利用题组教学优化思维品质

利用题组教学优化思维品质
中学数学学习的重点在于知识的学习和能力的培养。

由于目前的中学教材大多是用演绎的方法将数学事实组成一个统一体，从而掩盖了它生动活泼的发现、发明历史过程。

因此，学习中学数学，不仅要真正掌握形式的数学结论，而且应掌握形式结论后的丰富事实，学会观察、分析，提高抽象概括能力，提高逻辑推理和数学思维的能力。

只有基本能力提高了，才能真正学好中学数学和具有进一步学习、研究数学的能力。

认知心理学认为：学生学习的过程是一个把教材知识结构转化为自己认知结构的过程。

完成这个过程，仅仅靠新课的教学是不够的，还要通过有效的练习，才能把新知识和原有的知识结构紧密地融汇一体、才能使形成的认知结构更加充实和完善。

课堂练习是学生掌握知识、形成技能、发展智力的重要措施。

因此，在课堂教学中，教师要精心地、创造性地设计题组练习，为发展和完善学生的思维创造条件，促进学生自主发展。

数学，是一门自然学科。

对于所有的高中生来说，要学好这门学科，却不是一件容易的事。

大多数高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。

但由于高考“指挥棒”的作用，又不得不学。

“怎样才能学好数学？”成了学子们问得最多的问题。

而怎样回答这个问题便成了教师们的难题。

很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做题，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了！于是，“题海战术”便受到很多教育工作者的青睐。

熟话说，“熟能生巧”，当然，多做体肯定对学生数学成绩的提高有一定的好处。

但长期这样，只会使数学越来越枯燥，让学生越来越厌烦，于是出现厌学、抄作业等现象。

众所周知，数学题是做不完的。

我认为要使学生学好数学，还是要从提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。

要利用书本上有限的例题和习题来提高学生的学习兴趣和能力。

在数学教学过程中，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学。

这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。

另外，能力提高的过程中，学生的成就感自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生。

系统知识,培养学生的思维能力,是中学数学复习课教学的主线,而一题多解,一题多变等题组训练,可优化学生的思维品质,发展能力,提高课堂教学效率,促进学生自主发展。

因此，利用题组教学中，教师要精心设计题组练习，优化学生思维品质。

对此提出以下几点个人见解：
一、注重一题多解，培养思维的发散性。

“一题多解”是指从不同方位，不同角度出发，通过不同的思维途径，采取多种解题方法解决同一实际问题，从而达到殊途同归的效果的教学方法。

有利于提高学生的创新意识，启发学生的发散思维。

一题多解，一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展学生的思维能力，提高学生分析问题的能力。

我们在把变式题布置给学生的同时，便可要求学生运用一题多解，甚至可以要求学生自己对题型进行变式。

这样的作业方式不只可以达到复习巩固的目的，还可以提高学生的探究能力及学习数学的兴趣。

例如，下面举一例进行一题多解来说明：
例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。

解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。

解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则
x2+y2= x2+（1-x）2=2x2－2x+1=2（x－1
2
）2+
1
2
由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知
当x=1
2
时，x2+y2取最小值
1
2
；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。

评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。

对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。

解决函数的最值问题，我们已经有比较深的函数理论，函数性质，如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。

解法二：（三角换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设
x=cos2θ，y=sin2θ其中θ∈[0，π
2 ]
则x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2－2 cos2θsin2θ
=1－1
2
（2sinθcosθ）2=1－
1
2
sin22θ
=1－1
2
×
1－cos4θ
2
=
3
4
+
1
4
cos4θ
于是，当cos4θ=－1时，x2+y2取最小值1
2
；
当cos4θ=1时，x2+y2取最小值1。

评注：三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一，通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决，而三角恒等变形却有着一系列的三角公式，所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。

解法三：（对称换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设
x=1
2
+t， y=
1
2
－t，其中t∈[－
1
2
，
1
2
]
于是，x2+y2= （1
2
+t）2+（
1
2
－t）2=
1
2
+2t2 t2∈[0，
1
4
]
所以，当t2=0时，x2+y2取最小值1
2
；当t2=
1
4
时，x2+y2取最大值1。

评注：对称换元将减元结果进行简化了，从而更容易求最值。

这三种方法，在本质上都一样，都是通过函数观点来求最值，只是换元方式的不同而已，也就导致了化简运算量大小不同，教师通过引导、启发学生主动思考、运用，提高了学生对数学的认识，也增强了学生思维能力的提高。

解法四：（运用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1
则 xy≤（x+y）2
4
=
1
4
，从而0≤xy≤
1
4
于是，x2+y2=（x+y）2－2xy=1－2xy
所以，当xy=0时，x2+y2取最大值1；当xy=1
4
时，x2+y2取最小值
1
2。

评注：运用基本不等式可以解决一些含有两个未知量的最值问题，但要注意等号成立的条件是否同时满足。

解法四：（解析几何思想）设d=x 2+y 2 ，则d 为动点C （x ，y ）到原点（0，
0）的距离，于是只需求线段⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥=+001y x y x 上的点到原点的最大和最小距离就可。

当点C 与A 或B 重合时，d max =1，则（x 2+y 2）max
当OC ⊥AB 时d min = 2
2 ，则（x 2+y 2）min =12 评注：用几何的观点研究代数问题，使
学生在数和形的理解把握好一个联系的尺度，能够由数想到形的意义，由形想到数的结构，从而达到快速解决这类问题的目的。

事实上，有许多解析几何最值问题和代数中许多最值问题都可以用类似的方法解决，这对学生数学思维能力的培养，有着很积极的作用。

解法五：（数形结合思想）设x 2+y 2=r 2（r ＞0），此二元方程表示以坐标原点为圆心、半径为r 的动圆，记为⊙F 。

于是，问题转化为⊙F 与线段⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥=+001y x y x
有公共点，求r 的变化范围。

当⊙F 经过线段AB 端点时r max =1；当⊙F 则 12
≤x 2+y 2≤1 评注：此解法与解法四并无本质区别，关键是数形结合思想的形成。

这样一个由特殊性逐步一般化的思维过程，加强了学生思维能力的培养，通过这样一系列的一题多解和一题多变，培养了学生的综合分析能力、提高了学生数学思维能力，渗透了一些数学方法，体现了一些数学思想，也提供了一个推向一般性的结论。

在数学教学中,若将经典例题充分挖掘，注重对例题进行变式教学,不但可以抓好基础知识点,还可以激发学生的探求欲望,提高创新能力；不仅能让教师对例题的研究更加深入，对教学目标和要求的把握更加准确，同时也让学生的数学思维能力得到进一步提高，并逐渐体会到数学学习的乐趣。

当然，在新课的教学中有些方法所用的知识，学生还未学到，此时，我们可从中挑选学生学过的知识。

其他方法可在今后的总复习中给出。

二、注重一题多变，提高应变能力。

“一题多变”是指在原题的基础上从多方位，多角度对原题进行变化，引出一系列与本题相关的题目，形成多变导向，使知识一步精化的教学方法。

“一题多变”主要有变换题型，改变图形，条件结论变化等。

一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论，积极开展多种变式题的求解，哪怕是不能解决，有助于学生应变能力的养成，培养学生发散思维的形成，增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。

例如，下面举一例进行一题多解来说明：
例：过抛物线y2=2px 焦点的一条直线和这条抛物线相交，设两个交点纵坐
标为y
1，y
2
，求证：y
1
y
2
=-p2。

（设线段AB为过抛物线焦点的弦）
此题证明并不难，但其结论却很有用，关键是运用其结论。

在布置此题给学生时我们便可以有针对性的演变。

如变成
（1）证明：过抛物线焦点弦两端点的切线与抛物线的准线，三点共线。

（2）证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点的连线，平行于抛物线的对称轴。

（3）证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点连结线段，等于焦点弦长的一半，并且被这条抛物线平分。

另外，我们还可以让学生自己变式，便还可能出现如下变式：
（4）证明：抛物线焦点弦两端点的切线互相垂直。

（5）证明：抛物线的准线是其焦点弦两端点的切线的交点的轨迹。

（6）证明：过抛物线焦点一端，作准线的垂线，那么垂足、原点以及弦的另一端点，三点共线。

通过这一组题的训练，让学生在轻松愉快的氛围中提问，比较，检验和反思，这样既培养了学生思维的应变能力，同时也有更深的层次上理解。

综上所述，题组训练是复习训练的主要策略，能有效地使重点知识从“一般掌握”到“熟练掌握”，从“一般认识”到“深刻认识”。

促使学生将所学知识内化迁移，举一反三，触类旁通，综合运用知识解决实际问题，培养学生创新意识和实践能力，提高学生的数学思维品质。

总之，在数学题组教学中，选用一些非加探索不能发现其内在联系的习题，采用一题多解与一题多变得形式进行教学，有助于启发学生分析思考，逐步把学生引入胜境，从而使学生开拓知识视野，增强能力，发展创造思维，同时还可以帮助学生对系统性、特殊性、广泛性的深刻理解。

[参考文献]：
[1]章士藻《中学数学教育学》高等教育出版社
[2]《数学与管理》2005年第09期朱永康作品
[3]互联网、百度文库。