2014高考广东卷文科数学真题与答案解析

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}5,3,2,0,4,3,2==N M ,则N M （ ）A. {}2,0B. {}3,2C. {}4,3D. {}5,3 （2）已知复数z 满足25)43(=-z i ，则=z （ ）A.i 43--B. i 43+-C. i 43-D. i 43+（3）已知向量)1,3(),2,1(==b a，则=-a b （ ）A. )1,2(-B. )1,2(-C. )0,2(D. )3,4(（4）若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+304082y x y x 则y x z +=2的最大值等于（ ）A. 7B. 8C. 10D. 11 5.下列函数为奇函数的是（ ）A.x x 212-B.x x sin 3C.1cos 2+xD.xx 22+ 6.为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）A.50B.40C.25D.207.在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a 则“b a ≤”是“B A sin sin ≤”的（ ） A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件8.若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（ ） A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等9.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥∥则下列结论一定正确的是（ ）A ．14l l ⊥ B.14l l ∥ C.1l 与4l 既不垂直也不平行 D.1l 与4l 的位置关系不确定 10.对任意复数12,,w w 定义1212,ωωωω*=其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z 有如下四个命题：①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*； ③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11—13题）11.曲线53xy e =-+在点()0,2-处的切线方程为________.12.从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取字母a 的概率为________.13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为θθρsin cos 22=与1cos =θρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 的直角坐标为________15.（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AC AE EB ,2=与DE 交于点F 则______=∆∆的周长的周长AEF CDF三.解答题：本大题共6小题，满分80分 16.(本小题满分12分) 已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且532()122f π=（1） 求A 的值；（2） 若()()3,(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-17（本小题满分13分）某车间20名工人年龄数据如下表： 年龄（岁） 工人数（人）19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计 20（1） 求这20名工人年龄的众数与极差；（2） 以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3） 求这20名工人年龄的方差.18（本小题满分13分）如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB=1,BC=PC=2,作如图3折叠，折痕EF ∥DC.其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF. （1） 证明：CF ⊥平面MDF（2） 求三棱锥M-CDE 的体积.19.（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()()*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222. (1)求1a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a20（本小题满分14分）已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的一个焦点为()0,5，离心率为35。

（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,y x P 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.21.(本小题满分14分)已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈ （1） 求函数()f x 的单调区间；（2） 当0a <时，试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()()2f x f =参考答案选择题1-5BDBCA 6-10 CADDB 填空题.3.2232243sin )3125sin()125(.223)125(),3sin()(=∴=⋅==+=∴=+=A A A A f f x A x f ππππππ且 6cos 32sin 336sin 3)6(.36sin 1cos 20.33sin .3sin 33cos sin 23sin 3cos cos 3sin 3sin cos 3cos sin 3)3sin(3)3sin(3)()(.3)()(),3sin(3)(2==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=-=∴∈=∴==⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--+=--∴=--+=θθππθπθπθθπθθθπθθπθππθπθπθπθθθθθπf f f f f x x f ），（且且11. 520x y ++= 12.2513. 514. ()1,2 15. 3解答题 16.（1）（2）17. 解：（1）由图可知，众数为30.极差为：40-19=21. 1 9 2 8 8 8 9 9 9 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 4 1（2）根据表格可得：()()()()()()[]05.133041303143030530293302833019201302040332431530329328192222222=-+-+-+-+-+-=∴=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=s x 18.解：证明：（1）解： （2）19.解：（1）由()()*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222，令1n =，得211(1)S 60S ---=， 即21160a a +-=.解得12a =或13a =-，由于数列{}n a 为正项数列，所以12a =；（2）由()()*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222，因式分解得()()2320n n S S n n +--=由数列{}n a 为正项数列可得220n S n n --=，即22n S n n =+，当2n ≥时，()()22121212n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦，由12a =可得，n N *∀∈，2n a n =.16231.834312121.433,.26,1,210210,.23.23212,211,602,1.,.31==∴=⨯⨯=⋅=∴=∴====∆∴=⊥=∴=-==∴=︒=∠∴==∆⊥∴⊆⊥⋅⋅=∴⊥∆-∆∆-DM S V DE CD S DE PD E PD CP F DM CD CM MDC RT CM MF CF MF PF CF CD PCD PC CD PCD RT DFCF MDF DF MDF CF MD S V PCDMD CDE CDE M CDE CDE CDE M 的三分点，故为且的三分点点位于又得中，在故利用勾股定理得：又故且中，在面面面 MDFCF M MF MD CF MF CF MD PCD CF PCD MD ABCD AD CD AD ABCD CD ABCD PCD PCD ABCD PD 面且面又由于面面为矩形，四边形又交线为面面面且面⊥∴=⋂⊥⊥∴⊆⊥∴⊆⊥⊥∴⊆⊥,.,,.,.PD ,（3）由（2）可知()()111221n n a a n n =++()()()()1111111221212122121n n n N a a n n n n n n *⎛⎫∀∈=<=- ⎪++-+-+⎝⎭当1n =时，显然有()11111163a a =<+; 当2n ≥时，()()()1122111111n n a a a a a a ++++++()11111111221235572121n n ⎛⎫<+-+-++- ⎪⋅+-+⎝⎭=111132213n -⋅<+所以，对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a20.解：（1）149.2,335,522=+=====yx b a a c e c 椭圆方程为：得：由 （2））点坐标为（，椭圆长轴与短轴的端点两点分别位于、率不存在时，即当两条切线中有一条斜、设两个切点分别为2,3①±±P B A BA)3131-949442)9()(490△0369189)1818(49149)(y -y )(y -y P k ②02020*******02021212000222002200020202022220000±≠=+=--=∙∴--=∙=-+--⇒-=+⇒==-+-+-++⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=x y x x y k k PB PA x y k k k k PB PA y k y x k x y kx k y y kx x k x x k ky x k y x x x k x x k （化简得互相垂直，、又，则、斜率分别为、设）（，得联立的椭圆切线方程为，过点设椭圆切线斜率为切线斜率均存在时，当两条.13132,3222020上在圆点上）在（又=+∴=+±±y x P y x P21.解：（1）由()32113f x x x ax =+++，求导得()'22f x x x a =++，令()'0f x =即220x x a ++=，44a ∆=-，① 当0∆≤，即1a ≥时，()'0f x ≥恒成立，()f x 在R 上单调递增；② 当0∆>，即1a <时，方程220x x a ++=的两根分别为：111x a =-+-，211x a =---，当()()()',11,0,x a fx f x ∈-∞--->单调递增；当()11,11x a a ∈----+-，()'0f x <，()f x 单调递减； 当()()()'11,,0,x a f x f x ∈-+-+∞>单调递增。