(完整版)实数的概念及分类
实数知识点大题总结归纳
实数知识点大题总结归纳一、实数概念实数是数学中的一个重要概念，是指包括有理数和无理数在内的数的集合。
实数是所有数的集合，包括正数、负数、零以及所有的小数和分数。
实数的概念是数学分析和代数学的基础，它涉及到数轴上所有点的集合，实数的概念在数学分析和代数学的研究中有广泛的应用。
实数可以用来表示现实生活中的各种量和计算过程，比如长度、时间、温度、速度等等。
实数是一种用来比较、计算和度量现实生活中各种量的数学工具。
在数学的各个分支中，实数都有着重要的作用，比如在代数、几何、微积分、概率论等方面都有着广泛的应用。
实数的概念是从有理数的概念推广而来的，有理数是整数和分数的集合，而实数则包括了有理数以及无理数。
实数的概念比有理数更加广泛，它包括了所有可以用数轴上的点表示出来的数。
数轴是表示实数的一种图形工具，可以用来比较和计算各种实数的大小和关系。
实数的运算规则和性质是数学中的重要内容，实数的加减乘除运算和各种性质都是数学教育的重点。
实数的运算规则和性质是代数学的基础，它们是解决各种数学问题和证明数学定理的基础。
实数的运算规则和性质可以帮助人们更深刻地理解和使用实数，它们是数学分析和代数学的重要内容。
二、实数的分类实数根据其表示形式和特点可以分成不同的种类，比如有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，它包括整数、分数和各种有限小数。
有理数是数学中比较容易理解和使用的一类数，它们有着严格的运算规则和性质，可以进行加减乘除等各种运算。
无理数是不能表示为两个整数的比值的数，它们是一些特殊的数，比如根号2、圆周率π等。
无理数在数轴上的位置很难准确表示出来，因为它们不能用整数比值的形式表示。
无理数是实数中比较独特和特殊的一类数，它们在数学研究和应用中有着独特的地位。
实数还可以根据其大小和性质进行分类，比如正数、负数、零等。
正数是大于零的实数，负数是小于零的实数，零是一个特殊的实数。
正数、负数和零是实数中的基本分类，它们有着严格的定义和性质，可以用来表示各种计量和度量。
实数知识点详细总结(二)2024
实数知识点详细总结（二）引言概述：本文将详细总结实数的相关知识点。
实数是数学中一个重要的概念，包括有理数和无理数。
本文将以五个大点为主线，分别介绍实数的基本性质、实数的运算、实数的表示方法、实数的大小比较以及实数的应用场景。
通过阅读本文，读者将全面了解实数的概念和性质。
正文内容：一、实数的基本性质1. 实数的定义及其分类：有理数和无理数2. 实数的分布性质：无缝覆盖整个数轴3. 实数的有序性：实数的大小可以进行比较4. 实数的等价性：实数可以有多种不同的表示形式5. 实数的密度性质：任意两个实数之间都存在其他实数二、实数的运算1. 实数的加法运算性质：满足交换律、结合律等2. 实数的减法运算性质：减法可以转化为加法运算3. 实数的乘法运算性质：满足交换律、结合律等4. 实数的除法运算性质：除法可以转化为乘法运算5. 实数的运算律和运算规则：涉及加法、减法、乘法和除法的运算规则三、实数的表示方法1. 实数的小数表示法：有限小数和无限循环小数2. 实数的百分数表示法：以百分数形式表示的实数3. 实数的科学计数法：用以10为底的指数形式表示的实数4. 实数的含参表示法：用字母表示实数中未知的部分5. 实数的根式表示法：以根式形式表示的实数四、实数的大小比较1. 实数的绝对值：实数的距离原点的距离2. 实数的大小比较原则：比较实数的大小需要考虑正负和绝对值3. 实数的大小比较方法：根据实数的绝对值大小分情况讨论4. 实数的大小比较示例：通过具体例子演示实数大小的比较过程5. 实数的大小比较应用：应用于实际问题中，如温度比较、长度比较等五、实数的应用场景1. 实数在几何学中的应用：用实数表示线段、角度等2. 实数在物理学中的应用：用实数表示物体的质量、速度等3. 实数在经济学中的应用：用实数表示价格、利润等4. 实数在统计学中的应用：用实数表示数据的数量5. 实数在计算机科学中的应用：用实数进行程序运算和计算机模拟总结：通过本文的阅读，我们了解了实数的基本性质、运算、表示方法、大小比较以及应用场景。
【K12学习】XX年中考数学知识点：实数的概念及分类
XX年中考数学知识点：实数的概念及分类考点1.1、实数的概念及分类实数的分类有理数：整数和分数都是有理数．如：－3，，0.231，0.737373...，，．无理数：无限不环循小数叫做无理数如：π，－，0.1010010001...．实数：有理数和无理数统称为实数．无理数在理解无理数时，要抓住"无限不循环"这一时之，它包含两层意思：一是无限小数；二是不循环．二者缺一不可．归纳起来有四类：开方开不尽的数，如等；有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；有特定结构的数，如0.1010010001...等；某些三角函数，如sin60o等注意：判断一个实数的属性，应遵循：一化简，二辨析，三判断．要注意："神似"或"形似"都不能作为判断的标准．非负数：正实数与零的统称。
常见的非负数有：性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
画一条水平直线，在直线上取一点表示0，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;c.建立点与实数的一一对应关系。
相反数实数与它的相反数时一对数，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
即：实数的相反数是．和互为相反数．绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
实数的概念及性质
实数实数无理数的概念： 无限不循环小数叫做无理数.注意：(1)所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数.(2 )圆周率二及一些含二的数是无理数. (3 )不循环的无限小数是无理数.(4 )有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数.无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b , a-b 是无理数； 实数的概念：有理数和无理数统称为实数. 实数的分类：f 正整数 整数J o正无理数I无理数｛ '无限不循环小数负无理数J实数的性质：(1 )任何实数a ，都有一个相反数-a .1(2) 任何非0实数a ,都有倒数—. (3)正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 .(4) 正实数大于0,负实数小于0 ;两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小. 实数与数轴上的点 对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点. 无理数大小的比较方法：(1) 比较两个数的平方的大小：实数有理数 负整数 '有限小数或无限循环小数 ，正分数a>0, b>0，若( a)? > ( b/，贝U a;若(a)2 v ( b)2, 贝U Ja cj b ；若(寸a)? = (lb)? >,^则、；a .(2) 比较被开方数的大小：a >0,b >0，若 a >b ，则、a . b ;若 avb ,则 a ：：： b ;若 a = b ，^V J a =斗 b . (3) 作差法：若 a-b > 0，贝U a > b ；若 a-b = 0，贝U a = b ；若 a-bv 0，贝U av b . (4) 作商法：a a a a >0，b >0，若一> 1，贝U a >b ;若一=1，贝U a = b ;若一v1，贝U av b .bbb注意：(1) 没有最小的实数，0是绝对值最小的实数； (2) 带根号的数不一定是无理数 (3)一个实数的立方根只有一个 ；负数没有平方根.考点一对实数定义的考查【例1 ].判断正误.(1)实数是由正实数和负实数组成. ()(2) 0属于正实数.()(3) ---------------------------------- 数轴上的点和实数是 对应的. () (4) 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是 _1.() (5) 若，x =7?则 x =±曹吃.()【巩固1 ] 下列说法错误的是()B.数轴上的点不全是有理数D . 2是近似值，无法在数轴上表示准确【巩固2 ] 下列说法正确的是()B .无限小数都是无理数 D .带根号的数都是无理数8， -V27， 12，0.101101110……中无理数有() C . 4个 D . 5个A .实数都可以表示在数轴上 C .坐标系中的点的坐标都是实数对A .无理数都是无限不循环小数 C .有理数都是有限小数31【巩固3]下列实数7，-二，3.14159A . 2个B . 3个【例2 ].有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示. 其中正确的说法的个数是（）A. 1B. 2C. 3考点二对实数性质的考查【例1 ] .寸3的相反数是1_；-.5的倒数是—；3 -5的绝对值是【例2] . 3.141 —珅= _______ ; |2T3_3j2|= _________【例3].若|x匸询，则x= __________ ；若1x1= 43-1，则x= ________【例4].若直径为2个单位长度的圆上的点A从表示.5的点沿数轴向右滚动两周，圆上这一点到达另一点B,贝U B点表示的实数是（）A . .5 -2二B. 4~ - 5 C.5 2- D . . 5 4二【例5].如图，数轴上A、B两点对应的实数分别为a, b,则下列结论不正确的是（）B. ab ： 0C. a - b ： 0 D . | a | b | 0【巩固1 ] 如图，数轴上A, B两点表示的数分别为-1和J3,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数为（）A. -2- .3 B . -1 -、、3 C . -2 、、3 D .1.3 ,C AO B【巩固i ] 6-2「5的相反数是._ 2【巩固2] -3 的倒数是.【巩固3] - 5 2的绝对值是.【巩固4] —2的相反数是；倒数是；绝对值是.-1 A 0 1 B 2考点三 实数的分类1 —1、 “、岳、n 214、丄、岛—湮、洛、°7、0、口2¥2 (1)有理数集合｛｝；(2)无理数集合｛｝；(3)整数集合｛｝； (4)正实数集合｛ ｝； (5)负实数集合｛}. 【例2].把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来. 4, -4 , -51, 1 . 414,兀，0.6 , ,33 4【例1 ].把下列各数填入相应的集合: 【巩固 1 】 下列各数： 32，- 22，3-27，1.414，-3，3.12122，- . 9，3.1469 中，无理数 有个，有理数有个，负数有个，整数有个 7 兀 I I 3 J— 【巩固2]下列实数 ， ，0, - i 49 , ■. 21 , < -1 , 1.1010010001…(每两个1之间的0的个 190 3 数逐次加1)中，设有 m 个有理数，n 个无理数，则n m = 考点四比较大小 【例3].估计.77的大小应在() A . 7〜8之间C . 8.5〜9.0之间 【巩固1 ]估计29的值在()A .在4.5和5.0之间 C .在5.5和6.0之间B . 8.0〜8.5之间 D . 9〜10之间B .在5.0和5.5之间 D .在6.0和6.5之间 【巩固2]实数2.6 ,7和2 2的大小关系是() A . 2.6 ：2.2 ：： 7 C. 7 ：：26 ：：2 2 【例4]. 一个正方体水晶砖，体积为 100 cm 2，它的棱长大约在() B . 2.6 ：： .7 -.22D . . 7 ：：2.2 ：： 2.6A . 4〜5cm 之间B . 5〜6cm 之间C . 6〜7cm 之间D . 7〜8cm 之间【例5] . (1)若实数a<b<0,则|a| |b|；大于.17小于•. 35的整数是;(2)比较大小：3 6 ^.3211 3 5【例6].若0：：：x ：：：1，则X*、x 、x 2的大小关系是【例7].如果a 是J 15的整数部分，b 是冒15的小数部分，a_b= ______________ 【例8].已知a ，b 为两个连续整数，且a <E<b ，则a+b= _______________ . 【例9 ] . 4 14、.226、15三个数的大小关系是（）A. 4.14 ：：：15 ：：： .226B. . 226 ::: 15 ：：： 4 14C. 4 .1Z ：：：226 ：；：15 D. ■ 226：：： 4.14 :：: 15考点五对计算的考查【例1 ].计算题(3) 1一闵+匹一稠 +卜'3_74 +1)1 +-^2^2【巩固3】 已知等腰三角形一边长为 a , —边长b ，且（2a —b ）2 + 9—b 2 =0 .求它的周长.考点六综合运用【例3].写出符合条件的数.(1)小于2 5的所有正整数；(2)绝对值小于2 2的所有整数.【例4]. 一个底为正方形的水池的容积是 3150m ，池深14m ，求这个水底的底边长.【例5].已知a 是11的整数部分，b 是它的小数部分，求(_a)3 ：：；'(b 九3)2的值.(1) .. 49 - J69327( 2)3216 3 1000【例2】.化简：（1）2-岳-苗-1(2)10 —3 斗.一 10 —4【例6].若场.815848 =1.22，贝U 丁―1815848 = ____【例7].已知a -2的平方根是_2 , 2a b 7的立方根是3，求a2 b2的算数平方根.【巩固4]已知A =5 -m 3是n -m 3的算术平方根，B 3 m 7n是m • 7n的立方根，求B+A的平方根.‘=18，求xy 的值.【巩固 5 】已知心=3 ,y2=b(yc0)，且J(4a—=8(b=4a),趴a+b)【巩固6】若a b 1 =2.a-.T^\-1，求a • 2b —3c的值.【巩固7】设a、b是有理数，并且a、b满足等式a 2^ . 2b二-5、、2，求a+b的平方根课后巩固习题1 3 - . 3的相反数是，|3 - 3 |=7 -5的相反数是，1-2的绝对值=习题2设3对应数轴上的点 A , 5对应数轴上的点B，贝U A、B间的距离为习题3卜列说法中，止确的( )是A.实数包括有理数,0和无理数B.无限小数是无理数C.有理数是有限小数D.数轴上的点表示实数.习题4 下列命题中，错误的命题个数是（）（1）- a2没有平方根；（2）100的算术平方根是10，记作-・100=10（3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；（4）2是最小的无理数.A . 1 个B . 2 个C. 3 个D . 4 个.习题5 设a是实数，则|a|-a的值（）A.可以是负数B.不可能是负数C.必是正数D•可以是整数也可以是负数习题6 数轴上，有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一周, 这时点A与数轴上一点重合，这点表示的实数是.习题7 设m是.13的整数部分，n是13的小数部分，求m-n的值.习题8 如图，数轴上A, B两点表示的数分别为-1和、、3 ,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数为（）A . -2- '.3 B. -1-,3 , -c A"O BC.亠3D. 1.3 （第8题图）习题9 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|1 _a|「a2的结果为（）a—I __ I•_I ___ >-1 0 1A. 1 B . -1 C . 1 -2a D . 2a -1习题10实数a, b在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（） b -1 0 a 1A . a b 0B . a - b ：： 00（第10题图）C . ab 0a 门D . 0b习题11若a为..17-2的整数部分，b -1是9的平方根，且|a-b| = b-a，求a b的算术平方根。
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知识点2 实数的分类 概念：有理数和无理数统称实数．
有限小数或无限循环
例2 下列说法中，正确的有___④__⑤___．(填序号) ①实数可分为有理数、无理数和零三类；②实数可分为整数和分数 两类；③实数可分为整数、分数、有理数、无理数四类；④实数可分为 零、正实数和负实数三类；⑤实数可分为有理数和无理数两类．
4．如图，数轴上表示实数 40 的点可能是( C )
A．点 A
B．点 B
C．点 C D．点 D
第4题图
5．写出一个无理数x，使得1＜x＜4，则x可以是___2__(答__案__不__唯__一__) _．
(写出一个满足条件的x即可)
6．比较下列各组数的大小：
(1) 8 ___＜_____ 10 ；
9．将实数 3， 10 ，－π2 ，3 －64 ，75 近似地表示在数轴上，并比较它们的大 小，用“＜”号连接．
第99题题图答图 解：实数在数轴上的表示如答图所示．
比较大小为3 －64 ＜－π2 ＜75 ＜3＜ 10 .
核心素养
10．【数形结合】实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，
则正确的结论是( A )
(2)－ 40 ___＜_____－6.3；
(3)
5＋1 2
____＞____32
.能Leabharlann 提升7．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之
间表示整数的点共有( C )
A．6个
B．5个
C．4个 D．3个
第7题图
七年级下册实数知识点
七年级下册实数知识点实数是数学中非常重要的一个概念，是指所有的有理数和无理数的总和。
在七年级下册中，我们将学习有关实数的基本概念和性质，包括实数的分类与比较，实数的运算及其性质，实数的绝对值和数轴等。
一、实数概论实数是数学中的基本概念之一。
它包括有理数和无理数两类数。
其中有理数包括所有可以表示为两个整数的比的数，无理数则是不能表示为有理数的数。
实数的集合符号为R。
二、实数的分类与比较我们可以通过大小关系将实数分为三类，正数、负数和零数。
其中正数指大于0的实数，负数指小于0的实数，零数指等于0的实数。
在比较大小方面，我们要注意实数的绝对值大小关系，绝对值大的实数更大。
三、实数的运算及其性质1. 实数的加法：对于任意实数a和b，它们的和a+b仍然是一个实数，满足交换律和结合律。
2. 实数的减法：对于任意实数a和b，它们的差a-b仍然是一个实数。
3. 实数的乘法：对于任意实数a和b，它们的积ab仍然是一个实数，满足交换律和结合律。
4. 实数的除法：对于非零实数a和b，a/b仍然是一个实数，不满足交换律和结合律。
5. 实数运算的性质：实数运算满足分配律、吸收律和消去律。
四、实数的绝对值和数轴实数的绝对值是指一个实数到原点的距离。
对于任意实数a，其绝对值表示为|a|，满足非负性、正定性和三角不等式。
实数的绝对值可以用数轴来表示，数轴上0点为原点，左侧为负数，右侧为正数，每个实数对应数轴上的一个点。
实数a的绝对值可以表示为a在数轴上到原点的距离。
总结：七年级下册学习实数知识点，包括实数的基本概念和性质，实数的分类与比较，实数的运算及其性质，实数的绝对值和数轴等。
实数是数学中的重要概念，它是所有有理数和无理数的总和。
在实数的学习中，我们要注意实数的分类和大小关系、实数运算的基本性质和绝对值的概念及其在数轴上的表示。
(完整版)北师大版数学八年级上册知识点总结
北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即a 2+b 2=c 22、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a，b，c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数。
第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如7, 32 等；π（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π 的数，如+8 等；3（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1 和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
a a 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 x 2=a ，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根。
特别地，0 的算术平方根是 0。
实数知识点总结69523
. 精品 第一章 实数 考点一、实数的概念及分类
1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数
整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有3类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；. 精品 （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数 如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。.
精品 正数a的平方根记做“a”。 2、算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
aa2 ；注意a的双重非负性： 3、立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33aa，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
中考数学总复习知识点总结(最新版)PDF.pdf
中考数学复习资第一章 实数考点一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= - b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0）0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
八年级数学实数知识点梳理
八年级数学实数知识点梳理数学是一门需要理性思考与逻辑推理的学科，而实数是数学中最重要的基础知识之一，因此在学习数学的过程中，对实数的掌握至关重要。
随着学年的推进，八年级的数学课程中实数部分的知识点也愈加深入，本文将对八年级数学实数知识点进行梳理。
一、实数的概念实数是数学中最基本的数系之一，包括有理数和无理数。
实数的大小可以比较，可以进行基本的算术运算，是所有数学分支的基础。
在实数的集合中，有理数是可以表示为两个整数的比值，而无理数则不能表示为这种比值。
实数集合通常表示为R。
二、实数的分类实数可以按照大小和性质进行分类，如下：1. 正数：大于0的实数，如1/2、3、5.8等。
2. 负数：小于0的实数，如-1/3、-5、-2.6等。
3. 零：等于0的实数。
4. 整数：包括正整数、负整数和零。
5. 有理数：可以表示为两个整数的比值，如2、1/3、-5/6等。
6. 无理数：不能表示为两个整数的比值，如√2、π等。
三、实数的运算实数的运算包括加减乘除四个基本运算，其中乘法和除法还包括正负号的影响。
1. 加法：实数的加法符合交换律、结合律、偏移律。
2. 减法：实数的减法是加法的逆运算，可以转化为加法运算。
3. 乘法：实数的乘法符合交换律、结合律，非零实数相乘的结果符号为正。
4. 除法：实数的除法包括有理数的除法和无理数的除法两种情况。
四、实数的比较实数的大小可以进行比较，有以下三种情况：1. 相等：两个实数相等当且仅当它们的差等于0。
2. 大于：如果一个实数a减去另一个实数b的值大于0，那么a 大于b。
3. 小于：如果一个实数a减去另一个实数b的值小于0，那么a 小于b。
五、实数的绝对值实数的绝对值是一个非负实数，它表示实数a与0之间的距离，记作|a|。
六、实数的平方实数的平方是指实数a自乘后的结果，记作a²。
其中，正数的平方是正数，负数的平方是正数，零的平方还是零。
七、实数的开方实数的开方是指实数a的n次方为b时，n为整数，b为非负实数，a称为b的n次方根，记作√b或b^(1/n)。
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6.3 《实数的概念及分类》导学案
教学目标：
认知目标：1.了解无理数和实数的概念，会对实数进行分类，
2.了解实数与数轴上点的一一对应关系。
过程目标：1.在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总结出实数的分类，
2.通过实数与数轴上点的对应关系的探究，体验“数形结合”思想。
情感目标：经历探索从有理数到实数的扩充过程，培养探究精神，激发求知热情；通过实数的分类，培养分类思想，发展分类意识。
教学重点：无理数，实数的概念及实数的分类；
教学难点：无理数概念及实数与数轴上点的一一对应关系
教学过程：
【知识回顾，创设情境】
1、把下列各数按要求填在横线上：
整数；分数；正数
2、有理数是怎样定义的? 有理数分类有哪两类标准？请与他人交流。
【合作交流，探究新知】
有理数包括整数和分数，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3= ，
3
5
= ，
47
8
= ，
9
11
= ，
11
9
=
5
9
=
我们发现，上面的有理数
归纳：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。
猜想：有限小数或无限循环小数都能转化为分数吗？
验证：下列有限小数能化为分数吗？5、2.3、0.25、1.334
无限循环小数能转化为分数吗？
阅读下列材料
设x=0.3=0.333…①
则10x＝3.333…②
则②－①得９x=3,解得x=1/3，即0.3=1/3
结论：有限小数或无限循环小数都能转化为分数
拓展：有限小数或无限循环小数就是有理数
【活动1】无理数的概念
问题：我们在求一个数的平方根或立方根时，发现有些数的平方根或立方根是这样的小数，如=3.1415926552374…，1.101001000100001.…，
2=1.414213562373…
这些小数有什么共同点？它们是有理数吗？如果不是，它们是什么数呢？
.
记忆：他们不能转化为分数形式，它们不是有理数
定义： 叫无理数（板书：无限不循环小数叫无理数） 常见的无理数有哪些主要类型
①开不尽方的数，但比如 则不是；
②有一定的规律，但不循环的无限小数;
③圆周率及一些含有π的数
【活动2】无理数与数轴上点的对应关系
问题：我们知道有理数能用数轴上的点来表示，那么无理数是否也能用数轴上的点来表示呢？
探究1：.如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点O 沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点O ′，点O ′的坐标是
探究2：如图，在数轴上，以一个单位长度为边长画正方形，则对角线的长度就是2，以原点为圆心，以对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点就是 。
归纳：每一个无理数都可以用数轴上的 点表示出来。
但是，数轴上的点有些表示____，有些表示___。
理解：下列说法对吗？不对的请改正。
(1)无理数都是无限小数.
(2)带根号的数是无理数.
(3)数轴上的点表示的数不是有理数就是无理数.
应用：在这些数5，3.14，0，3 ，34
- ， 0.57 ，4- ， - π，0.1010010001……（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中．
有理数是 ；无理数是 ；整数有 ：分数有
【活动3】实数的概念及分类
定义： 统称为实数（板书：有理数和无理数统称实数）
分类：按照定义分类如下：
B A
C 按照正负分类如下： 实数
活动4．实数与数轴上点的对应关系
1、每一个无理数都可以用数轴上的__表示出来，
每一个有理数都可以用数轴上的 __表示出来
2、这就是说，数轴上的点有些表示____，有些表 示___。
3、因此，当数从有理数扩充到实数以后，每一个 实数都可以用数轴上的 来表示；反过来， 数轴上的 都是表示一个实数。
也就是说实数与数轴上的点就是 的关系。
【应用举例，巩固拓展】
例1、把下列实数按要填在相应的集合中
①有理数集合：｛ …｝；
②无理数集合：｛ …｝；
③正实数集合：｛ …｝；
④整数集合：｛ …｝．
点拨：无理数的特征①开不尽方的数，但比如16则不是；
②有一定的规律，但不循环的无限小数：
③圆周率及一些含有的数
例2、写出一个3到4之间的无理数
点拨1：按无理数的概念来构造：
点拨2:利用算术平方根的意义3=9，4=16
例3、如图，数轴上表示1 、2 的对应点 分别为A 、B ，点B 关于点A
的对称点为点C ，则C 点表示的数是
3215416270.157.5π0 2.33
•
--，，，，，，，，．
点拨：①计算AB 两点间的距离②利用点的对称性得AC 两点间的距离
【知识小结，反思提高】
１．通过今天的学习,用你自己的话说说你对下列三个问题的理解？
问题1 举例说明无理数的特点是什么？
问题2 实数是由哪些数组成的？
问题3 实数与数轴上的点有什么关系？
２．你的困惑是什么？请与同学们交流。
【课堂检测，提升能力】
１．判断正误，并说明理由．
⑴无限小数都是无理数；
⑵无理数都是无限小数；
⑶带根号的数都是无理数；
⑷有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数；
⑸实数包括正实数、0、负实数；
2、把下列各数分别填在相应的括号里： ， ， ， ， ， ， ，0 ，
， ①有理数（ ）； ②分数（ ）；
③正实数（ ）；
④非负整数（ ）．
3、观察数据，按规律填空2,2, 6, 22, 10 …, (第n 个数)
4、满足—3＜x ＜5的整数X 是
【课堂作业，巩固提高】
教材第57页： 习题6.3: 1,2
9-3564π•6.043-313.0。