人教A版数学必修4-2.docx
人教A版数学必修4
1．1任意角和弧度制1．1.1任意角角的分类[导入新知]角的分类(1)按旋转方向(2)①角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角；②角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．[化解疑难]1．任意角的概念认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边．(1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．(2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字．①要明确旋转方向；②要明确旋转角度的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．象限角的前提条件角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．终边相同的角[导入新知]终边相同的角β|β＝α＋k·360°，k∈Z，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{}即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[化解疑难]所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下几点．(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°，k∈Z与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°，k∈Z应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的角终边一定相同．象限角的判断[例1]已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[解]作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．[类题通法]象限角的判断方法(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．[活学活用]在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．(1)360°；(2)720°；(3)2 012°；(4)－120°.解：如图所示，分别作出各角，可以发现：(1)360°＝0°＋360°，(2)720°＝0°＋2×360°，因此，在0°～360°范围内，这两个角均与0°角终边相同．所以这两个角不属于任何一个象限．(3)2 012°＝212°＋5×360°，所以在0°～360°范围内，与2 012°角终边相同的角是212°，所以2 012°是第三象限角．(4)－120°＝240°－360°，所以在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°，所以－120°是第三象限角．终边相同的角的表示[例2](1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．[解](1)与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{}β|β＝－1 910°＋k·360°，k∈Z.∵－720°≤β＜360°，∴－720°≤－1 910°＋k·360°＜360°，∴31136≤k＜61136，故k＝4,5,6.k＝4时，β＝－1 910°＋4×360°＝－470°.k＝5时，β＝－1 910°＋5×360°＝－110°.k＝6时，β＝－1 910°＋6×360°＝250°.(2)①在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．③终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，结合②知所求角的集合为S＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}．(3)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}，故阴影部分角的集合可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．[类题通法]1．常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．2．区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．[活学活用]1．将下列各角表示为α＋k·360°(k∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)420°；(2)－495°；(3)1 020°.答案：(1)420°＝60°＋360°第一象限角(2)－495°＝225°－2×360° 第三象限角 (3)1 020°＝300°＋2×360° 第四象限角2．已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围．答案：{α|30°＋k ·180°≤α<105°＋k ·180°，k ∈Z }确定nα及αn所在的象限[例3] 若α是第二象限角，则2α，α2分别是第几象限角？[解] (1)∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )， ∴180°＋k ·720°<2α<360°＋k ·720°(k ∈Z )，∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上． (2)∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )， ∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )．①当k ＝2n (n ∈Z )时，45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，即α2是第一象限角； ②当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )，即α2是第三象限角． 故α2是第一或第三象限角． [类题通法]1．nα所在象限的判断方法确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．2.αn所在象限的判断方法 已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法：(1)用不等式表示出角αn 的范围，然后对n 的取值分情况讨论：被n 整除，被n 除余1，被n 除余2，……，被n 除余n －1，从而得出结论．(2)作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据α终边所在的象限确定αn 的终边所落在的区域．如此，αn 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．[活学活用]已知角α为第三象限角，试确定角2α，α2分别是第几象限角．答案：2α可能是第一象限角、第二象限角或终边在y 轴非负半轴上的角 α2可能是第二象限角或第四象限角1.角的概念的易错点[典例] 下列说法中正确的是( ) A ．三角形的内角必是第一、二象限角 B ．第一象限角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不相同D ．若β＝α＋k ·360°(k ∈Z )，则α和β终边相同[解析] 90°角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角；390°角是第一象限角，但它不是锐角；390°角和30°角不相等，但终边相同，故A 、B 、C 均不正确．对于D ，由终边相同的角的概念可知正确．[答案] D [易错防范](1)若三角形是直角三角形，则有一个角为直角，且直角的终边在y 轴的非负半轴上，不属于任何象限．若忽视此点，则易错选A.(2)锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，如380°角为第一象限角，但它不是锐角．若混淆这两个概念，则易误选B.(3)当角的范围扩充后，相差k·360°(k∈Z)的角的终边相同．若忽视此点，易错选C.(4)解决好此类问题应注意以下三点：①弄清直角和象限角的区别，把握好概念的实质内容．②弄清锐角和象限角的区别．③对角的认识不能仅仅局限于0°～360°.[成功破障]下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角大于第一象限角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确命题的序号为________．答案：①一、选择题1．－435°角的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D2．终边在第二象限的角的集合可以表示为()A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}答案：D3．若α是第四象限角，则－α一定是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：A4．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中各角的终边都在()A．x轴非负半轴上B．y轴非负半轴上C ．x 轴或y 轴上D ．x 轴非负半轴或y 轴非负半轴上 答案：C5．角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为( ) A ．α＋β＝k ·360°，k ∈Z B ．α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z C ．α－β＝k ·360°＋180°，k ∈Z D ．α－β＝k ·360°，k ∈Z 答案：B 二、填空题6．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是________． 解析：设与角α终边相同的角为β，则β＝－3 000°＋k ·360°，k ∈Z ，又∵ β为最小正角，故取k ＝9，则β＝－3 000°＋360°×9＝240°.答案：240°7．如果将钟表拨快10 min ，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．解析：将钟表拨快10 min ，则时针按顺时针方向转了10×360°12×60＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×360°60＝60°，所转成的角度是－60°.答案：－5 －608．已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是第________象限角．解析：由题意知k ·360°<2α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，故k ·180°<α<90°＋k ·180°(k ∈Z )，按照k 的奇偶性进行讨论．当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°<α<90°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α在第一象限；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，180°＋n ·360°<α<270°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．答案：一或三 三、解答题9．如果θ为小于360°的正角，这个角θ的4倍角的终边与这个角的终边重合，求θ的值．解：由题意得4θ＝θ＋k ·360°，k ∈Z ， ∴3θ＝k ·360°，θ＝k ·120°， 又0°＜θ＜360°， ∴θ＝120°或θ＝240°.10．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．1．1.2弧度制角度制与弧度制[导入新知]1．角度制与弧度制(1)角度制．①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的1360作为一个单位．(2)弧度制．①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．2．任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3．角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.[化解疑难]角度制和弧度制的比较(1)弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角与1度的角所指含义不同，大小更不同．(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．角度与弧度的换算 [导入新知]1．弧度与角度的换算角度与弧度互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad ， 充分利用1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ， 则α rad ＝⎝⎛⎭⎫α·180π°；n °＝n ·π180rad.弧度制下的扇形的弧长及面积公式 [导入新知]扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则扇形的弧长及面积公式的记忆(1)扇形的弧长公式的实质是角的弧度数的计算公式的变形：|α|＝lr⇔l ＝r |α|.(2)扇形的面积公式S ＝12lR 与三角形的面积公式极为相似(把弧长看作底，把半径看作高)，可以类比记忆．角度与弧度的换算[例1] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.[解] (1)72°＝72×π180＝2π5；(2)－300°＝－300×π180＝－5π3；(3)2＝2×⎝⎛⎭⎫180π°＝⎝⎛⎭⎫360π°； (4)－2π9＝－⎝⎛⎭⎫2π9×180π°＝－40°. [类题通法]角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×180π＝度数．[活学活用]已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝7π12，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．答案：α<β<γ<θ＝φ扇形的弧长公式及面积公式的应用[例2] (1)已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2，则扇形的面积为________ cm 2. [答案] 4(2)已知一半径为R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？[解] 设扇形的弧长为l ，由题意得2πR ＝2R ＋l ，所以l ＝2(π－1)R ，所以扇形的圆心角是lR＝2(π－1)， 扇形的面积是12Rl ＝(π－1)R 2.[类题通法]弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度． [活学活用]已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？答案：r ＝152 cm 时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为2254cm 2.用弧度制表示角的集合[例3] 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．[解] (1)如题图①，∵330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧θ⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z . (2)如题图②，∵30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z . [类题通法]用弧度制表示角应关注的三点(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．(2)在表示角的集合时，可以先写出一周范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2k π，k ∈Z .(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x |x ＝α＋k π，k ∈Z }；终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝α＋k ·π2，k ∈Z .在进行区间合并时，一定要做到准确无误．[活学活用]以弧度为单位，写出终边落在直线y ＝－x 上的角的集合． 答案：αα＝34π＋k π，k ∈Z .1.弧度制下的对称关系[典例] 若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.[解析] 如图所示，设角π6的终边为OA ，OA 关于直线y ＝x 对称的射线为OB ，则以OB 为终边且在0到2π之间的角为π3，故以OB 为终边的角的集合为αα＝π3＋2k π，k ∈Z .∵α∈(－4π，4π)， ∴－4π<π3＋2k π<4π(k ∈Z )，∴－136<k <116(k ∈Z )．∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1， ∴α＝－11π3，－5π3，π3，7π3.[答案] －11π3，－5π3，π3，7π3[多维探究]在弧度制下，常见的对称关系如下(1)若α与β的终边关于x 轴对称，则α＋β＝2k π(k ∈Z )； (2)若α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝(2k ＋1)π(k ∈Z )； (3)若α与β的终边关于原点对称，则α－β＝(2k ＋1)π(k ∈Z )； (4)若α与β的终边在一条直线上，则α－β＝k π(k ∈Z )． [活学活用]1．若α和β的终边关于x 轴对称，则α可以用β表示为( ) A ．2k π＋β (k ∈Z ) B ．2k π－β (k ∈Z ) C ．k π＋β (k ∈Z ) D ．k π－β (k ∈Z )答案：B2．在平面直角坐标系中，α＝－2π3，β的终边与α的终边分别有如下关系时，求β.(1)若α，β的终边关于x 轴对称； (2)若α，β的终边关于y 轴对称； (3)若α，β的终边关于原点对称； (4)若α，β的终边关于直线x ＋y ＝0对称． 答案：(1)β＝2π3＋2k π，k ∈Z(2)β＝－π3＋2k π，k ∈Z(3)β＝π3＋2k π，k ∈Z(4)β＝π6＋2k π，k ∈Z一、选择题1．下列命题中，正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径长的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 答案：D2．1 920°化为弧度数为( ) A.163 B ．323C.16π3 D ．32π3答案：D 3.29π6是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 答案：B4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.π3 B ．2π3C. 3 D ．2答案：C5．集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q 等于( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π} 答案：B 二、填空题6．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________． 解析：若角α的终边落在x 轴上方， 则2k π<α<2k π＋π(k ∈Z )． 答案：{α|2k π<α<2k π＋π，k ∈Z }7．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．解析：设圆的半径为r ，弧长为l ，其弧度数为lr.将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r ＝3·lr，即弧度数变为原来的3倍． 答案：38．若角α的终边与85π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4的终边相同的角是________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z )，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )．令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π10三、解答题 9．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14π9， ∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π.∵α与角14π9终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ，解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.10.如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积．解：∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π，∴AB 的长为4π.∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，作OD ⊥AB ，有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.∴S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3. ∴弓形ACB 的面积为12π－9 3.1．2任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数 第一课时 三角函数的定义任意角的三角函数的定义 [导入新知]1．任意角三角函数的定义(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆．(2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；y x 叫作α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x ≠0).2．三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．[化解疑难]对三角函数定义的理解(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．(3)三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关．三角函数值的符号[导入新知]1．三角函数的定义域2．[化解疑难]巧记三角函数值的符号三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，即第一象限各三角函数值均为正，第二象限只有正弦值为正，第三象限只有正切值为正，第四象限只有余弦值为正．诱导公式一[导入新知]终边相同的角的同一三角函数的值(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等．(2)公式：sin(α＋k·2π)＝sin_α，cos(α＋k·2π)＝cos_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z.[化解疑难]诱导公式一的结构特点(1)其结构特点是函数名相同，左边角为α＋k·2π，右边角为α.(2)由公式一可知，三角函数值有周而复始的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现．(3)此公式也可以记为：sin(α＋k·360°)＝sin α，cos(α＋k·360°)＝cos α，tan(α＋k·360°)＝tan α.其中k∈Z.三角函数的定义及应用[例1] (1)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.[答案] －1213 513 －125(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．[解] 直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝(－1)2＋(3)2＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3； 在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3. [类题通法]利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．②注意到角的终边为射线，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝a a 2＋b 2，正切值tan α＝ba .(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[活学活用]已知角α终边上一点P 的坐标为(4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．答案：2sin α＋cos α＝⎩⎨⎧－25，a >0，25，a <0三角函数值符号的运用[例2] (1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[答案] C(2)判断下列各式的符号：①sin 105°·cos 230°；②cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3. [解析] ①∵105°，230°分别为第二、第三象限角，∴sin 105°>0，cos 230°<0.于是sin 105°·cos 230°<0.②∵π2<3<π，∴3是第二象限角，∴cos 3<0.又∵－2π3是第三象限角，∴tan ⎝⎛⎭⎫－2π3>0，∴cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3<0. [类题通法]三角函数值的符号规律(1)当角θ为第一象限角时，sin θ>0，cos θ>0；或sin θ>0，tan θ>0；或cos θ>0，tan θ>0.反之也成立．(2)当角θ为第二象限角时，sin θ>0，cos θ<0；或sin θ>0，tan θ<0；或cos θ<0，tan θ<0.反之也成立．(3)当角θ为第三象限角时，sin θ<0，cos θ<0；或sin θ<0，tan θ>0；或cos θ<0，tan θ>0.反之也成立．(4)当角θ为第四象限角时，sin θ<0，cos θ>0；或sin θ<0，tan θ<0；或cos θ>0，tan θ<0.反之也成立．[活学活用]已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：B诱导公式一的应用[例3] 计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5tan 4π.[解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. [类题通法]诱导公式一的应用策略应用诱导公式一时，先将角转化为0～2π范围内的角，再求值．对于特殊角的三角函数值一定要熟记．[活学活用] 求下列各式的值： (1)sin25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°. 答案：(1)32＋1. (2)1.1.应用三角函数定义求值[典例] (12分)已知角α的终边过点P (－3m ，m )(m ≠0)，求α的正弦、余弦、正切值． [解题流程][规范解答][活学活用]已知角α的终边上一点P (－3，y )(y ≠0)，且sin α＝24y ，求cos α，tan α的值． 答案：当y ＝5时，cos α＝－64，tan α＝－153； 当y ＝－5时，cos α＝－64，tan α＝153.一、选择题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫－32，－12，则sin α的值为( ) A ．－32B ．－12C.32D ．12答案：B2．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝⎛⎭⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：B3．已知60°角的终边上有一点P (4，a )，则a 的值为( ) A.433B ．±433C ．4 3D ．±4 3 答案：C4．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A ．tan A 与cos BB ．cos B 与sin CC ．sin C 与tan AD ．tan A2与sin C答案：D5．已知tan x >0，且sin x ＋cos x >0，那么角x 是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案：A 二、填空题6．α是第二象限角，P (x, 5)是其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为________． 解析：∵α是第二象限角， ∴x ＜0，又|OP |＝x 2＋5， ∴cos α＝24x ＝ xx 2＋5，解得x ＝－ 3. 答案：－ 37．计算：tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 答案：328．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0； 当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0.综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0. 答案：0 三、解答题9．如果角α的终边经过点M (1，3)，试写出角α的集合A ，并求集合A 中最大的负角和绝对值最小的角．解：在0°～360°范围内，tan α＝3且终边在第一象限内，可求得α＝60°.A ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }．所以k ＝－1时，α＝－300°为最大的负角；k ＝0时，α＝60°为绝对值最小的角．10．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点是M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，可知sin α<0，由lg(cos α)有意义可知cos α>0， 所以角α是第四象限角． (2)∵|OM |＝1，∴⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.第二课时 三角函数线及其应用[导入新知] 1．有向线段带有方向的线段叫作有向线段． 2．三角函数线三角函数线的四个注意点(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；(2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的交点；(3)正负：三条有向线段中与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的为负值； (4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后．三角函数线的作法[例1] 作出3π4的正弦线、余弦线和正切线．[解] 角3π4的终边(如图)与单位圆的交点为P .作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线AT ，与3π4的终边的反向延长线交于点T ，则3π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .[类题通法] 三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从A (1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT .[活学活用]作出－9π4的正弦线、余弦线和正切线．解：如图所示，－9π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .利用三角函数线比较大小[例2] 分别比较sin 2π3与sin 4π5；cos 2π3与cos 4π5；tan 2π3与tan 4π5的大小．[解] 在直角坐标系中作单位圆如图所示．以x 轴非负半轴为始边作2π3的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥Ox ，垂足为M .由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 的垂线与OP 的反向延长线交于T 点，则sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT .同理，可作出4π5的正弦线、余弦线和正切线，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5＝AT ′.由图形可知，MP >M ′P ′，符号相同，则sin 2π3>sin 4π5；OM >OM ′，符号相同，则cos 2π3>cos 4π5；AT <AT ′，符号相同，则tan 2π3<tan 4π5.[类题通法]利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位臵要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．[活学活用]设π4<α<π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2<α<3π4，上述长度关系又如何？解：如图所示，当π4<α<π2时，角α的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT ，显然在长度上，AT >MP >OM ；当π2<α<3π4时，角α的正弦线为M ′P ′，余弦线为OM ′，正切线为AT ′，显然在长度上，AT ′>M ′P ′>OM ′.利用三角函数线解不等式[例3] 利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围． (1)sin α<－12；(2)cos α>32.[解] (1)如图①，过点⎝⎛⎭⎫0，－12作x 轴的平行线交单位圆于P ，P ′两点，则sin ∠xOP ＝sin ∠xOP ′＝－12，∠xOP ＝11π6，∠xOP ′＝7π6，故α的范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫7π6＋2k π<α<11π6＋2k π，k ∈Z .(2)如图②，过点⎝⎛⎭⎫32，0作x 轴的垂线与单位圆交于P ，P ′两点，则cos ∠xOP ＝cos ∠xOP ′＝32，∠xOP ＝π6，∠xOP ′＝－π6， 故α的范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫－π6＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z . [类题通法]利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点．一般来说，对于sin x ≥b ，cos x ≥a (或sin x ≤b ，cos x ≤a )，只需作直线y ＝b ，x ＝a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位臵，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan x ≥c (或tan x ≤c )，则取点(1，c )，连接该点和原点即得角的终边所在的位臵，并反向延长，结合图象可得．利用三角函数线求满足tan α≥33的角α的范围． 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k ·π＋π6≤α<k ·π＋π2，k ∈Z2.三角函数线的概念[典例] 已知角α的正弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．y 轴的非负半轴上 B ．y 轴的非正半轴上 C ．x 轴上 D ．y 轴上[解析] 由题意可知，sin α＝±1，故角α的终边在y 轴上． [答案] D [易错防范](1)本题易错误地认为正弦线是长度为单位长度的有向线段时，sin α＝1，从而误选A. (2)若搞错正弦线和余弦线的位置，则易错选C.(3)解决此类问题要正确理解有向线段的概念，既要把握好有向线段是带有方向的线段，有正也有负，同时也要把握准正弦线和余弦线的位置．[成功破障]已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．直线y ＝x 上 B ．直线y ＝－x 上C ．直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上D ．x 轴上或y 轴上 答案：C一、选择题1．角π5和角6π5有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定。
人教A版数学必修四高一答案.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作德化一中2007－2008学年度上学期期末考高一数学参考答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCBACBDCBADC第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．[2,)+∞ 14. 62 15 . 5± 16. (3,)+∞三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知集合2{|0}S x x px q =-+=,2{|(3)60}T x x p x =-++=，且{3}S T =（1）求9log (3)p q +的值. （2）求S T ；解：(1) ∵{3}ST =，∴3S ∈且3T ∈.于是有 223303(3)360p q p ⎧-+=⎪⎨-+⨯+=⎪⎩ ------------------------------------------------2分解得 23p q =⎧⎨=-⎩----------------------------------------------------------4分∴ 9log (3)p q +991log (323)log 32=⨯-== -------------------------------6分 (2) 由（1）知2,3p q ==-∴2{|230}{1,3}S x x x =--==-， ---------------------------------------------8分2{|560}{2,3}T x x x =-+==. ---------------------------------------------10分∴S T ＝｛－1, 2，3｝ -------------------------------------------------------12分18．（本小题满分12分） 已知(7,1)a =，(tan(),1)4b πα=+，且a ∥b ，（1）求tan α的值；（2）求2sin cos 2cos ααα+的值. 解：（1）∵ (7,1)a =，(tan(),1)4b πα=+，且a ∥b ，∴ 71tan()104πα⨯-+⨯=，---------------------------------------------------3分∴1tan 701tan αα+-=-，解得 3tan 4α= .---------------------------------------6分（2）由（1）知3tan 4α=，2sin cos 2cos ααα+＝222sin cos 2cos sin cos ααααα⋅++＝2tan 2tan 1αα++ ---------------------------------------9分＝23243()14++＝4425 ----------------------------------------------------------------------12分另解：由（1）知3tan 4α=∴ 3sin cos 4αα=，又 22sin cos 1αα+= ∴223(cos )cos 14αα+=∴216cos 25α= --------------------------------------------------------------------------9分∴2sin cos 2cos ααα+＝223cos 2cos 4αα+＝211111644cos 442525α=⨯=--------------------------------------------------------12分 19．（本小题满分12分）已知函数2()23sin cos cos f x x x a x =+的图象经过点（0 2）（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）当x ∈[,]64ππ-时，求函数()f x 的值域. 解：（1）∵函数2()23sin cos cos f x x x a x =+的图象经过点（0 2）∴ (0)2f = ∴2a = ------------------------------------------------------------2分 ∴ 2()3sin 22cos f x x x =+ ＝3sin 2cos 21x x ++2sin(2)16x π=++ ---------------------------------------------------------6分 ∴ 由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得 2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈ ∴函数()f x 的单调递减区间函数()f x 的单调递减区间为2[,],63k k k Z ππππ++∈ -----------------------------------------------------8分 （2）由（1）知()2sin(2)16f x x π=++∵x ∈[,]64ππ- ∴22663x πππ-≤+≤∴ 1sin(2)126x π-≤+≤ --------------------------------------------------------10分 ∴ 0()3f x ≤≤，即函数()f x 的值域为[0,3] ---------------------------12分 20．（本小题满分12分）已知向量(2,2),(4,1)OA OB ==-，点P 在x 轴的非负半轴上（O 为原点）. （1）当PA PB ⋅取得最小值时，求OP 的坐标； （2）设APB θ∠=，当点P 满足（1）时，求cos θ的值.解：（1）设(,0)OP x =(0)x ≥，--------------------------------------------------------1分则(2,2)PA x =-，(4,1)PB x =-- ------------------------------------------3分∴ (2)(4)21PA PB x x ⋅=---+⨯226x x =+-2(1)7x =+- (0)x ≥ ----------------------------------------------5分 ∴当0x =时，PA PB ⋅取得最小值6-，此时，(0,0)OP = ----------------7分 （2）由（1）知(0,0)OP =， PA PB ⋅＝－6,PA OA PB OB == --------------------------------------------------------10分∴ 6334cos 34||||2217PA PB PA PB θ⋅-===-⋅ -----------------------------12分 21．（本小题满分12分） 已知函数1()lg1xf x x-=+的定义域为集合A ，,a b A ∈ （1）判断()f x 的奇偶性； （2）求证：()()()1a bf a f b f ab++=+ 解：（1）由101xx->+，得11x -<< ∴函数1()lg 1xf x x -=+的定义域A ＝{|11}x x -<<，它关于原点对称.---------3分又1()lg 1x f x x +-=-111lg()lg ()11x xf x x x---==-=-++，∴函数()f x 是奇函数. -----------------------------------------------------------------------6分 另解：由101xx->+，得11x -<< ∴函数1()lg 1xf x x-=+的定义域A ＝{|11}x x -<<，它关于原点对称.------------3分又 11()()lg lg11x xf x f x x x+--+=+-+ ＝(1)(1)lg(1)(1)x x x x +--+＝l g 10= ∴ ()()f x f x -=-∴ 函数()f x 是奇函数. ---------------------------------------------------------------------6分 （2）∵11()()()()11a bf a f b f f a b--+=+++=(1)(1)1lglg (1)(1)1a b a b aba b a b ab----+=+++++111()lg lg1111a b a b ab a bab f a b ab ab a b ab +-++--+==+++++++ --------------------------------10分 ∴()()()1a bf a f b f ab++=+ -----------------------------------------------------------12分22．（本小题满分14分）定义在R 上的函数()y f x =，(0)0f ≠，当0x >时()1f x >，且对任意的a b R ∈、，有()()()f a b f a f b +=⋅. (1)求(0)f 的值；(2)求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >； (3)若2()(2)1f x f x x ⋅->，求x 的取值范围. 解：（1）解：令0a b ==，则2(0)(0).f f =又(0)0f ≠，(0)1f =. -------------------------------------------------------------3分 （2）证明：当0x <时，0x ->，∴()1f x -> ∵(0)()()1f f x f x =⋅-=，∴1()0()f x f x =>- 又0x ≥时， ()10f x ≥>∴对任意的x R ∈，恒有()0f x >. ------------------------------------------------8分 （3）解：设12x x <，则210x x ->. ∴21()1f x x ->. 又1()0f x >∴ 1212111211()()()[()]()()()f x f x f x f x x x f x f x x f x -=--+=--⋅ =121()[1()]0f x f x x --< ∴ 12()()f x f x <.∴ ()f x 是R 上的增函数. ----------------------------------------------------------12分由2()(2)1f x f x x ⋅->，(0)1f =得 2(3)(0)f x x f ->. ∴ 230x x ->，∴03x <<∴所求的x 的取值范围为(0,3) ------------------------------------------------14分。
人教A版高中数学必修四 1-4-2 正弦函数、余弦函数的性
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）（学案）一、学习目标1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间． 二、自主学习三、合作探究知识点一 求正、余弦函数的单调区间 例1 求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间．回顾归纳 求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．知识点二 比较三角函数值的大小例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin 196°与cos 156°； (2)sin 1，sin 2，sin 3.回顾归纳 用正弦函数和余弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．知识点三 正、余弦函数的最值问题例3 已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．回顾归纳 此类问题应特别注意正、余弦函数值域的有界性，即当x ∈R 时，－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，另外还应注意定义域对值域的影响．四、学以致用1. 求函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2的单调增区间．2. 比较下列各组数的大小．(1)cos 870°，cos 890°； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π6，sin 49π3.3. 若函数y ＝a －b cos x (b >0)的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝－4a cos bx 的最值和最小正周期．五、自主小测1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin β B ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π5．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)7．已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．参考答案1．C 2.D3．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1.]4．C [由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎪⎫π，32π为y ＝|sin x |的单调递增区间．] 5．C [∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.]6．A [因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.]7．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －x 3≤23π，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1，f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123.当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1，f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧－3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123.。
人教A版数学必修四1.4.2第2课时正、余弦函数的单调性与最值基础达标(含答案解析).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1．函数y ＝cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( )A ．[－π4，π4]B ．[π4，3π4] C ．[0，π2] D ．[π2，π] 解析：选C.若函数y ＝cos 2x 递减，应有2k π≤2x ≤π＋2k π，k ∈Z ，即k π≤x ≤π2＋k π，k ∈Z ，令k ＝0可得0≤x ≤π2. 2．y ＝sin x －|sin x |的值域是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[－1,1]D ．[－2,0]解析：选D.y ＝sin x －|sin x |＝{ 0， sin x ≥x ， sin x <0 ⇒－2≤y ≤0.3．对于函数y ＝sin x ＋1sin x(0<x <π)，下列结论正确的是( ) A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值也无最小值解析：选B.∵y ＝sin x ＋1sin x ＝1＋1sin x， 又x ∈(0，π)，∴sin x ∈(0,1]．∴y ∈[2，＋∞)，故选B.4．若函数y ＝cos 2x 与函数y ＝sin(x ＋φ)在区间[0，π2]上的单调性相同，则φ的一个值是( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选D.由函数y ＝cos 2x 在区间[0，π2]上单调递减，将φ代入函数y ＝sin(x ＋φ)验证可得φ＝π2. 5．函数y ＝2sin(π6－2x )(x ∈[0，π])为增函数的区间是( ) A ．[0，π3] B ．[π12，7π12] C ．[π3，5π6] D ．[5π6，π] 解析：选C.∵函数y ＝2sin(π6－2x )＝－2sin(2x －π6)， ∴函数y ＝2sin(π6－2x )的增区间为y ＝2sin(2x －π6)的减区间，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z 解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z .当k ＝0时，得x ∈[π3，5π6]． 6．已知函数f (x )＝2sin(x ＋π3)，x ∈[0，π3]，则f (x )的值域是________． 解析：x ∈[0，π3]，x ＋π3∈[π3，23π]． sin(x ＋π3)∈[32，1]，则2sin(x ＋π3)∈[3，2]． 答案：[3，2]7．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为________．解析：cos 150°<0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0且cos 20°>cos 40°，所以cos 150°<cos 760°<sin 470°.答案：cos 150°<cos 760°<sin 470°8．函数y ＝cos x 在[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．解析：y ＝cos x 在[－π，0]上为增函数，在[0，π]上为减函数，所以a ∈(－π，0]． 答案：(－π，0]9．求函数y ＝－2sin 23x ，x ∈(－π4，π)的单调区间． 解：由x ∈(－π4，π)知，23x ∈(－π6，2π3)． 当23x ∈(－π6，π2]，即x ∈(－π4，34π]时， 函数y ＝－2sin 23x 为减函数． 当23x ∈[π2，23π)，即x ∈[3π4，π)时， 函数y ＝－2sin 23x 为增函数． ∴递减区间为(－π4，34π]，递增区间为[3π4，π)． 10．若函数y ＝a －b sin x (b >0)的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝－4a sin bx 的最值和最小正周期．解：∵y ＝a －b sin x (b >0)，∴函数的最大值为a ＋b ＝32，① 函数的最小值为a －b ＝－12，② 由①②可解得a ＝12，b ＝1.∴函数y＝－4a sin bx＝－2sin x.其最大值为2，最小值为－2，最小正周期T＝2π.。
人教A版高中数学必修四12模拟2.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作茅盾中学2008—2009学年第一学期期末模拟2高一数学（2009.1）一．选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36）1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） （A ）B=A ∩C （B ）B ∪C=C （C ）A C （D ）A=B=C 2．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD （ ） （A ）12BC BA -+（B ）12BC BA --（C ）12BC BA - （D ）12BC BA +3．若函数x a x f =)(在[1,2]上的最大值与最小值的和为6，则a 等于( )（A ）1（B ）2（C ）3（D ）54．已知向量)2,4(=a ，向量)3,(x b =，且b a //，则x 的值为（ ）（A ）9 （B ）6 （C ）5（D ）3 5．函数)32sin(2π+=x y 的图象（ ）（A ）关于原点对称 （B ）关于点（－6π，0）对称（C ）关于y 轴对称（D ）关于直线x =6π对称6．函数52)(-+=x e x f x 的零点的个数为 （ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个7．设a =log 23，b =log 32，c =log 2(log 32)，则 （ ）（A ）a <b <c （B ）b <c <a （C ）c <a <b（D ）c <b <a 8．若=∈=+απαααtan ),,(,cos sin 则051（ ）（A ）43- （B ）43 （C ）34（D ）34-ABDC9．设m 是非零实数，若函数)11ln()(--=x mx f 的图像关于原点成中心对称，则m 的值是（ ）（A ）1（B ）-1（C ）2 （D ）-210．定义运算：xy y x y x 2*22+-=，则3sin*3cosππ的值是 （ ）（A ）413- （B ）213+ （C ）213+- （D ）213-11．定义：设M 是非空实数集，若存在a ∈M ，使得对任意的x ∈M ，都有)(a x a x ≥≤，则称a 是M 的最大（小）值。
人教A版数学必修四1.4.2第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性基础达标(含答案解析).docx
1．下列函数中，周期为π2的是( ) A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x 4D ．y ＝cos 4x 解析：选D.A 中函数的周期为T ＝4π，B 中函数的周期为T ＝π，C 中函数的周期为T ＝8π，故选D.2．函数y ＝3cos(25x －π6)的最小正周期是( ) A.2π5 B.5π2C ．2πD ．5π解析：选D.∵3cos[25(x ＋5π)－π6]＝3cos(25x －π6＋2π)＝3cos(25x －π6)， ∴y ＝3cos(25x －π6)的最小正周期为5π. 3．已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析：选B.∵f (x )＝－cosπx －1，∴f (－x )＝－cos(－πx )－1＝－cosπx －1＝f (x )，∴f (x )为偶函数．又－cos [π(x ＋2)]－1＝－cos(πx ＋2π)－1＝－cosπx －1，∴f (x )的周期是2.故选B.4．下列命题中正确的是( )A ．y ＝－sin x 为奇函数B ．y ＝|sin x |既不是奇函数也不是偶函数C ．y ＝3sin x ＋1为偶函数D ．y ＝sin x －1为奇函数解析：选A.y ＝|sin x |是偶函数，y ＝3sin x ＋1与y ＝sin x －1都是非奇非偶函数．5．若函数y ＝sin(x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ等于( )A ．0 B.π4C.π2D ．π 解析：选C.由于y ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，而y ＝cos x 是R 上的偶函数，所以φ＝π2. 6．函数f (x )＝sin(32π＋x )的奇偶性是________． 解析：∵f (x )＝sin(32π＋x )＝－cos x ， 又g (x )＝－cos x 是偶函数，∴f (x )＝sin(32π＋x )是偶函数． 答案：偶函数7．函数f (x )＝sin x －1的定义域为________．解析：要使f (x )＝sin x －1有意义，则sin x －1≥0，即sin x ≥1，而sin x ≤1，∴sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z . ∴函数f (x )＝sin x －1的定义域为{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }． 答案：{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z } 8．函数y ＝3sin(ax ＋π6)的最小正周期是π，则a ＝________. 解析：∵y ＝3sin(ax ＋π6)的最小正周期是π， ∴必有3sin[a (x ＋π)＋π6]＝3sin[(ax ＋π6)＋a π] ＝3sin(ax ＋π6)， ∴|a π|＝2π，∴a ＝±2.答案：±29．求下列函数的周期：(1)y ＝－2cos(－12x －1)； (2)y ＝|sin 2x |.解：(1)∵－2cos[－12(x ＋4π)－1] ＝－2cos[(－12x －1)－2π] ＝－2cos(－12x －1)， ∴函数y ＝－2cos(－12x －1)的周期是4π. (2)∵|sin2(x ＋π2)|＝|sin(2x ＋π)|＝|－sin 2x |＝|sin 2x |，∴y ＝|sin 2x |的周期是π2. 10．若函数f (x )是以π2为周期的偶函数，且f (π3)＝1，求f (－176π)的值． 解：∵f (x )的周期为π2，且为偶函数，∴f (－176π)＝f (－3π＋π6)＝f (－6×π2＋π6)＝f (π6)．而f (π6)＝f (π2－π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝1，∴f (－176π)＝1.。
人教A版数学必修四第二学期海南省三亚第一中学人教版
2014-2015学年度第二学期海南省三亚第一中学人教版高中数学必修四第三章单元质量评估第三章 单元质量评估一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，) 1．sin45°·cos15°＋cos225°·sin15°的值为( ) A ．－32 B ．－12C.12D.322．cos 215°－sin 215°的值是( ) A.12B ．－12C.32D ．－323．已知α∈(0，π)，cos α＝－45，则sin(α－π4)等于( )A.210B ．－7210C ．－210D.72104．函数y ＝3sin2x ＋cos 2(x ＋π4)的振幅为( )A ．2B.3－12C.3＋12D.1325．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π2)上是递增的B ．f (x )的图象关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为26．已知tan α2＝3，则cos α为( )A.45B ．－45C.415D ．－357．函数y ＝cos2x cos π5－2sin x cos x sin 6π5的递增区间是( )A ．[k π＋π10；k π＋3π5](k ∈Z )B ．[k π－3π20，k π＋7π20](k ∈Z )C ．[2k π＋π10，2k π＋3π5](k ∈Z )D ．[k π－2π5，k π＋π10](k ∈Z )8．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12C ．2D ．－29．已知tan θ和tan(π4－θ)是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，那么a 、b 间的关系是( )A ．a ＋b ＋1＝0B ．a ＋b －1＝0C ．a －b ＋1＝0D ．a －b －1＝010．当0<x <π2时，函数f (x )＝sin 2x －cos2x 2＋3sin2x 的最大值为( )A ．2B ．23C.52D ．4 311．使f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数，且在区间[0，π4]上是减函数的θ的一个值是( )A ．－π3B.π3C.2π3 D.4π312．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为( )A ．1B.2C.3D ．2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．) 13．若sin θ2－2cos θ2＝0，则tan θ＝________.14．计算：tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________. 15．15．已知sin cos αβ+13=，sin cos βα-12=，则sin()αβ-=__________。
高中数学人教A版必修4目录
必修4目录第一章:三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角(1课时)1.1.2弧度制(1课时)1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数(2课时)1.2.2同角三角函数的基本关系(1课时)1.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的诱导公式(2课时)1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象(1课时)1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2课时)1.4.3正切函数的性质与图象(1课时)1.5函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象1.5函数y＝Asin(ωx＋ϕ)的图象(2课时)1.6三角函数模型的简单应用1.6三角函数模型的简单应用(2课时)第二章:平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.1.1向量的物理背景与概念 2.1.2向量的几何表示(1课时)2.1.3相等向量与共线向量(1课时)2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义2.2.2向量减法运算及其几何意义(1课时) 2.2.3向量数乘运算及其几何意义(1课时)2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示(1课时) 2.3.3平面向量的坐标表示 2.3.4平面向量共线是坐标表示(1课时)2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义(1课时)2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(1课时)2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法(1课时)2.5.2向量在物理中的应用举例(1课时)第三章:三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式(1课时)3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1课时)3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式(1课时)3.2简单的三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换(3课时)。
人教A版数学必修4第一、三章综合(基础版).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作贵州省铜仁巿衡民中学高一月考数学试卷 (必修4 第一、三章 三角函数及其恒等变形 基础版)（时间：120分钟 满分：150分）_______班 姓名 _______ 得分_______ 一、选择题（共12小题，每小题 5分，共60分）1．已知角α的终边过点P )3,1(-，则=-ααcos sin （ ）A ．213+ B ．213- C ．231- D ．213+- 2．=120sin 2（ ） A ．23±B ．23C ．12D ．21- 3．(2008年贵州高考) 若sin 0α<，且tan 0α>，则α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4．(2008年贵州高考) 函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．2D ． 15．(2009年贵州高考改编) 已知△ABC 中，125tan -=A ，则cos A =（ ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A ．1213B ．513C ．513-D ．1213- 6．(2010年贵州高考) 已知2sin 3α=，则=-)2cos(απ（ ）A ．35 B ．35- C ．91 D ．91-7．105sin 75cos 105cos 15cos ⋅-⋅的值为 （ ） A ．21- B ．21 C ．23 D ．23-8．212cos 15-=（ ） A ．21B ．32C ．12-D ．32-9．函数x x x f cos sin 2)(=是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 10．下列各组数的大小关系不正确的是（ ） A ．10sin8sinππ> B ．53cos4cosππ< C ．)3tan()5tan(ππ->-D ． 59tan 17tan < 11．(2010年贵州高考)为了得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只要将函数x y 2sin =的图象（ ）个单位长度.A ．向左平移3π B ．向右平移3π C ．向右平移6π D ．向左平移6π12．函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）A ．关于直线4x π=对称B ．关于直线3x π=对称C ．关于点04π（，）对称D ．关于点03π（，）对称 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．cos300= . 14．函数)4tan(π+=x y 的定义域为________________.1y15．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0)ϕπ<<的图象 如右图所示，则ϕ= . 16．若2cos sin =+αα，则α2sin 的值为_________.三、解答题（共6小题，其中第17小题10分，其他各题12分）17．（10分）在下列情况下分别求αcos 的值：（Ⅰ）(2010年贵州高考) 已知α是第二象限的角，αtan =21； （Ⅱ）(2010年贵州高考) 已知3(,)2παπ∈，2tan =α.18．（12分）已知2tan =α，求下列各式的值:（Ⅰ）ααααsin cos sin cos -+；（Ⅱ）αααα22cos cos sin sin -+.19．（12分）（Ⅰ）(2008年贵州高考) 在△ABC 中，135cos -=A ，53cos =B ，求sin C ； （Ⅱ）若54cos -=α，1312sin =β，且)23,(ππα∈，),2(ππβ∈， 求)tan(βα-．20．（12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<在同一周期内，当 6x π=时有最大值4；当76x π=时，有最小值4-，求该函数的解析式.21．（12分）已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=，求)8(πf 的值.22．（12分）已知曲线)2sin()(ϕ+=x x f （20πϕ<<）的一条对称轴是8x π=.（Ⅰ）求ϕ的值； （Ⅱ）求()y f x =的单调增区间.。
人教A版数学必修四3-2 二倍角的三角函数.docx
3-2 二倍角的三角函数一、填空题1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝____.解析 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，得cos α＝－255，tan α＝－12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43.答案 －432．计算1－2sin 222.5°的值为________． 解析 原式＝cos 45°＝22.答案223． 已知α是第一象限的角，且cos α＝513，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos(2α＋4π)的值为________．解析 ∵α是第一象限的角，cos α＝513，∴sin α＝1213. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos(2α＋4π)＝22(sin α＋cos α)cos 2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α ＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13 214. 答案 －13 2144．函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和为________．解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，所以当sin x ＝12时，f(x)max ＝32；当sin x＝－1时，f(x)min＝－3.所以f(x)max＋f(x)min＝－32.答案－3 25．已知sin α＝55，则sin4α－cos4α的值为________．解析sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝25－1＝－35.答案－3 56．若函数f(x)＝sin(x＋α)－2cos(x－α)是偶函数，则cos 2α＝________. 解析∵f(x)＝(cos α－2sin α)sin x＋(sin α－2cos α)cos x，故cos α－2sin α＝0，cos α＝2sin α，∴cos2α＋sin2α＝5sin2α＝1，即sin2α＝15，cos 2α＝1－2sin2α＝35.答案3 57．已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos 2α＝________. 解析由sin2α＝4sin2β，tan2α＝9tan2β相除，得9cos2α＝4cos2β，所以sin2α＋9cos2α＝4sin2β＋4cos2β＝4，所以cos2α＝38，cos 2α＝2cos2－1＝－14.答案－1 48．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝______. 解析∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，∴1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，即tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)．∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3(1－tan αtan β)1－tan αtan β＝ 3.又∵0<α＋β<π，∴α＋β＝π3.答案π39．函数y ＝sin x ＋3cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π的值域是________．解析 ∵y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.又∵π6≤x ≤π，∴π2≤x ＋π3≤4π3.结合正弦函数的图象与性质得：－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1.∴－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤2.答案 [－3，2]10．函数y ＝3sin x cos x －sin 2x 的最小正周期为________，最大值为________． 解析 y ＝32sin 2x －1－cos 2x 2＝32sin 2x ＋12cos 2x －12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－12.所以T ＝π，f (x )max ＝1－12＝12.答案 π 1211．函数f (x )＝1－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的值域为________． 解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋4cos 2x (1－cos 2x ) ＝1－2sin 2x ＋4cos 2x sin 2x ＝1－2sin 2x ＋sin 22x＝(1－sin 2x )2因为sin 2x ∈[－1,1]，所以f (x )∈[0,4]． 答案 [0,4] 12．已知1－cos 2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)等于________．解析 由1－cos 2αsin αcos α＝1得2sin 2αsin αcos α＝1，∴tan α＝12，从而tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝tan β－α－tan α1＋tan β－αtan α＝－13－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×12＝－1.答案 －113．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，－1)，B (－3，－4)两点，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC →|＝10，则点C 的坐标是________． 解析 如图，α＋2β＝90°， sin α＝45，cos α＝35，所以sin(90°－2β)＝45.即cos 2β＝45，从而2cos 2β－1＝45，cos β＝310，sin β＝110. 所以tan(α＋β)＝sinα＋βcosα＋β＝cos βsin β＝3.所以直线OC 的方程为y ＝3x ，于是由3x2＋x 2＝10x 2＝10，且x ＜0，得x ＝－1，y ＝－3，C (－1，－3)． 答案 (－1，－3) 二、解答题14. 利用三角公式化简：)10tan 31(50sin οο+．解析 原式οοοοοο10cos )10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin +⋅=+= οοοοοοοο10cos 40sin 50sin 210cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2=+⋅= 110cos 80sin 10cos 40sin 40cos 2===οοοοο． 15． 已知sin x ＋cos x ＝－15(135°<x <180°)．求2sin xcos x －sin x －cos 3x ＋sin 3x的值．解析 ∵sin x ＋cos x ＝－15，∴1＋2sin x cos x ＝125.即1＋sin 2x ＝125，∴sin 2x ＝－2425.又∵270°<2x <360°，∴cos 2x ＝725. ∴原式＝2sin xcos(2x －x )－sin(2x －x )－cos(2x ＋x )＋sin(2x ＋x )＝2sin x 2sin 2x ·sin x ＋2cos 2x ·sin x ＝1sin 2x ＋cos 2x ＝－2517. 16．设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值和最小值． 解析 f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a 2sin 2x －cos 2x ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，得－32·a 2＋12＝－1，解得a ＝2 3. 因此f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，f (x )为增函数．当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，11π24时，2x －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4，f (x )为减函数． 故f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π24＝2， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫11π24＝ 2. 17．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，向量m ＝(2sin B,2－cos 2B )， n ＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B 2，－1，且m ⊥n . (1)求角B 的大小；(2)求sin A ＋cos C 的取值范围．解析 (1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝2sin B ·2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B 2－2＋cos 2B ＝0，即2sin B ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋B 2－2＋cos 2B ＝0，所以sin B ＝12，又0＜B ＜π，所以B ＝π6或5π6. (2)当B ＝π6时，sin A ＋cos C ＝sin A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝sin A －32cos A ＋12sin A ＝32sin A －32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6.由于0＜A ＜5π6，所以sin A ＋cos C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3.当B ＝5π6时，同理可得sin A ＋cos C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 18．已知向量a ＝(1－tan x,1)，b ＝(1＋sin 2x ＋cos 2x,0)，记函数f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的解析式，并指出它的定义域； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π8＝25，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f (α)．解析 (1)f (x )＝a ·b ＝(1－tan x )(1＋sin 2x ＋cos 2x )＝cos x －sin xcos x·(2cos 2x ＋2sin x cos x )＝2(cos 2x －sin 2x )＝2cos 2x .定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π8＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝25，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝210，且2α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝7210.所以f (α)＝2cos 2α＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4－π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4cos π4＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4sin π4＝85.。
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高一数学试题（必修4）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. cos(－320)的值是( )
（A）21 （B）－21 （C）23 （D）－23
2. 已知AB=（5，-3），C（-1，3），CD=2AB，则点D的坐标为( )
（A）（11，9） （B）（4，0） （C）（9，3） （D）（9，-3）
3.
巳知：正弦函数在一个周期内的图象如图所示
则它的表达式是( )
（A）11sin(2)222yx （B）
11
sin(2)222yx
（C）11sin(2)242yx （D）11sin(2)242yx
4. 已知：,,OAaOBbC为AB上距A较近的一个三等分点，D为CB上距C较近
的一个三等分点，用,ab表示OD的表达式为( )
（A）459ab （B）9716ab （C）23ab （D）34ab
5. 若)tan(,21tan),2(53sin则的值是( )
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（A）2 （B）－2 （C）211 （D）211
6.
已知P1（-1，-6），P2（3，0），则点P（37，y）分有向线段21PP所成的比
λ和y的值分别为( )
（A）41，-8 （B）41，8 （C）21，4 （D）21，-4
7. 函数)32sin(xy的图象是( )
（A）关于原点成中心对称图形 （B）关于y轴成轴对称图形
（C）关于点（12，0）成中心对称图形 （D）关于直线x=12成轴对称图形
8. 在ABCABAB中，··sinsincoscos,则这个三角形的形状是( )
（A）锐角三角形 （B）钝角三角形
（C）直角三角形 （D）等腰三角形
9. 已知：P为锐角三角形ABC内部的一点，且满足0,PAPBPC
则P为ABC的( )
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
10. 已知[0,]2x，则函数42sincoscos2yxxx的值域为( )
（A）[0,2] （B）[1,3] （C）[1,2] （D）[3,3]
11. 己知12,ee是夹角为60的两个单位向量，则122aee与1232bee的夹角的
余弦值是( )
（A）12 （B）12 （C）32 （D）32
12. 定义在(,)上的偶函数满足(2)(),fxfx且()fx在[3,2]上为减函数，
若,是锐角三角形的两个内角，则( )
（A）(sin)(cos)ff （B）(sin)(cos)ff
（C）(sin)(sin)ff （D）(cos)(cos)ff
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.
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13.
化简：PB+OP-OB=____________．
14. 函数1lgsincos2yxx的定义域是 .
15.
在△ABC中，AC=23,BC=21,A=030,则AB的长为____________．
16.
给出下列命题：①存在实数x，使sinx＋cosx=23；②若α、β是第一象限角，
且α>β，则cosα
是____________．（把正确命题的序号都填上）
三、选择题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.
（12分）化简求值：21sin20cos101cos170
18.
（16分）已知13(3,1),(,).22ab（Ⅰ）证明：ab;（Ⅱ）若存在不同
时为零的实数k和t，使2(3),,xatbykatb且xy， 试求关系式().kft
（Ⅲ）讨论关于
t
的方程()0fttk的解的情况.
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19. （14分）如图，在平行四边形PQRS中，设,,PQaPSb
0||||2244QSPRPSPQ
. 求SPQ的度数.
20.（14分）是否存在锐角和，使得①22;3②32tan2tan同
时成立？若存在，求出角和的值，若不存在说明理由？
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参考答案
一.选择题：
1.B 2.D 3.A 4. A 5. B 6.A
7.D 8.B 9.C 10.B 11.B 12.A
二、填空题：
13. 0 14. 22,3xkxkkZ 15. 21或1 16 . ③.
以下的解答题只给出一种解法的评分标准，其它解法参照给分
三、解答题：
17．解；原式=2(cos10sin10)cos10sin101cos10sin170cos10sin10…………8分
18．解：（Ⅰ）22()sin()fxabx………
()fx
最大值为2, 222.ab……………2分
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ACBD
又周期2,2.TT
()2sin(2)2sin()3,426fx
()2sin(2)6fxx
……………5分
（Ⅱ）∵()2sin(2)6fxx
依题意，当222,262kxk Zk
∴ 36kxk Zk
∴函数)(xf的单调递增区间为36kk［，］，Zk …… 8分
19．解：（Ⅰ）133(1)0,22abab……3分
（Ⅱ）
22
2
0(3)0xyxykattb
22
1
4(3)0()(3)4kttkfttt
……6分
（Ⅲ）
21()0(3)004fttktttkt或2
1
(3)4kt
………8分
当34k时, 原方程有三个解
当34k时, 原方程有一解 ……10分
20．解：如图 ∵A150 DBC45
0
∴ACB300，
AB= 180km（千米）/h（小时）420s（秒）= 21000(m ) …… 3
分
∴在ABC中
∴ACBABABCsinsin …… 5分
∴)26(1050015sin21210000BC…… 7分
∵ADCD，
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∴0sinsin45CDBCCBDBC＝)26(1050022＝
)13(10500
＝)17.1(10500＝7350
山顶的海拔高度＝10000-7350=2650(米) …… 10分
21、解：
,,,PQaPSbPRabQSba
.
由已知2244abbaab……………4分
44
2222
(2)(2)ababababab
即 442222()4()ababab ， 亦即 2224()2abab
2222
2
4cos,2ababab
即2cos,2ab…………10分
45SPQ
或135 …………12分
22．解： 由①得
23
………1分
tantan2tan()321tantan2
将②代入上式得 tantan332 ……………4分
tan,tan2
是一元二次方程2(33)230xx的两实数根
解此方程得 121,23xx …………8分
若tan1,2但024这不可能，从而tan23,tan12
024 将4代入①得6
存在锐角,64,，使 ①、② 同时成立. …………12分