算法分析与设计2-算法分析技术
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输入为I时所需的时间为T(n,I)，T(n，I)称为算法的时间复杂性。
空间复杂性（Space Complexity）： 如果问题的规模为n，解决这一问题的某算法在算法的
输入为I时所需的空间为S(n,I)，S(n,I)称为算法的空间复杂性。
算法分析（Algorithm Analysis）:分析算法复杂性的过程；
第三部分
算法分析技术
整理ppt
1
3.1 算法复杂性分析
1、算法复杂性： 它是度量算法计算难度的一种尺度，反映了算法消耗的
资源情况。 算法需要资源越多，其复杂性就越高；反之， 算法需要资源越少，其复杂性就越小。
时间复杂性（Time Complexity）： 如果问题的规模为n，解决这一问题的某算法在算法的
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3.1 算法复杂性分析
换更快的计算机，还是换更快的算法？
从增长率可以看出：算法不同，当计算机速度提高时，你得到 的解决问题规模的增益是不同的！
例如，当计算机的运行速度是提高为原来的10倍时，不同的算 法在解决问题的规模上得到的收益是有很大不同的。
f(n) 10n 20n 5nlogn 2n2 2n
A
即最优算法的时间（空间）复杂性为该问题的时间复杂性。
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3.1 算法复杂性分析
最初，我们希望精确计算出算法的复杂性（用多少时间、
占多少空间）。但是，很难（可比性差），也没有必要！
精确测算出算法的性能指标是很难的，因为： （1）把两个或多个算法都写出程序代码须花费很大的时间 和精力； （2）可能会因为程序写的“好”而没有体现出算法的真正 质量，特别是程序员对算法有偏见时； （3）测试环境和测试数据的选择很难对各个算法公正； （4）你觉得好的算法也不一定达到要求，要重复设计算法、 写代码、测试。
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3.1 算法复杂性分析
对于一个算法而言，在不同的执行时间内，它占用的内 存空间量不一定相等，也就是说，占用空间量y是时间x的函 数，即y=f(x)。
t
定义：时空积分= f (x)dx 其中t是算法0的运行时间。
时空积可以综合评价算法的时间、空间性能。
例如：一个算法的执行时间为
y
30秒，前10秒算法占用60个字
算法的最坏时间复杂性：
Tmax(n)=Max T(n,I)=T(n,I#)
IDn
Dn是规模为n的合法输入的集合，I#是使算法的时间达到 最大的一个输入；
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3.1 算法复杂性分析
算法的平均时间复杂性： Tavg(n)= P(I) T(n,I) IDn
Dn是规模为n的合法输入的集合,p(I)是输入I出现的概率。
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3.1 算法复杂性分析
3、复杂性的渐近估计 对算法，精确计算其增长率有时很难，如果能粗略比较出
哪个更快或更慢就可以了。于是在增长率的基础上提出渐近估 计的概念。
算法的渐近复杂性（Asymptotic Algorithm Analysis） 确切说：渐近分析是指当输入规模很大，或者说大到一
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3.1 算法复杂性分析
算法的复杂性除了与问题的规模有关外，在规模一定 的情况下，输入的分布也会影响算法的复杂性。从而就有 了最好、最坏、平均复杂性。
算法的最好时间复杂性：
Tmin(n)=Min T(n,I)=T(n,I*) IDn
Dn是规模为n的合法输入的集合，I*是使算法的时间达到 最小的一个输入；
于是，既然我们的目的是为了比较，就应该将注意力集中在被 比较的对象之间最主要的差别。如果两个程序执行步数分别是 3n+2和3n+20，则这两个程序的时间复杂性不会有太大的差别， 即使这两个程序的每个执行步操作数可能有所不同，这两个程 序的时间复杂性至多相差一个常数倍。
最后，就有了一个关注点， 算法性能的增长率！
节，第2个10秒占用70个字节， 80
最后10秒占用80个字节，则：
70
时空积如图。
60
效率
60*10+70*10+80*10=2100(字节秒)
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10 20 30
x
3.1 算法复杂性分析
2、问题的时间（空间）复杂性： 假设问题有多个算法，所有算法的集合表示为，其中A是
其中的一个算法，即A ，它的时间（空间）复杂性表示为 TA(n),问题的时间（空间）复杂性定义为：Min( TA(n) )。
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3.1 算法复杂性分析
然后，我们又提出用评估的方法，抓主要矛盾和核心的东西， 用统计基本操作或步数来估计复杂性。
但是，值得注意的是无论是操作计数还是执行步数都不能够非 常准确地描述时间复杂性，特别是在需要比较时。例如:
t1(n)=10n2+20n-100 t2(n)=1000n+500 哪个更好？？
n 1000 500 250 70 13
n’ 变化
n’/n
10000 n’=10n 10
5000 n’=10n 10
1842 10n<n’<10n 7.37
223 n’=10 n 3.16
16 n’=n+3 --
注： n是原来解决问题 规模； n’是现在解决问题 规模
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3.1 算法复杂性分析
对算法空间复杂性可以同样定义。
实践证明，可操作性最好且最有实际价值的是最坏复杂性！
注： 输入规模的概念和具体问题有关，对有些问题来说，最自然的度量
标准是输入中的元素个数（例如，排序）；对另一些问题其规模的最佳 度量是输入数在二进制表示下的位数（例如整数相乘）；还有的问题需 要用两个数表示输入规模（例如图的顶点数和边数）。
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3.1 算法复杂性分析
算法的增长率(growth rate)：是指当输入增长时，算法 代价的增长速率。具体就体现在两个函数的变化趋势上。
T(n)=f(n) S(n)=g(n)
线性增长率(linear growth rate) 二次增长率(quadratic growth rate) 指数增长率(exponential growth rate)
提高计算速度对不同时间复杂性函数的影响对比
时间复杂性函数
n n2 n3 n5 2n 3n
用现在的计算机 N1 N2 N3 N4 N5 N6
用快 100 倍的计算机 100N1 10N2 4.64N3 2.5N4 N5+6.64 N6+4.19
用快 1000 倍的计算机 1000N1 3.16N2 10N3 3.98N4 N5+9.97 N6+6.29
空间复杂性（Space Complexity）： 如果问题的规模为n，解决这一问题的某算法在算法的
输入为I时所需的空间为S(n,I)，S(n,I)称为算法的空间复杂性。
算法分析（Algorithm Analysis）:分析算法复杂性的过程；
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3.1 算法复杂性分析
1、算法复杂性： 它是度量算法计算难度的一种尺度，反映了算法消耗的
资源情况。 算法需要资源越多，其复杂性就越高；反之， 算法需要资源越少，其复杂性就越小。
时间复杂性（Time Complexity）： 如果问题的规模为n，解决这一问题的某算法在算法的
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3.1 算法复杂性分析
换更快的计算机，还是换更快的算法？
从增长率可以看出：算法不同，当计算机速度提高时，你得到 的解决问题规模的增益是不同的！
例如，当计算机的运行速度是提高为原来的10倍时，不同的算 法在解决问题的规模上得到的收益是有很大不同的。
f(n) 10n 20n 5nlogn 2n2 2n
A
即最优算法的时间（空间）复杂性为该问题的时间复杂性。
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3.1 算法复杂性分析
最初，我们希望精确计算出算法的复杂性（用多少时间、
占多少空间）。但是，很难（可比性差），也没有必要！
精确测算出算法的性能指标是很难的，因为： （1）把两个或多个算法都写出程序代码须花费很大的时间 和精力； （2）可能会因为程序写的“好”而没有体现出算法的真正 质量，特别是程序员对算法有偏见时； （3）测试环境和测试数据的选择很难对各个算法公正； （4）你觉得好的算法也不一定达到要求，要重复设计算法、 写代码、测试。
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3.1 算法复杂性分析
对于一个算法而言，在不同的执行时间内，它占用的内 存空间量不一定相等，也就是说，占用空间量y是时间x的函 数，即y=f(x)。
t
定义：时空积分= f (x)dx 其中t是算法0的运行时间。
时空积可以综合评价算法的时间、空间性能。
例如：一个算法的执行时间为
y
30秒，前10秒算法占用60个字
算法的最坏时间复杂性：
Tmax(n)=Max T(n,I)=T(n,I#)
IDn
Dn是规模为n的合法输入的集合，I#是使算法的时间达到 最大的一个输入；
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3.1 算法复杂性分析
算法的平均时间复杂性： Tavg(n)= P(I) T(n,I) IDn
Dn是规模为n的合法输入的集合,p(I)是输入I出现的概率。
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3.1 算法复杂性分析
3、复杂性的渐近估计 对算法，精确计算其增长率有时很难，如果能粗略比较出
哪个更快或更慢就可以了。于是在增长率的基础上提出渐近估 计的概念。
算法的渐近复杂性（Asymptotic Algorithm Analysis） 确切说：渐近分析是指当输入规模很大，或者说大到一
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3.1 算法复杂性分析
算法的复杂性除了与问题的规模有关外，在规模一定 的情况下，输入的分布也会影响算法的复杂性。从而就有 了最好、最坏、平均复杂性。
算法的最好时间复杂性：
Tmin(n)=Min T(n,I)=T(n,I*) IDn
Dn是规模为n的合法输入的集合，I*是使算法的时间达到 最小的一个输入；
于是，既然我们的目的是为了比较，就应该将注意力集中在被 比较的对象之间最主要的差别。如果两个程序执行步数分别是 3n+2和3n+20，则这两个程序的时间复杂性不会有太大的差别， 即使这两个程序的每个执行步操作数可能有所不同，这两个程 序的时间复杂性至多相差一个常数倍。
最后，就有了一个关注点， 算法性能的增长率！
节，第2个10秒占用70个字节， 80
最后10秒占用80个字节，则：
70
时空积如图。
60
效率
60*10+70*10+80*10=2100(字节秒)
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x
3.1 算法复杂性分析
2、问题的时间（空间）复杂性： 假设问题有多个算法，所有算法的集合表示为，其中A是
其中的一个算法，即A ，它的时间（空间）复杂性表示为 TA(n),问题的时间（空间）复杂性定义为：Min( TA(n) )。
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3.1 算法复杂性分析
然后，我们又提出用评估的方法，抓主要矛盾和核心的东西， 用统计基本操作或步数来估计复杂性。
但是，值得注意的是无论是操作计数还是执行步数都不能够非 常准确地描述时间复杂性，特别是在需要比较时。例如:
t1(n)=10n2+20n-100 t2(n)=1000n+500 哪个更好？？
n 1000 500 250 70 13
n’ 变化
n’/n
10000 n’=10n 10
5000 n’=10n 10
1842 10n<n’<10n 7.37
223 n’=10 n 3.16
16 n’=n+3 --
注： n是原来解决问题 规模； n’是现在解决问题 规模
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3.1 算法复杂性分析
对算法空间复杂性可以同样定义。
实践证明，可操作性最好且最有实际价值的是最坏复杂性！
注： 输入规模的概念和具体问题有关，对有些问题来说，最自然的度量
标准是输入中的元素个数（例如，排序）；对另一些问题其规模的最佳 度量是输入数在二进制表示下的位数（例如整数相乘）；还有的问题需 要用两个数表示输入规模（例如图的顶点数和边数）。
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3.1 算法复杂性分析
算法的增长率(growth rate)：是指当输入增长时，算法 代价的增长速率。具体就体现在两个函数的变化趋势上。
T(n)=f(n) S(n)=g(n)
线性增长率(linear growth rate) 二次增长率(quadratic growth rate) 指数增长率(exponential growth rate)
提高计算速度对不同时间复杂性函数的影响对比
时间复杂性函数
n n2 n3 n5 2n 3n
用现在的计算机 N1 N2 N3 N4 N5 N6
用快 100 倍的计算机 100N1 10N2 4.64N3 2.5N4 N5+6.64 N6+4.19
用快 1000 倍的计算机 1000N1 3.16N2 10N3 3.98N4 N5+9.97 N6+6.29