成都七中2012年自主招生数学试题

成都七中2012年自主招生数学试题

考试时间：110分钟 满分：120分 姓名： 得分： . 一、选择题（共10小题，每小题6分，共60分）

1、设是21,x x 方程0132=+-x x 的两根，则=+21x x （ ） A.3 B.5 C.3 D.5

2、一次函数1-+=k kx y 的图象与反比例函数x

y 1

=

的图象交点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.1或2 3、某三角形面积为26cm ，周长为cm 12，其内切圆半径为（ ） A.0.5cm B.1cm C.1.5cm D.2cm 4、计算=-+⨯⨯⨯2201212014201320122011（ ）

A.2011

B.2012

C.2013

D.2014

5、平面上有无数条彼此相距3cm 的平行线，将半径为1cm 的硬币掷在平面上，硬币与平行线相交的概率为（ ） A.

41 B.31 C.32 D.4

3

6 ）

7、从3,2,1,0,2-五个数中选出两个数，则b x a y +=2 ） A.15 B.14 C.13 D.12 8、设n 为正整数，记()2321!≥⨯⨯⨯⨯=n n n ，1!1=，则

=+++++!

109

!98!43!32!21 （ ） A.!1011- B.!1011+ C.!911- D.!

911+

9、如图，O 为矩形ABCD )(BC AB <的中心，过O 且互相垂直的两条直线被矩形四边怕截，设截得的线段EF 和GH 长度分别为y x ,，四边形EGFH 的面积为S ，当这两条直线保持垂直且围绕O 点不停旋转时，下列说法正确的是（ ） 主视图

左视图

②某一阶段，y 随x 的增大面减小，y 是x 的反比例函数 ③仅当四边形EGFH 与矩形一条对角线重合时，S 最大 ④仅当四边形EGFH 的两条对角线长度相等时，S 最小

A.①②

B.①③

C.①②③

D.①③④

10、2012年6月6日发生了天文奇观“金星凌日”，当地球.金星.太阳在一条直线上，从地

球上可以看到金星就像一个小黑点一样沿直线在太阳表面缓慢移动（金星的视直径约为太阳的3%），如图，圆O 为太阳，小圆为金星，弦AB 所在直线为小圆圆心的轨迹，其中位置I 称为入凌外切，位置II 称为入凌内切，设金星视直径为d ，θ2=∠AOB ，那么金星从位置II 的视位移S ∆可以估计为（ ）

A.θ

sin d

B.θsin 2d

C.θcos 1-d

D.()θcos 12-d

二、填空题（共8小题，每小题6分，共48分） 11、方程04323=-+x x 的解为 .

12、关于x 的不等式x a x a +≥++24)1(与213≤-x 同解，则a 的取值为 .

13、如图，在长方体中，AB=5，AD=3，41=AA ，经长方体表面从A 到1C 的最短距离为 . 14、若1,021≤≥x x ，有13212

11++-=x x y ，13222

22++-=x x y ，则21y y -的最大值

为 .

15、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，b BC a AD ==,，M ，N 分别在线段AB 和CD 上，有MN ∥AD ，且

MN 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分，则MN= .

16、方程组⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+x z

z z y y

y x x 2

2

2

2

22

414414414的解为 . 17、如图，点P （2，3）在圆O 上，点E 、F 为y 轴上的两点，PEF ∆是以点P 为顶点的等腰

三角形，直线PE 、PF 交圆于D 、C 两点，直线CD 交y 轴于点A ，则D A O

∠s i n

的值为 .

1

C 第（17

18、某百货商场为回馈客户推出“满200赠100”的优惠活动，措施如下：凡现金消费每满

200元可获赠100元的消费券，例如：现金消费390元可获赠100元消费券，现金消费400元可获赠200元消费券，而用消费券购买商品则不再获赠消费券。现一客户购买两件商品，欲用购买第一件商品所得消费券抵现金购买第二件商品（不足部分再用现金补足），已知两件商品的总价格为1095元，为使客户在本次购买中所付现金最少，营业员可以重新设定两件商品各自的价格，设第一件商品的价格为x 元，则x 的取值范围为 . 三、解答题（共2小题，共42分）

19、如图，直线l 平行于x 轴，与y 轴交点为)1,0(-C ，A 为抛物线2

4

1x y =

上一动点，以A 为圆心的圆A 始终与直线l 相切。

（1）若点A 的横坐标为22，圆A 与y 轴交于D 、E 两点，求ADE ∆的外接圆的半径？ （2）证明：y 轴上仅存在一定点F 恒在动圆A 上，并确定F 的坐标。 （3）在（2）问的基础上，直线AF 与抛物线交于另外一点B ，求证

BF

AF 1

1+

为定值，并求出该值。

20、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，现定义点与点的运算

设()()2211,,,y x B y x A ，若C B A =⊗，则有()21212121,y y x x y y x x C -+ （1）若()1,4-B ，()22,3-C ，且C B A =⊗，求A 点的坐标？

（2）一般地，若C B A =⊗，判断OA 、OB 与OC 的大小关系，并证明。

（3）按以下方式构建点列n A n (为正整数）： 543432321,,A A A A A A A A A =⊗=⊗=⊗ ①若21,OA OA 为大于1的整数，864=m OA ，其中m 为整数且大于3，试确定m 及对应的

21,OA OA 的值？

x

l