5.4利用锐角三角函数解决实际问题(2017年)

1. (2017 浙江省绍兴市) 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面

2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米.则小巷的宽度为（）

A、0.7米

B、1.5米

C、2.2米

D、2.4米

答案：答案C

考点解直角三角形的应用

解析解答解：设梯子斜靠在右墙时，底端到右墙角的距离为x米，

由勾股定理可得

梯子的长度2=0.72+2.42=x2+22,

可解得x=1.5,

则小巷的宽度为0.7+1.5=2.2（米）.

故选C.

分析当梯子斜靠在右墙时，梯子的长度并不改变，而且墙与水平面是垂直的，则可运用勾股定理构造方程解出底端到右墙角的距离.再求小巷的宽度.

20171012104111546173 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题选择题基础知识2017-10-12

2. (2017 河北省) 如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A、B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35︒,为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是( ) A．北偏东55︒B．北偏西55︒C．北偏东35︒D．北偏西35︒

答案：答案D.

考点：方向角.

20171011153309265234 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 选择题 基础知识 2017-10-11

3. (2017 福建省龙岩市) 小明在某次作业中得到如下结果：

2222sin 7sin 830.120.990.9945+≈+=， 2222sin 22sin 680.370.93 1.0018+≈+=， 2222sin 29sin 610.480.870.9873+≈+=， 2222sin 37sin 530.600.80 1.0000+≈+=，

222222

sin 45sin 45(

)(122

+≈+=． 据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有2

2sin sin (90)1αα+-=．

（Ⅰ）当30α=时，验证2

2sin

sin (90)1αα+-=是否成立；

（Ⅱ）小明的猜想是否成立?若成立，若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．

答案：答案（Ⅰ）成立，证明见解析；（Ⅱ）成立，证明见解析.

解析

试题分析：（Ⅰ）成立，当30α=时，将30°与60°的正弦值代入计算即可得证；

（Ⅱ）成立，如图，△ABC 中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°-α，正确地表示这两个角的正弦并利用勾股定理即可得证.

试题解析：（Ⅰ）当30α=时， 22sin sin (90)αα+-=sin 230°+sin 2

60°=2

2

1322⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =1344

+ =1，所以22

sin sin (90)1αα+-=成立； （Ⅱ）小明的猜想成立.证明如下：

如图，△ABC 中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°-α，

sin 2

α+sin 2

（90°-α）=22

22222

BC AC BC AC AB AB AB AB AB +⎛⎫⎛⎫

+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

=1

20171011145920500983 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题 猜想、探究题 基础知识 2017-10-11

4. (2017 浙江省宁波市) 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B ，已

知500AB 米，则这名滑雪运动员的高度下降了 米．(参考数据：sin340.56°≈，

cos340.83°≈，tan340.67°≈)

答案：答案280.

考点：解直角三角形的应用.

20170919151310921726 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题填空题基础知识2017-9-19

5. (2017 浙江省丽水市) 2017·丽水）如图是某小区的一个健向器材，已知BC=0.15m，AB=2.70m，∠BOD=70°，求端点A到地面CD的距离（精确到0.1m）.（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34,tan70°≈2.75）

答案：】．答案解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AE于点F，

∵OD⊥CD，∠BOD=70°，∴AE//OD，∴∠A=∠BOD=70°，

在Rt△AFB中，AB=2.7，∴AF=2.7cos70°=2.7×0.34=0.918,

∴AE=AF+BC=0.918+0.15=1.068≈1.1（m）.

答：端点A到地面CD的距离约是1.1m.

考点解直角三角形的应用

解析分析求求端点A到地面CD的距离，则可过点A作AE⊥CD于点E，在构造直角三角形，可过点B作BF⊥AE于点F，即在Rt△AFB中，AB已知，且∠A=∠BOD=70°，即可求出AF的长，则AE=AF+EF即可求得答案.

20170919150525156437 5.4 利用锐角三角函数解决实际问题应用题基础知识2017-9-19

6. (2017 山东省威海市) 】．图1是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：

如图2，AB⊥BC，垂足为点B，EA⊥AB，垂足为点A，CD∥AB，CD=10cm，DE=120cm，FG⊥DE，垂足为点G．

（1）若∠θ=37°50′，则AB的长约为83.2 cm；

（参考数据：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78）

（2）若FG=30cm，∠θ=60°，求CF的长．

答案：】．分析（1）作EP⊥BC、DQ⊥EP，知CD=PQ=10，∠2+∠3=90°，由∠1+∠θ=90°且∠1=∠2知∠3=∠θ=37°50′，根据EQ=DEsin∠3和AB=EP=EQ+PQ可得答案；

（2）延长ED、BC交于点K，结合（1）知∠θ=∠3=∠K=60°，从而由CK=、KF=

可得答案．

解答解：（1）如图，作EP⊥BC于点P，作DQ⊥EP于点Q，