寻找
一个待估参数 和估计量T 的函数S(T, ), 且S(T,)的分布为已知, 不依赖于任何未知
在求置信区间时，要查表求分位数.
教材180页已经给出了概率分布的上侧分位数 （分位点）的定义，为便于应用，这里我们 再简要介绍一下.
设0< <1, 对随机变量X，称满足 P( X x )
的点 x 为X的概率分布的上 分位数.
设0< <1, 对随机变量X，称满足
P( X x )
的点 x 为X的概率分布的上 分位数.
我们选取未知参数的某个估计量 ˆ，根 据置信水平1 ，可以找到一个正数 ，
使得 P{| ˆ | } 1 称 为ˆ 与 之间的误差限 . 只要知道 ˆ 的概率分布，确定误差限并不难.
由不等式 |ˆ | 可以解出 ： ˆ ˆ
这个不等式就是我们所求的置信区间.
下面我们就来正式给出置信区间的定义, 并通过例子说明求置信区间的方法.
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数理统计之区间估计(ppt 50页)
很小的正数.
置信水平的大小是根据实际需要选定的.
例如，通常可取置信水平1 =0.95或0.9等.
根据一个实际样本，由给定的置信水平，我
们求出一个尽可能小的区间 [ˆ1,ˆ2]，使
P {ˆ1ˆ2}1
称区间 [ˆ1,ˆ2]为 的 置信水平为1 的
置信区间.
寻找置信区间的方法,一般是从确定 误差限入手.
教材上讨论了以下几种情形：
单个正态总体均值和方差 2的区间估计.
两个正态总体均值差 1 2和方差比
的区间估计.
2 1 2 2
比例 p 的区间估计.
下面我们举几个例子，其余部分请自己看.
休息片刻继续
例2 已知某地区新生婴儿的体重X~N(,2),
, 2未知,
…
随机抽查100个婴儿 得100个体重数据 X1,X2,…,X100
相应的置信区间平均长度越长.
也就是说，要想得到的区间估计可靠 度高，区间长度就长，估计的精度就差. 这是一对矛盾.
实用中应在保证足够可靠的前提下， 尽量使得区间的长度短一些 .
例3 某单位要估计平均每天职工的总医疗费， 观察了30天,其总金额的平均值是170元，标准 差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值 的区间估计（置信水平为0.95）.
(ˆ1 ˆ2) 满足
P {ˆ1ˆ2}1
则称区间 [ˆ1,ˆ2]是 的置信水平（置信度、
置信概率）为 1 的置信区间.
ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
可见，
对参数 作区间估计，就是要设法找出
两个只依赖于样本的界限(构造统计量)
ˆ1 ˆ1(X1,…Xn) ˆ2 ˆ2(X1,…Xn)
下面我们就来正式给出置信区间的定义, 并通过例子说明求置信区间的方法.
置信水平的大小是根据实际需要选定的.
例如，通常可取置信水平1 =0.95或0.9等.
根据一个实际样本，由给定的置信水平，我
们求出一个尽可能小的区间 [ˆ1,ˆ2]，使
P {ˆ1ˆ2}1
称区间 [ˆ1,ˆ2]为 的 置信水平为1 的
置信区间.
寻找置信区间的方法,一般是从确定 误差限入手.
教材上讨论了以下几种情形：
单个正态总体均值和方差 2的区间估计.
两个正态总体均值差 1 2和方差比
的区间估计.
2 1 2 2
比例 p 的区间估计.
下面我们举几个例子，其余部分请自己看.
休息片刻继续
例2 已知某地区新生婴儿的体重X~N(,2),
, 2未知,
…
随机抽查100个婴儿 得100个体重数据 X1,X2,…,X100
相应的置信区间平均长度越长.
也就是说，要想得到的区间估计可靠 度高，区间长度就长，估计的精度就差. 这是一对矛盾.
实用中应在保证足够可靠的前提下， 尽量使得区间的长度短一些 .
例3 某单位要估计平均每天职工的总医疗费， 观察了30天,其总金额的平均值是170元，标准 差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值 的区间估计（置信水平为0.95）.
(ˆ1 ˆ2) 满足
P {ˆ1ˆ2}1
则称区间 [ˆ1,ˆ2]是 的置信水平（置信度、
置信概率）为 1 的置信区间.
ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
可见，
对参数 作区间估计，就是要设法找出
两个只依赖于样本的界限(构造统计量)
ˆ1 ˆ1(X1,…Xn) ˆ2 ˆ2(X1,…Xn)
下面我们就来正式给出置信区间的定义, 并通过例子说明求置信区间的方法.
区间估计 (3)ppt课件
当两样本为成对资料时，在置信度为P＝1- α 时，两总体平均数差数µ 1-µ 2的置信区间可估 计为：
0+1.96x
临界值
u x
P ( 1 . 96 x 1 . 96 ) 0 . 95 x x
P ( x 1 . 96 ) P ( x 1 . 96 ) 0 . 05 x x
P ( 2 . 58 x 2 . 58 ) 0 . 99 x x
当为大样本时，不论总体方差σ2为已 知或未知，可以利用样本平均数 x 和总体 方差σ2作出置信度为P＝1-α的中体平均数 的区间估计为：
( L x u , L x u ) 1 2 x x
其置信区间的下限L1和上限L2为
L u 1 x x
L u 2 x x
总体平均数的点估计L为：
L x tsx
tа为正态分布下置信度P＝1－ α时的t临界值
蛋白质含量的点估计为：
L x u 14 . 5 1 . 96 0 . 50 14 . 5 0 . 98 x
说明小麦蛋白质含量有95％的把握落在13.52％～ 15.48％的区间里。
P ( x 2 . 58 ) P ( x 2 . 58 ) 0 . 01 x x
P ( x 1 . 96 x 1 . 96 ) 0 . 95 x x
P ( x 2 . 58 x 2 . 58 ) 0 . 99 x x
总体平均数的点估计未知时，
σ2需由样本方差s2来估计，于是置信度为P
＝1-α的总体平均数μ的置信区间可估计为
( x t s , x t s ) x x
区间估计ppt课件
极端值处理问题
剔除极端值
在数据分析前，对极端值进行识别和处理，如采用箱线图、Zscore等方法剔除异常值。
转换数据
对数据进行适当的转换，如对数转换、平方根转换等，使极端值的 影响减小。
使用稳健统计量
采用对极端值不敏感的稳健统计量进行区间估计，如中位数、截尾 均值等。
多重比较问题
控制比较次数
在实验设计和数据分析阶段，合理控制比较次数，避免不必要的 多重比较。
02
抽样分布与中心极限定理
抽样分布概念及类型
抽样分布概念
从总体中随机抽取一定数量的样本，统计量的分布称为抽样分布。
常见抽样分布类型
正态分布、t分布、F分布、卡方分布等。
中心极限定理内容及应用
中心极限定理内容
当样本量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的分布将近似于正态分布。
中心极限定理应用
在统计学中，中心极限定理是推断统计的理论基础，常用于区间估计、假设检验 等。
构造方法
根据样本均值、标准差和样本量，结 合正态分布或t分布的性质，可以构造 出总体均值的置信区间。
比例p置信区间构建方法
二项分布与比例估计
01
当总体服从二项分布时，样本比例是总体比例的一个良好估计
量。
置信区间的构造
02
利用样本比例、样本量和二项分布的性质，可以构造出总体比
例的置信区间。
注意事项
03
配对样本t检验原理及应用
原理
配对样本t检验是通过比较同一组样本在不同条件下的均值差异来检验两个总体均值是否存在显著差 异的方法。其原假设为两个总体均值相等，备择假设为两个总体均值不等或大于/小于另一个总体均 值。
应用
配对样本t检验适用于前后测量、两种处理方法等配对设计的数据分析。例如，在医学领域，可以通过 配对样本t检验来比较同一种药物在不同剂量下的疗效差异；在教育领域，可以通过配对样本t检验来 比较同一种教学方法在不同班级中的教学效果差异。
4.4区间估计-18页PPT资料
§4.6 区间估计
引例 已知 X ~ N ( ,1),
的点估计为
X
常数
随机变量
不同样本算得的 的估计值不同， 因此除了给出 的点估计外, 还希望根据
所给的样本确定一个随机区间, 使其包含 参数真值的概率达到指定的要求.
定义 设总体X的分布函数F(x；)含有未知参 数，对于给定值（0< <1),若由样本X1, …, Xn
确定的两个统计量 , 使
P { }1 *
则称随机区间 ( , ) 为的置信度为1的置信区间
,和分别称为置1信 度 的为 置信上限和置 。信
注：F(x;)也可换成概率密度或分布律。
如引例中，要找一个区间,使其包含 的
真值的概率为0.95. ( 设 n = 5 )
观 测 x1， 值 ， xn， 推 （ 2求或 ） 的 置 信 区 间 。
1.假定已知，
引 进 r.v 21 2 n(X i u )2~2(n ) 1
令 p { 1 2 - / 2 ( n ) 2 2 / 2 ( n ) } 1
n
n
(Xiu)2
例2:抽取10个滚珠的直径（单位：mm）14.6，15.0， 14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8。并 且滚珠服从正态分布（u， 2），并且未知，求滚珠 直径均值u的置信水平为0.95的置信区间。
解：未知时,的置信度为1的置信区间为
(XSnt/2(n1),XSnt/2(n1)。
s/ n
1-
令 p {T t/2 (n 1 ) }1 ， t2(n1) 0
t (n1) 2
即得
p { X t /2 ( n 1 ) S n X t /2 ( n 1 ) S n } 1
引例 已知 X ~ N ( ,1),
的点估计为
X
常数
随机变量
不同样本算得的 的估计值不同， 因此除了给出 的点估计外, 还希望根据
所给的样本确定一个随机区间, 使其包含 参数真值的概率达到指定的要求.
定义 设总体X的分布函数F(x；)含有未知参 数，对于给定值（0< <1),若由样本X1, …, Xn
确定的两个统计量 , 使
P { }1 *
则称随机区间 ( , ) 为的置信度为1的置信区间
,和分别称为置1信 度 的为 置信上限和置 。信
注：F(x;)也可换成概率密度或分布律。
如引例中，要找一个区间,使其包含 的
真值的概率为0.95. ( 设 n = 5 )
观 测 x1， 值 ， xn， 推 （ 2求或 ） 的 置 信 区 间 。
1.假定已知，
引 进 r.v 21 2 n(X i u )2~2(n ) 1
令 p { 1 2 - / 2 ( n ) 2 2 / 2 ( n ) } 1
n
n
(Xiu)2
例2:抽取10个滚珠的直径（单位：mm）14.6，15.0， 14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8。并 且滚珠服从正态分布（u， 2），并且未知，求滚珠 直径均值u的置信水平为0.95的置信区间。
解：未知时,的置信度为1的置信区间为
(XSnt/2(n1),XSnt/2(n1)。
s/ n
1-
令 p {T t/2 (n 1 ) }1 ， t2(n1) 0
t (n1) 2
即得
p { X t /2 ( n 1 ) S n X t /2 ( n 1 ) S n } 1
3-33区间估计-PPT课件
解：已知Ｘ~N(，102)，n = 25, 1- = 95%， u1-/2=1.96。根据样本数据计算得： 。由于是正态总体，且方差已知。总 x 105 . 36 体均值 在 1- 置信水平下的置信区间为
xu 1 2
Байду номын сангаас
10 105 .36 1 .96 n 25 105 .36 3 .92 101 .44 ,109 .28
2 2 ( n 1 ) S ( n 1 ) S 2 , 2 ( n 1 ) ( n 1 ) 1 2 2 注：两边开方即得到 的置信区间
( 3 )
(4) 当 已知时, 方差 2 的 置信区间（这种情况在实际中很少 ） 2 n X 2 i ~ (n ) ， 由概率 取枢轴量 Q
α(0< α <1)，对任意的θΘ,有
ˆ P { } 1 L
则称 ˆ L 是θ 的置信水平为 1- α的(单侧)置信下限.
ˆ ˆ( 定义4: 设 是统计量, 若对给定的 ,..., X ) U UX 1 n
α(0<α<1), 对任意的θΘ, 有
ˆ} P { 1 U
总体方差的区间估计 (例题分析)
【例 3 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从 某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量 如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以 95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间 。
解:已知n＝25，1-＝95% ,根据样本数据计算得 s2 =93.21
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
五. 总体比率的置信区间 (大样本)
• 总体比率 Population Proportion : p ˆ • 样本比率 Sample Proportion: p 如果是大样本，则：
区间估计与统计指数ppt课件
42
第九章 统计指数
【例】计算销售总额的变动并对其进行因素分析。
计 商品 量 名称 单
位
甲米
销售量
基期 报告期
Q0 Q1
1000 2000
价格（元）
基期 报告期
P 0 P1
8
7
乙
公 斤
3000
4000
6
5
丙 个 5000 6000 10
9
合计 — —
—
—
—
销售额（元）
Q 0 P0
8000
Q1 P1
47
二、抽样组织设计
(一)简单随机抽样
简单随机抽样，也称纯随机抽样，它是按照随机 原则直接从总体N个单位中抽取容量为n个单位的样 本。
纯随机抽样的取样方法:
① 直接抽取法 ② 抽签法
③ 随机数表法
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48
(二)分层抽样
分层抽样又叫分类抽样（stratified sampling）或类 型抽样。它是按与调查目的有关的某个主要标志将总体 划分为若干层（或类），然后从各层中按随机原则分别 抽取一定数目的单位构成样本。
第七章 抽样与抽样分布
2013.10.21
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1
内容框架
内容框架
一、抽样分布定理
大样本时总体均值的估计
小样本时总体均值的估计
二、区间估计
大样本时总体均值的区间估计
小样本时总体可编均辑课值件PPT的区间估计
2
回顾：中心极限定理
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3
一、抽样分布定理
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4
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5
一、抽样分布定理
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数理统计(区间估计)
数理统计
例2 设总体 X ~ N ( , 2 ), X1, X2,…, Xn为 总体的样本, 求 , 2 的矩法估计量.
解 ˆ矩 X
ˆ2矩1
n
n i1
Xi2
X2
例3 设总体 X ~ E(), X1, X2,…, Xn为总体的 样本, 求 的矩法估计量.
解 E(X)1/, 令 X 1 / .
2）求出 ˆ1,ˆ2, ,ˆk , 使得
L ( x 1 ,x 2 , ,x n ;ˆ 1 ,ˆ 2 , ,ˆ k )
( 1 , m 2 , , k ) { L ( x a 1 ,x 2 , x ,x n ;1 ,2 , ,k )}
数理统计
若 L是 1, ,k的可微函数,解似然方程组
解 总体 X 的概率分布为
P ( X x ) p x ( 1 p ) 1 x ,x 0 , 1
设 x1, x2,…, xn为总体样本X1, X2,…, Xn 的样本值,
则 P ( X 1 x 1 , X 2 x 2 , , X n x n )
n
n
xi
n xi
pi1 (1p) i1 L(p) x i 0 ,1 ,i 1 ,2 , ,n
则称 1, ,k 为1,…, k 的极大似然估计值
数理统计
显然，
ˆr g (x 1 ,x 2 , ,x n ) r 1 ,2 , ,k
称统计量
ˆ r g (X 1 ,X 2 , ,X n ) r 1 ,2 , ,k
为1, 2,…, k 的极大似然估计量
求最大似然估计(MLE)的一般步骤
(1) 由总体分布导出样本的联合分布律(或联合 密度);
1( X 1, X 2 , , X n ) 2 ( X 1, X 2 , , X n )
数理统计课件 2.4.1--2.4.3区间估计
12.4 区间估计一、 区间估计的概念参数的点估计是用θ的一个估计值),,(ˆ1n x x θ估计未知参数θ.优点： 简便、直观缺点：没有反映估计的精确度，也未给出估计值的偏差范围。
为了弥补点估计的不足，可采用另一种估计方式—－区间估计。
定义2.11. 设总体X 的分布函数为θθ),,(x F 为未知参数，),,,(21n X X X 是来自总体X 的样本。
如果存在两个统计量),,,(ˆˆ2111n X X X θθ=,),,,(ˆˆ2122n X X X θθ=，对于给定的(01)αα<<，使得αθθθ−=<<1}ˆˆ{21P (2.33) 则称区间(1ˆθ,2ˆθ)为参数θ的置信度为α−1的置信区间，1ˆθ称为置信下限，2ˆθ称为置信上限。
所谓θ的区间估计，就是要在给定α值的前提下，去寻找两个统计量1ˆθ和2ˆθ，使其满足式(2.33)。
如何寻找θ的置信区间？2下面给出寻求未知参数θ的置信区间的一般步骤： 寻求未知参数θ的置信区间的一般步骤：(1). 设法找到一个包含样本1(,,)n X X …和待估参数θ的函数12(,,,;)n U U X X X θ= ，除θ外U 不含其他未知参数，U 的分布可求出且与θ无关； (2). 对于给定的置信度α−1,由等式{}1P c U d α<<=−适当地确定两个常数c, d ；(3). 求解不等式 12(,,,;)n c U d θ<ΧΧΧ<得 1ˆθ12212ˆ(,,,)(,,,)n n θθΧΧΧ<<ΧΧΧ 从而有1ˆ{P θ12212ˆ(,,,)(,,,)}1n nθθαΧΧΧ<<ΧΧΧ=− 故（1ˆθ,2ˆθ）就是所求的置信区间。
二、数学期望的置信区间1、已知DX ，求EX 的置信区间设总体X 服从正态分布N(µ,2σ)，其中2σ已知。
现求总体均值µ的置信区间.设12,,,n ΧΧΧ 是来自总体X 的样本，自然用X 对µ作为点估计，因为，2(,)nN σµΧ∼故3X U =由正态分布表（附表1）可知，对于给定的α，存在一个值2u α，使得 2{||}1P U u αα<=−这里2u α是标准正态分布的α/2上侧分位数。
概率论与数理统计课件--区间估计
1 2
2
得2的区间估计为
n
Xi 2
i1
,
2 (n)
2
n
Xi
2
i 1
2 (n)
1 2
小结
总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 假设置信水平为1- （4）均值未知，对方差的区间估计
构造2-统计量，查2-分布临界值表，
确定2的双侧分位数 2 (n 1), 2 (n 1)
1 2
2
解 （1）由矩法估计得EX的点估计值为
E¶X x 1 14.6 15.114.9 14.8 15.2 15.1 14.95
6
续解 （2）由题设知X~N（，0.06）
构造U-统计量，得EX的置信区间为
X
u
2
n , X u 2
n
而 x 14.95, 0.06 0.1
n6
当=0.05时，u0.025 1.96
9.22910000 92290 （公斤）
最多准备
10.77110000 107710 （公斤）
正态总体均值已知，对方差的区间估计
如果总体X~N（，2），其中已知，2未知
由 Xi ~ N (0,1) 构造2-统计量
n
2
n i1
X
i
2
i 1
Xi 2
2
~ 2 (n)
查2- 分布表，确定双侧分位数 2 (n), 2 (n)
区间估计的思想
点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量， 区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个 区间范围。
引例 设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，1002），现 随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370， 1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为
最新课件第十一部分区间估计
为了弥补这些不足，我们希望估计出一个范围，并知道 该范围包含真实值的可靠程度.这样的范围通常以区间的形式 给出，同时还要给出该区间包含参数θ真实值的可靠程度.这 种形式的估计称之为区间估计.
第一节 置信区间
对于给定值 (0< <1), 若由样本 (X1, X 2,, X n ) 确定的 统计量 ( X1, X 2,, X n ) , 对于任意 满足
n
n
的 1-置信区 [X-间 kσ,为 Xk： σ]
n
n
第二节 正态总体下的置信区间
单个正态总体N(μ,σ2)的情形
2. σ2未知时
用S*作的估计
1
2
t0
2
t0
得到枢轴函数为 , T n(X S*)~t(n1)
取 kt1-/2(n1), P(T | |k)1
的 1 -置信[X 区 -1 t 2(n 间 1 )S n *,X 为 t1 2(n ： 1 )S n *]
二、方差的估计（方差σ2的置信区间）
X1,X2,…,Xn为取自N(μ,σ2)的样本,求σ2的1-α置信区间
1. μ已知时
σ2
1n ni1(Xi
)2是2的点估计， 2 且 n22
~2(n)
因此2是枢轴函数 , 容易找 a到 b使 , 得
P(a2b)1
一 此般 时a 取 对 2的 χ1 α 2 2(-应 n 置 )的 χ ,1 2 b 信 α 2(n区 )[χ1 n 2 σ α 间 (2n,χ n )为 α 2 σ (2n ])：
布. (3)对给定的置信度1 ，根据 G( X1, X 2 ,, X n; )
的分布定出分位点 a 和 b，使得
Pa G( X1, X 2 ,, X n ) b 1
第一节 置信区间
对于给定值 (0< <1), 若由样本 (X1, X 2,, X n ) 确定的 统计量 ( X1, X 2,, X n ) , 对于任意 满足
n
n
的 1-置信区 [X-间 kσ,为 Xk： σ]
n
n
第二节 正态总体下的置信区间
单个正态总体N(μ,σ2)的情形
2. σ2未知时
用S*作的估计
1
2
t0
2
t0
得到枢轴函数为 , T n(X S*)~t(n1)
取 kt1-/2(n1), P(T | |k)1
的 1 -置信[X 区 -1 t 2(n 间 1 )S n *,X 为 t1 2(n ： 1 )S n *]
二、方差的估计（方差σ2的置信区间）
X1,X2,…,Xn为取自N(μ,σ2)的样本,求σ2的1-α置信区间
1. μ已知时
σ2
1n ni1(Xi
)2是2的点估计， 2 且 n22
~2(n)
因此2是枢轴函数 , 容易找 a到 b使 , 得
P(a2b)1
一 此般 时a 取 对 2的 χ1 α 2 2(-应 n 置 )的 χ ,1 2 b 信 α 2(n区 )[χ1 n 2 σ α 间 (2n,χ n )为 α 2 σ (2n ])：
布. (3)对给定的置信度1 ，根据 G( X1, X 2 ,, X n; )
的分布定出分位点 a 和 b，使得
Pa G( X1, X 2 ,, X n ) b 1