数理统计研究生【精选】
研究生数理统计第三章习题答案
习 题 三1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量()24.55,0.108XN .现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化()0.05α=？ 解 由题意知，()24.55,0.108XN ，5n =，511 4.3645i i x x ===∑，0.05α=，()5220110.095265i i s x μ==-=∑.1)当00.108σ=时，①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时，0.975121.96uu α-==，临界值121.960.0947c α-===， 拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->.③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化.2)当0 4.55μ=时，①设统计假设2222220010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值()()()()222210.02520.975122111150.1662,5 2.566655c n c n n n ααχχχχ-======， 拒绝域为222202122220000{}{2.56660.1662}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③202200.095268.16700.108sK σ==∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即均值没有改变时，总体方差有显著变化.2.一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件，得其均值950x h =.该种元件寿命()2,100XN μ，问这批元件是否合格()0.05α=？解 由题意知，()2,100XN μ，25n =，950x =，0.05α=，0100σ=.①设统计假设0010:1000,:1000H H μμμμ≥=<=. ②当0.05α=时，0.05 1.65u u α==-，临界值()1.6533c α==-=-， 拒绝域为000{}{33}K x c x μμ=-<=-<-.③00950100050x K μ-=-=-∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为这批元件不合格. 3.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准质量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其质量分别为510,505,498,503,492,502,497,506,495〔单位：g1)机器工作是否正常()0.05α=？2)能否认为这批罐头质量的方差为25.5()0.05α=？解 设X 表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量〔单位：g 〕.由题意知()2500,XN σ，方差2σ未知. 9n =，911500.88899i i x x ===∑，0.05α=，()()222111133.6111118nni i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑，()52201130.66679i i s x μ==-=∑1)①设统计假设0010:500,:500H H μμμμ==≠=.②()()0.9751218 2.306tn t α--==，临界值()121 2.306 4.4564c n α-=-==，拒绝域为000{}{ 4.4564}K x c x μμ=->=->.③00500.88895000.8889x K μ-=-=∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即认为机器工作正常.2)当0500μ=时，①设统计假设2222220010: 5.5,: 5.5H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值()()()()222210.02520.975122111190.3,9 2.113399c n c n n n ααχχχχ-======，拒绝域为222202122220000{}{2.11330.3}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③2022030.66671.013785.5sK σ==∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即为这批罐头质量的方差为25.5.4.某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为()3.399元/500克，标准差为()0.269元/500克.往年的平均售价一直稳定 ()3.25元/500克左右，问该市场当前的鸡蛋售价是否明显高于往年()0.05α=？解 由题意知，()23.25,XN σ，20n =， 3.399x =，0.05α=，0.269s =.①设统计假设0010: 3.25,: 3.25H H μμμμ≤=>=. ②当0.05α=时，()()10.95119 1.729t n t α--==，临界值()11 1.7290.1067c n α-=-==， 拒绝域为000{}{0.1067}K x c x μμ=->=->③003.399 3.250.149x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为市场当前的鸡蛋售价是明显高于往年. 5.某厂生产的维尼纶纤度()2,0.048XN μ，某日抽测8根纤维，其纤度分别为1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,,1.50,1.44,1.39，问这天生产的维尼纶纤度的方差2σ是否明显变大了()0.05α=？ 解 由题意知()2,0.048XN μ，8n =，811 1.421258i i x x ===∑，0.05α=，()()22211110.0122118nni i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑.①设统计假设2222220010:0.048,:0.048H H σσσσ==>=. ②当0.05α=时，临界值()()2210.951117 2.0117c n n αχχ-=-==-，拒绝域为2202200{}{ 2.01}s s K c σσ=>=>.③202200.012215.29950.048s K σ==∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即这天生产的维尼纶纤度的方差2σ明显变大了.6.某种电子元件，要求平均寿命不得低于2000h ，标准差不得超过130h .现从一批该种元件中抽取25个，测得寿命均值为1950h ，标准差148s h =.设元件寿命服从正态分布。
研究生-数理统计课后答案参考
, i 1, 2, , n
解
由已知条件得： Yi ~ B(1, p) ，其中 p 1 FX ( ) .
因为 X i 互相独立，所以 Yi 也互相独立，再根据二项分布的可加性，有
Y ~ B(n, p) ， p 1 F
i 1 i
n
X
( ) .
9 设 X1 ,, X n 是来自总体 X 的样本，试求 EX , DX , ES 2 。假设总体的分布为： 1） X ~ B( N , p); 2) X ~ P( ); 3) X ~ U [a, b]; 4) X ~ N ( ,1);
解
n 2 2 2 E Xi X E (n 1) S (n 1) ES i 1 (n 1) DX (n 1) 2
2 (n 1) S 2 n 2 4 D X i X D ( n 1) S D 2 i 1
试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形. 解
图 1.2 数据直方图
它近似服从均值为 172，方差为 5.64 的正态分布，即 N (172,5.64) . 4 设总体 X 的方差为 4，均值为 ，现抽取容量为 100 的样本，试确定常数 k，使得 满足 P( X k ) 0.9 .
2）对总体 X ~ P( )
P( X 1 x1 , X 2 x2 , X 3 x3 , X 4 x4 , X 5 x5 ) P( X i xi )
i 1 i 1 n 5
x
i
xi !
e
5xBiblioteka x !i 1 i5
e 5
其中： x
数理统计考研复试题库及答案
数理统计考研复试题库及答案一、选择题1、设随机变量 X 的概率密度为 f(x) ＝ 2x, 0 ＜ x ＜ 1，则 P{02 ＜X ＜ 08} ＝（）A 06B 04C 032D 016答案：C解析：P{02 ＜ X ＜ 08} ＝∫02,08 2x dx ＝ x^2|02,08 ＝ 064 004 ＝062、设 X₁, X₂,， Xₙ 是来自正态总体 N(μ, σ²) 的样本，样本均值为X，样本方差为 S²，则（）A Xμ ～ N(0, 1)B n(Xμ) ／σ ～ N(0, 1)C （Xμ) ／（S ／√n) ～ t(n 1)D （n 1)S²／σ² ～χ²(n 1)答案：D解析：根据抽样分布的性质，（n 1)S²／σ² ～χ²(n 1)3、设总体 X 服从参数为λ 的泊松分布，X₁, X₂,， Xₙ 是来自总体 X 的样本，则λ 的矩估计量为（）A XB S²C 2XD 1 ／X答案：A解析：由 E(X) ＝λ ，且样本矩等于总体矩，可得λ 的矩估计量为X。
4、对于假设检验问题 H₀: μ ＝μ₀，H₁: μ ≠ μ₀，给定显著水平α ，若检验拒绝域为｜Z| ＞zα/2 ，其中 Z 为检验统计量，当 H₀成立时，犯第一类错误的概率为（）A αB 1 αC α/2D 1 α/2答案：A解析：第一类错误是指 H₀为真时拒绝 H₀，犯第一类错误的概率即为显著水平α 。
5、设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从标准正态分布 N(0, 1) ，则 Z ＝ X²＋ Y²服从（）A 正态分布B 自由度为 2 的χ² 分布C 自由度为 1 的χ² 分布D 均匀分布答案：B解析：因为 X 和 Y 相互独立且都服从标准正态分布，所以 Z ＝ X²＋ Y²服从自由度为 2 的χ² 分布。
数理统计(研究生课程)：第一章基本概念与抽样分布
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总体（理论分布） ？ 样本 样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总 体的情况---总体分布F(x)的性质. 样本是联系二者的桥梁
总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是 样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断 总体.
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实际上，样本的分布与总体分布的关系如下 定理1. 若总体的分布函数为F(x)，则其简单随 机样本的联合分布函数为
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30. 经验分布函数Fn(x)与总体分布函数F(x)的关系
格列汶科(Glivenko)定理：
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三、 抽样分布
统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随 机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定 的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布” . 精确抽样分布 (小样本问题中使用) 抽样分布 渐近分布
性质1. 由大数定 律可知 大样本条件下，一次抽样后样本均值、方差可 作为总体的均值、方差的近似。 一般地，抽样分为大样本和小样本问题。
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性质 2.
证
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推论
证
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3. 次序统计量 (1). 定义
即：X(k)的取值x(k)为(x(1) ,…,x(n) )按从小到大的 次序重新排列后第k个位置的数，
查表P259页表2.
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(4).F ~ F(m,n)
查表P366页表5.
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例1
解
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例2
解
数理统计答案(研究生)
x a y 100
sx s y
2 2
1 n
i
yi y
2
2
1 5
[( 8) ( 6 ) 3 5 6 ] 0 3 4
2 2 2 2 2
3.设X1,X2,…,Xn是参数为的泊松分布的母体 的一个子样，是子样平均数，试求E X 和 X D 。 p ( ), E x E ( 1 x ) 1 E x 1 n x n n n 解：
2 2 1 2 3 4 5 6
1
1
2
3
Z1
N (0,1),
Z1
2
3 3 Z 2 X 4 X 5 X 6 亦服从N(0,3)且与Z1相互独立
Z2 3
2
2 2
1 (1)
2
N (0,1),
Z2 3
2
(1)
2
且与 相互独立。由 分布可加性，
2
Z1 3
Z2 3
1 3
L
i 1
n
i 1
n
e
( xi )
为了使L达到最大， 尽可能大，而＾
i
i
ln L ( x i n ),
d ln L d
0无 解
x i n 0，尽可能小，
x i , m in x i x (1)
1 i n
12设母体X服从正态分布 N ( ,1), ( X 1 , X 2 ) 是 从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三 个估计量 2 1 （1）＾ X 1 X 2 1
0
1
13研究生数理统计习题部分解答
12研究生数理统计习题部分解答第六章 抽样分布1． （1994年、数学三、选择）设),,,(21n X X X 是来自总体),(2σμN 的简单随机样本，X 是样本均值，记22121)(11∑=--=i i X X n S ，22122)(1∑=-=i i X X n S ，22123)(11∑=--=i i X n S μ，22124)(1∑=-=i i X n S μ则服从自由度1-n 的t 分布的随机变量是=T （ ）。
A .11--n S X μB .12--n S X μC .nS X 3μ-D .nS X 4μ-[答案：选B ]当2212)(11∑=--=i i X X n S 时，服从自由度1-n 的t 分布的随机变量应为 =T nSX μ-A 、由222121)(11S X X n S i i =--=∑=，111--=--=n S X n S X T μμ 而不是nSX T μ-=B 、由212221221)(111)(1S nn X X n n n X X n S n i ii i -=--⋅-=-=∑∑== nSX n S X n S X T nn μμμ-=--=--=∴-1112。
2． （1997年、数学三、填空）设随机变量Y X ,相互独立，均服从)3,0(2N 分布且91,,X X 与91,,Y Y 分别是来自总体Y X ,的简单随机样本，则统计量292191Y Y X X U ++++= 服从参数为（ ）的（）分布。
[答案：参数为（9）的（t ）分布]解：由Y X ,相互独立，均服从)3,0(2N 分布，又91,,X X 与91,,Y Y 分别来自总体Y X ,，可知91,,X X 与91,,Y Y 之间均相互独立，均服从分布)3,0(2N因而)39,0(~291⨯∑=N X i i ，)1,0(~9191N X X i i ∑==，)1,0(~3N Y i ，)9(~32912χ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛i i Y ，且∑==9191i i X X 与∑=⎪⎭⎫⎝⎛9123i i Y 相互独立，因而()292191912919123919191Y Y X X YXXi ii ii Y i ii ++++==∑∑∑∑==== 服从参数为9的t 分布。
数理统计 (研究生课程) ：第三章 假设检验
必须认为这个差异反映了事物的本质差别，即反映 了生产已不正常.
这种差异称作 “系统误差”
正确
第二类错误
人们总希望犯这两类错误的概率越小越好，但 对样本容量一定时，不可能使得犯这两类错误的 概率都很小。 往往是先控制犯第一类错误的概率在一定限度 内，再考虑尽量减小犯第二类错误的概率。
即： 较小的 (0,1) 使得 P{拒绝H0|H0为真}≤ ,
然后减小P{接受H0|H0不真} 犯两类错误的概率:
如发现不正常，就应停产，找出原因，排除 故障，然后再生产；如没有问题，就继续按规定 时间再抽样，以此监督生产，保证质量.
很明显，不能由5罐容量的数据，在把握不大 的情况下就判断生产 不正常，因为停产的损失是 很大的.
当然也不能总认为正常，有了问题不能及时 发现，这也要造成损失.
如何处理这两者的关系，假设检验面对的就 是这种矛盾.
如果H0不成立，但统计量的实测 值未落入否定域，从而没有作出否定 H0的结论，即接受了错误的H0，那就 犯了“以假为真”的错误 . “取伪错误” 这两类错误出现的可能性是不可能排除的。 原因在于：由样本推导总体
假设检验的两类错误
实际情况 H0为真 H0不真 第一类错误 正确
决定 拒绝H0 接受H0
在上面的例子的叙述中，我们已经初步介绍 了假设检验的基本思想和方法 .
基于概率反证法的逻辑的检验： 如果小概率事件在一次试验中居然发生， 我们就以很大的把握否定原假设.
研究生数理统计(重交)1-2章
检验假设： H0 : ~ N (, 2 )
二、假设检验的基本思想
·提出假设 H0
·检验假设(根据小概率原理)
三、假设检验的基本原理
问题：设总体 ~ N(, 2) ， = 0 ，其中 (X1, X2, , Xn) 是 的样本，检验
或
EX =
+
xf (x)dx
−
k =1
2. 方差(Variance)和标准差(Standard Deviation)
DX =
r
(xk − EX )2 PX = xk
或
DX =
+ (x − EX )2 f (x)dx
−
k =1
DX = EX 2 − (EX )2
3. 协方差(Covariance)和相关系数(Correlation Coefficient)
(x)
=
((m2m)2+(nn2))
.
m n m −1
m 2 n2 x 2
m+n
(mx + n) 2
,
0,
x0 x0
五、正态总体统计量的分布
Th1.1 设 ( X1, X 2 , , X n ) 是 总 体 X ~ N (, 2 ) 的 样 本 ， X 是 样 本 均 值 ， 则
X ~ N (, 2 ) ，即 X − ~ N (0,1) 。
Y
~
N
(2
,
2 2
)
的样本，两个样本相互独立，
S
2 x
,
S
2 y
是
X ,Y
的样本方差，则
S
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x
,当x
xi
i
1,
2,
,n,
n
从而样本X1, X 2 ,
,
X
的概率分布仍为
n
f xi
i1
12
例1.2.2 设总体X 服从0 1分布，即X B 1, p, X1, X 2, ,
X
为该总体的样本，记
n
f
x
px 1 p 1x
0, 其他
,
x
0,1且0
i1
i1
11
若总体X是连续型随机变量且具有密度函数f x，
则样本的联合密度函数为
n
f x1, x2 , , xn f xi i1
当总体X 是离散型随机变量且具有分布律
P(X xi ),i 1, 2, , n时，采用记号
f
(
x)
P X
0, 其他
f
x
ex ,
x
0,
0, x 0,
则样本的联合分布密度为
n
n
f x1, x2 , , xn f xi exi en nx ,
i1
i1
其中xi 0,i 1,2, ,n.
14
样本是总体X 进行估计或推断的依据。由于样本是n个随机变量或 n维随机向量，使用起来很不方便，我们通常是将样本提供的信息 集中起来，这就是针对不同问题构造出样本的适当的函数，
,
X
为
n
简单随机样本（simple sample）
所有样本值组成的集合
x1, x2 , , xn | xi R,i 1, 2, , n
称为样本空间。
9
在无放回抽样情况下得到的样本，理论上不是简单样本， 但当总体中个体数目很大或可以认为很大时，从总体中 抽取一些个体对总体的成分没有太大的影响。 因此，即使是无放回抽样也可近似地看成是有放回抽样， 其样本仍可看成是独立同分布的。
我们称X1, X2 , , Xn为总体X的一组样本，称n为样本容量， 称x1, x2 , , xn为样本的一组观测值。
8
抽样方法需要满足以下两点：
1)独立性：要求样本X1, X2,
,Xຫໍສະໝຸດ 为相互独立的随机变量；n
2)代表性：要求每个样本Xi i 1, 2, , n与总体X具有相同
的分布。
称满足以上要求抽取的样本X1, X2,
常用统计量
样本均值：X
1 n
n i1
Xi,
(1.2.1)
样本方差：S 2
1 n 1
n i1
(Xi
1
第一章 基本概念
数理统计简介 总体、样本与统计量 顺序统计量、经验分布函数和直方图 抽样分布
2
数理统计学是一门应用性很强的学科，其 方法别广泛应用于现实社会的信息、经济、工 程等各个领域，学习和运用数理统计方法也成 为当今技术领域里的一种时尚，面对信息时代， 为了处理大量的数据以及从中得出有助于决策 的量化结论，必须掌握不断更新的数理统计知 识。
10
样本的分布
设总体X的分布函数为F x，X1, X2,
,
X
是
n
来自总体X的样本,则该样本的联合分布函数为
F x1, x2 , , xn P X1 x1, X 2 x2 , , X n xn
n
n
P Xi xi F xi , xi R,i 1, 2, , n
4
数理统计是研究怎样用有效地方法收集和使用带随 机性影响的数据的学科
1、数据必须带有随机性的影响，才能成为数理统计学的研 究对象 2、数据随机性的来源
3、“用有效地方式收集数据”中“有效”一词的理解
4、如何“有效地使用数据”
5
数理统计方法应用及其广泛，可以说，几乎人类活 动的一切领域中都能不同程度地找到谈的应用，如 产品的质量控制和检验、新产品的评价、气象（地 震）预报、自动控制等。
3
§1 数理统计简介
虽然数理统计在今天的社会已经被广泛的了解，但是到目 前为止，用少量的文字对“数理统计学”这个学科下一个正 式的定义也很困难，很难找到无懈可击的定义。
数理统计学的内容主体
第一步 就是通过观察或试验以收集必要的数据
第二步 需要对所收集的数据进行分析，以对所要研究的 问题下某种形式的结论
在统计学中称这种样本的函数为统计量。
设X1, X 2 , , X n为总体X的一个样本，G X1, X 2 , , X n 为关于
n维变量x1, x2 , , xn的连续函数，且该函数中不包含任何未知
参数，则称G X1, X 2 , , X n 为统计量，很明显，统计量是一
个随机变量。
15
主要是因为实验是可以研究的根本方法，而随机因 素对实验结果的影响是无处不在的；反过来，应用 上的需要又是统计方法发展的动力。
数理统计常用的统计软件和数学软件：SAS、SPSS、 SYSTAT、S-Plus、Eviews、Mathematica、MathCAD、 Matlab等。
6
§2 总体、样本与统计量
p
1
则样本X1, X2,
,
X
的联合密度函数为
n
f x1, x2 ,
, xn n f xi n pxi 1 p 1xi pnx 1 p n1x ,
i1
i1
其中x
1 n
n i1
xi .
13
例1.2.3 假设灯泡的使用寿命X服从指数分布，密度函数为
总体、个体、样本是数理统计中三个最基本的概念。 我们称研究对象的全体为总体（population）。 称组成总体的每个单元为个体。从总体中随机抽取n个个体， 称这n个个体为容量为n的样本（sample）
例1.2.1 为了研究某厂生产的一批灯泡质量的好坏，规定使用 寿命低于1000h的灯泡为次品。则该批灯泡的全体就是总体，每 个灯泡就是个体。 实际上，数理统计中的总体是灯泡的使用寿命X的取值全体， 称随机变量X 为总体，他的分布称为总体分布，
记为F x，即F x P(X x), x R。
7
为了判断该批灯泡的次品率，我们总体中抽取n个 个体进行试验，试验结果可得一组数字x1, x2 , , xn，由
于这组数值是随着每次抽样而变化的，所以 x1, x2 , , xn 是一个n维随机变量 X1, X 2 , , X n 的一组观测值。