【精品】2018年广东省茂名市高考数学一模试卷及参考答案(文科)
完整word版,2018年广东省茂名市高考数学一模试卷(理科)
2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1} 2．（5分）已知复数z满足（z﹣i）i=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）A．B．C．D．33．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3 D．﹣14．（5分）设X～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=95.44%）A．.7539 B．6038 C．7028 D．65875．（5分）数学文化《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯．A．24 B．48 C．12 D．606．（5分）甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了7．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是（）A．B．﹣1 C．2018 D．29．（5分）设P是双曲线上的点，F1，F2是其焦点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积是1，且a+b=3，则双曲线的离心率为（）A．.2 B．C．D．10．（5分）已知△ABC的三个内角A，B、C的对边分别为a、b、c，若2sin（﹣）=1，且a=2，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．211．（5分）三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足条件f（1+x）=f（1﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x，若函数g（x）=|f（x）|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上有4032个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．（e，e3）C．（e，e2）D．（1，e3）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13．（5分）已知，若，则λ=．14．（5分）在（1﹣x）2（1﹣）4的展开式中，x2的系数是．15．（5分）已知函数f（x）=4sinωx﹣sin2（+）﹣2sin2ωx（ω＞0）在区间上是增函数，且在区间[0，x]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是_．16．（5分）从抛物线x2=4y的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，若直线AB的倾斜角为，则P点的横坐标为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设正项等比数列{a n}，a4=81，且a2，a3的等差中项为．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若b n=log3a2n﹣1，数列{b n}的前n项和为S n，数列，T n 为数列{c n}的前n项和，若T n＜λn恒成立，求λ的取值范围．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=2BC=2，PC=2，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点．（I）求证：平面EAC⊥平面PCD；（II）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．19．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率A1上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10% A2上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20% A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30% A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10% A6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：类型A1A2A3A4A5A6数量201010302010以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（I）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a=950（元），记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；（II）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求该销售商获得利润的期望值．20．（12分）已知椭圆C1：（（a＞b＞0））的一个焦点为F1，且经过点P．（I）求椭圆C1的标准方程；（II）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB 面积取得最大值时直线l的方程．21．（12分）已知函数（a∈R）．（I）讨论g（x）的单调性；（II）当时，函数在其定义域内有两个不同的极值点，记作x1，x2，且x1＜x2，若m≥1，证明：．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l倾斜角为α，其参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（I）若直线l与曲线C有公共点，求直线l倾斜角α的取值范围；（II）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1}【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B={0，1，2}．故选：C．2．（5分）已知复数z满足（z﹣i）i=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）A．B．C．D．3【解答】解：由（z﹣i）i=2+i，得z﹣i=，∴z=1﹣i，则|z|=．故选：A．3．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3 D．﹣1【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），此时z max=3×3+2=11，故选：B．4．（5分）设X～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=95.44%）A．.7539 B．6038 C．7028 D．6587【解答】解：∵X～N（1，1），∴μ=1，σ=1．μ+σ=2∵P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=68.26%，∴则P（0＜X＜2）=68.26%，则P（1＜X＜2）=34.13%，∴阴影部分的面积为：0.6587．∴正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587．故选：D5．（5分）数学文化《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯．A．24 B．48 C．12 D．60【解答】解：根据题意，设最底一层有a盏灯，则由题意知从下而上，第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a为首项，以为公比的等比数列，又由S7==381，解可得a=192，则a4=a×（）3=24，即该塔中间一层有24盏灯；故选：A．6．（5分）甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了【解答】解：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立．故选：C．7．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，排除B，∵＜1，排除A．当x＞0时，，，∴在区间（1，+∞）上f（x）单调递增，排除D，故选C．8．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是（）A．B．﹣1 C．2018 D．2【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：初始S=2，当k=0时，S0=﹣1，k=1时，S1=，同理S2=2，S3=﹣1，S4=，…，可见S n的值周期为3．∴当k=2017时，S2017=S1=，k=2018，退出循环．输出S=．故选：A．9．（5分）设P是双曲线上的点，F1，F2是其焦点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积是1，且a+b=3，则双曲线的离心率为（）A．.2 B．C．D．【解答】解：方法一：设|PF1|=m，|PF2|=n，由题意得由PF1⊥PF2，△PF1F2的面积是1，则mn=1，得mn=2，∵Rt△PF1F2中，根据勾股定理得m2+n2=4c2∴（m﹣n）2=m2+n2﹣2mn=4c2﹣4，结合双曲线定义，得（m﹣n）2=4a2，∴4c2﹣4=4a2，化简整理得c2﹣a2=1，即b2=1，则b=1，由a+b=3，得a=2，所以c==，∴该双曲线的离心率为e==，故选C．方法二：由双曲线的焦点三角形的面积公式S=，∠F1PF2=θ，由PF1⊥PF2，则∠F1PF2=90°，则△PF1F2的面积S==b2=1，由a+b=3，得a=2，所以c==，∴该双曲线的离心率为e==，故选C．10．（5分）已知△ABC的三个内角A，B、C的对边分别为a、b、c，若2sin（﹣）=1，且a=2，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．2【解答】解：∵2sin（﹣）=1，A∈（0，π），∴∈，∴=，∴．又a=2，由余弦定理得：4=b2+c2﹣2bc，即4=b2+c2+bc．根据基本不等式得：4=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc．即bc≤．当且仅当b=c时，等号成立．△ABC面积S=bcsinA≤=（当且仅当b=c时，等号成立）∴△ABC的面积的最大值．故选：B．11．（5分）三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B．C．D．【解答】解析：三棱锥的直观图如图，以△PBC所在平面为球的截面，则截面圆O1的半径为，以△ABC所在平面为球的截面，则截面圆O2的半径为球心H到△ABC所在平面的距离为，则球的半径R为，所以球的体积为=4．故选：A．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足条件f（1+x）=f（1﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x，若函数g（x）=|f（x）|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上有4032个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．（e，e3）C．（e，e2）D．（1，e3）【解答】解：∵f（x）满足条件f（1+x）=f（1﹣x）且为奇函数，函数f（x）=f （2﹣x）=﹣f（﹣x）∵f（﹣x）=f（2+x）⇒f（x+4）=f（x）∴f（x）周期为4，∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，根据m（x）=|f（x）|与n（x）=ae﹣|x|图象，函数g（x）=|f（x）|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上有4032个零点，即m（x）=|f（x）|与n（x）=ae﹣|x|在[0，4]有且仅有两个交点，∴即e＜a＜e3．故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13．（5分）已知，若，则λ=．【解答】解：∵，，∴=﹣1+2λ=0，解得λ=．故答案为：．14．（5分）在（1﹣x）2（1﹣）4的展开式中，x2的系数是﹣10．【解答】解：（1﹣x）2（1﹣）4=（1﹣2x+x2）（1﹣4+﹣+x2）∴x2的系数=1﹣2+1=﹣10．故答案为：﹣10．15．（5分）已知函数f（x）=4sinωx﹣sin2（+）﹣2sin2ωx（ω＞0）在区间上是增函数，且在区间[0，x]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是_．【解答】解：f（x）=4sinωx﹣sin2（+）﹣2sin2ωx=4sinωx﹣﹣2sin2ωx=2sinωx（1+sinωx）﹣2sin2ωx=2sinωx，即：f（x）=2sinωx，∴[﹣，]是函数含原点的递增区间．又∵函数在上递增，∴，∴得不等式组，得，又∵ω＞0，∴，又函数在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知ωx=2kπ+，k∈Z，即函数在x=+处取得最大值，可得0≤≤π，∴ω≥，综上，可得．故答案是：．16．（5分）从抛物线x2=4y的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，若直线AB的倾斜角为，则P点的横坐标为．【解答】解：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，﹣1），则，又∵，，∴，则．由x2=4y，得，∴，∴切线PA的方程为y﹣y1=（x﹣x1），切线PB的方程为y﹣y2=（x﹣x2），即切线PA的方程为y﹣=（x﹣x1），即；切线PB的方程为y﹣=（x﹣x2），即．∵点P（x0，﹣1）在切线PA、PB上，∴，，可知x1，x2是方程x2﹣2x0x﹣4=0的两个根，∴x1+x2=2x0，得．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设正项等比数列{a n}，a4=81，且a2，a3的等差中项为．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若b n=log3a2n﹣1，数列{b n}的前n项和为S n，数列，T n 为数列{c n}的前n项和，若T n＜λn恒成立，求λ的取值范围．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由题意，得…（2分）解得…（3分）所以…（4分）（II）由（I）得，…（5分）．…（6分）∴，…（8分）∴，…（10分）若恒成立，则恒成立，则，所以…（12分）18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=2BC=2，PC=2，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点．（I）求证：平面EAC⊥平面PCD；（II）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】证明：（I）∵PC⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴PC⊥AC，由题意可知，AD∥BC，且AD=2BC=2△ABC是等腰直角三角形，∴AC=，CD=，…（2分）∴CD2+AC2=AD2，即AC⊥CD，…（3分）又∵PC∩CD=C，…（4分）∴AC⊥平面PCD，…（5分）∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PCD．…（6分）解：（II）解法1：由（1）得平面EAC⊥平面PCD，平面EAC∩平面PCD=EC，作PH⊥EC，则PH⊥平面EAC，…（8分）∴PA与平面EAC所成角为∠PAH，…（9分）在Rt△PAC中，PA=，在Rt△PHC中，sin∠PCE=，PH=PCsin，…（10分）sin=，∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…（12分）解法2：∵PC⊥底面ABCD，则建立如图所示的直角坐标系，…（7分）则P（0，0，2），，，，．…（8分）设平面EAC的法向量为=（x，y，z），则，即，…（9分）令z=1，解得…（10分）记直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ==，所以直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…（12分）19．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率A1上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10% A2上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20% A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30% A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10% A6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：类型A1A2A3A4A5A6数量201010302010以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（I）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a=950（元），记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；（II）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求该销售商获得利润的期望值．【解答】解：（I）由题意可知：X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a，…（1分）由统计数据可知：，，，，，．…（4分）∴X的分布列为：X0.9a0.8a0.7a a 1.1a 1.3aP…（5分）∴…（6分）（II）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，…（7分）三辆车中至多有一辆事故车的概率为…（9分）②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣5000，10000，P（Y=﹣500）=，P（Y=10000）=，∴Y的分布列为：Y﹣500010000P…（10分）…（11分）所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100EY=550000元=55万元．…（12分）20．（12分）已知椭圆C1：（（a＞b＞0））的一个焦点为F1，且经过点P．（I）求椭圆C1的标准方程；（II）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB 面积取得最大值时直线l的方程．【解答】解：（1）设椭圆C1的另一个焦点为F2，由题意可得，△PF1F2为直角三角形，则，∴，由椭圆的定义得，即a=3，又由b2+c2=a2，得b=2，∴椭圆C1的标准方程；（2）设椭圆C2的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）．∵λ＞1，∴点C（﹣1，0）在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个不同的交点．当直线l垂直于x轴时，（不是零向量），不合条件；故设直线l方程为y=k（x+1）（A，B，O三点不共线，故k≠0），由，得．∴，∵，而点C（﹣1，0），∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），即y1=﹣2y2，则y1+y2=﹣y2，∴．∴△OAB 的面积为S △OAB =S △AOC +S △BOC ===═×==． 上式取等号的条件是，即k=±时，△OAB 的面积取得最大值． ∴直线l 的方程为或．21．（12分）已知函数（a ∈R ）． （I ）讨论g （x ）的单调性；（II ）当时，函数在其定义域内有两个不同的极值点，记作x 1，x 2，且x 1＜x 2，若m ≥1，证明：． 【解答】解：（I ）（a ∈R ）， 方程2x 2+x ﹣a=0的判别式△=1+8a ， ①当时，△≤0，g′（x ）≥0，g （x ）在（0，+∞）为增函数， ②当时，△＞0，方程2x 2+x ﹣a=0的两根为， 当时，x 1＜x 2≤0，g （x ）在（0，+∞）为增函数，当a ＞0时，x 1＜0＜x 2，g （x ）在（x 2，+∞）为增函数，在（0，x 2]为减函数， 综上所述：当a ≤0时，g （x ）的增区间为（0，+∞），无减区间，当a ＞0时，g （x ）的增区间为（x 2，+∞），减区间（0，x 2]，（II ）证明：f （x ）=xlnx ﹣x 2﹣x +a ，所以 f'（x ）=lnx ﹣ax因为f （x ）有两极值点x 1，x 2，所以lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2，欲证等价于要证：，即1+m＜lnx1+mlnx2，所以1+m＜lnx1+mlnx2=ax1+max2=a（x1+mx2），因为m≥1，0＜x1＜x2，所以原式等价于要证明：．又lnx1=ax1，lnx2=ax2，作差得ln=a（x1﹣x2），所以a=所以原式等价于要证明：，令t=，t∈（0，1），上式等价于要证：，t∈（0，1），令，所以，当m≥1时，h′（t）＞0，所以h（t）在（0，1）上单调递增，因此h（t）＜h（1）=0，所以在t∈（0，1）上恒成立，所以原不等式成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l倾斜角为α，其参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（I）若直线l与曲线C有公共点，求直线l倾斜角α的取值范围；（II）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．转化为：x2+y2﹣4x=0，整理得：（x﹣2）2+y2=4∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为2的圆．∵直线l过点P（﹣2，0），当l斜率不存在时，l的方程为x=﹣2与曲线C没有公共点；∴当直线l斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0直线l与圆有公共点，则，解得：∵α∈[0，π]，∴α的取值范围是：[0，]．（II）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x=0，可化为：（x﹣2）2+y2=4．其参数方程为：（θ为参数）∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴=2+，由于：则：所以：∴x+y的取值范围是[﹣2.6]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≥2无解；…（1分）当﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≥2解得﹣5＜x≤﹣2；…（3分）当x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≥2恒成立．…（4分）综上，不等式f（x）≥2的解集是{x|x≤﹣2}．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知…（6分）易知函数f（x）的最大值M=8，…（7分）若x2+2x+m≤8有解，得m≤﹣x2﹣2x+8有解．…（8分）即m≤[﹣（x+1）2+9]max=9．…（9分）因此，m的取值范围是m≤9．…（10分）。
【2020年】广东省茂名市高考数学一模试卷(文科)及解析
广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1} 2．（5分）已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）A．B．C．2 D．3．（5分）在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z=3x+y的最小值为（）A．11 B．12 C．8 D．35．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=（）A．20 B．35 C．45 D．906．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与x轴交于点D，与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）A．B．C． D．7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜），f（x1）=1，f（x2）=0，若|x1﹣x2|min=，且f（）=，则f（x）的单调递增区间为（）A． B．．C．D．8．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯．A．24 B．48 C．12 D．6010．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（）A．2 018 B．﹣1 C．D．211．（5分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）定义在R上函数y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，且函数f（x+1）是偶函数．若当x∈[0，1]时，，则函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为（）A．2017 B．2018 C．4034 D．4036二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．（5分）已知=（2，1），﹣2=（1，1），则=．14．（5分）曲线y=ln（x+1）在点（1，ln2）处的切线方程为．15．（5分）从原点O向圆C：x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．16．（5分）如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB﹣b=2a．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A﹣EBC的体积．19．（12分）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中x i，y i分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522．（i ）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为，=﹣；相关指数R2=．20．（12分）已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程．21．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x＞0，且x≠1时，．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣2，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1}【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}．故选：C．2．（5分）已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）A．B．C．2 D．【解答】解：由zi=2+i，得，∴|z|=，故选：D．3．（5分）在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数有4个，分别为：（1，2，3），（1，2，6），（1，3，6），（2，3，6）数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有（1，2，3），共1个．∴数字2是这三个不同数字的平均数的概率是．故选：A．4．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z=3x+y的最小值为（）A．11 B．12 C．8 D．3【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为z=3×2+2=8．故选：C．5．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=（）A．20 B．35 C．45 D．90【解答】解：由等差数列的性质得，a1+a9=a2+a8=10，S9=．故选：C．6．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与x轴交于点D，与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）A．B．C． D．【解答】解：抛物线y2=8x的准线方程为x=﹣2，准线与x轴的交点为D（﹣2，0），由△ADF为等腰直角三角形，得|AD|=|DF|=4，故点A的坐标为（﹣2，4），由点A在双曲线上，可得，解得，即，∴，∴双曲线的离心率．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜），f（x1）=1，f（x2）=0，若|x1﹣x2|min=，且f（）=，则f（x）的单调递增区间为（）A． B．．C．D．【解答】解：设f（x）的周期为T，由f（x1）=1，f（x2）=0，|x1﹣x2|min=，得，由f（）=，得sin（π+ϕ）=，即cosϕ=，又0＜ϕ＜，∴ϕ=，f（x）=sin（πx）．由，得．∴f（x）的单调递增区间为．故选：B．8．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，排除B，∵＜1，排除A．当x＞0时，，，∴在区间（1，+∞）上f（x）单调递增，排除D，故选C．9．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯．A．24 B．48 C．12 D．60【解答】解：由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列，设首项为a，则，解之得a=3，则该塔中间一层灯盏数有3×23=24．故选：A．10．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（）A．2 018 B．﹣1 C．D．2【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：初始S=2，当k=0时，S0=﹣1，k=1时，S1=，同理S2=2，S3=﹣1，S4=，…，可见S n的值周期为3．∴当k=2017时，S2017=S1=，k=2018，退出循环．输出S=．故选：C．11．（5分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，在①中，如图知AF与GC异面垂直，故①正确；在②中，BD与GC成异面直线，连接EB，ED．则BM∥GC，在等边△BDM中，BD与BM所成的60°角就是异面直线BD与GC所成的角，故②正确；在③中，BD与MN异面垂直，故③错误；在④中，GD⊥平面ABCD，所以在Rt△BDG中，∠GBD是BG与平面ABCD所成的角，Rt△BDG不是等腰直角三角形．所以BG与平面ABCD所成的角不是为45°，故④错误．故选：B．12．（5分）定义在R上函数y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，且函数f（x+1）是偶函数．若当x∈[0，1]时，，则函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为（）A．2017 B．2018 C．4034 D．4036【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数⇔函数的图象与y=e﹣|x|的图象交点个数．由y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，得f（x）是偶函数，即f（﹣x）=f（x）．又∵函数f（x+1）是偶函数，∴f（x+1）=f（﹣x+1），故f（x+2）=f（﹣x）=f（x），因此，f（x）是周期为2的偶函数．∵当x∈[0，1]时，，作出y=f（x）与图象如下图，可知每个周期内有两个交点，所以函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为2018×2=4036．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．（5分）已知=（2，1），﹣2=（1，1），则=1．【解答】解：根据题意，设=（x，y），则﹣2=（2﹣2x，1﹣2y）=（1，1），则有2﹣2x=1，1﹣2y=1，解可得x=，y=0，则=（，0），则=2×+1×0=1；故答案为：114．（5分）曲线y=ln（x+1）在点（1，ln2）处的切线方程为x﹣2y﹣1+2ln2=0．【解答】解：根据题意，曲线y=ln（x+1），则有y′=，则由所求切线斜率，又由f（1）=ln（1+1）=ln2，则曲线在点（1，ln2）处的切线方程为，即x﹣2y﹣1+2ln2=0．故答案为：x﹣2y﹣1+2ln2=015．（5分）从原点O向圆C：x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．【解答】解：把圆的方程化为标准方程为x2+（y﹣6）2=9，得到圆心C（0，6），圆的半径r=3，由圆切线的性质可知，∠CBO=∠CAO=90°，且AC=BC=3，OC=6，则有∠ACB=∠ACO+∠BCO=60°+60°=120°，∴该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．故答案为：．16．（5分）如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为．【解答】解：以△ABC所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为，依题意得CD⊥平面ABC，故球心到截面的距离为，则球的半径为．所以球的体积为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB﹣b=2a．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若2c•cosB﹣b=2a，则有，整理得a2+b2﹣c2=﹣ab，，又在△ABC中，0＜C＜π，∴，即角C的大小为；（Ⅱ）由（Ⅰ），在△ADC中，AC=b=，AD=，由正弦定理得，∵在△ADC中，0＜∠CDA＜π，C为钝角，∴，故．∵在△ABC中，AD是角A的平分线，∴，∴△ABC是等腰三角形，，故△ABC的面积．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A﹣EBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）依题意得四边形ABCD是底角为60°的等腰梯形，…（1分）∴∠BAD=∠ADC=120°..…（2分）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=30°．…（3分）∴∠BAC=∠BAD﹣∠DAC=120°﹣30°=90°，即AB⊥AC．…（4分）∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥平面PAC，…（5分）又平面AB⊂平面EAB，∴平面EAB⊥平面PAC．…（6分）解：（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，∴AC=AB∙tan60°=，BC=2AB=2，且AB⊥平面PAC，…（7分）∴AB是三棱锥B﹣EAC的高，正△PAC的边长为…（8分）=S△PAC=．…∵E是PC的中点，∴S△EAC（10分）∴三棱锥A﹣EBC的体积为…（12分）（Ⅱ）解法二：过P作PO⊥AC于点O，∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴PO⊥平面ABC，过E作EF⊥AC于点F，同理得EF⊥平面ABC，∴EF是三棱锥E﹣ABC的高，且PO∥EF，…（7分）又E是PC中点，∴EF是△POC的中位线，故．由（Ⅰ）及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC=AB∙tan60°=，即正△PAC的边长为，…（8分）∴PO=，故EF=…（9分）=．…（10分）在Rt△ABC中，S△ABC∴三棱锥A﹣EBC的体积为…（12分）19．（12分）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中x i，y i分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522．（i ）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为，=﹣；相关指数R2=．【解答】解：（Ⅰ）依题意，n=6，，…．…（2分）≈33﹣6.6×26=﹣138.6，…（3分）∴y关于x的线性回归方程为=6.6x﹣138.6…（4分）（Ⅱ）（i ）利用所给数据，，得，线性回归方程=6.6x﹣138.6的相关指数R2=．…（6分）∵0.9398＜0.9522，…（7分）因此，回归方程=0.06e0.2303x比线性回归方程=6.6x﹣138.6拟合效果更好…..…（8分）（ii）由（i ）得温度x=35°C时，=0.06e0.2303×35=0.06×e8.0605…..…..…（9分）又∵e8.0605≈3167，…（10分）∴≈0.06×3167≈190（个）…（11分）所以当温度x=35°C时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个…（12分）20．（12分）已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）所给直线方程变形为，可知直线所过定点为．∴椭圆焦点在y轴，且c=，依题意可知b=2，∴a2=c2+b2=9．则椭圆C1的方程标准为；（Ⅱ）依题意，设椭圆C2的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），∵λ＞1，∴点C（﹣1，0）在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个不同的交点．当直线l垂直于x轴时，（不是零向量），不合条件；故设直线l为y=k（x+1）（A，B，O三点不共线，故k≠0），由，得．由韦达定理得．∵，而点C（﹣1，0），∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），则y1=﹣2y2，即y1+y2=﹣y2，故．=S△AOC+S△BOC∴△OAB的面积为S△OAB====．上式取等号的条件是，即k=±时，△OAB的面积取得最大值．∴直线的方程为或．21．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x＞0，且x≠1时，．【解答】（Ⅰ）解：由已知得g（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）方程2x2+x﹣a=0的判别式△=1+8a．…（2分）①当时，△≤0，g'（x）≥0，此时，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（3分）②当时，设方程2x2+x﹣a=0的两根为，若，则x1＜x2≤0，此时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（4分）若a＞0，则x1＜0＜x2，此时，g（x）在（0，x2]上为减函数，在（x2，+∞）上为增函数，…..…（5分）综上所述：当a≤0时，g（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；当a＞0时，g（x）的减区间为（0，x2]，增区间为（x2，+∞）．…（6分）（Ⅱ）证明：由题意知，…（7分）∴，…（8分）考虑函数，则…（9分）所以x≠1时，h'（x）＜0，而h（1）=0…（10分）故x∈（0，1）时，，可得，x∈（1，+∞）时，，可得，…（11分）从而当x＞0，且x≠1时，．…（12分）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣2，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程得ρ2﹣4ρcosθ=0，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4…（1分）∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为2的圆．∵直线l过点P（﹣2，0），当l的斜率不存在时，l的方程为x=﹣2与曲线C没有公共点，∴直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0．直线l与圆有公共点，则圆心C到直线l的距离，得，α∈[0，π），∴α的取值范围是．（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，故其参数方程为（θ为参数）．∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴，，∴，因此，的取值范围是[﹣2，6]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≥2无解；…（1分）当﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≥2解得﹣5＜x≤﹣2；…（3分）当x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≥2恒成立．…（4分）综上，不等式f（x）≥2的解集是{x|x≤﹣2}．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知…（6分）易知函数f（x）的最大值M=8，…（7分）若x2+2x+m≤8有解，得m≤﹣x2﹣2x+8有解．…（8分）即m≤[﹣（x+1）2+9]max=9．…（9分）因此，m的取值范围是m≤9．…（10分）。
2018年广东省茂名市化州第六中学高三数学文模拟试卷含解析
2018年广东省茂名市化州第六中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若集合A={x|y=}，B={x|y=ln（x+1）}，则A∩B=（）A．[0，+∞） B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【分析】分别根据根式的被开放式非负，对数的真数大于0，化简集合A，B，再由交集的定义，即可得到所求集合．【解答】解：集合A={x|y=}={x|x≥0}B={x|y=ln（x+1）}={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，则A∩B={x|x≥0}=[0，+∞）．故选：A．2. (本小题满分12分)中，三个内角A、B、C所对的边分别为、、，若，．（1）求角的大小；（2）已知当时，函数的最大值为3，求的面积.参考答案：解：（1）因为，所以，因为，由正弦定理可得：，整理可得：所以，（或）——————6分（2），令，因为，所以，若，即，，，则（舍去）若，即，，，得若，即，，，得（舍去）故，———————— 12分略3. 下列函数中既是偶函数,又是区间上的减函数的是A．B． C .D．参考答案：D4. 已知，则（）A．B．C．D．参考答案：【知识点】二倍角的正弦．C6【答案解析】C 解析：∵cos2（﹣x）=2cos2（﹣x）﹣1=﹣，∴cos（﹣2x）=﹣即sin2x=﹣．故选：C．【思路点拨】根据倍角公式cos2（﹣x）=2cos2（﹣x）﹣1，根据诱导公式得sin2x=cos（﹣2x）得出答案．5. 已知集合，，则（）A.[2,+∞)B. (3,+∞)C. [0,3]D. (－∞,2)∪[2,+∞)参考答案：B【分析】先求出的补集，再求交集。
【详解】由题意，∴。
故选：B。
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题。
6. 函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是()A. B. C. D.参考答案：A7. 已知函数其中若的最小正周期为,且当时, 取得最大值,则( )A. 在区间上是增函数B. 在区间上是增函数C. 在区间上是减函数D. 在区间上是减函数参考答案：A由，所以，所以函数，当时，函数取得最大值，即，所以，因为，所以，，由，得，函数的增区间为，当时，增区间为，所以在区间上是增函数，选A.8. 定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且f（x）在[0，+∞）上单调递减，若关于x的不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]参考答案：D【考点】函数恒成立问题．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，2m≥且2m≤对x∈[1，3]恒成立．求得相应的最大值和最小值，从而求得m的范围．【解答】解：∴定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）为偶函数，∵函数数f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）对x∈[1，3]恒成立，即f（2mx﹣lnx﹣3）≥f（3）对x∈[1，3]恒成立．∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3对x∈[1，3]恒成立，即0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，即2m≥且2m≤对x∈[1，3]恒成立．令g（x）=，则g′（x）=，在[1，e）上递增，（e，3]上递减，∴g（x）max=．令h（x）=，h′（x）=＜0，在[1，3]上递减，∴h（x）min=．综上所述，m∈[，]．故选D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．9. 已知点,,,，则向量在方向上的投影为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A略10. 设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α参考答案：D考点：直线与平面垂直的判定．专题：证明题；转化思想．分析：根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．解答：解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m?α，故不正确；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；n⊥α，n⊥β，?α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确故选D点评：本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （5分）按如图的程序框图运行后，输出的S应为．参考答案：40【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i＞5，计算输出S 的值．解：由程序框图知：第一次运行i=1，T=3×1﹣1=2，S=0+2=2，i=2，不满足条件i＞5，循环，第二次运行i=2，T=3×2﹣1=5，S=5+2=7，i=3，不满足条件i＞5，循环，第三次运行i=3，T=3×3﹣1=8，S=7+8=15，i=4，不满足条件i＞5，循环，第四次运行i=4，T=3×4﹣1=11，S=15+11=26，i=5，不满足条件i＞5，循环，第五次运行i=5，T=3×5﹣1=14，S=26+14=40，i=6，满足条件i＞5，程序终止，输出S=40．【点评】：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．比较基础．12. 设ΔABC的三边长分别为，ΔABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝ .参考答案：13. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是.参考答案：14. 下列命题中所有真命题的序号是________________.①“”是“”的充分条件；②“”是“”的必要条件；③“”是“”的充要条件.参考答案：略15. 函数的图象与函数（）的图象所有交点的横坐标之和等于______．12略16. 若实数x，y满足条件，则z=x+3y+1的最大值为．参考答案：12考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过图象平移确定目标函数的最大值．解答：解：由z=x+3y+1，得，作出不等式对应的可行域，平移直线，由平移可知当直线，经过点A时，直线，的截距最大，此时z取得最大值，由，解得，即A（2，3）代入z=x+3y+1，得z=2+3×3+1=12，即目标函数z=x+3y+1的最大值为12．故答案为：12点评：本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．17. 如图，椭圆中，F1、F-2分别是椭圆的左、右焦点，A、B分别是椭圆的左、右顶点，C是椭圆上的顶点，若∠CF1B=60°，，则椭圆的离心率e= 。
2018年广东省江门市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2018年广东省江门市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M＝{x|x2≤9}，N＝{x|2﹣x＜0}，则M∪N＝（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，3]C．[﹣3，2）D．（2，3]2．（5分）i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若z+2＝3+4i，则z＝（）A．1﹣2i B．1+2i C．1﹣4i D．1+4i3．（5分）已知向量＝（﹣1，2），＝（1，λ），若⊥，则+2与的夹角为（）A．B．C．D．4．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z＝2x+y的最小值为（）A．0B．2C．4D．85．（5分）某校高二年级N名学生参加数学调研测试成绩（满分120分）分布直方图如图．已知分数在100～110的学生有21人，则N＝（）A．48B．60C．72D．806．（5分）过原点且倾斜角为30°的直线被圆x2+（y﹣2）2＝4所截得的弦长为（）A．1B．C．D．27．（5分）若a，b都是正整数，则a+b＞ab成立的充要条件是（）A．a＝b＝1B．a，b至少有一个为1C．a＝b＝2D．a＞1且b＞18．（5分）将函数f（x）＝sin（πx+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是（）A．[2k﹣1，2k+2]（k∈Z）B．[2k+1，2k+3]（k∈Z）C．[4k+1，4k+3]（k∈Z）D．[4k+2，4k+4]（k∈Z）9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积V＝（）A．B．C．3D．10．（5分）F是抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上，点Q在抛物线的准线上，若＝2，则|PQ|＝（）A．B．4C．D．311．（5分）已知函数f（x）＝（2x﹣2﹣x）•x3，若实数a满足f（log2a）+f（log0.5a）≤2f（1），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，）∪（2，+∞）B．（，2）C．[，2]D．（，4]12．（5分）已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD，∠BCD＝90°，则四边形ABCD面积的最大值为（）A．6B．2+3C．2+2D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）记数列{a n}的前n项和为S n，若∀n∈N+，2S n＝a n+1，则a2018＝．14．（5分）设[x]表示不超过x的最大整数，如[π]＝3，[﹣3.2]＝﹣4，则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]＝．15．（5分）已知A＝{（x，y）|（x﹣1）2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y+m≥0}，若A⊆B，则实数m的取值范围是．16．（5分）两位教师对一篇初评为“优秀”的作文复评，若批改成绩都是两位正整数，且十位数字都是5，则两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2 的概率为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，A＝，3sin B＝5sin C．（Ⅰ）求tan B；（Ⅱ）△ABC的面积S＝，求△ABC的边BC的长？18．（12分）如图，直角梯形ABEF中，∠ABE＝∠BAF＝90°，C、D分别是BE、AF上的点，且DA＝AB＝BC＝a，DF＝2CE＝2a．沿CD将四边形CDFE翻折至CDPQ，连接AP、BP、BQ，得到多面体ABCDPQ，且AP＝a．（Ⅰ）求多面体ABCDPQ的体积；（Ⅱ）求证：平面PBQ⊥平面PBD．19．（12分）为探索课堂教学改革，江门某中学数学老师用传统教学和“导学案”两种教学方式，在甲、乙两个平行班进行教学实验．为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级各随机抽取20名学生的成绩进行统计，得到如图茎叶图．记成绩不低于70分者为“成绩优良”．（Ⅰ）请大致判断哪种教学方式的教学效果更佳，并说明理由；（Ⅱ）构造一个教学方式与成绩优良列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？（附：K2＝，其中n＝a+b+c+d是样本容量）独立性检验临界值表：20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点P 不在x轴上，直线AP、BP的斜率之积k AP k BP＝﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设C是轨迹上任意一点，AC的垂直平分线与x轴相交于点D，求点D横坐标的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣，a∈R是常数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程，并证明对任意a∈R，切线经过定点；（Ⅱ）证明：a＞0时，f（x）有两个零点x1、x2，且x1+x2＞2．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程是ρ＝4sinθ，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程是（t为参数）．（Ⅰ）将曲线C2的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）求曲线C1与曲线C2交点的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣3|，g（x）＝|x﹣1|+2．（Ⅰ）解不等式g（x）≤5；（Ⅱ）若对∀x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），求实数a的取值范围．2018年广东省江门市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M＝{x|x2≤9}，N＝{x|2﹣x＜0}，则M∪N＝（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，3]C．[﹣3，2）D．（2，3]【解答】解：∵集合M＝{x|x2≤9}＝{x|﹣3≤x≤3}，N＝{x|2﹣x＜0}＝{x|x＞2}，∴M∪N＝[﹣3，+∞）．故选：A．2．（5分）i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若z+2＝3+4i，则z＝（）A．1﹣2i B．1+2i C．1﹣4i D．1+4i【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则由z+2＝3+4i，得a+bi+2（a﹣bi）＝3a﹣bi＝3+4i，∴，得a＝1，b＝﹣4．∴z＝1﹣4i．故选：C．3．（5分）已知向量＝（﹣1，2），＝（1，λ），若⊥，则+2与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设+2与的夹角为θ，向量＝（﹣1，2），＝（1，λ），若⊥，则有•＝（﹣1）×1+2λ＝0，解可得λ＝，则＝（1，），则+2＝（1，3），则有|+2|＝，||＝，且（+2）•＝（﹣1）×1+2×3＝5，则有cosθ＝＝＝，则θ＝；故选：D．4．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z＝2x+y的最小值为（）A．0B．2C．4D．8【解答】解：由约束条件作出可行域，联立，解得A（﹣1，2），化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过点A时，直线在y轴上的截距直线，z有最小值为0．故选：A．5．（5分）某校高二年级N名学生参加数学调研测试成绩（满分120分）分布直方图如图．已知分数在100～110的学生有21人，则N＝（）A．48B．60C．72D．80【解答】解：由测试成绩（满分120分）分布直方图得：分数在100～110的频率为：（0.04+0.03）×5＝0.35．∵分数在100～110的学生有21人，∴N＝＝60．故选：B．6．（5分）过原点且倾斜角为30°的直线被圆x2+（y﹣2）2＝4所截得的弦长为（）A．1B．C．D．2【解答】解：过原点且倾斜角为30°的直线方程为y＝x，圆x2+（y﹣2）2＝4的圆心为（0，2），半径r＝2，圆心到直线的距离为d＝＝，则截得的弦长为2＝2＝2，故选：D．7．（5分）若a，b都是正整数，则a+b＞ab成立的充要条件是（）A．a＝b＝1B．a，b至少有一个为1C．a＝b＝2D．a＞1且b＞1【解答】解：∵a+b＞ab，∴（a﹣1）（b﹣1）＜1．∵a，b∈N*，∴（a﹣1）（b﹣1）∈N*，∴（a﹣1）（b﹣1）＝0，故a＝1或b＝1，故选：B．8．（5分）将函数f（x）＝sin（πx+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是（）A．[2k﹣1，2k+2]（k∈Z）B．[2k+1，2k+3]（k∈Z）C．[4k+1，4k+3]（k∈Z）D．[4k+2，4k+4]（k∈Z）【解答】解：将函数f（x）＝sin（+πx）＝cosπx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝cos（πx）图象；再把图象上所有的点向右平移1个单位，得到函数g（x）＝cos[π（x﹣1）]═cos（πx﹣）＝sin（πx）的图象．令2kπ+≤x≤2kπ+，求得4k+1≤x≤4k+3，k∈Z，可得函数g（x）的单调递减区间是[4k+1，4k+3]（k∈Z，故选：C．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积V＝（）A．B．C．3D．【解答】解：根据题意，原几何体为三棱柱ABC﹣DEF中去除三棱锥G﹣DEF 之外的部分，三棱柱ABC﹣DEF的体积V1＝×2×2×2＝4，三棱锥G﹣DEF的体积V2＝××2×2×1＝，则该几何体的体积V＝V1﹣V2＝4﹣＝；故选：B．10．（5分）F是抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上，点Q在抛物线的准线上，若＝2，则|PQ|＝（）A．B．4C．D．3【解答】解：F（，0），准线方程为x＝﹣．设抛物线的准线与x轴交于N点，过P作准线的垂线，垂足为M，则PM∥FN，∵＝2，∴＝＝，又FN＝1，∴PM＝PF＝3，∴FQ＝，∴PQ＝3+＝．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）＝（2x﹣2﹣x）•x3，若实数a满足f（log2a）+f（log0.5a）≤2f（1），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，）∪（2，+∞）B．（，2）C．[，2]D．（，4]【解答】解：根据题意，函数f（x）＝（2x﹣2﹣x）•x3，其定义域为R，且有f（﹣x）＝（2﹣x﹣2x）•（﹣x）3＝（2x﹣2﹣x）•x3＝f（x），即函数f（x）为偶函数，∵log0.5a＝﹣log2a，∴f（log2a）+f（log0.5a）≤2f（1）等价于f（log2a）≤f（1），又当x＞0时，2x﹣2﹣x＞0，x3＞0，且y＝2x﹣2﹣x和y＝x3均为增函数，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（log2a）≤f（1）可得﹣1≤log2a≤1，∴≤a≤2．故选：C．12．（5分）已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD，∠BCD＝90°，则四边形ABCD面积的最大值为（）A．6B．2+3C．2+2D．4【解答】解：连接BD，在三角形ABD中，由余弦定理可得BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos A＝4+4﹣2×2×2cos A＝8﹣8cos A，在三角形DBC中，BD2＝CB2+DC2＝2CB2，可得CB2＝4﹣4cos A，+S△BCD则四边形ABCD的面积为S＝S△ABD＝CB2+AB•AD•sin A＝2﹣2cos A+2sin A＝2+2（sin A﹣cos A）＝2+2sin（A﹣45°），当A﹣45°＝90°，即A＝135°时，sin（A﹣45°）取得最大值1，四边形ABCD的面积取得最大值为2+2．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）记数列{a n}的前n项和为S n，若∀n∈N+，2S n＝a n+1，则a2018＝﹣1．【解答】解：∵2S n＝a n+1，＝a n+1﹣（a n﹣1+1），∴n≥2时，2a n＝2S n﹣2S n﹣1，化为：a n＝﹣a n﹣1n＝1时，2a1＝a1+1，解得a1＝1．则a2018＝a2＝﹣a1＝﹣1．故答案为：﹣1．14．（5分）设[x]表示不超过x的最大整数，如[π]＝3，[﹣3.2]＝﹣4，则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]＝92．【解答】解：∵[lg1]＝[lg2]＝[lg3]＝…[lg9]＝0，[lg10]＝[lg11]＝…+[lg99]＝1，[lg100]＝2．∴[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]＝90×1+2＝92．故答案为：92．15．（5分）已知A＝{（x，y）|（x﹣1）2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y+m≥0}，若A⊆B，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣﹣1]．【解答】解：集合A对应的平面区域为以（1，0）为圆心，半径为1的圆及圆的内部．集合B表示在直x+y+m＝0的左下方，∴要使A⊆B恒成立，则满足直线与圆的距离d≥2且（1，0）在x+y+m≤0对应的平面内即d＝且1+m≤0，∴|1+m|≥，且m≤﹣1，∴1+m≤﹣，解得m≤﹣﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣﹣1]．16．（5分）两位教师对一篇初评为“优秀”的作文复评，若批改成绩都是两位正整数，且十位数字都是5，则两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2 的概率为0.44．【解答】解：解：设甲的成绩为x，乙的成绩为y，x，y∈{50，51，52，•，59}则（x，y）对应如图所示的正方形ABCD及其内部的整数点，共有10×10＝100，其中满足|x﹣y|≤2的（x，y）对应的点如图阴影部分（含边界）的整数点，共有100﹣7×8＝44，故所求概率为P＝．故答案为：0.44．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，A＝，3sin B＝5sin C．（Ⅰ）求tan B；（Ⅱ）△ABC的面积S＝，求△ABC的边BC的长？【解答】解：（Ⅰ）根据题意，由A＝可得B+C＝，又由3sin B＝5sin C，则3sin B＝5sin C＝5sin（﹣B）＝5sin cos B﹣5cos sin B，变形可得sin B＝cos B，则tan B＝5，（Ⅱ）设角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若3sin B＝5sin C，则3b＝5c，又由S＝，则有bc sin A＝，变形可得bc＝15，又由3b＝5c，则有b＝5，c＝3；由余弦定理得，a＝＝＝．18．（12分）如图，直角梯形ABEF中，∠ABE＝∠BAF＝90°，C、D分别是BE、AF上的点，且DA＝AB＝BC＝a，DF＝2CE＝2a．沿CD将四边形CDFE翻折至CDPQ，连接AP、BP、BQ，得到多面体ABCDPQ，且AP＝a．（Ⅰ）求多面体ABCDPQ的体积；（Ⅱ）求证：平面PBQ⊥平面PBD．【解答】解：（Ⅰ）∵DA＝AB＝BC＝a，∠ABE＝∠BAF＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，CD⊥DP，又AD∩DP＝D，∴CD⊥平面ADP．∵AD2+DP2＝AP2，∴AD⊥DP，又CD⊥AD，CD∩DP＝D，∴AD⊥平面CDPQ，又AD∥BC，∴BC⊥平面CDPQ．＝＝（a+2a）×a×a＝a3，∴V B﹣CDPQV B﹣ADP＝＝＝．+V B﹣ADP＝．∴多面体ABCDPQ的体积为V B﹣CDPQ（Ⅱ）取BP的中点G，连接GQ、DG、DQ，在△ABP中，BP＝＝2a，∴BG＝BP＝a，在△BCQ中，BQ＝＝a，PQ＝＝a，∴PQ＝BQ，∴GQ⊥BP．∴QG＝＝a，又BD＝＝2a＝DP，∴DG⊥BP，∴DG＝＝a，又DQ＝＝a，∴DQ2＝QG2+DG2，即QG⊥DG．又BP∩DG＝G，∴QG⊥平面PBD，又QG⊂平面PBQ，∴平面PBQ⊥平面PBD．19．（12分）为探索课堂教学改革，江门某中学数学老师用传统教学和“导学案”两种教学方式，在甲、乙两个平行班进行教学实验．为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级各随机抽取20名学生的成绩进行统计，得到如图茎叶图．记成绩不低于70分者为“成绩优良”．（Ⅰ）请大致判断哪种教学方式的教学效果更佳，并说明理由；（Ⅱ）构造一个教学方式与成绩优良列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？（附：K2＝，其中n＝a+b+c+d是样本容量）独立性检验临界值表：【解答】解：（Ⅰ）乙班（“导学案”教学方式）教学效果更佳，理由1、乙班大多在70以上，甲班70分以下的明显更多；理由2、甲班样本数学成绩的平均分为：70.2；乙班样本数学成绩前十的平均分为：79.05，高10%以上．理由3、甲班样本数学成绩的中位数为：＝70，乙班样本成绩的中位数＝77.5，高10%以上．（Ⅱ）列联表如下：k2的观测值：k＝＝≈3.956＞3.841．答：能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点P 不在x轴上，直线AP、BP的斜率之积k AP k BP＝﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设C是轨迹上任意一点，AC的垂直平分线与x轴相交于点D，求点D横坐标的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），（y≠0），则，，……（2分）由k AP•k BP＝﹣，得•＝﹣，……（4分）化简整理得，动点P的轨迹方程为＝1（y≠0）．……（5分）（Ⅱ）设C（x，y），D（x0，0），依题意|AD|＝|CD|，即|x0+2|＝+y2，……（7分）平方并移项整理得，2（x+2）x0＝x2+y2﹣4，……（8分）X（x，y）在椭圆上，∴＝1（y≠0），即，且x≠±2．……（9分）所以2（x+2）x0＝﹣1，，……（11分）因为﹣2＜x＜2，所以﹣，即点D横坐标x0的取值范围为（﹣，0）．当c与b重合横坐标为0，故点D横坐标x0的取值范围为（﹣，0]．……（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣，a∈R是常数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程，并证明对任意a∈R，切线经过定点；（Ⅱ）证明：a＞0时，f（x）有两个零点x1、x2，且x1+x2＞2．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝+，f′（2）＝+a，所求切线方程为y＝f（2）＝f′（2）（x﹣2），y﹣（ln2﹣a）＝（+a）（x﹣2）即y＝（+a）（x﹣2）+（ln2﹣a）＝（+a）x+ln2﹣3a﹣1，切线方程等价于y＝a（x﹣3）+（x+ln2﹣1），当x＝3时，恒有y＝+ln2，即切线过定点（3，+ln2）．（Ⅱ）证明：令f（x）＝0，得lnx＝，画出函数y＝lnx和y＝的草图，如图示：结合图象函数y＝lnx和y＝有2个交点，令x1＜x2，显然0＜x1＜1，x2＞1，①x2≥2时，显然x1+x2＞2成立，②1＜x2＜2时，0＜2﹣x2＜1，而f（x）在（0，1）递增，要证明x1+x2＞2，只需x1＞2﹣x2，即f（x1）＞f（2﹣x2），而f（x2）＝f（x1），问题转化为f（x2）﹣f（2﹣x2）＞0在（1，2）恒成立即可，由a＝（x2﹣1）lnx2，得f（x2）﹣f（2﹣x2）＝﹣ln（2﹣x2）﹣lnx2，令g（x）＝﹣ln（2﹣x）﹣lnx，x∈（1，2），则g′（x）＝﹣＝＞0，故g（x）在（1，2）递增，而x→1时，g（x）→0，故g（x）＞0在（1，2）恒成立，故x1+x2＞2．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程是ρ＝4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程是（t为参数）．（Ⅰ）将曲线C2的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）求曲线C1与曲线C2交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线C2的参数方程是（t为参数）．由曲线的参数方程得：①，则：②．所以：①•②得：，即：所求的普通方程为：．（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程是ρ＝4sinθ，转换为直角坐标方程为：x2+y2＝4y，所以：，解得：或，转换为极坐标为：A（2，），B（2，）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣3|，g（x）＝|x﹣1|+2．（Ⅰ）解不等式g（x）≤5；（Ⅱ）若对∀x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，|x﹣1|+2≤5，得|x﹣1|≤3……（1分），得﹣3≤x﹣1≤3，即﹣2≤x≤4……（3分）（Ⅱ）函数g（x）的值域为N＝[2，+∞），设函数f（x）的值域为M，依题意，M⊆N……（4分）当a＝6时，f（x）＝3|x﹣3|，此时M＝[0，+∞），不合题意……（5分）当a＞6时，f（x）＝，此时M＝[﹣3，+∞），解，得a≥10……（7分）当a＜6时，f（x）＝，此时M＝[3﹣，+∞），解，得a≤2……（9分）综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，2]∪[10，+∞）……（10分）第21页（共21页）。
广东省茂名市高州第四高级中学2018年高三数学文模拟试卷含解析
广东省茂名市高州第四高级中学2018年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数的虚部是高考资源网( )A. -1B. 1C. iD. -i参考答案：B，虚部为，选B.2. 如图，偶函数f(x)的图象如字母M，奇函数g(x)的图象如字母N，若方程f(f(x))＝0，f(g(x))＝0的实根个数分别为m、n，则m＋n＝( )A．18 B．16C．14 D．12参考答案：A3. 设等差数列的前项和为，若，则的值是（A）（B）（C）（D）参考答案：C4. 某程序框图如图所示，若程序运行后，输出S的结果是(A)246(B)286(C)329(D)375参考答案：B5. 已知点A是双曲线（a，b＞0）右支上一点，F是右焦点，若△AOF（O是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率e为（）A．B．C．1+D．1+参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件求出A坐标，代入双曲线方程，可得a、b、c，关系，然后求解离心率即可．【解答】解：依题意及三角函数定义，点A（ccos，csin），即A（，），代入双曲线方程，可得 b2c2﹣3a2c2=4a2b2，又c2=a2+b2，得e2=4+2，e=，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6. 《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：AB是半圆O的直径，点D在半圆周上，于点C，设，，直接通过比较线段OD与线段CD的长度可以完成的“无字证明”为（）A．B．C. D．参考答案：D7. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，，，M为AA1的中点，则异面直线AC与B1M所成角的余弦值为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】以D为原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与B1M所成角的余弦值．【详解】以D为原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则,∴，设异面直线AC与B1M所成角为θ，则．∴异面直线AC与B1M所成角的余弦值为．故选：B．【点睛】本题考查了用向量法求异面直线所成角的余弦值，属于基础题．8. 若实数满足恒成立，则函数的单调减区间为（）A． B． C． D．参考答案：D略9. 设a，b≠0，则“a＞b”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】?＜0?ab（b﹣a）＜0与a＞b相互推不出．【解答】解：?＜0?ab（b﹣a）＜0与a＞b相互推不出．∴“a＞b”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．10. 设,函数,则的值等于（）A．8 B．7 C．6 D．5参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 阅读右侧程序框图，则输出的数据为________.参考答案：第一次运算，；第二次运算，；第三次运算，；第四次运算，；第五次运算，；第六次不条件，输出.12. 函数，满足：对任意的x，都有且。
2018年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)
2018年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x|x−2<0}，B={x|e x≥1e}，则A∩B=()A.(0, 1]B.[−1, 0)C.[−1, 2)D.[0, 2)2. 已知a∈R，i为虚数单位，若复数z=a+i1−i纯虚数，则a＝（）A.0B.1C.2D.±13. 其食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集到了一部分不同年份的该酒品，并测定了其芳香度（如表）．5由最小二乘法得到回归方程y^=1.03x+1.13，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推断该数据为（）A.6.1B.6.28C.6.5D.6.84. 设有下面四个命题：p1:∃n∈N，n2>2n；p2:x∈R，“x>1”是“x>2”的充分不必要条件；P3：命题“若x=y，则sin x=siny”的逆否命题是“若sin x≠siny，则x≠y”；P4：若“pVq”是真命题，则p一定是真命题．其中为真命题的是（）A.p1，p2B.p2，p3C.p2，p4D.p1，p35. 已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π6，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为（）A.x23−y22=1 B.x23−y2=1C.x26−y24=1 D.x212−y24=16. 两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（）A.1 2B.14C.13D.167. 中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x=5，y=2，输出的n为4，则程序框图中的中应填（）A.y<xB.y≤xC.x≤yD.x=y8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）A.169π B.254π C.16π D.25π9. 函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω，φ是常数，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，为得到函数y=cosωx，只需将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象（）A.向左平移π12个长度单位B.向右平移5π12个长度单位C.向左平移π6个长度单位10. 设等差数列{a n }满足：3a 7=5a 13，cos 2a 4−cos 2a 4sin 2a 7+sin 2a 4cos 2a 7−sin 2a 4=−cos(a 5+a 6)公差d ∈(2, 0)，则数列{a n }的前项和S n 的最大值为（ ） A.100π B.54π C.77π D.300π11. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且在区间(0,+∞)上有3f(x)+xf ′(x)>0恒成立．若g(x)=x 3f(x)，令a =g(log 21e )，b =g(log 52)，c =g (e −12)，则（ ） A.a <b <c B.b <a <c C.b <c <a D.c <b <a12. 已知F 为抛物线y 2=4√3x 的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点（点A 在第一象限），若AF →=3FB →，则以AB 为直径的圆的标准方程为（ ） A. (x −5√33)2+(y −2)2=643B. (x −2)2+(y −2√3)2=643C.(x −5√3)2+(y −2)2=64D.(x −2√3)2+(y −2)2=64二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．已知向量a →=(−2, 3)，b →=(m, 1)．若向量(a →−2b →) // b →平行，则m =________．若实数x ，y 满足约束条件{2x +y +2≥0x +2y −2≤0x −y −2≤0 ，则z =2x −y 的最小值为________．曲线y ＝e x−1+x 的一条切线经过坐标原点，则该切线方程为________．如图，在△ABC 中，∠ABC =90∘，AC =2CB =2√3，P 是△ABC 内一动点，∠BPC =120∘，则AP 的最小值为________．三、解答题：本题共5小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤.}的前n项和T n(Ⅱ)设b n=log2(a n)2，求数列{1b n b n+1如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC为等边三角形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，且∠B1BA=45∘．(I)证明：AC⊥AA1；(Ⅱ)若AA1=√2AB=2，求三棱柱ABC−A1B1C1的体积．某重点中学将全部高一新生分成A，B两个成绩相当（成绩的均值、方差都相同）的级部，A级部采用传统形式的教学方式，B级部采用新型的基于信息化的自主学习教学方式．期末考试后分别从两个级部中各随机抽取100名学生的数学成绩进行统计，得到如下数据：若记成绩不低于130分者为“优秀”．(I)根据上表数据分别估计A，B两个级部“优秀”的概率；(Ⅱ)填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为“优秀”与教学方式有关？(Ⅲ)根据上表数据完成下面的频率分布直方图，并根据频率分布直方图，分别求出A ，B 两个级部的中位数的估计值（精确到0.01）；请根据以上计算结果初步分析A ，B 两个级部的数学成绩的优劣．K 2=n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，直线l:x +2y ＝4与椭圆有且只有一个交点T ．(Ⅰ)求椭圆C 的方程和点T 的坐标；(Ⅱ)O 为坐标原点，与OT 平行的直线l′与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求△OAB 的面积最大时直线l′的方程．已知函数f(x)=ax 2+x x+1−ln(x +1)(a >0)．(I)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a =1时，关于x 的不等式f(x)≤kx 2在x ∈[0, +∞)上恒成立，求k 的取值范围． 请考生在第22、23题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作签时．请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线/的参数方程为{x =a +35ty =1+45t （t 为参数）．在以O 为极点、x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为ρcos 2θ+8cosθ−ρ=0 (I)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)已知点P(a, 1)，设直线l 与曲线C 的两个交点为A ，B ，若|PA|=3|PB|．求a 的值． [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）已知a >0，b >0且a 2+b 2=2．(I)若是1a 2+4b 2≥|2x −1|−|x −1|恒成立，求x 的取值范围； (Ⅱ)证明：(1a +1b )(a 5+b 5)≥4．参考答案与试题解析2018年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】可求出A={x|x<2}，B={x|x≥−1}，然后进行交集的运算即可．【解答】A={x|x<2}，B={x|x≥−1}；∴A∩B={x|−1≤x<2}=[−1, 2)．2.【答案】B【考点】虚数单位i及其性质复数的基本概念复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】∵z=a+i1−i =(a+i)(1+i)(1−i)(1+i)=a−1+(a+1)i2是纯虚数，∴{a−1=0a+1≠0，即a＝1．3.【答案】A【考点】求解线性回归方程【解析】由题意求出x，代入到回归直线方程y，即可求解污损处的数据．【解答】由表中数据：x=16(0+1+4+5+6+8)=4，回归方程y^=1.03x+1.13，∴y^=1.03×4+1.13＝5.25，1解得：？＝6.1．4.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】利用特殊值判断p1的正误；利用需要提交判断p2的正误；利用四种命题的逆否关系判断P3的正误；复合命题的真假判断P4的正误．【解答】对于p1:∃n∈N，n2>2n；当n=3时成立，所以是真命题；对于p2:x∈R，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件；所以命题是假命题；对于P3：命题“若x=y，则sin x=siny”的逆否命题是“若sin x≠siny，则x≠y”；满足逆否命题的形式，所以是真命题；对于P4：若“pVq”是真命题，则p是真命题或q是真命题，但是p不一定是真命题．所以是假命题；综上：真命题的是p1，p3．5.【答案】D【考点】双曲线的特性【解析】利用双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式即可得出．【解答】由题意可设此双曲线的标准方程为：x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)．双曲线的一条渐近线的倾斜角为π6，取焦点F(c, 0)，∵焦点到渐近线的距离为3，∴{ba =√33c2=a2+b2√a2+b2=2，解得b=2，a=2√3，因此该双曲线的方程为：x212−y24=(1)故选：D．6.【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】两名同学分3本不同的书，利用列举法求出基本事件包含8种情况，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的情况有两种，由此能求出一人没有分到书，另一人分得3本书的概率．两名同学分3本不同的书，基本事件包含：(0, 3)，(1a, 2)，(1b, 2)，(1c, 2)，(2, 1a)，(2, 1b)，(2, 1c)，(3, 0)，共8种情况，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的情况有两种，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为：p=28=14．7.【答案】C【考点】程序框图【解析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，y的值，由输出n的值为4，可得判断框内的条件．【解答】模拟程序的运行，可得x=5，y=2，n=1x=152，y=4不满足条件，执行循环体，n=2，x=454，y=8，此时，x>y，不满足条件，执行循环体，n=3，x=1358，y=16，此时，x>y，不满足条件，执行循环体，n=4，x=40516，y=32，此时，x<y，由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为（4）可得程序框图中的中应填x≤y？8.【答案】D【考点】由三视图求体积球的体积和表面积【解析】由三视图知该几何体是三棱锥，求出外接球的半径，然后求解球的表面积．【解答】如图，由三视图知该几何体是三棱锥的底面是等腰直角三角形，高为2，侧面是等腰三角形与底面的三角形的斜边垂直，底面边长为4，高为4，如图：所以三棱锥的外接球的圆心在侧面等腰三角形的高线上，球心为O，设球的半径为r，则：r2=4+(4−r)2，解得r=52，则该几何体的外接球表面积为：4π(2r)2=25π．9.【答案】A函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而得到函数f(x)的解析式．再根据y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得出结论．【解答】由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象可得A=1，14×2πω=5π6−7π12=π4，解得ω=(2)再由五点法作图可得2×56π+φ=2π，解得φ=π3，故函数f(x)=sin(2x+π3)=cos[(2x+π3)−π2]=cos(2x−π6)=cos2(x−π12)，故f(x)=sin(2x+π3)的图象向左平移π12个长度单位可得y=cos2x的图象，10.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】由3a7=5a13，可得3(a1+6d)=5(a1+12d)，化为：a1=−21d．由cos2a4−cos2a4sin2a7+sin2a4cos2a7−sin2a4，利用平方关系、和差公式、等差数列的性质可得：cos(a4+a7)cos(a4−a7)=−os(a5+a6)．cos(a4−a7)=−1，可得a4−a7=−3d=π+2kπ，根据公差d∈(2, 0)，∴可得d，a1．由a n≥0，得n范围即可得出．【解答】∵3a7=5a13，∴3(a1+6d)=5(a1+12d)，化为：a1=−21d．∵cos2a4−cos2a4sin2a7+sin2a4cos2a7−sin2a4=cos2a4cos2a7−sin2a4sin2a7=(cosa4cosa7+sina4sina7)(cosa4cosa7+sina4sina7)=cos(a4+a7)cos(a4−a7)=−os(a5+a6)．∴cos(a4−a7)=−1，∴a4−a7=−3d=π+2kπ，d=−π+2kπ3．∵公差d∈(2, 0)，∴d=−π3，a1=7π．由a n=7π+(n−1)(−π3)≥0，得n≤(22)∴S22或S21最大，最大值为S22=22×7π+22×212×(−π3)=77π．11.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：∵ f(x)是R上的奇函数，∴ g(−x)=(−x)3⋅f(−x)=x3⋅f(x)=g(x)．又∵在(0,+∞)上，3f(x)+xf′(x)>0，∴g′(x)=3x2f(x)+x3⋅f′(x)=x2⋅[3f(x)+xf′(x)]>0，∴ g(x)是R上的偶函数，且在[0,+∞)上为增函数．∴ a=g(log21e)=g(−log2e)=g(log2e)，b=g(log52)，c=g(e−12)且0<log52<log5√5=12<√e=e−12<1．而log2e∈(1,2)，∴ b<c<a．故选C．12.【答案】A【考点】抛物线的性质向量的线性运算性质及几何意义直线与圆的位置关系圆的标准方程【解析】作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC 于E．由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt△ABE中，cos∠BAE=12，得∠BAE=60∘，即直线AB的倾斜角为60∘，从而得到直线AB的斜率k值．线AB的方程：y=√3(x−√3)，代入抛物线方程得3x2−10√3x+9=(0)即可求得圆心和半径．【解答】|解：作出抛物线的准线l:x=−√3，设A，B在l上的射影分别是C，D，如图所示，连接AC，BD，过B作BE⊥AC于E．∵AF→=3FB→，∴设AF=3m，BF=m，由点A，B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得AC=3m，BD=m．1得∠BAE =60∘，∴ 直线AB 的倾斜角∠AFx =60∘， 得直线AB 的斜率k =tan60∘=√3， ∴ 直线AB 的方程为y =√3(x −√3)， 代入抛物线方程得3x 2−10√3x +9=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), ∴x 1+x 22=5√33，y 1+y 22=2．∵ |AB|=x 1+x 2+2√3=3，则以AB 为直径的圆的标准方程为(x −5√33)2+(y −2)2=643．故选A .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 【答案】−23【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】求出向量，利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可． 【解答】向量a →=(−2, 3)，b →=(m, 1)．若向量(a →−2b →)=(−2−2m, 1)与b →平行，可得：m =−2−2m ，解得m =−23．【答案】 −6【考点】 简单线性规划 【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解答】由实数x ，y 满足约束条件{2x +y +2≥0x +2y −2≤0x −y −2≤0 作出可行域：联立{2x +y +2=0x +2y −2=0，解得A(−2, 2)， 化z =2x −y 为y =2x −z ，由图可知，当直线y =2x −z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为−(6) 【答案】 y ＝2x 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】设切点(m, n)，求得函数的导数，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得m，n，进而得到所求切线的方程．【解答】设切点为(m, n)，可得n＝m+e m−1，y＝e x−1+x的导数为y′＝e x−1+1，可得切线的斜率为k＝e m−1+1，又k=nm =m+e m−1m，解得m＝1，n＝2，则k＝2，可得切线的方程为y＝2x．【答案】√13−1【考点】三角形求面积【解析】直接利用正弦定理和余弦定理及三角函数关系式的恒等变换求出结果．【解答】设∠PBC=θ，则：∠ACP+∠BCP=60∘，∠PBC+∠BCP=60∘，所以：∠ACP=∠PBC=θ．在△PBC中，由正弦定理得：BCsin∠BPC =√3sin120∘=2=PCsin∠PBC，所以：PC=2sinθ．则：在△PBC中，AP2=PC2+AC2−2⋅PC⋅ACcosθ，即：AP2=4sin2θ+12−8√3sinθcosθ，=14−2√13sin(2θ+α)，且tanα=2√3=√36，由于：0<θ<60∘，则：0<2θ<120∘，由AP2的最小值14−2√13，解得：√14−2√13=√13−1，三、解答题：本题共5小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】(Ⅰ)a n+1=2+S n，(n∈N∗)，①当n=1时，a2=2+S1，即a2=4，当n≥2时，a n=2+S n−1，②，由①-②可得a n+1−a n=S n−S n−1=a n，即a n+1=2a n，∴a n=a2×2n−2=2n，n≥2，当n=1时，a1=21=2，∴a n=2n，(n∈N∗)．(Ⅱ)由(Ⅰ)得b n=log2(a n)2=2n，∴1b n b n+1=14n∗(n+1)=14(1n−1n+1)，∴T n=14(1−12+12−13+...+1n−1n+1)=14(1−1n+1)=n4n+4．【考点】数列的求和数列递推式【解析】(Ⅰ)根据数列的递推公式即可求出数列的通项公式，(Ⅱ)根据对数的运算性质，以及裂项求和，即可求出T n．【解答】(Ⅰ)a n+1=2+S n，(n∈N∗)，①当n=1时，a2=2+S1，即a2=4，当n≥2时，a n=2+S n−1，②，由①-②可得a n+1−a n=S n−S n−1=a n，即a n+1=2a n，∴a n=a2×2n−2=2n，n≥2，当n=1时，a1=21=2，∴a n=2n，(n∈N∗)．(Ⅱ)由(Ⅰ)得b n=log2(a n)2=2n，∴1b n b n+1=14n∗(n+1)=14(1n−1n+1)，∴T n=14(1−12+12−13+...+1n−1n+1)=14(1−1n+1)=n4n+4．【答案】(Ⅰ)证明：在平面BCC1B1内过点C作BB1的垂线，垂足为O，连接AO，由平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，得CO⊥平面ABB1A1，故CO⊥BB1，CO⊥OA，又AC=BC，OC=OC，∴△AOC≅△BOC，得OA=OB，又∠ABO=45∘，∴AO⊥BO，又CO⊥BO，∴BO⊥平面AOC，则AC⊥BO，又AA1 // BO，∴AC⊥AA1；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，BB1⊥平面AOC，∴平面AOC为三棱柱的直截面，又由AA1=√2AB=2，得AA1=2，AB=√2，又∠ABO=45∘，∴AO=BO=CO=1，∴V ABC−A1B1C1=S△AOC×AA1=12×1×1×2=1．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】(Ⅰ)在平面BCC1B1内过点C作BB1的垂线，垂足为O，连接AO，由已知可得CO⊥平面ABB1A1，则CO⊥BB1，CO⊥OA，再由三角形全等证明OA=OB，结合∠ABO=45∘，可得AO⊥BO，由线面垂直的判定可得BO⊥平面AOC，得到AC⊥BO，结合AA1 // BO，可得AC⊥AA1；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，BB1⊥平面AOC，得平面AOC为三棱柱的直截面，由已知求得AA1= 2，AB=√2，进一步得到AO=BO=CO=1，代入棱柱体积公式求解．【解答】(Ⅰ)证明：在平面BCC1B1内过点C作BB1的垂线，垂足为O，连接AO，由平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，得CO⊥平面ABB1A1，故CO⊥BB1，CO⊥OA，又AC=BC，OC=OC，∴△AOC≅△BOC，得OA=OB，又∠ABO=45∘，∴AO⊥BO，又CO⊥BO，∴BO⊥平面AOC，则AC⊥BO，又AA1 // BO，∴AC⊥AA1；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，BB1⊥平面AOC，∴平面AOC为三棱柱的直截面，又由AA1=√2AB=2，得AA1=2，AB=√2，又∠ABO=45∘，∴AO=BO=CO=1，∴V ABC−A1B1C1=S△AOC×AA1=12×1×1×2=1．【答案】7,93,100,24,76,100,31,169,200【考点】独立性检验【解析】（I）根据题意，分布计算A、B级部“优秀”的概率估计值；(Ⅱ)填写2×2列联表，计算K2的观测值，对照临界值得出结论；(Ⅲ)根据表中数据画出频率分布直方图，计算A、B级部的数学成绩中位数；根据数学成绩的“优秀”、独立性检验和中位数的估计值，都可以得出初步统计结论．【解答】(I)A级部“优秀”的概率估计值为7100，B级部“优秀”的概率估计值为24100=625；(Ⅱ)填写2×2列联表如下，由列联表可知，K2的观测值k=200×(93×24−76×7)2169×31×100×100≈11.033>6.635；所以有99%的把握认为“优秀”与教学方式有关；(Ⅲ)根据上表数据完成频率分布直方图，如图所示；设A 级部的数学成绩中位数是x ，则0.18+0.23+(x −110)×0.029=0.5，解得x ≈113.10分；设B 级部的数学成绩中位数是y ，则0.08+0.16++0.24+(y −120)×0.028=0.5，解得x ≈120.71分；根据以上计算结果知，①B 级部数学成绩的“优秀”率大于A 级部数学成绩的“优秀”率；②根据独立性检验的结果有99%的把握认为“优秀”与教学方式有关； ③从A 、B 两个级部的数学成绩的中位数的估计值看，B 级部的数据大于A 级部的数据，故初步分析B 级部的数学成绩优于A 级部的数学成绩． 【答案】（I ）由椭圆的离心率e =c a=√1−b 2a2=12，则b 2=34a 2， 则{x +2y =4x 2a 2+4y 23a 2=1 ，消去x ，整理得：163y 2−16y +16−a 2＝0，① 由△＝0，解得：a 2＝4，b 2＝3， ∴ 椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1；所以y T =32，则T(1, 32)，（2）设直线l′方程为y =32x +t ，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{y =32x +t3x 2+4y 2=12，消去y ，整理得：12x 2+12tx +4t 2−12＝0，由x 1+x 2＝−t ，x 1x 2=t 2−33，△＝(12t)2−4×12×(4t 2−12)>0，解得：t 2<12，|AB|=√(1+94)√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√132√(−t 23+4)，设原点到直线l′的距离为d ，d =√4∴ △OAB 的面积S =12|AB|×d =12×√132√(−t 23+4)×√4=12√−t 43+4t 2，所以当t 2＝6<12时，即t ＝±√6时，△OAB 的面积最大， ∴ 直线l′的方程为y =32x +√6或y =32x −√6．【考点】椭圆的离心率 【解析】（I ）根据椭圆的离心率，将直线方程代入椭圆方程，由△＝0，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；(Ⅱ)设直线l′的方法，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式公式，根据二次函数的性质，即可求得当△OAB 的面积最大时直线l′的方程． 【解答】（I ）由椭圆的离心率e =ca =√1−b 2a 2=12，则b 2=34a 2， 则{x +2y =4x 2a 2+4y 23a 2=1 ，消去x ，整理得：163y 2−16y +16−a 2＝0，① 由△＝0，解得：a 2＝4，b 2＝3， ∴ 椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1；所以y T =32，则T(1, 32)，（2）设直线l′方程为y =32x +t ，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 联立{y =32x +t3x 2+4y 2=12，消去y ，整理得：12x 2+12tx +4t 2−12＝0，由x 1+x 2＝−t ，x 1x 2=t 2−33，△＝(12t)2−4×12×(4t 2−12)>0，解得：t 2<12，|AB|=√(1+94)√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√132√(−t 23+4)，设原点到直线l′的距离为d ，d =√4∴ △OAB 的面积S =12|AB|×d =12×√132√(−t 23+4)×√4=12√−t 43+4t 2，所以当t 2＝6<12时，即t ＝±√6时，△OAB 的面积最大， ∴ 直线l′的方程为y =32x +√6或y =32x −√6．【答案】(Ⅰ)f(x)的定义域是(−1, +∞)，f′(x)=x(ax+2a−1)(1+x)2，由a>0，f′(x)=0，解得：x1=0，x2=−2+1a，①当a≥1时，−2+1a≤−1，在x∈(−1, 0)时，f′(x)<0，在x∈(0, +∞)时，f′(x)>0，故f(x)在x∈(−1, 0)递减，f(x)在x∈(0, +∞)递增；②当12<a<1时，−1<−2+1a<0，在x∈(−1, −2+1a)时，f′(x)>0，在x∈(−2+1a, 0)时，f′(x)<0，在x∈(0, +∞)时，f′(x)>0，故f(x)在x∈(−1, −2+1a)，x∈(0, +∞)递增，f(x)在x∈(−2+1a, 0)递减；③当a=12时，f′(x)≥0在x∈(−1, +∞)上恒成立，故f(x)在x∈(−1, +∞)递增；④当0<a<12时，−2+1a>0，在x∈(−1, 0)时，f′(x)>0，在x∈(0, −2+1a )时，f′(x)<0，在x∈(−2+1a, +∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(−1, 0)，x∈(−2+1a, +∞)递增，f(x)在x∈(0, −2+1a)递减；(Ⅱ)当a=1时，f(x)=x−ln(x+1)，f(x)≤kx2，即kx2−x+ln(x+1)≥0，设g(x)=kx2−x+ln(x+1)，x≥0，只需g(x)≥0，在x∈[0, +∞)上恒成立即可，∵g(0)=0，g′(x)=2kx−1+1x+1=x[2k(x+1)−1brackx+1，又x≥0，故xx+1≥0，令g′(x)=0，得2k(x+1)−1=0，当k≥12时，g′(x)≥0在x≥0上g′(x)≥0，故y=g(x)递增，故g(x)≥g(0)=0恒成立，当0<k<12时，g′(x)=0，即2k(x+1)−1=0，故x=−1+12k>0，故x∈(0, −1+12k)时，g′(x)<0，x∈(−1+12k, +∞)时，g′(x)>0，此时函数g(x)在x∈(0, −1+12k)递减，又g(0)=0，故在x∈(0, −1+12k)上，g(x)<0，与题设矛盾，当k≤0时，g′(x)<0，此时函数g(x)在x∈(0, +∞)递减，又g(0)=0，故x∈(0, +∞)上，g(x)<0，与题设矛盾，综上，k≥12．【考点】利用导数研究函数的单调性导数求函数的最值【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)问题转化为kx2−x+ln(x+1)≥0，设g(x)=kx2−x+ln(x+1)，x≥0，只需g(x)≥0，在x∈[0, +∞)上恒成立即可，根据函数的单调性求出k的范围即可．【解答】(Ⅰ)f(x)的定义域是(−1, +∞)，f′(x)=x(ax+2a−1)(1+x)2，由a>0，f′(x)=0，解得：x1=0，x2=−2+1a，①当a≥1时，−2+1a≤−1，在x∈(−1, 0)时，f′(x)<0，在x∈(0, +∞)时，f′(x)>0，故f(x)在x∈(−1, 0)递减，f(x)在x∈(0, +∞)递增；②当12<a<1时，−1<−2+1a<0，在x∈(−1, −2+1a)时，f′(x)>0，在x∈(−2+1a, 0)时，f′(x)<0，在x∈(0, +∞)时，f′(x)>0，故f(x)在x∈(−1, −2+1a)，x∈(0, +∞)递增，f(x)在x∈(−2+1a, 0)递减；③当a=12时，f′(x)≥0在x∈(−1, +∞)上恒成立，故f(x)在x∈(−1, +∞)递增；④当0<a<12时，−2+1a>0，在x∈(−1, 0)时，f′(x)>0，在x ∈(0, −2+1a )时，f′(x)<0，在x ∈(−2+1a , +∞)时，f′(x)>0， 故f(x)在(−1, 0)，x ∈(−2+1a , +∞)递增， f(x)在x ∈(0, −2+1a )递减；(Ⅱ)当a =1时，f(x)=x −ln(x +1)，f(x)≤kx 2， 即kx 2−x +ln(x +1)≥0，设g(x)=kx 2−x +ln(x +1)，x ≥0，只需g(x)≥0，在x ∈[0, +∞)上恒成立即可， ∵ g(0)=0，g′(x)=2kx −1+1x+1=x[2k(x+1)−1brackx+1，又x ≥0，故xx+1≥0，令g′(x)=0，得2k(x +1)−1=0， 当k ≥12时，g′(x)≥0在x ≥0上g′(x)≥0， 故y =g(x)递增，故g(x)≥g(0)=0恒成立， 当0<k <12时，g′(x)=0，即2k(x +1)−1=0， 故x =−1+12k >0，故x ∈(0, −1+12k )时，g′(x)<0， x ∈(−1+12k, +∞)时，g′(x)>0，此时函数g(x)在x ∈(0, −1+12k )递减，又g(0)=0，故在x ∈(0, −1+12k )上，g(x)<0，与题设矛盾， 当k ≤0时，g′(x)<0，此时函数g(x)在x ∈(0, +∞)递减，又g(0)=0，故x ∈(0, +∞)上，g(x)<0，与题设矛盾， 综上，k ≥12．请考生在第22、23题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作签时．请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 【答案】（1）直角坐标系xOy 中，直线/的参数方程为{x =a +35ty =1+45t （t 为参数）． 转化为直角坐标方程为：4x −3y −4a +3=(0) 曲线C 的方程为ρcos 2θ+8cosθ−ρ=0 转化为直角坐标方程为：y 2=8x ． （2）设A 、B 的两个参数为t 1和t 2，则：{ y 2=8x x =a +3t 5y =1+4t 5，整理得：1625t 2−165t −8a +1=0，所以：{t 1+t 2=5t 1t 2=2516(1−8a)．由△=(165)2−4⋅1625⋅(1−8a)>0， 解得：a >−38．由|PA|=3|PB|．则：t 1=3t 2或t 1=−3t 2， 当t 1=3t 2时，{t 1+t 2=5=4t 2t 1t 2=3t 22=2516(1−8a)，解得：a =−14>−38． 当t 1=−3t 2时，{t 1+t 2=5=−2t 2t 1t 2=−3t 22=2516(1−8a)，解得：a =138>−38．故：a =138−14．【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (Ⅱ)利用已知条件建立方程组，利用一元二次方程根和系数的关系求出结果． 【解答】（1）直角坐标系xOy 中，直线/的参数方程为{x =a +35ty =1+45t（t 为参数）． 转化为直角坐标方程为：4x −3y −4a +3=(0) 曲线C 的方程为ρcos 2θ+8cosθ−ρ=0 转化为直角坐标方程为：y 2=8x ． （2）设A 、B 的两个参数为t 1和t 2，则：{ y 2=8x x =a +3t 5y =1+4t 5 ，整理得：1625t 2−165t −8a +1=0， 所以：{t 1+t 2=5t 1t 2=2516(1−8a) ． 由△=(165)2−4⋅1625⋅(1−8a)>0， 解得：a >−38．由|PA|=3|PB|．则：t 1=3t 2或t 1=−3t 2，当t 1=3t 2时，{t 1+t 2=5=4t 2t 1t 2=3t 22=2516(1−8a) ， 解得：a =−14>−38．当t 1=−3t 2时，{t 1+t 2=5=−2t 2t 1t 2=−3t 22=2516(1−8a) ， 解得：a =138>−38． 故：a =138−14． [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）【答案】(Ⅰ)∵ a ，b ∈(0, +∞)，且a 2+b 2=2， ∴1a +4b =12(a 2+b 2)(1a +4b )=12(1+4+b 2a +4a 2b ) ≥12(5+2√b 2a 2∗4a 2b 2)=92，则|2x −1|−|x −1|≤92，当x ≤12时，不等式化为1−2x +x −1≤92，解得−92≤x ≤12， 当12<x <1，不等式化为2x −1+x −1≤92，解得12<x <1， 当x ≥1时，不等式化为2x −1−x +1≤92，解得1≤x ≤92， 综上所述x 的取值范围为[−92, 92]；（2）证明：(1a +1b )(a 5+b 5)=a 4+b 4+a 5b +b 5a =(a 2+b 2)2−2a 2b 2+a 5b +b 5a ≥4−2a 2b 2+2√a 5b ∗b 5a =4−2a 2b 2+2a 2b 2=4，当且仅当a =b =1时，取得等号．另由柯西不等式可得(1a +1b )(a 5+b 5)=[(√a )2+(√b )2][(a 52)2+(b 52)2] ≥(a 52√a b 52√b )2=(a 2+b 2)2=4，当且仅当a =b 时，取得等号．【考点】不等式恒成立的问题不等式的证明【解析】(Ⅰ)运用乘1法和基本不等式可得1a 2+4b 2的最小值，再由绝对值不等式的解法，即可得到所求范围；(Ⅱ)变形、运用基本不等式或柯西不等式，即可得证．【解答】(Ⅰ)∵ a ，b ∈(0, +∞)，且a 2+b 2=2， ∴1a 2+4b 2=12(a 2+b 2)(1a 2+4b 2)=12(1+4+b 2a 2+4a 2b 2) ≥12(5+2√b 2a 2∗4a 2b 2)=92， 则|2x −1|−|x −1|≤92，当x ≤12时，不等式化为1−2x +x −1≤92，解得−92≤x ≤12， 当12<x <1，不等式化为2x −1+x −1≤92，解得12<x <1， 当x ≥1时，不等式化为2x −1−x +1≤92，解得1≤x ≤92， 综上所述x 的取值范围为[−92, 92]；（2）证明：(1a +1b )(a 5+b 5)=a 4+b 4+a 5b +b 5a =(a 2+b 2)2−2a 2b 2+a 5b +b 5a ≥4−2a 2b 2+2√a 5b ∗b 5a =4−2a 2b 2+2a 2b 2=4，当且仅当a =b =1时，取得等号．另由柯西不等式可得(1a +1b )(a 5+b 5)=[(1√a )2+(1√b )2][(a 52)2+(b 52)2] ≥(a 52a b 52√b )2=(a 2+b 2)2=4，当且仅当a =b 时，取得等号．。
2018年广东省茂名市高考数学一模试卷(理科)
2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1}2．（5分）已知复数z满足（z﹣i）i=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）A．B．C．D．33．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3 D．﹣14．（5分）设X～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=95.44%）A．.7539 B．6038 C．7028 D．65875．（5分）数学文化《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯．A．24 B．48 C．12 D．606．（5分）甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了7．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是（）A．B．﹣1 C．2018 D．29．（5分）设P是双曲线上的点，F1，F2是其焦点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积是1，且a+b=3，则双曲线的离心率为（）A．.2 B．C．D．10．（5分）已知△ABC的三个内角A，B、C的对边分别为a、b、c，若2sin（﹣）=1，且a=2，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．211．（5分）三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足条件f（1+x）=f（1﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x，若函数g（x）=|f（x）|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上有4032个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．（e，e3）C．（e，e2）D．（1，e3）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13．（5分）已知，若，则λ=．14．（5分）在（1﹣x）2（1﹣）4的展开式中，x2的系数是．15．（5分）已知函数f（x）=4sinωx﹣sin2（+）﹣2sin2ωx（ω＞0）在区间上是增函数，且在区间[0，x]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是_．16．（5分）从抛物线x2=4y的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，若直线AB的倾斜角为，则P点的横坐标为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设正项等比数列{a n}，a4=81，且a2，a3的等差中项为．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若b n=log3a2n﹣1，数列{b n}的前n项和为S n，数列，T n为数列{c n}的前n项和，若T n＜λn恒成立，求λ的取值范围．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=2BC=2，PC=2，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点．（I）求证：平面EAC⊥平面PCD；（II）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．19．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率就越高，具体浮动情况如表：某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（I）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a=950（元），记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；（II）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求该销售商获得利润的期望值．20．（12分）已知椭圆C1：（（a＞b＞0））的一个焦点为F1，且经过点P．（I）求椭圆C1的标准方程；（II）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB 面积取得最大值时直线l的方程．21．（12分）已知函数（a∈R）．（I）讨论g（x）的单调性；（II）当时，函数在其定义域内有两个不同的极值点，记作x1，x2，且x1＜x2，若m≥1，证明：．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l倾斜角为α，其参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C 的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（I）若直线l与曲线C有公共点，求直线l倾斜角α的取值范围；（II）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1}【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B={0，1，2}．故选：C．2．（5分）已知复数z满足（z﹣i）i=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）A．B．C．D．3【解答】解：由（z﹣i）i=2+i，得z﹣i=，∴z=1﹣i，则|z|=．故选：A．3．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3 D．﹣1【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），此时z max=3×3+2=11，故选：B．4．（5分）设X～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=95.44%）A．.7539 B．6038 C．7028 D．6587【解答】解：∵X～N（1，1），∴μ=1，σ=1．μ+σ=2∵P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=68.26%，∴则P（0＜X＜2）=68.26%，则P（1＜X＜2）=34.13%，∴阴影部分的面积为：0.6587．∴正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587．故选：D5．（5分）数学文化《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯．A．24 B．48 C．12 D．60【解答】解：根据题意，设最底一层有a盏灯，则由题意知从下而上，第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a为首项，以为公比的等比数列，又由S7==381，解可得a=192，则a4=a×（）3=24，即该塔中间一层有24盏灯；故选：A．6．（5分）甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了【解答】解：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立．故选：C．7．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，排除B，∵＜1，排除A．当x＞0时，，，∴在区间（1，+∞）上f（x）单调递增，排除D，故选C．8．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是（）A．B．﹣1 C．2018 D．2【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：初始S=2，当k=0时，S0=﹣1，k=1时，S1=，同理S2=2，S3=﹣1，S4=，…，可见S n的值周期为3．∴当k=2017时，S2017=S1=，k=2018，退出循环．输出S=．故选：A．9．（5分）设P是双曲线上的点，F1，F2是其焦点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积是1，且a+b=3，则双曲线的离心率为（）A．.2 B．C．D．【解答】解：方法一：设|PF1|=m，|PF2|=n，由题意得由PF1⊥PF2，△PF1F2的面积是1，则mn=1，得mn=2，∵Rt△PF1F2中，根据勾股定理得m2+n2=4c2∴（m﹣n）2=m2+n2﹣2mn=4c2﹣4，结合双曲线定义，得（m﹣n）2=4a2，∴4c2﹣4=4a2，化简整理得c2﹣a2=1，即b2=1，则b=1，由a+b=3，得a=2，所以c==，∴该双曲线的离心率为e==，故选C．方法二：由双曲线的焦点三角形的面积公式S=，∠F1PF2=θ，由PF1⊥PF2，则∠F1PF2=90°，则△PF1F2的面积S==b2=1，由a+b=3，得a=2，所以c==，∴该双曲线的离心率为e==，故选C．10．（5分）已知△ABC的三个内角A，B、C的对边分别为a、b、c，若2sin（﹣）=1，且a=2，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．2【解答】解：∵2sin（﹣）=1，A∈（0，π），∴∈，∴=，∴．又a=2，由余弦定理得：4=b2+c2﹣2bc，即4=b2+c2+bc．根据基本不等式得：4=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc．即bc≤．当且仅当b=c时，等号成立．△ABC面积S=bcsinA≤=（当且仅当b=c时，等号成立）∴△ABC的面积的最大值．故选：B．11．（5分）三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B．C．D．【解答】解析：三棱锥的直观图如图，以△PBC所在平面为球的截面，则截面圆O1的半径为，以△ABC所在平面为球的截面，则截面圆O2的半径为球心H到△ABC所在平面的距离为，则球的半径R为，所以球的体积为=4．故选：A．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足条件f（1+x）=f（1﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x，若函数g（x）=|f（x）|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上有4032个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．（e，e3）C．（e，e2）D．（1，e3）【解答】解：∵f（x）满足条件f（1+x）=f（1﹣x）且为奇函数，函数f（x）=f（2﹣x）=﹣f （﹣x）∵f（﹣x）=f（2+x）⇒f（x+4）=f（x）∴f（x）周期为4，∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，根据m（x）=|f（x）|与n（x）=ae﹣|x|图象，函数g（x）=|f（x）|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上有4032个零点，即m（x）=|f（x）|与n（x）=ae﹣|x|在[0，4]有且仅有两个交点，∴即e＜a＜e3．故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13．（5分）已知，若，则λ=．【解答】解：∵，，∴=﹣1+2λ=0，解得λ=．故答案为：．14．（5分）在（1﹣x）2（1﹣）4的展开式中，x2的系数是﹣10．【解答】解：（1﹣x）2（1﹣）4=（1﹣2x+x2）（1﹣4+﹣+x2）∴x2的系数=1﹣2+1=﹣10．故答案为：﹣10．15．（5分）已知函数f（x）=4sinωx﹣sin2（+）﹣2sin2ωx（ω＞0）在区间上是增函数，且在区间[0，x]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是_．【解答】解：f（x）=4sinωx﹣sin2（+）﹣2sin2ωx=4sinωx﹣﹣2sin2ωx=2sinωx（1+sinωx）﹣2sin2ωx=2sinωx，即：f（x）=2sinωx，∴[﹣，]是函数含原点的递增区间．又∵函数在上递增，∴，∴得不等式组，得，又∵ω＞0，∴，又函数在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知ωx=2kπ+，k∈Z，即函数在x=+处取得最大值，可得0≤≤π，∴ω≥，综上，可得．故答案是：．16．（5分）从抛物线x2=4y的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，若直线AB的倾斜角为，则P点的横坐标为．【解答】解：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，﹣1），则，又∵，，∴，则．由x2=4y，得，∴，∴切线PA的方程为y﹣y1=（x﹣x1），切线PB的方程为y﹣y2=（x﹣x2），即切线PA的方程为y﹣=（x﹣x1），即；切线PB的方程为y﹣=（x﹣x2），即．∵点P（x0，﹣1）在切线PA、PB上，∴，，可知x1，x2是方程x2﹣2x0x﹣4=0的两个根，∴x1+x2=2x0，得．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设正项等比数列{a n}，a4=81，且a2，a3的等差中项为．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若b n=log3a2n﹣1，数列{b n}的前n项和为S n，数列，T n为数列{c n}的前n项和，若T n＜λn恒成立，求λ的取值范围．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由题意，得…（2分）解得…（3分）所以…（4分）（II）由（I）得，…（5分）．…（6分）∴，…（8分）∴，…（10分）若恒成立，则恒成立，则，所以…（12分）18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=2BC=2，PC=2，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点．（I）求证：平面EAC⊥平面PCD；（II）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】证明：（I）∵PC⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴PC⊥AC，由题意可知，AD∥BC，且AD=2BC=2△ABC是等腰直角三角形，∴AC=，CD=，…（2分）∴CD2+AC2=AD2，即AC⊥CD，…（3分）又∵PC∩CD=C，…（4分）∴AC⊥平面PCD，…（5分）∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PCD．…（6分）解：（II）解法1：由（1）得平面EAC⊥平面PCD，平面EAC∩平面PCD=EC，作PH⊥EC，则PH⊥平面EAC，…（8分）∴PA与平面EAC所成角为∠PAH，…（9分）在Rt△PAC中，PA=，在Rt△PHC中，sin∠PCE=，PH=PCsin，…（10分）sin=，∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…（12分）解法2：∵PC⊥底面ABCD，则建立如图所示的直角坐标系，…（7分）则P（0，0，2），，，，．…（8分）设平面EAC的法向量为=（x，y，z），则，即，…（9分）令z=1，解得…（10分）记直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ==，所以直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…（12分）19．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率就越高，具体浮动情况如表：某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（I）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a=950（元），记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；（II）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求该销售商获得利润的期望值．【解答】解：（I）由题意可知：X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a，…（1分）由统计数据可知：，，，，，．…（4分）∴X的分布列为：…（5分）∴…（6分）（II）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，…（7分）三辆车中至多有一辆事故车的概率为…（9分）②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣5000，10000，P（Y=﹣500）=，P（Y=10000）=，∴Y的分布列为：…（10分）…（11分）所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100EY=550000元=55万元．…（12分）20．（12分）已知椭圆C1：（（a＞b＞0））的一个焦点为F1，且经过点P．（I）求椭圆C1的标准方程；（II）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB 面积取得最大值时直线l的方程．【解答】解：（1）设椭圆C1的另一个焦点为F2，由题意可得，△PF1F2为直角三角形，则，∴，由椭圆的定义得，即a=3，又由b2+c2=a2，得b=2，∴椭圆C1的标准方程；（2）设椭圆C2的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）．∵λ＞1，∴点C（﹣1，0）在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个不同的交点．当直线l垂直于x轴时，（不是零向量），不合条件；故设直线l方程为y=k（x+1）（A，B，O三点不共线，故k≠0），由，得．∴，∵，而点C（﹣1，0），∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），即y1=﹣2y2，则y1+y2=﹣y2，∴．=S△AOC+S△BOC=∴△OAB的面积为S△OAB==═×==．上式取等号的条件是，即k=±时，△OAB的面积取得最大值．∴直线l的方程为或．21．（12分）已知函数（a∈R）．（I）讨论g（x）的单调性；（II）当时，函数在其定义域内有两个不同的极值点，记作x1，x2，且x1＜x2，若m≥1，证明：．【解答】解：（I）（a∈R），方程2x2+x﹣a=0的判别式△=1+8a，①当时，△≤0，g′（x）≥0，g（x）在（0，+∞）为增函数，②当时，△＞0，方程2x2+x﹣a=0的两根为，当时，x1＜x2≤0，g（x）在（0，+∞）为增函数，当a＞0时，x1＜0＜x2，g（x）在（x2，+∞）为增函数，在（0，x2]为减函数，综上所述：当a≤0时，g（x）的增区间为（0，+∞），无减区间，当a＞0时，g（x）的增区间为（x2，+∞），减区间（0，x2]，（II）证明：f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a，所以f'（x）=lnx﹣ax因为f（x）有两极值点x1，x2，所以lnx1=ax1，lnx2=ax2，欲证等价于要证：，即1+m＜lnx1+mlnx2，所以1+m＜lnx1+mlnx2=ax1+max2=a（x1+mx2），因为m≥1，0＜x1＜x2，所以原式等价于要证明：．又lnx1=ax1，lnx2=ax2，作差得ln=a（x1﹣x2），所以a=所以原式等价于要证明：，令t=，t∈（0，1），上式等价于要证：，t∈（0，1），令，所以，当m≥1时，h′（t）＞0，所以h（t）在（0，1）上单调递增，因此h（t）＜h（1）=0，所以在t∈（0，1）上恒成立，所以原不等式成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l倾斜角为α，其参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C 的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（I）若直线l与曲线C有公共点，求直线l倾斜角α的取值范围；（II）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．转化为：x2+y2﹣4x=0，整理得：（x﹣2）2+y2=4∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为2的圆．∵直线l过点P（﹣2，0），当l斜率不存在时，l的方程为x=﹣2与曲线C没有公共点；∴当直线l斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0直线l与圆有公共点，则，解得：∵α∈[0，π]，∴α的取值范围是：[0，]．（II）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x=0，可化为：（x﹣2）2+y2=4．其参数方程为：（θ为参数）∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴=2+，由于：则：所以：∴x+y的取值范围是[﹣2.6]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≥2无解；…（1分）当﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≥2解得﹣5＜x≤﹣2；…（3分）当x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≥2恒成立．…（4分）综上，不等式f（x）≥2的解集是{x|x≤﹣2}．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知…（6分）易知函数f（x）的最大值M=8，…（7分）若x2+2x+m≤8有解，得m≤﹣x2﹣2x+8有解．…（8分）即m≤[﹣（x+1）2+9]max=9．…（9分）因此，m的取值范围是m≤9．…（10分）。
2019年广东省茂名市高考数学一模试卷(文科)及解析
广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1} 2．（5分）已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）A．B．C．2 D．3．（5分）在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z=3x+y的最小值为（）A．11 B．12 C．8 D．35．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=（）A．20 B．35 C．45 D．906．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与x轴交于点D，与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）A．B．C． D．7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜），f（x1）=1，f（x2）=0，若|x1﹣x2|min=，且f（）=，则f（x）的单调递增区间为（）A． B．．C．D．8．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯．A．24 B．48 C．12 D．6010．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（）A．2 018 B．﹣1 C．D．211．（5分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）定义在R上函数y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，且函数f（x+1）是偶函数．若当x∈[0，1]时，，则函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为（）A．2017 B．2018 C．4034 D．4036二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．（5分）已知=（2，1），﹣2=（1，1），则=．14．（5分）曲线y=ln（x+1）在点（1，ln2）处的切线方程为．15．（5分）从原点O向圆C：x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．16．（5分）如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB﹣b=2a．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A﹣EBC的体积．19．（12分）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中x i，y i分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522．（i ）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为，=﹣；相关指数R2=．20．（12分）已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程．21．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x＞0，且x≠1时，．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣2，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1}【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}．故选：C．2．（5分）已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）A．B．C．2 D．【解答】解：由zi=2+i，得，∴|z|=，故选：D．3．（5分）在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数有4个，分别为：（1，2，3），（1，2，6），（1，3，6），（2，3，6）数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有（1，2，3），共1个．∴数字2是这三个不同数字的平均数的概率是．故选：A．4．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z=3x+y的最小值为（）A．11 B．12 C．8 D．3【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为z=3×2+2=8．故选：C．5．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=（）A．20 B．35 C．45 D．90【解答】解：由等差数列的性质得，a1+a9=a2+a8=10，S9=．故选：C．6．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与x轴交于点D，与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）A．B．C． D．【解答】解：抛物线y2=8x的准线方程为x=﹣2，准线与x轴的交点为D（﹣2，0），由△ADF为等腰直角三角形，得|AD|=|DF|=4，故点A的坐标为（﹣2，4），由点A在双曲线上，可得，解得，即，∴，∴双曲线的离心率．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜），f（x1）=1，f（x2）=0，若|x1﹣x2|min=，且f（）=，则f（x）的单调递增区间为（）A． B．．C．D．【解答】解：设f（x）的周期为T，由f（x1）=1，f（x2）=0，|x1﹣x2|min=，得，由f（）=，得sin（π+ϕ）=，即cosϕ=，又0＜ϕ＜，∴ϕ=，f（x）=sin（πx）．由，得．∴f（x）的单调递增区间为．故选：B．8．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，排除B，∵＜1，排除A．当x＞0时，，，∴在区间（1，+∞）上f（x）单调递增，排除D，故选C．9．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯．A．24 B．48 C．12 D．60【解答】解：由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列，设首项为a，则，解之得a=3，则该塔中间一层灯盏数有3×23=24．故选：A．10．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（）A．2 018 B．﹣1 C．D．2【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：初始S=2，当k=0时，S0=﹣1，k=1时，S1=，同理S2=2，S3=﹣1，S4=，…，可见S n的值周期为3．∴当k=2017时，S2017=S1=，k=2018，退出循环．输出S=．故选：C．11．（5分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，在①中，如图知AF与GC异面垂直，故①正确；在②中，BD与GC成异面直线，连接EB，ED．则BM∥GC，在等边△BDM中，BD与BM所成的60°角就是异面直线BD与GC所成的角，故②正确；在③中，BD与MN异面垂直，故③错误；在④中，GD⊥平面ABCD，所以在Rt△BDG中，∠GBD是BG与平面ABCD所成的角，Rt△BDG不是等腰直角三角形．所以BG与平面ABCD所成的角不是为45°，故④错误．故选：B．12．（5分）定义在R上函数y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，且函数f（x+1）是偶函数．若当x∈[0，1]时，，则函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为（）A．2017 B．2018 C．4034 D．4036【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数⇔函数的图象与y=e﹣|x|的图象交点个数．由y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，得f（x）是偶函数，即f（﹣x）=f（x）．又∵函数f（x+1）是偶函数，∴f（x+1）=f（﹣x+1），故f（x+2）=f（﹣x）=f（x），因此，f（x）是周期为2的偶函数．∵当x∈[0，1]时，，作出y=f（x）与图象如下图，可知每个周期内有两个交点，所以函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为2018×2=4036．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．（5分）已知=（2，1），﹣2=（1，1），则=1．【解答】解：根据题意，设=（x，y），则﹣2=（2﹣2x，1﹣2y）=（1，1），则有2﹣2x=1，1﹣2y=1，解可得x=，y=0，则=（，0），则=2×+1×0=1；故答案为：114．（5分）曲线y=ln（x+1）在点（1，ln2）处的切线方程为x﹣2y﹣1+2ln2=0．【解答】解：根据题意，曲线y=ln（x+1），则有y′=，则由所求切线斜率，又由f（1）=ln（1+1）=ln2，则曲线在点（1，ln2）处的切线方程为，即x﹣2y﹣1+2ln2=0．故答案为：x﹣2y﹣1+2ln2=015．（5分）从原点O向圆C：x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．【解答】解：把圆的方程化为标准方程为x2+（y﹣6）2=9，得到圆心C（0，6），圆的半径r=3，由圆切线的性质可知，∠CBO=∠CAO=90°，且AC=BC=3，OC=6，则有∠ACB=∠ACO+∠BCO=60°+60°=120°，∴该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．故答案为：．16．（5分）如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为．【解答】解：以△ABC所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为，依题意得CD⊥平面ABC，故球心到截面的距离为，则球的半径为．所以球的体积为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB﹣b=2a．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若2c•cosB﹣b=2a，则有，整理得a2+b2﹣c2=﹣ab，，又在△ABC中，0＜C＜π，∴，即角C的大小为；（Ⅱ）由（Ⅰ），在△ADC中，AC=b=，AD=，由正弦定理得，∵在△ADC中，0＜∠CDA＜π，C为钝角，∴，故．∵在△ABC中，AD是角A的平分线，∴，∴△ABC是等腰三角形，，故△ABC的面积．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A﹣EBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）依题意得四边形ABCD是底角为60°的等腰梯形，…（1分）∴∠BAD=∠ADC=120°..…（2分）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=30°．…（3分）∴∠BAC=∠BAD﹣∠DAC=120°﹣30°=90°，即AB⊥AC．…（4分）∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥平面PAC，…（5分）又平面AB⊂平面EAB，∴平面EAB⊥平面PAC．…（6分）解：（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，∴AC=AB∙tan60°=，BC=2AB=2，且AB⊥平面PAC，…（7分）∴AB是三棱锥B﹣EAC的高，正△PAC的边长为…（8分）=S△PAC=．…∵E是PC的中点，∴S△EAC（10分）∴三棱锥A﹣EBC的体积为…（12分）（Ⅱ）解法二：过P作PO⊥AC于点O，∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴PO⊥平面ABC，过E作EF⊥AC于点F，同理得EF⊥平面ABC，∴EF是三棱锥E﹣ABC的高，且PO∥EF，…（7分）又E是PC中点，∴EF是△POC的中位线，故．由（Ⅰ）及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC=AB∙tan60°=，即正△PAC的边长为，…（8分）∴PO=，故EF=…（9分）=．…（10分）在Rt△ABC中，S△ABC∴三棱锥A﹣EBC的体积为…（12分）19．（12分）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中x i，y i分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522．（i ）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为，=﹣；相关指数R2=．【解答】解：（Ⅰ）依题意，n=6，，…．…（2分）≈33﹣6.6×26=﹣138.6，…（3分）∴y关于x的线性回归方程为=6.6x﹣138.6…（4分）（Ⅱ）（i ）利用所给数据，，得，线性回归方程=6.6x﹣138.6的相关指数R2=．…（6分）∵0.9398＜0.9522，…（7分）因此，回归方程=0.06e0.2303x比线性回归方程=6.6x﹣138.6拟合效果更好…..…（8分）（ii）由（i ）得温度x=35°C时，=0.06e0.2303×35=0.06×e8.0605…..…..…（9分）又∵e8.0605≈3167，…（10分）∴≈0.06×3167≈190（个）…（11分）所以当温度x=35°C时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个…（12分）20．（12分）已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）所给直线方程变形为，可知直线所过定点为．∴椭圆焦点在y轴，且c=，依题意可知b=2，∴a2=c2+b2=9．则椭圆C1的方程标准为；（Ⅱ）依题意，设椭圆C2的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），∵λ＞1，∴点C（﹣1，0）在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个不同的交点．当直线l垂直于x轴时，（不是零向量），不合条件；故设直线l为y=k（x+1）（A，B，O三点不共线，故k≠0），由，得．由韦达定理得．∵，而点C（﹣1，0），∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），则y1=﹣2y2，即y1+y2=﹣y2，故．=S△AOC+S△BOC∴△OAB的面积为S△OAB====．上式取等号的条件是，即k=±时，△OAB的面积取得最大值．∴直线的方程为或．21．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x＞0，且x≠1时，．【解答】（Ⅰ）解：由已知得g（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）方程2x2+x﹣a=0的判别式△=1+8a．…（2分）①当时，△≤0，g'（x）≥0，此时，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（3分）②当时，设方程2x2+x﹣a=0的两根为，若，则x1＜x2≤0，此时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（4分）若a＞0，则x1＜0＜x2，此时，g（x）在（0，x2]上为减函数，在（x2，+∞）上为增函数，…..…（5分）综上所述：当a≤0时，g（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；当a＞0时，g（x）的减区间为（0，x2]，增区间为（x2，+∞）．…（6分）（Ⅱ）证明：由题意知，…（7分）∴，…（8分）考虑函数，则…（9分）所以x≠1时，h'（x）＜0，而h（1）=0…（10分）故x∈（0，1）时，，可得，x∈（1，+∞）时，，可得，…（11分）从而当x＞0，且x≠1时，．…（12分）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣2，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程得ρ2﹣4ρcosθ=0，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4…（1分）∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为2的圆．∵直线l过点P（﹣2，0），当l的斜率不存在时，l的方程为x=﹣2与曲线C没有公共点，∴直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0．直线l与圆有公共点，则圆心C到直线l的距离，得，α∈[0，π），∴α的取值范围是．（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，故其参数方程为（θ为参数）．∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴，，∴，因此，的取值范围是[﹣2，6]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≥2无解；…（1分）当﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≥2解得﹣5＜x≤﹣2；…（3分）当x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≥2恒成立．…（4分）综上，不等式f（x）≥2的解集是{x|x≤﹣2}．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知…（6分）易知函数f（x）的最大值M=8，…（7分）若x2+2x+m≤8有解，得m≤﹣x2﹣2x+8有解．…（8分）即m≤[﹣（x+1）2+9]max=9．…（9分）因此，m的取值范围是m≤9．…（10分）。
2018年广东省揭阳市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2018年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x＜0}，B＝{x||x|≤1}，则A∩B＝（）A．（0，1]B．[﹣1，1]C．[﹣1，0）D．[﹣1，0] 2．（5分）已知复数z＝（3+i）2，则||＝（）A．4B．6C．8D．103．（5分）已知向量＝（x，1），＝（1，﹣2），若，则＝（）A．（2，0）B．（3，﹣1）C．（3，1）D．（﹣1，3）4．（5分）某地铁站有A、B、C三个自动检票口，甲乙两人一同进站，则他们选择同一检票口检票的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），+x2+x3+x4+x5＝由最小二乘法求得回归直线方程为＝0.67x+54.9．若已知x150，则y1+y2+y3+y4+y5＝（）A．75B．155.4C．375D．466.26．（5分）若直线l1：x﹣3y+2＝0与直线l2：mx﹣y+b＝0关于x轴对称，则m+b ＝（）A．B．﹣1C．D．17．（5分）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝4，b＝4，B＝，则角A的大小为（）A．B．或C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x﹣），则要得到函数g（x）＝sin2x的图象，只需将函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位9．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则这个正方体的体积为（）A．3B．27C．D．910．（5分）函数y＝xln|x|的部分图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3B．3C．D．312．（5分）已知x∈（0，），函数y＝f（x）满足：tan xf（x）＞f′（x）恒成立，其中f′（x）是f（x）的导函数，则下列不等式中成立的是（）A．f（）＞f（）B．2f（1）cos1＜f（）C．f（）＞f（）D．f（）＜f（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．（5分）如图是一个算法流程图，若输入x的值为log23，则输出的y的值是．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则3x+y的取值范围为是．15．（5分）中心在坐标原点的双曲线的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝3截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为．16．（5分）已知f（x）＝sin（）cos（），则f（1）+f（2）+…+f（2018）＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知递增等比数列{b n}的b1、b3二项为方程x2﹣20x+64＝0的两根，}满足＝b n．数列{a（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC和△P AC都是正三角形，AC ＝2，E、F分别是AC、BC的中点，且PD⊥AB于D，平面P AC⊥平面ABC．（Ⅰ）证明：EF⊥ED；（Ⅱ）求点F到平面P AB的距离．19．（12分）甲、乙两人参加一个投掷飞镖的中奖游戏，从中随机选取50次所命中环数（整数），统计得下列频数分布表，游戏中规定命中环数为1、2、3、4时获奖一元，命中环数为5、6、7时获奖二元，命中环数为8、9时获奖三元，命中10环时获奖四元，没命中则无奖．（Ⅰ）根据上表，在答题卡给定的坐标系内画出甲50次获奖金额（单位：元）的条形图；（Ⅱ）估计甲投掷飞镖一次所获奖金不小于三元的概率；（Ⅲ）分别计算甲、乙各50次获奖金额的平均数和方差，若有一次投掷飞镖比赛的机会，你觉得从甲、乙两人选谁参赛比较好？20．（12分）设A，B为曲线C：x2＝y上两点，A与B的横坐标之积为﹣1．（Ⅰ）试判断直线AB是否恒过定点，并说明理由；（Ⅱ）设曲线C在点A、B处的两条切线相交于点M，求点M的纵坐标．21．（12分）已知a≠0，函数f（x）＝|e x﹣e|+e x+ax．（I）讨论f（x）的单调性；（II）已知当a＜﹣e时，函数f（x）有两个零点x1和x2（x1＜x2），求证：x1x2＜1．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修44：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），当k变化时，设l1与l2的交点的轨迹为曲线C．（I）以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（II）设曲线C上的点A的极角为，射线OA与直线l3：ρsin（θ+φ）﹣2＝0 （0＜φ＜）的交点为B，且|OB|＝|OA|，求φ的值．[选修45：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|a+|+|a﹣|，a为实数．（I）当a＝1时，求不等式f（x）＞3的解集；（II）求f（a）的最小值．2018年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x＜0}，B＝{x||x|≤1}，则A∩B＝（）A．（0，1]B．[﹣1，1]C．[﹣1，0）D．[﹣1，0]【解答】解：B＝{x||x|≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，则A∩B＝{x|﹣1≤x＜0}，故选：C．2．（5分）已知复数z＝（3+i）2，则||＝（）A．4B．6C．8D．10【解答】解：z＝（3+i）2＝9+6i﹣1＝8+6i，则＝8﹣6i，则||＝＝10，故选：D．3．（5分）已知向量＝（x，1），＝（1，﹣2），若，则＝（）A．（2，0）B．（3，﹣1）C．（3，1）D．（﹣1，3）【解答】解：∵＝（x，1），＝（1，﹣2），∴，则•＝x+1×（﹣2）＝x﹣2＝0，则x＝2，则＝（2，1），则＝（3，﹣1），故选：B．4．（5分）某地铁站有A、B、C三个自动检票口，甲乙两人一同进站，则他们选择同一检票口检票的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：某地铁站有A、B、C三个自动检票口，甲乙两人一同进站，他们选择检票口检票的种数有n＝3×3＝9，他们选择同一检票口检票的种数有m＝3，∴他们选择同一检票口检票的概率p＝＝．故选：C．5．（5分）为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），由最小二乘法求得回归直线方程为＝0.67x+54.9．若已知x+x2+x3+x4+x5＝150，则y1+y2+y3+y4+y5＝（）A．75B．155.4C．375D．466.2【解答】解：（1）＝，回归直线方程为＝0.67x+54.9．可得：＝0.67×30+54.8≈75．则y 1+y2+y3+y4+y5＝•n＝75×5＝375．故选：C．6．（5分）若直线l1：x﹣3y+2＝0与直线l2：mx﹣y+b＝0关于x轴对称，则m+b ＝（）A．B．﹣1C．D．1【解答】解：直线l1：x﹣3y+2＝0与直线l2：mx﹣y+b＝0关于x轴对称，可得：m＝﹣，y＝0时，x＝﹣2，代入mx﹣y+b＝0，所以b＝﹣，则m+b＝﹣1．故选：B．7．（5分）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝4，b＝4，B＝，则角A的大小为（）A．B．或C．D．【解答】解：△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝4，b＝4，B＝，a＜b则，A＜B，A+B＜π，，sin A＝＝，所以：A＝．故选：D．8．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x﹣），则要得到函数g（x）＝sin2x的图象，只需将函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：g（x）＝sin2x＝sin[2（x+）﹣]，要得到函数g（x）＝sin2x的图象，只需将函数f（x）的图象向左平移个单位即可，故选：C．9．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则这个正方体的体积为（）A．3B．27C．D．9【解答】解：若正方体的所有顶点在一个球面上，则正方体的体对角线等于球的直径，设正方体的棱长为a，则体对角线为a，若球的体积为，则πR3＝，即R3＝，则R＝，则a＝2R＝3，则a＝＝，则正方体的条件V＝a3＝（）3＝3，故选：A．10．（5分）函数y＝xln|x|的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数y＝xln|x|是奇函数，排除选项B，当x＞0时，函数y＝xlnx的导数为：y′＝lnx+1，可得函数的极值点x＝．并且x∈（0，），y′＜0，函数是减函数，x，y′＞0，函数是增函数，所以函数的图象是C．故选：C．11．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3B．3C．D．3【解答】解：由三视图还原原几何体如图，四棱锥A﹣BCDE，其中AB⊥平面BCDE，底面BCDE为正方形，则BC＝AB＝BE＝3，AC＝＝3．∴该四棱锥的最长棱为AD，AD的长度为＝＝＝3．故选：B．12．（5分）已知x∈（0，），函数y＝f（x）满足：tan xf（x）＞f′（x）恒成立，其中f′（x）是f（x）的导函数，则下列不等式中成立的是（）A．f（）＞f（）B．2f（1）cos1＜f（）C．f（）＞f（）D．f（）＜f（）【解答】解：因x∈（0，），故tan xf（x）＞f′（x）⇔sin xf（x）＞f′（x）cos x⇔sin xf （x）﹣cos xf′（x）＞0，令g（x）＝cos xf（x），则g′（x）＝cos xf′（x）﹣sin xf（x）＜0，所以函数g（x）在（0，）为减函数，∴cos f（）＞cos f（），∴f（）＞f（）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．（5分）如图是一个算法流程图，若输入x的值为log23，则输出的y的值是2．【解答】解：根据程序框图得：x＝log23＞1，则程序执行右边的循环，所以：y＝log23•log32+1＝．故输出y＝2．故答案为：214．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则3x+y的取值范围为是（﹣∞，3]．【解答】解：作出约束条件对应的平面区域如图：由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得即A（1，0），此时z max＝3×1+0＝3，当直线y＝﹣3x+z，z没有最小值，∴z∈（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]．15．（5分）中心在坐标原点的双曲线的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝3截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为bx+ay＝0，圆（x﹣2）2+y2＝3的圆心（2，0）到双曲线的渐近线的距离为：，∵渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝3截得的弦长为2，∴＝，可得：∴2b2＝c2，即c2＝2a2，∴e＝＝．故答案为：．16．（5分）已知f（x）＝sin（）cos（），则f（1）+f（2）+…+f（2018）＝．【解答】解：∵f（x）＝sin（）cos（）＝，最小正周期T＝6，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝0．∴f（1）+f（2）+…+f（2018），＝336×6+f（2017）+f（2018）＝f（1）+f（2）＝．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知递增等比数列{b n}的b1、b3二项为方程x2﹣20x+64＝0的两根，}满足＝b n．数列{a（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）解方程x2﹣20x+64＝0得x1＝4，x2＝16，依题意得b1＝4，b3＝16，设数列{b n}的公比为q，则q2＝＝4，∵q＞0，∴q＝2，∴b n＝b1q n﹣1＝4×2n﹣1＝2n+1，由+…+＝b，①，②当n≥2时+…+＝b①﹣②得＝b n﹣b n﹣1＝2n+1﹣2n＝2n，∴a n＝4n（n≥2），当n＝1时，由①得a1＝16，∴a n＝，n∈N*；（Ⅱ）当n≥2时，前n项和S n＝a1+a2+...+a n＝16+42+43+ (4)＝16+＝，当n＝1时，S1＝16满足上式，∴S n＝，18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC和△P AC都是正三角形，AC ＝2，E、F分别是AC、BC的中点，且PD⊥AB于D，平面P AC⊥平面ABC．（Ⅰ）证明：EF⊥ED；（Ⅱ）求点F到平面P AB的距离．【解答】证明：（Ⅰ）∵E、F分别是AC、BC的中点，∴EF∥AB，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）在正三角形P AC中，PE⊥AC，又平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，∴PE⊥平面ABC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴PE⊥AB，又PD⊥AB，PE∩PD＝P，∴AB⊥平面PED，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴AB⊥ED，又EF∥AB，∴EF⊥ED；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）解：（Ⅱ）设点F到平面P AB的距离为d，∵V F﹣P AB ＝V P﹣ABF，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）解得PE＝BE＝，由AB⊥ED，可知AB•ED＝AE•BE，得ED＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴PD＝＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由EF∥AB，可知S△ABF＝＝，∴点F到平面P AB的距离d＝＝＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12分）甲、乙两人参加一个投掷飞镖的中奖游戏，从中随机选取50次所命中环数（整数），统计得下列频数分布表，游戏中规定命中环数为1、2、3、4时获奖一元，命中环数为5、6、7时获奖二元，命中环数为8、9时获奖三元，命中10环时获奖四元，没命中则无奖．（Ⅰ）根据上表，在答题卡给定的坐标系内画出甲50次获奖金额（单位：元）的条形图；（Ⅱ）估计甲投掷飞镖一次所获奖金不小于三元的概率；（Ⅲ）分别计算甲、乙各50次获奖金额的平均数和方差，若有一次投掷飞镖比赛的机会，你觉得从甲、乙两人选谁参赛比较好？【解答】解：（Ⅰ）依题意知甲50次获奖金额（单位：元）的频数分布为：其获奖金额的条形图如下图示：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）甲投掷飞镖一次所获奖金数不小于3，即甲投掷飞镖一次所命中的环数不小于8，因甲50次投掷中环数不小于8的有15+9+2＝26（次），所以估计甲投掷一次所获奖金数不小于3的概率为：＝；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）【或甲投掷飞镖一次所获奖金数不小于3，即所得的奖金为3元或4元，由（Ⅰ）的条形图知所求的概率为＝，（Ⅲ）甲50次获奖金额的平均数为×（1×3+2×21+3×24+4×2）＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）乙50次获奖金额的平均数为×（1×1+2×25+3×22+4×2）＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）甲50次获奖金额的方差为：×[×3+×21+×24+×2]＝×＝；﹣﹣（10分）乙50次获奖金额的方差为：×[×1+×25+×22+×2]＝×＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）甲、乙的平均数相等，乙的方差小，故选乙参赛比较好．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）设A，B为曲线C：x2＝y上两点，A与B的横坐标之积为﹣1．（Ⅰ）试判断直线AB是否恒过定点，并说明理由；（Ⅱ）设曲线C在点A、B处的两条切线相交于点M，求点M的纵坐标．【解答】解：（Ⅰ）直线AB恒过定点（0，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）设A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线AB的斜率存在，设AB的方程为y＝kx+m，联立x2＝y，得x2﹣kx﹣m＝0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）则x1•x2＝﹣m，又x1•x2＝﹣1，得m＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）故直线AB的方程为y＝kx+1，直线过定点（0，1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）设M（x0，y0），y′＝2x，则曲线C在点A处的切线方程为y﹣y1＝2x1（x﹣x1），又＝y1，得切线为y＝2x1x﹣，①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）同理得曲线C在点B处的切线为y＝2x2x﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又x1•x2＝﹣1，即x2＝﹣，得切线为y＝﹣x﹣，即y＝﹣2x1x﹣1，②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）①+②，得（1+）y＝﹣﹣1，得y＝﹣1，所以点M的纵坐标为﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知a≠0，函数f（x）＝|e x﹣e|+e x+ax．（I）讨论f（x）的单调性；（II）已知当a＜﹣e时，函数f（x）有两个零点x1和x2（x1＜x2），求证：x1x2＜1．【解答】（I）解：f（x）＝，f′（x）＝，①若a＞0，显然f′（x）＞0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；②若﹣2e≤a＜0，当x＜1时，f′（x）＝a＜0，当x≥1时，f′（x）＝2e x+a≥0，故f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．③若a＜﹣2e，当x＜1时，f′（x）＝a＜0，当x≥1时，由2e x+a＜0，得，由2e x+a＞0，得x＞，故f（x）在上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）证明：∵a＜﹣e，故f（1）＝a+e＜0，结合f（x）的单调性知，f（x）的两个零点x1和x2满足：ax1+e＝0，及+ax2﹣e＝0，且x1＜1＜x2，∴a＝，x1＝﹣＝，于是x1x2＝，令g（x）＝，（x＞1）．则g′（x）＝＝，记h（x）＝2e x﹣e﹣xe x，x＞1，则h′（x）＝e x﹣xe x＜0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，h（x）＜h（1）＝0，故g′（x）＜0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（1）＝1，∴x1x2＜1．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修44：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），当k变化时，设l1与l2的交点的轨迹为曲线C．（I）以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（II）设曲线C上的点A的极角为，射线OA与直线l3：ρsin（θ+φ）﹣2＝0 （0＜φ＜）的交点为B，且|OB|＝|OA|，求φ的值．【解答】解：（Ⅰ）直线l1的参数方程为（t为参数），转换为：直线l1的普通方程为﹣4y＝k（x﹣2）．直线l2的普通方程为y＝，联立两方程消去k，得：﹣4y2＝x2﹣4，即曲线C的普通方程为：x2+4y2＝4．由得曲线C的极坐标方程为：ρ2（cos2θ+4sin2θ）＝4；化简得：ρ2（1+3sin2θ）＝4．（Ⅱ）把代入ρ2（1+3sin2θ）＝4，得，∴，得，由已知得：，把，ρ＝4代入方程l3得φ）＝，又，∴，∴，解得：φ＝．[选修45：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|a+|+|a﹣|，a为实数．（I）当a＝1时，求不等式f（x）＞3的解集；（II）求f（a）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，不等式f（x）＞3，即f（x）＝＞3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）①当x＜﹣1时，得f（x）＝2＞3，无解；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）②当﹣1≤x≤1时，得f（x）＝＞3，解得|x|＜，得﹣＜x＜0或0＜x＜；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）③当x＞1时，得f（x）＝2＞3，无解；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）综上知，不等式的解集为（﹣，0）∪（0，）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）f（a）＝＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）①当a＜﹣1或a＞1时，f（a）＝＝2|a|＞2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）②当﹣1≤a≤1时，f（a）＝≥2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）综上知，f（a）的最小值为2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）。
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2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（四川理科）（word 版）选择题 (1)复数211i ii +-+的值是 （A ）0 (B)1 (C)-1 (D)1(2)函数f (x )=1+log 2x 与g(x )=2-x +1在同一直角坐标系下的图象大致是(3)=----121lim 211x x x x （A ）0 (B)1 (C)21 (D)32(4)如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是（A ）BD ∥平面CB 1D 1（B ）AC 1⊥BD（C ）AC 1⊥平面CB 1D 1（D ）异面直线AD 与CB 1角为60°（5）如果双曲线12422=-y x 上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是（A ）364 （B ）362 （C ）62 （D ）32 （6）设球O 的半径是1，A 、B 、C 是球面上三点，已知A 到B 、C 两点的球面距离都是2π，且三面角B -OA -C 的大小为3π，则从A 点沿球面经B 、C 两点再回到A 点的最短距离是（A ）67π（B ）45π （C ）34π （D ）23π（7）设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向在与→→→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为(A)354=-b a (B)345=-b a(C)1454=+b a(D)1445=+b a （8）已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于（A ）3（B ）4（C ）23（D ）24（9）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（A ）36万元 （B ）31.2万元 （C ）30.4万元 （D ）24万元 （10）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（A ）288个 （B ）240个 （C ）144个 （D ）126个 （11）如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是（A ）32（B ）364 （C ）4173 （D ）3212 （12）已知一组抛物线1212++=bx ax y ，其中a 为2,4,6,8中任取的一个数，b 为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x =1交点处的切线相互平行的概率是（A ）121 （B ）607 （C ）256 （D ）255二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上. （13）若函数f (x )=e -(m -u )2 (c 是自然对数的底数)的最大值是m ,且f (x )是偶函数，则m +u = . (14)如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是 .(15)已知⊙O 的方程是x 2+y 2-2=0, ⊙O ’的方程是x 2+y 2-8x +10=0,由动点P 向⊙O 和⊙O ’所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是 . (16)下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y 其中真命题的序号是 （写出所言 ）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π, (Ⅰ)求α2tan 的值.（Ⅱ）求β.（18）（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ，并求该商家拒收这批产品的概率.（19）（本小题满分12分）如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ; （Ⅱ）求二面角B AC M --的大小;MAC P -的体积.（20）（本小题满分12分）设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.已知函数42)(+=x x f ,设曲线)(x f y =在点()处的切线与x 轴线发点()()其中xn 为实数 (Ⅰ)用表示 (Ⅱ)(22)(本小题满分14分)设函数),1,(11)(N x n N n n x f n∈∈⎪⎭⎫⎝⎛+= 且.(Ⅰ)当x =6时,求nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x ,证明2)2()2(f x f +＞);)()()((的导函数是x f x f x f ''(Ⅲ)是否存在N a ∈,使得an ＜∑-⎪⎭⎫⎝⎛+nk k 111＜n a )1(+恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a 的值;若不存在,请说明理由.。
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2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（ ） A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1} 2．（5分）已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=（ ） A． B． C．2 D． 3．（5分）在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（ ） A． B． C． D．
4．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z=3x+y的最小值为（ ） A．11 B．12 C．8 D．3 5．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a8=10，则S9=（ ） A．20 B．35 C．45 D．90 6．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与x轴交于点D，与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ） （ω＞0，0＜ϕ＜），f（x1）=1，f（x2）=0，若|x1﹣x2|min=，且f（）=，则f（x）的单调递增区间为（ ） A． B．． C． D． 8．（5分）函数的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 9．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔 中间一层有（ ）盏灯． A．24 B．48 C．12 D．60 10．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（ ）
A．2 018 B．﹣1 C． D．2 11．（5分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题： ①AF⊥GC； ②BD与GC成异面直线且夹角为60°； ③BD∥MN； ④BG与平面ABCD所成的角为45°． 其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（5分）定义在R上函数y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，且函数f（x+1）是偶函数．若当x∈[0，1]时，，则函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为（ ） A．2017 B．2018 C．4034 D．4036
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．（5分）已知=（2，1），﹣2=（1，1），则= ． 14．（5分）曲线y=ln（x+1）在点（1，ln2）处的切线方程为 ． 15．（5分）从原点O向圆C：x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为 ． 16．（5分）如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB﹣b=2a． （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积． 18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1， ∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点． （Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC； （Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A﹣EBC的体积．
19．（12分）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表： 温度x/°C 21 23 24 27 29 32 产卵数y/个 6 11 20 27 57 77
经计算得：，，，
，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中xi，yi分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6． （Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）； （Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522． （ i ）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好． （ii）用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．
附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线=x+的斜率和
截距的最小二乘估计为，=﹣；相关指数
R2=． 20．（12分）已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4． （Ⅰ）求椭圆C1的标准方程； （Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程． 21．（12分）已知函数（a∈R）． （Ⅰ）讨论g（x）的单调性； （Ⅱ）若．证明：当x＞0，且x≠1时，．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣2，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0． （Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围； （Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|． （Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集； （Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围． 2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（ ） A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1} 【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}， ∴A∩B={0，1，2}． 故选：C．
2．（5分）已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=（ ） A． B． C．2 D． 【解答】解：由zi=2+i，得， ∴|z|=， 故选：D．
3．（5分）在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数有4个，分别为： （1，2，3），（1，2，6），（1，3，6），（2，3，6） 数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有（1，2，3），共1个． ∴数字2是这三个不同数字的平均数的概率是． 故选：A．
4．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z=3x+y的最小值为（ ） A．11 B．12 C．8 D．3 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得A（2，2）， 化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z， 由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距 最小，z有最小值为z=3×2+2=8． 故选：C．
5．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a8=10，则S9=（ ） A．20 B．35 C．45 D．90 【解答】解：由等差数列的性质得，a1+a9=a2+a8=10，S9=． 故选：C．
6．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与x轴交于点D，与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：抛物线y2=8x的准线方程为x=﹣2，准线与x轴的交点为D（﹣2，0）， 由△ADF为等腰直角三角形，得|AD|=|DF|=4，故点A的坐标为（﹣2，4）， 由点A在双曲线上，可得，解得，即， ∴， ∴双曲线的离心率． 故选：D．
7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ） （ω＞0，0＜ϕ＜），f（x1）=1，f（x2）=0，若|x1﹣x2|min=，且f（）=，则f（x）的单调递增区间为（ ） A． B．． C． D． 【解答】解：设f（x）的周期为T，由f（x1）=1，f（x2）=0，|x1﹣x2|min=，得， 由f（）=，得sin（π+ϕ）=，即cosϕ=， 又0＜ϕ＜， ∴ϕ=，f（x）=sin（πx）． 由， 得． ∴f（x）的单调递增区间为． 故选：B．
8．（5分）函数的部分图象大致为（ ）