量子力学期末考试题库含答案22套

量子力学自测题（１）

一、简答与证明：（共25分）

1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4分）

2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）

3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）

4、证明

)ˆˆ(2

2x x p x x p i -是厄密算符 （5分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x p

ˆ之间的测不准关系。（6分）

二、（15分）已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==B A

，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A

ˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在B 表象中算符A

ˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）设氢原子在0=t 时处于状态

),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021ϕθϕθϕθψ-+-=

Y r R Y r R Y r R r ，求

1、0=t 时氢原子的E 、2L

ˆ和z L ˆ

的取值几率和平均值； 2、0>t 时体系的波函数，并给出此时体系的E 、2L

ˆ和z L ˆ

的取值几率和平均值。

四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下

哈密顿算符由下面的矩阵给出

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C C C H

000000200030001ˆ 这里，H H H

'+=ˆˆˆ)0(，C 是一个常数，1<

五、（10分）令y x iS S S +=+，y x iS S S -=-，分别求+S 和-S 作用于z S 的

本征态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0121和

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1021

的结果，并根据所得的结果说明+S 和-S 的重要性是什么？

量子力学自测题（１）参考答案

一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：

)(Et r p i Ae -⋅=

ψ

2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。

3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：

[])()()()(21

12212211q q q q A ϕϕϕϕφ-=

。

4、)ˆˆ(2

2x x

p x x p i -=x x x x x x p p x p i x p p i x p i ˆ2ˆ],ˆ[],ˆ[ˆ],ˆ[2 =+=，因为x p ˆ是厄密算符，所以)ˆˆ(2

2x x p x x p

i -是厄密算符。 5、设F ˆ和G ˆ的对易关系k ˆi F ˆG ˆG ˆF ˆ=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、

G 和k 依次表示F ˆ、G ˆ和k 在态ψ中的平均值，令 F F ˆF ˆ-=∆，G G ˆG

ˆ-=∆， 则有

42

2

2

k )G ˆ()F

ˆ(≥⋅∆∆，这个关系式称为测不准关系。

坐标x 和动量x p

ˆ之间的测不准关系为：2ˆ

≥∆⋅∆x p

x

二、解1、由于1ˆ2=A

，所以算符A ˆ的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ˆ的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A

ˆ的矩阵是：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001)(ˆA A

设在A 表象中算符B ˆ的矩阵是

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211)(ˆb b b b A B ，利用0ˆˆˆˆ=+A B B A 得：02211==b b ；由于1ˆ2=B ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b 100122121

12=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b ，

21121b b =∴；由于B ˆ是厄密算符，B B ˆˆ=+，

∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01

1212b b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

=010*

12

*12b b *

12121

b b =∴

令δ

i e b =12，其中δ为任意实常数，得B

ˆ在A 表象中的矩阵表示式为：⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=-00)(ˆδδi i e

e A B

2、类似地，可求出在B 表象中算符A ˆ的矩阵表示为：⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=-00)(ˆδδi i e e B A

在B 表象中算符A

ˆ的本征方程为：⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-βαλβαδ

δ00

i i e e ，即⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλαβδδi i e e ⇒ ⎩⎨⎧=-=+--00λβαβλαδδi i e e α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 0=---λλ

δ

δ

i i e

e ⇒ 012=-λ

1±=∴λ

对1=λ有：

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+

121δϕi A

e ，对1-=λ有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-

121δϕi A e 所以，在B 表象中算符A ˆ的本征值是1±，本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛-121δi e