【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：10.1随机事件的概率(含答案解析)
2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题-随机事件的概率及其计算(含答案)
随机事件的概率及其计算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.衡阳市在创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶.一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）A. B. C. D.2.北京时间2021年10月16日0时23分，神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，受到国际舆论的高度关注．为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感和责任感，某校决定举行以“传航天精神、铸飞天梦想”为主题的知识竞赛活动．现有A，B两队报名参加，A，B两队均由两名高一学生和两名高二学生组成．比赛共进行三轮，每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题，若每位成员被选中的机会均等，则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一个年级的概率是A. B. C. D.3.梅森素数是指形如2 p－1的素数，其中p也是素数(质数)，如27－1＝127是梅森素数，211－1＝23×89不是梅森素数．长期以来，数学家们在寻找梅森素数的同时，不断提出一些关于梅森素数分布的猜测，1992年中国学者周海中提出一个关于梅森素数分布的猜想，并首次给出其分布的精确表达式，被数学界命名为“周氏猜测”．已知在不超过20的素数中随机抽取2个，则至少含有1个梅森素数的概率为（）A. B. C. D.4.甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天、乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（）A. B. C. D.5.下列命题中正确的是（）A. 事件A发生的概率P（A）等于事件A发生的频率f n（A）B. 一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点C. 掷两枚质地均匀的硬币，事件A为“第一枚正面朝上，第二枚反面朝上”，事件B为“两枚都是正面朝上”，则P（A）=2P（B）D. 对于两个事件A、B，若P（A∪B）=P（A）+P（B），则事件A与事件B互斥6.已知a∈{0，1，2}，b∈{-1，1，3，5}，则函数f（x）=ax2-2bx在区间（1，+∞）上为增函数的概率是( )A. B. C. D.7.袋子中有9个材质与大小都相同的小球,其中6个白球,3个红球.每次从袋子中随机摸出1个球且不放回,则两次都摸到白球的概率是( )A. B. C. D.8.从幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，，y＝x-1中任意选取2个函数，其中一个函数是奇函数、另一个函数是增函数的概率等于( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。
2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书：第十章 第1讲 随机事件的概率 Word版含答案
第1讲随机事件的概率一、知识梳理1．事件的分类2.概率与频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例LLL n(A)＝n An为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)．3．事件的关系与运算常用结论概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率：P(A)＝1. (3)不可能事件的概率：P(A)＝0. (4)概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件．P(A ∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)． 二、教材衍化1．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则 ①恰有1个白球和全是白球； ②至少有1个白球和全是黑球； ③至少有1个白球和至少有2个白球； ④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为 ． 答案：①2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表： 则样本数据落在区间[10，40)的频率为 ． 答案：0.45一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的．()(2)随机事件和随机试验是一回事．()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．()(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．()(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．()(6)两互斥事件的概率和为1.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×二、易错纠偏常见误区(1)混淆对立事件和互斥事件的概念而判断错误；(2)频率与概率的关系理解不清致错．1．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：(1)90分以上的概率： ；(2)不及格(60分及以上为及格)的概率： ． 解析：(1)42600＝0.07；(2)52＋8600＝0.1.答案：(1)0.07 (2)0.12．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为 ．解析：因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是一等品”，且P(A)＝0.65，所以“抽到的不是一等品”的概率为P ＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.答案：0.35随机事件的关系(师生共研)从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③【解析】③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．【答案】 C判断互斥、对立事件的2种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．(2)集合法①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；②事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．1．设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，条件乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次， 事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次都出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．2．一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为310，则概率为710的事件是( )A ．恰有一个红球B ．两个小球都是白球C ．至多有一个红球D ．至少有一个红球解析：选C.因为710＝1－310，所以概率为710的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”．随机事件的频率与概率(师生共研)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．(1)完成下表，并求所种作物的平均年均收获量；(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．【解】(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：所种作物的平均年收获量为51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝69015＝46.(2)由(1)知，P(Y＝51)＝215，P(Y＝48)＝415.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝215＋415＝25.某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5.已知近20年X 的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.(1)完成频率分布表；近20年六月份降雨量频率分布表(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率．解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为(2)由已知可得Y ＝X2＋425，故P (“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”) ＝P (Y <490或Y >530)＝P (X <130或X >210) ＝P (X ＝70)＋P (X ＝110)＋P (X ＝220)＝120＋320＋220＝310.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为310.互斥事件、对立事件的概率(师生共研)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)1张奖券的中奖概率；(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【解】 (1)设“1张奖券中奖”为事件M ，则M ＝A ∪B ∪C ，依题意，P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120，因为A ，B ，C 两两互斥，所以P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000，故1张奖券的中奖概率为611 000. (2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋101 000＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.求复杂互斥事件的概率的两种方法(1)直接法(2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单)1．某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.则他乘火车或乘飞机去的概率为．解析：设此人乘火车、轮船、汽车、飞机去开会分别用事件A，B，C，D表示，则事件A，B，C，D是互斥事件，P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7，所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.答案：0.72．(一题多解)经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.[基础题组练] 1．(2018·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7解析：选B.设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B.2．(2020·福建五校第二次联考)下列说法正确的是()A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件解析：选D.对于选项A ，“事件A ，B 中至少有一个发生”包括“事件A 发生B 不发生”“A 不发生B 发生”和“A ，B 都发生”，“事件A ，B 中恰有一个发生”包括“事件A 发生B 不发生”和“A 不发生B 发生”，当事件A ，B 为对立事件时，“事件A ，B 中至少有一个发生”的概率与“事件A ，B 中恰有一个发生”的概率相等，故错误；对于选项B ，“事件A ，B 同时发生”与“事件A ，B 中恰有一个发生”是互斥事件，不能确定概率的大小，故错误；因为对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，所以选项C 错误，选项D 正确．故选D.3．设A 与B 是互斥事件，A ，B 的对立事件分别记为A ，B ，则下列说法正确的是( ) A ．A －与B －互斥B ．A －与B －互斥 C ．P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )D ．P (A －＋B －)＝1解析：选C.根据互斥事件的定义可知，A 与B －，A －与B －都有可能同时发生，所以A 与B －互斥，A －与B －互斥是不正确的；P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )正确；A －与B －既不一定互斥，也不一定对立，所以D 错误．4．掷一个骰子的试验，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，若B －表示B 的对立事件，则一次试验中，事件A ∪B －发生的概率为( )A.13B.12C.23D ．56解析：选C.掷一个骰子的试验有6种可能结果． 依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，所以P (B －)＝1－P (B )＝1－23＝13.因为B －表示“出现5点或6点”的事件， 因此事件A 与B －互斥，从而P (A ∪B －)＝P (A )＋P (B －)＝13＋13＝23.5．某城市2019年的空气质量状况如表所示：其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50<T ≤100时，空气质量为良；100<T ≤150时，空气质量为轻微污染．则该城市2019年空气质量达到良或优的概率为 ．解析：由题意可知2019年空气质量达到良或优的概率为p ＝110＋16＋13＝35.答案：356．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有 个．解析：由题意知，摸出黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n 个，则0.4221＝0.3n ，故n ＝15.答案：157．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如下：贫困地区发达地区(1)计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率(保留两位小数)； (2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率．解：(1)贫困地区表格从左到右分别为0.53，0.54，0.52，0.52，0.51，0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57，0.58，0.56，0.56，0.55，0.55.(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.8．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.[综合题组练]1．某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2) ＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.2．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得统计表：记x 表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y 表示1台机器在维修上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的维修服务次数．(1)若n ＝10，求y 与x 的函数解析式；(2)若要求“维修次数不大于n ”的频率不小于0.8，求n 的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务，或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧200×10＋50x ，x ≤10，250×10＋500（x －10），x >10.即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋2 000，x ≤10，500x －2 500，x >10，x ∈N .(2)因为“维修次数不大于10”的频率＝10＋20＋30100＝0.6<0.8，“维修次数不大于11”的频率＝10＋20＋30＋30100＝0.9>0.8，所以若要求“维修次数不大于n ”的频率不小于0.8，则n 的最小值为11. (3)若每台都购买10次维修服务，则有下表：此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为y 1＝2 400×0.1＋2 450×0.2＋2 500×0.3＋3 000×0.3＋3 500×0.1＝2 730(元)； 若每台都购买11次维修服务，则有下表：此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为y 2＝2 600×0.1＋2 650×0.2＋2 700×0.3＋2 750×0.3＋3 250×0.1＝2 750(元)， 因为y 1<y 2，所以购买1台机器的同时应购买10次维修服务．。
2020版高考人教A版文科数学一轮复习文档：第十章 第一节 随机事件的概率 Word版含答案
第十章概 率
第一节 随机事件的概率
2019考纲考题考情
1．事件
(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件。
(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件。
(3)在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件。
2．概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否
发生，称n 次试验中事件A 发生的次数n A 为事件A 发生的频数，
称事件A 发生的比例f n (A )＝为事件A 发生的频率。
n A n
(2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )。
3．事件的关系与运算
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P≤1。
(2)必然事件的概率P(E)＝1。
(3)不可能事件的概率P(F)＝0。
(4)概率的加法公式：
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。
(5)对立事件的概率：
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A ∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)。
1．频率与概率
频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是。
近年高考数学一轮复习第10章概率10.1随机事件的概率课后作业文(2021年整理)
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10．1 随机事件的概率［基础送分提速狂刷练]一、选择题1．（2017·湖南十三校二模）同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为（）A.错误! B。
错误! C.错误! D.错误!答案B解析分别记《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》为A1，A2，A3，A4,从这四首歌中选出两首歌进行表演的所有可能结果为A1A2，A1A3，A1A4,A2A3，A 2A4,A3A4,共6个，其中A1未被选取的结果有3个，所以所求概率P＝错误!＝错误!。
故选B.2．（2018·广东中山模拟)从1，2,3,4，5这5个数中任取两个,其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数，上述事件中，是对立事件的是（）A．① B．②④ C．③ D．①③答案C解析从1，2,3，4,5这5个数中任取两个,有三种情况：一奇一偶，两个奇数,两个偶数．其中至少有一个是奇数包含一奇一偶,两个奇数这两种情况,它与两个都是偶数是对立事件，而①②④中的事件可能同时发生，不是对立事件，故选C。
2019版高考数学一轮复习第10章概率101随机事件的概率课后作业文.doc
10・1随机事件的概率E 课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1. (2017 •湖南十三校二模)同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单 身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为()答案B解析 分别记《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》为/h ，力2,仏，儿，从这四首 歌中选出两首歌进行表演的所有可能结果为恥2,力虫，仙"風,共6个，其中31未被选取的结果有3个，所以所求概率P=^ 故选B.2. (2018 •广东中山模拟)从1,2, 3,4,5这5个数中任取两个，其中：①恰有一个是偶数 和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是 偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数，上述事件中，是对立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③答案C解析 从1,2, 3, 4,5这5个数中任取两个，有三种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶 数.其中至少有一个是奇数包含一奇一偶，两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立 事件，而①②④中的事件可能同时发生，不是对立事件，故选C.3. (2017 •安徽“江南十校”联考)从｛1,2, 3, 4,5｝中随机选取一个数为a,从｛1,2,3｝中随机选取一个数为力，则小日的概率是()答案D解析 令选取的的b 组成实数对(臼，方)，则有(1, 1), (1,2), (1,3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3,1), (3,2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5,1), (5, 2), (5, 3)共 15 种情况,31其中方鮎的有(1,2), (1,3), (2,3)3种情况，所以方牯的概率为亦=亍故选D.4. 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为日，第二次出现的 点数为方，向&. m= (<?, Z?),刀=(1,2),则向量加与向量刀不共线的概率是()1 11 1 1A-6 B *T2 C -T2 D -18答案B解析 若也与n 共线,则2臼一方=0.而(②方)的可能性情况为6X6 = 36个.符合2臼=〃 的有5 - 6D--2B.1 - 5D 2 - 5 •C 3 - 5 B. 4 - 5 • A(1,2), (2,4), (3, 6)共三个.故共线的概率是菇寺,从而不共线的概率是1-吉=卷・故选B.5. 一个袋子里装有编号为1,2, 12的12个相同大小的小球，英屮1到6号球是红色球，其余为黑色球.若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后再放回袋子里，然后 再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是 偶数的概率是()13 17 A •花 B- C.- D ・u答案B解析 据题意由于是有放回地抽取，故共有12X12 = 144种取法，其中两次取到红球且973至少有一次号码是偶数的情况共有6X6-3X3=27种可能，故其概率为而=花.故选B.6. (2018 •湖南常徳模拟)现有一枚质地均匀且表面分别标有1,2, 3, 4, 5,6的正方体骰 子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次岀现的点数之和大于点数之积的概率为()1 。
高考数学一轮复习知识点与练习随机事件的概率
第卜二章概率、随机变就及其概率分布§12.1随机事件的概率基础知识自主学习U知识梳理要覇讲解深层娈破1. 概率和频率(1) 在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A 为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)= nA为事件A出现的频率.(2) 对于给定的随机事件A,在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A).2. 事件的关系与运算定义付号表示包含关系如果事件A发生，则事件B 一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B? A（或A? B）相等关系若B? A且A? B A = B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A U B（或A + B）父事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A n B（或AB）互斥事件若A A B为不可能事件(A n B= ?),则称事件A与事件B互斥A nB = ?对立事件若A n B为不可能事件，A U B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件P（A）+ P（B）=13. 概率的几个基本性质(1) 概率的取值范围：0W P(A)w 1.(2) 必然事件的概率P(E) = 1.⑶不可能事件的概率P( F) = 0.(4) 概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A U B)= P(A) + P(B).(5) 对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A) = 1 —P(B).【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1) 事件发生频率与概率是相同的. ()(2) 随机事件和随机试验是一回事. ()(3) 在大量重复试验中，概率是频率的稳定值. ()(4) 两个事件的和事件是指两个事件都得发生. ()(5) 对立事件- -定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件. ()(6) 两互斥事件的概率和为 1.( )考点自测伏速解普自查自纠1. 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________ .①至多有一次中靶②两次都中靶③只有一次中靶④两次都不中靶2. 从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175 cm的概率为_________ .3. (2015湖北改编)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为___________ 石.专注•专业•口碑•极致-2 -4. ___________________________________________ 给出下列三个命题，其中正确的命题有个.①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，3结果3次出现正面，因此正面出现的概率是7；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.5. _____________________________________ （教材改编）袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中，是对立事件的为.题型分类深度剖析题型一事件关系的判断例1某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C 为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订” •判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件.思维升华对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件•这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判定所给事件的关系.W' 判断下列各对事件是不是互斥事件或对立事件：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是女生.题型二随机事件的频率与概率例2 （2015北京）某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整专注•专业•口碑•极致⑴估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；⑶如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?思维升华(1)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.(2)随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.」艮打.Ul.^. 2 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：(1) 计算表中乒乓球优等品的频率；(2) 从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)题型三互斥事件、对立事件的概率命题点1互斥事件的概率例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是*得到黑球或黄球的概率是—，得到黄球或绿球的概率也是—，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多12 12少？命题点2对立事件的概率例4某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个•设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C,求：(1) P(A), P(B), P(C);(2) 1张奖券的中奖概率；(3) 1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.思维升华求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A) = 1- P( A)求解•当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法.比二"和"国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7〜10环的概率如下表所示：求该射击队员射击一次：(1) 射中9环或10环的概率;(2) 命中不足8环的概率.21 •用正难则反思想求互斥事件的概率典例(14分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示(1) 确定x, y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超过..2分钟的概率.(将频率视为概率)思维点拨若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反思想求解.温馨提醒(1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义.(2)正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式. 易错提示(1)对统计表的信息不理解，错求x, y,难以用样本平均数估计总体. (2)不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误.——■ ■思想方法感悟提高［方法与技巧］1.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A).2•从集合角度理解互斥事件和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件~A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. ［失误与防范］1.正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.2•需准确理解题意，特别留心“至多””“至少””“不少于”” 等语句的含义.练出高分A组专项基础训练(时间：45分钟)事件N: “只有一次出现反面”，1.下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M : “两次出现正面”，-6 -专注•专业•口碑•极致则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A U B为必然事件，其中，真命题是_________________ .1 122•围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为刁，都是白子的概率是35,则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是___________ •3. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B=｛抽到二等品｝，事件C= ｛抽到三等品｝，且已知P（A）= 0.65, P（B）= 0.2 , P（C）= 0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为4. 从存放的号码分别为1,2,3 , , , 10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是__________5•对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图•根据标准，产品长度在区间［20,25）上的为一等品，在区间［15,20）和［25,30）上的为二等品，在区间［10,15）和［30,35）上的为三等品•用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为 ________ .6. 在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品.其中________ 是必然事件；________ 是不可能事件； _________ 是随机事件.7. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40% ,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果•经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ____________ .&若随机事件A, B互斥，A, B发生的概率均不等于0，且P(A) = 2- a, P(B)= 4a —5，则实数a的取值范围是_______________9. (2014陕西)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1) 若额的概率；(2) 在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4 000元的概率.10. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分组：第一组［155,160)，第二组［160,165)，…，第八组［190,195］，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为 4.(1)求第七组的频率；⑵估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm以上洽180 cm)的人数；(3) 若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x, y,事件E={|x—y|w5}，事件 F = {|x—y|>15}，求P(E U F).B组专项能力提升(时间：25分钟)11. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A, B, C, D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是_______________ .① A + B与C是互斥事件，也是对立事件；② B + C与D是互斥事件，也是对立事件；③ A + C与B+ D是互斥事件，但不是对立事件；④A与B+ C+ D是互斥事件，也是对立事件.12. 如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成均成绩超过乙的平均成绩的概率为__________甲乙9 £g 3 3 72 1 09■ 9绩，其中一个数字被污损，则甲的平4 113. 若A, B互为对立事件，其概率分别为P(A) = x，P(B)= y，且Q0,y>0,则X+ y的最小值为14. 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查, 调查结果如下：选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；⑵分别求通过路径L i和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；⑶现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.15日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(2) 西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.。
高考数学一轮复习10.1随机事件的概率精品课件理新人教A版
(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况:射中6环,5 环,4环,3环,1环,0环.但由于这些概率都未知,故不能直接求 解.可考虑从反面入手.不够7环的反面是大于、等于7环， 即7环，8环，9环，10环，由于此二事件必有一个发生， 故是对立事件，故可用对立事件的方法处理.设“不够7环” 为事件E，则事件E为“射中7环或8环或9环或10环”.由 (1)知“射中7环”“射中8环”等彼此互斥.
∴P(E)=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,从而P(E)=10.97=0.03.
∴射不够7环的概率为0.03.
【评析】 (1)必须分析清楚事件A,B互斥的原因,只有互 斥事件才能用概率和公式.
(2)所求事件必须是几个互斥事件的和.满足以上两点 才能用P(A∪B)=P(A)+P(B).
;
（2）必然事件的概率为：
1
；
（3）不可能事件的概率为:
0
;
（4）互斥事件概率的加法公式： 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)= P(A)+P(B) .
特别地，若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)= 1-P(B) .
考点一 随机事件的概率 一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一只球. (1)“取出的球是红球”是什么事件？它的概率是多少？ (2) “取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是多少？ (3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件？它的概率是多 少?
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
高考数学总复习 第十章 概率 10.1 随机事件的概率课件 文
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3．求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的 关键点
求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图 或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数．
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(2019·沈阳模拟)某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、 乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买， “×”表示未购买.
上年度出 险次数 保费
012
3
4 ≥5
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
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随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得 到如下统计表：
出险 次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保 费”．求 P(A)的估计值； (2)记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不 高于基本保费的 160%”．求 P(B)的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值．
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课堂探究 考点突破
2021/12/12
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考点一 随机事件间的关系
(1)从 1,2,3,4,5 这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是
偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少
有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶
的意义及频率与概率的区别． 对立事件的概率，与事件的频
2.了解两个互斥事件的概率加 率交汇考查．其中随机事件的
法公式.
新高考数学文科一轮总复习课时练习14.1随机事件的概率(含答案详析)
第十四章概率第1讲随机事件的概率1．从6个男生、2个女生中任取3人，则下列事件中必然事件是()A．3个都是男生B．至少有1个男生C．3个都是女生D．至少有1个女生2A．0.92 B．0.94 C．0.95 D．0.963．抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为()A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至多有1件正品4．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件5．(2011年广东惠州调研)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.156．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．7．甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是50%，甲不输的概率是80%，则甲、乙二人下成和棋的概率为________．8．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取1个，取得2个红球的概率为715，取得2个绿球的概率为115，则取得2个同颜色的球的概率为________；至少取得1个红球的概率为________．9(1)(2)求至多2人排队的概率；(3)求至少2人排队的概率．10．(2011年湖南)某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关，据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160, 200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表；近20(2)率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．第十四章概率第1讲随机事件的概率1．B 2.C 3.B4．D解析：由互斥事件与对立事件的概念知答案为D.5．B解析：由随机数可得：在20组随机数中满足条件的只有5组，故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.6.35解析：共有取法5种，其中理科书为3种，∴p＝35.7．30%解析：甲、乙二人下成和棋的概率为80%－50%＝30%，故答案为30%.8.81514159．解：(1)至少有一人排队的概率为p1＝1－0.10＝0.90.(2)至多2人排队的概率为p1＝0.10＋0.16＋0.30＝0.56.(3)至少2人排队的概率为p2＝1－(0.10＋0.16)＝0.74.10．解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3(2)P(＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝120＋320＋220＝310.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为310.。
2018版高考数学一轮总复习 第10章 概率 10.1 随机事件的概率模拟演练 文
2018版高考数学一轮总复习第10章概率 10.1 随机事件的概率模拟演练文[A级基础达标](时间：40分钟)1．若将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为( )A.118B.112C.16D.14答案 B解析将先后抛掷2次出现的向上的点数记作点坐标(x，y)，则共可得到点坐标的个数为36，而向上的点数之和为4的点坐标有(1,3)，(2,2)，(3,1)，故所求概率为P＝336＝1 12.2．[2017·陕西模拟]从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.45答案 C解析如图，从A，B，C，D，O这5个点中任取2个，共有(A，B)，(A，C)，……，(D，O)10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种，因此所求概率P＝610＝35.3．[2017·南通模拟]从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )A．① B．②④C．③ D．①③答案 C解析 从9个数字中取两个数有三种取法：一奇一偶，两奇，两偶，故只有③中两事件是对立事件．4．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的8个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )A.132B.164C.332D.364答案 D解析 从8个球中有放回的每次取一个球，取2次共有64种取法．两个球的编号和不小于15，则两球号码可以为(7,8)，(8,7)，(8,8)三种可能，其概率为P ＝364.5．[2017·云南质检]在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A.34B.58C.12D.14答案 C解析 分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.6．一根绳子长为6米，绳子上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为________．答案 35解析 随机选一个节点将绳子剪断共有5种情况，分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．满足两段绳长均不小于2米的为(2,4)，(3,3)，(4,2)，共3种情况．所以所求概率为35. 7．[2017·温州十校联考]记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A .若A 是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为________．答案 29解析 根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为29.8．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为多少？解 设3个白球分别为a 1，a 2，a 3,2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310.9．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．解 (1)当日需求量n ≥17时，利润y ＝85. 当日需求量n <17时，利润y ＝10n －85.所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －85，n <17，85，n ≥17(n ∈N )．(2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1100×(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4.②利润不低于75元时日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为p ＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.10．[2017·徐州模拟]为了整理道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：处罚金额x (单位：元) 5 10 15 20 会闯红灯的人数y50402010(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B 类是其他市民．现对A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B 类市民的概率是多少？解 (1)设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A ，则P (A )＝40200＝15. ∴当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低15.(2)由题可知A 类市民和B 类市民各有40人，故分别从A 类市民和B 类市民各抽出两人，设从A 类市民抽出的两人分别为A 1，A 2，设从B 类市民抽出的两人分别为B 1，B 2.设“A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M ，则事件M 中首先抽出A 1的事件有(A 1，A 2，B 1，B 2)，(A 1，A 2，B 2，B 1)，(A 1，B 1，A 2，B 2)，(A 1，B 1，B 2，A 2)，(A 1，B 2，A 2，B 1)，(A 1，B 2，B 1，A 2)，共6种．同理首先抽出A 2，B 1，B 2的事件也各有6种． 故事件M 共有4×6＝24种．设“抽取4人中前两位均为B 类市民”为事件N ，则事件N 有(B 1，B 2，A 1，A 2)，(B 1，B 2，A 2，A 1)，(B 2，B 1，A 1，A 2)，(B 2，B 1，A 2，A 1)，共4种．∴P (N )＝424＝16.∴抽取4人中前两位均为B 类市民的概率是16.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2017·银川模拟]已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为( )A.16，16 B.12，23 C.16，23 D.23，12答案 C解析 “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为1－12－13＝16.设“甲不输”为事件A ，则A 可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P (A )＝16＋12＝23( 或设“甲不输”为事件A ，则A 可看作是“乙胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23). 12．如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为( )A.45B.35C.25D.15答案 D解析 记其中被污损的数字为x .依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是15(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是15(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝15(442＋x )．令90≤15(442＋x )，由此解得x ≥8，即x 的可能取值是8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为210＝15，选D.13．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 答案 0.25解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25. 14．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如表所示：X 1 2 3 4 Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米． (1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量：(2)的概率．解 (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝69015＝46.(2)由(1)知，P (Y ＝51)＝215，P (Y ＝48)＝415.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg 的概率为P (Y ≥48)＝P (Y ＝51)＋P (Y ＝48)＝215＋415＝25.。
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课时提升作业五十七随机事件的概率(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·烟台模拟)从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为()A.0.7B.0.65C.0.35D.0.5【解析】选C.“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件,所以所求概率为P=1-P(A)=0.35.2.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶【解析】选D.射击两次有四种可能:(中,不中)、(不中,中)、(中,中)、(不中,不中),其中“至少有一次中靶”含有前三种情况,选项A,B,C中都有与其重叠的部分,只有选项D为其互斥事件.3.(2016·枣庄模拟)从1,2,…,9中任取两数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③【解析】选C.从9个数字中取两个数有三种取法:一奇一偶,两奇,两偶,故只有③中两事件是对立事件.【加固训练】“辽宁舰”,是中国人民解放军海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰,在“辽宁舰”的飞行甲板后部有四条拦阻索,降落的飞行员须捕捉钩挂上其中一条,则为“成功着陆”,舰载机白天挂住第一条拦阻索的概率为18%,挂住第二条、第三条拦阻索的概率为62%,捕捉钩未挂住拦阻索需拉起复飞的概率约为5%,现有一架歼-15战机白天着舰演练20次,则其被第四条拦阻索挂住的次数约为()A.5B.3C.1D.4【解析】选B.由题意可知舰载机被第四条拦阻索挂住的概率为1-18%-62%-5%=15%,故其被第四条拦阻索挂住的次数约为20×0.15=3.4.抛掷一枚均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)一次,观察掷出向上的点数,设事件A为掷出向上为偶数点,事件B为掷出向上为3点,则P(A∪B)=()A. B.C. D.【解析】选B.事件A为掷出向上为偶数点,所以P(A)=.事件B为掷出向上为3点,所以P(B)=,又事件A,B是互斥事件,事件(A∪B)为事件A,B有一个发生的事件,所以P(A∪B)=.【加固训练】围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A. B. C. D.1【解析】选C.设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C=A∪B,且事件A与B互斥.所以P(C)=P(A)+P(B)=+=.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.5.掷一个骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+发生的概率为()A. B. C. D.【解析】选C.掷一个骰子的试验有6种可能结果,依题意P(A)==,P(B)==,所以P()=1-P(B)=1-=,因为表示“出现5点或6点”的事件,因此事件A与互斥,从而P(A+)=P(A)+P()=+=. 【加固训练】1.在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,以为概率的事件是()A.都不是一等品B.恰有1件一等品C.至少有1件一等品D.至多有1件一等品【解析】选D.从5件产品中任取2件有10种取法,设3件一等品为1,2,3,2件二等品为4,5.这10种取法是(1,2),(1,3),(2,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),其中2件均为一等品的取法有(1,2),(1,3),(2,3),共3种.所以至多有1件一等品的概率P=1-=.2.(2016·淄博模拟)设甲:“事件A与事件B是对立事件”,乙:“P(A)+P(B)=1”,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.事件A与事件B是对立事件,则A∪B为必然事件,再由概率的加法公式得P(A)+P(B)=1.设掷一枚硬币3次,事件A:“至少出现一次正面”,事件B:“3次出现正面”,则P(A)=,P(B)=,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·聊城模拟)为了调查学生每天零花钱的数量(钱数取整数元),以便引导学生树立正确的消费观.样本容量为1000的频率分布直方图如图所示,则样本数据落在[6,14)内的频数为,概率为.【解析】样本数据落在[6,14)内的频数为1000-(0.02×4+0.03×4×2)×1000=680,所以概率为=0.68.答案:6800.687.在数学考试中,小明的成绩在90分以上的概率是0.18,在80～89分的概率是0.51,在70～79分的概率是0.15,在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07,小明考试及格(60分及以上)的概率为.【解析】小明考试及格的概率是0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.答案:0.93【一题多解】本题还可用以下解法:小明考试不及格的概率是0.07,所以小明考试及格的概率是1-0.07=0.93.答案:0.938.某射手射中10环、9环、8环的概率分别为0.24,0.28,0.19,那么,在一次射击训练中,该射手射击一次不够9环的概率为.【解析】因为某射手一次射击中,击中10环、9环、8环的概率分别是0.24,0.28,0.19.所以该射手在一次射击中不够9环的概率P=1-0.24-0.28=0.48.答案:0.48(20分钟35分)1.(5分)(2016·青岛模拟)掷同一枚骰子两次,则向上点数之和不小于6的概率是()A. B. C. D.【解题提示】先分别求出向上的点数之和不小于6的各种情况的频数,进而求出各自发生的概率,再利用互斥事件的概率公式计算所求.【解析】选A.掷同一枚骰子两次,点数之和共有36种情况.设事件A={两骰子向上的点数和不小于6};事件A1={两骰子向上的点数和为6},有5种情况;事件A2={两骰子向上的点数和为7},有6种情况;事件A3={两骰子向上的点数和为8},有5种情况;事件A4={两骰子向上的点数和为9},有4种情况;事件A5={两骰子向上的点数和为10},有3种情况;事件A6={两骰子向上的点数和为11},有2种情况;事件A7={两骰子向上的点数和为12},有1种情况;则A1与A2,A3,…,A7为互斥事件,且A=A1+A2+A3+…+A7.P(A)=P(A1+A2+A3+…+A7)=P(A1)+P(A2)+…+P(A7)==.【加固训练】经统计,在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下:则该营业窗口上午9点钟时,至少有2人排队的概率是.【解析】由表格可得至少有2人排队的概率P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74.答案:0.742.(5分)若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且分别为P(A)=2-a,P(B)=3a-4,则实数a的取值范围为.【解题提示】由随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且分别为P(A)=2-a,P(B)=3a-4,知由此能求出实数a的取值范围.【解析】因为随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且分别为P(A)=2-a,P(B)=3a-4, 所以即解得<a≤.答案:3.(12分)一盒中共装有除颜色外其余均相同的小球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1个球,求:(1)取出1球是红球或黑球的概率.(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.【解析】记事件A1={任取1球为红球},A2={任取1球为黑球},A3={任取1球为白球},A4={任取1球为绿球},则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=.据题意知事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件的概率公式,得(1)取出1球是红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=+=.(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=.【一题多解】本题的第二问还可以用如下的方法解决:P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1-=.4.(13分)(2016·济宁模拟)某保险公司利用简单随机抽样的方法,对投保的车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:(1)若每辆车的投保金额为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.【解析】(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”,B表示事件“赔付金额为4000元”,以频率估计概率得P(A)==0.15,P(B)==0.12,由于投保额为2800元,赔付金额大于投保金额的情形是赔付3000元和4000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”,由已知,样本车辆中车主新司机的有0.1×1000=100,而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24,所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.【加固训练】A地到火车站共有两条路线L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下:(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率.(2)分别求通过路线L1和L2所用时间落在上表中各时间内的概率.(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们如何选择各自的路线.【解析】(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人,因此用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择路线L1的有60人,选择路线L2的有40人,故由调查结果得出的频率为:(3)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.由(2)知:P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2),所以甲应选择L1.又因为P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B1)<P(B2),所以乙应选择L2.。